Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3 - Nguyễn Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: hàm nhiều biến; đạo hàm và vi phân; cực trị; ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 3 - Nguyễn Phương

Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 3. Hàm nhiều biến Nguyễn Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 12 tháng 12 năm 2022 1
NỘI DUNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 Định nghĩa 3 Giới hạn 8 Liên tục 15 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 17 Định nghĩa 17 Đạo hàm riêng cấp cao 19 Hàm khả vi và vi phân toàn phần 21 Đạo hàm của hàm hợp 25 Đạo hàm của hàm ẩn 29 3 CỰC TRỊ 31 Cực trị không có điều kiện ràng buộc 31 Cực trị có điều kiện ràng buộc 39 4 Ứng dụng trong kinh tế 46 Ý nghĩa biên tế 46 Hệ số co dãn 47 Tối ưu trong kinh tế 48 2
HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho D ⊆ Rn . Ánh xạ f: D −→ Rn (x1 , . . . , xn ) 7−→ z = f (x1 , . . . , xn ) được gọi là hàm số n biến. Hình 1.1: Hàm n biến. Ví dụ 1.1. 1 f (x1 , x2 ) = x1 + x1 x2 + 3 ←− hàm 2 biến. p 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 ←− hàm 3 biến. x1 + x3 3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ←− hàm 4 biến. 3
HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa y z z = f (x, y) (x, y) x 0 O D (a, b) f (a, b) 4
HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Định nghĩa 1.2. Đồ thị của hàm hai biến là tập hợp các điểm trong không gian 3–chiều được xác định như sau: Gf = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D}. Ví dụ 1.2. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = sin(x + y). 1 0 1 −1 0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5
HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Ví dụ 1.3. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 . 20 5 0 −4 0 −2 0 2 4 −5 6
HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa Ví dụ 1.4. Đồ thị hàm số z = f (x, y) = x2 − y2 . 20 0 5 −20 −4 0 −2 0 2 4 −5 7
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn Định nghĩa 1.3. Cho z = f (x, y) là hàm hai biến và M0 (x0 , y0 ) thuộc miền xác định của f . Giới hạn của f (x, y) khi (x, y) tiến về (x0 , y0 ) là L, ký hiệu lim f (x, y) = L, (x,y)→(x0 ,y0 ) nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi điểm M (x, y) thuộc đĩa mở có tâm (x0 , y0 ), bán kính δ và (x, y) ̸= (x0 , y0 ), thì |f (x, y) − L| < ϵ. Hàm số z = f (x, y) có giới hạn là L khi (x, y) dần đến (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến L. 8
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn 9
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn sin x2 + y 2 Ví dụ 1.5. Xét giá trị của hàm số f (x, y) = khi (x, y) → (0, 0). x2 + y 2 y −1, 0 −0, 5 −0, 2 0 0, 2 0, 5 1, 0 x −1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 −0, 5 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 −0, 2 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 0 0, 841 0, 990 1, 000 1, 000 0, 990 0, 841 0, 2 0, 829 0, 986 0, 999 1, 000 0, 999 0, 986 0, 829 0, 5 0, 759 0, 959 0, 986 0, 990 0, 986 0, 959 0, 759 1, 0 0, 455 0, 759 0, 829 0, 841 0, 829 0, 759 0, 455 sin x2 + y 2 Bảng 1: Bảng giá trị của hàm số f (x, y) = x2 + y 2 sin x2 + y 2 Vậy lim = 1. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 10
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn x2 − y 2 Ví dụ 1.6. Xét giá trị của hàm số g(x, y) = khi (x, y) → (0, 0). x2 + y 2 y −1, 0 −0, 5 −0, 2 0 0, 2 0, 5 1, 0 x −1, 0 0, 000 0, 600 0, 923 1, 000 0, 923 0, 600 0, 000 −0, 5 −0, 600 0, 000 0, 724 1, 000 0, 724 0, 000 −0, 600 −0, 2 −0, 923 −0, 724 0, 000 1, 000 0, 000 −0, 724 −0, 923 0 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −1, 000 −1, 000 0, 2 −0, 923 −0, 724 0, 000 1, 000 0, 000 −0, 724 −0, 923 0, 5 −0, 600 0, 000 0, 724 1, 000 0, 724 0, 000 −0, 600 1, 0 0, 000 0, 600 0, 923 1, 000 0, 923 0, 600 0, 000 x2 − y 2 Bảng 2: Bảng giá trị của hàm số g(x, y) = x2 + y 2 x2 − y 2 Vậy lim không tồn tại. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 11
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn Tính chất 1.1. Cho b, x0 , y0 , L và K là các số thực, cho n là số nguyên dương, và f , g thoả mãn lim f (x, y) = L và lim g(x, y) = K. (x,y)→(x0 ,y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 ) Thì ta có 1 lim x = x0 ; lim y = y0 (x,y)→(x0 ,y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 ) 2 lim f (x, y) ± g(x, y) = L ± K (x,y)→(x0 ,y0 ) 3 lim b · f (x, y) = bL (x,y)→(x0 ,y0 ) 4 lim f (x, y) · g(x, y) = LK (x,y)→(x0 ,y0 ) 5 lim f (x, y)/g(x, y) = L/K, (K ̸= 0) (x,y)→(x0 ,y0 ) 6 lim f (x, y)n = Ln (x,y)→(x0 ,y0 ) Các định lý về giới hạn của hàm hai biến cũng tương tự của hàm một biến. 12
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn Ví dụ 1.7. Chứng minh rằng 1 lim (x2 + y 2 ) sin = 0. (x,y)→(0,0) xy Giải Ta nhận thấy rằng 1 −(x2 + y 2 ) ⩽ (x2 + y 2 ) sin ≤ (x2 + y 2 ). xy Mà lim (x2 + y 2 ) = lim (x2 + y 2 ) = 0. (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) Do đó ta được 1 lim (x2 + y 2 ) sin = 0. (x,y)→(0,0) xy 13
HÀM NHIỀU BIẾN Giới hạn Ví dụ 1.8. Chứng minh không tồn tại xy lim . (x,y)→(0,0) x2 + y2 Giải +) Với y = x thì xy x2 1 lim = lim = . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x→0 2x2 2 +) Với y = −x thì xy −x2 1 lim = lim =− . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x→0 2x2 2 xy Vì giá trị của hai giới khác nhau nên giới hạn lim không tồn (x,y)→(0,0) x2 + y 2 tại. 14
HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f (x, y) với miền xác định D chứa điểm (x0 , y0 ). 1 Hàm số f liên tục tại (x0 , y0 ) nếu lim f (x, y) = f (x0 , y0 ). (x,y)→(x0 ,y0 ) 2 Hàm số f liên tục trên D nếu f liên tục tại tất cả các điểm thuộc D. Hàm số z = f (x, y) liên tục tại (x0 , y0 ) có nghĩa là: Khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) thì giá trị của hàm số tại M (x, y) cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm M0 (x0 , y0 ). Các tính chất liên tục của hàm hai biến giống như hàm một biến. Ví dụ 1.9. Hàm f (x, y) = sin(x2 + xy − y) là hàm liên tục vì f (x, y) là hợp của hai hàm liên tục u(x, y) = x2 + xy − y 2 , g(x) = sin(x). 15
HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục Ví dụ 1.10. Cho hàm số  2  xy khi (x, y) ̸= (0, 0); f (x, y) = x2 + y 2 a khi (x, y) = (0, 0).  Tìm a để f (x, y) là hàm liên tục tại (0, 0). Giải Với (x, y) ̸= (0, 0), ta có:
xy 2
0 ≤