Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 10 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 10 cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm sai phân và phương trình sai phân; phương trình sai phân tuyến tính cấp một; phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 10 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 10 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
BÀI 1: KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1. Sai phân Giả sử y (n) là một hàm số, biến n xác định trên 𝑍 +. Giá trị của hàm số tại n kí hiệu là y(n). • Sai phân cấp một của hàm số y(n) tại n là: Δ𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 + 1 − 𝑦(𝑛) • Sai phân cấp hai của hàm số y(n) tại n là: Δ2 𝑦 𝑛 = Δ Δ𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 + 2 − 2𝑦 𝑛 + 1 + 𝑦(𝑛)
2. Phương trình sai phân Định nghĩa 1: Giải sử y(n) là một hàm số đối số nguyên, chưa biết, cần tìm. Đẳng thức F n, y n , Δy n , … Δk y n =0 (1) Trong đó không được khuyết Δk y n , gọi là một phương trình sai phân cấp k. Ví dụ: • Phương trình sai phân cấp một có dạng: F n, y n , Δy n = 0 (2) • Phương trình sai phân cấp một có thể viết ở dạng sau 𝐺 𝑛, 𝑦 𝑛 , 𝑦 𝑛 + 1 = 0
3. Nghiệm Định nghĩa 2: Nghiệm của (1) là mọi hàm số mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng.
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT 1. Khái niệm a. Dạng phương trình Phương trình sai phân tuyến tính (PTSPTT) cấp 1 có dạng: 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛+1 +𝐵 𝑛 𝑦 𝑛 =𝑓 𝑛 (1) 𝐴 𝑛 , 𝐵 𝑛 𝑙à 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑣à 𝐴 𝑛 . 𝐵 𝑛 ≠ 0 Phương trình 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 1 + 𝐵 𝑛 𝑦 𝑛 = 0 gọi là PTSPTT thuần nhất cuả PT (1).
b. Nghiệm Nghiệm tổng quát: Giải phương trình sai phân cấp một, được kết quả là một đẳng thức dạng 𝑦 𝑛 = 𝜙(𝑛, 𝐶) trong đó C là hằng số tự do. Thay giá trị cụ thể 𝐶 = 𝐶0 , ta được đẳng thức 𝑦 𝑛 = 𝜙(𝑛, 𝐶0 ) gọi là một nghiệm riêng của phương trình.
2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng a. Dạng phương trình 𝑎𝑦 𝑛+1 +𝑏𝑦 𝑛 =𝑓 𝑛 (1) (𝑎𝑏 ≠ 0) • Phương trình thuần nhất tương ứng là: 𝑎 𝑦 𝑛 + 1 + 𝑏 𝑦 𝑛 = 0 (2)
b. Định lý về nghiệm Nếu 𝑦 𝑛 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) 𝑦(𝑛) là một nghiệm riêng của phương trình (1) Thì 𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 + 𝑦 𝑛 là nghiệm tổng quát của phương trình (1) c. Giải phương trình thuần nhất Định lý: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là 𝑏 𝑛 𝑦 𝑛 =𝐶 − , 𝐶 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑡ù𝑦 ý 𝑎 Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 𝑛 + 1 + 4𝑦 𝑛 = 0
d. Phương pháp chọn nghiệm riêng của PT không thuần nhất Trường hợp 1: 𝒇 𝒏 = 𝜶𝒏 𝑷𝒎 (𝒏) (𝑃𝑚 (𝑛) là đa thức bậc m của n) 𝑏 Định lý: Nếu 𝛼 ≠ − thì nghiệm riêng có thể tìm dưới 𝑎 dạng 𝑦 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛) trong đó 𝑄𝑚 (𝑛) là đa thức bậc m, hệ số chưa biết, có thể tìm bằng phương pháp hệ số bất định. 𝑏 Nếu 𝛼 = − thì nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng 𝑎 𝑦 𝑛 = 𝑛𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛)
Ví dụ: Giải các PTSP a) 𝑦 𝑛 + 1 − 5𝑦 𝑛 = 3𝑛 b) 𝑦 𝑛 + 1 − 2𝑦 𝑛 = 6.2𝑛
Trường hợp 2: 𝒇 𝒏 = 𝜶𝒏 [𝑷𝒎 𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝓 + 𝑸𝒍 𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝓] (𝑷𝒎 𝒏 , 𝑸𝒍 𝒏 là các đa thức tương ứng bậc m, bậc l) Định lý: Nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng 𝑦 𝑛 = 𝛼 𝑛 [𝑅h 𝑛 cos 𝑛𝜙 + 𝑄ℎ 𝑛 sin 𝑛𝜙] Trong đó h= max {m, l} Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau: 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑦 𝑛 + 1 − 2𝑦 𝑛 = −2 cos − sin 2 2
b. Giải phương trình không thuần nhất
Thay n lần lượt bởi 0, 1, 2, …, n-1
CHÚ Ý  Khi sử dụng phương pháp biến thiên hằng số thường dẫn đến phương trình tuyến tính cấp 1 để tìm 𝐶(𝑛) ở dạng 𝐶 𝑛 + 1 − 𝐶 𝑛 = 𝑔(𝑛) Trường hợp đơn giản thì ta thường thay lần lượt các giá trị cho 𝑛 rồi cộng theo vế. Khi đó nếu tổng ở vế phải phức tạp thì ta có thể để kết quả ở công thức tính tổng. Trong trường hợp 𝑔(𝑛) có thể viết ở dạng 𝑔 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑃𝑚 (𝑛) hoặc 𝑔 𝑛 = 𝛼 𝑛 (𝑃𝑚 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 ± 𝑄𝑘 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝛽) có thể tìm 𝐶 𝑛 bằng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng.
 Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau 𝑛 𝑛+1 a.𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛 𝑥 𝑛 = 3 2 (𝑛2 −2n + 3) 𝑛 𝑛+1 b. 𝑥 𝑛 + 1 − 3𝑛 𝑥 𝑛 = 3 2 2𝑛 (n + 1)
III. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG