Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Vecto n chiều; sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; hạng và cơ sở của hệ vecto, cơ sở của không gian R. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - TS. Trịnh Thị Hường

KHÔNG GIAN VÉCTƠ Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
1. Các khái niệm Định nghĩa: Một bộ n số thực 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 𝑛 được sắp xếp theo thứ tự 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) Được gọi là một véctơ n chiều. 𝑥𝑖 được gọi là thành phần thứ i của vectơ X.
● Véctơ không n chiều 0 =(0, 0, …, 0) ● Véctơ đối của véctơ X là −𝑋 = (−𝑥1 , −𝑥2 , … , − 𝑥𝑛 ). ●Hai véc tơ n chiều 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) và 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) bằng nhau nếu: 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 , ∀𝑖 = 1, 𝑛
Cho hai véctơ: 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) và 𝑌 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) • Phép cộng: 𝑋 + 𝑌 = (𝑥1 + 𝑦1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ) • Phép trừ: 𝑋 − 𝑌 = (𝑥1 − 𝑦1 , … , 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ) • Nhân véctơ với một số thực: 𝛼𝑋 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑥2 , … , 𝛼𝑥𝑛 ).
Định nghĩa: Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trong đó xác định phép cộng hai véctơ và phép nhân véctơ với một số, thỏa mãn các tính chất cơ bản được gọi là không gian véctơ – n chiều. 𝑛 Ký hiệu: ℝ
1. Khái niệm 1.1. Tổ hợp tuyến tính của 1 hệ m véctơ n chiều. Cho m véctơ n chiều: 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 . Một tổng có dạng: 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 𝜆𝑖 ∈ ℝ Được gọi là một tổ hợp tuyến tính của m véctơ đã cho.
1.2. Định nghĩa: Hệ m véctơ n chiều {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực không đồng thời bằng 0 𝑙à 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 sao cho 𝜆1 𝑋1 + 𝜆2 𝑋2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑋𝑚 = 0. Nếu đẳng thức trên chỉ xảy ra khi 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑚 = 0 thì hệ véctơ trên là độc lập tuyến tính.
2. Một số dấu hiệu nhận biết sự ĐLTT, PTTT 2.1. Hệ gồm một véctơ ĐLTT ⇔ véctơ đó khác 0. 2.2. Hệ gồm 2 véctơ ĐLTT ⇔ chúng không tỷ lệ Hệ gồm 2 véctơ PTTT ⇔ chúng tỷ lệ 2.3. Một hệ chứa véctơ 0 là PTTT. 2.4.Một hệ có số véctơ nhiều hơn số chiều là PTTT.
2.5. Một hệ véctơ là PTTT ⇔ có một véctơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. Trong hệ m véctơ, ta lấy ra r véctơ (𝑟 ≤ 𝑚 ) thì r véctơ này gọi là một hệ con của hệ m véctơ trên. 2.6. Một hệ chứa một hệ PTTT là PTTT. 2.7. Một hệ véctơ con của một hệ ĐLTT là ĐLTT.
Nhận xét: Hệ n véctơ n chiều ĐLTT⇔ định thức của ma trận tạo thành từ n véc tơ đó khác 0 (tức là sắp xếp mỗi véctơ thành 1 cột của định thức).
Ví dụ 2: Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính theo tham số a 𝑋1 = (1,2, −1, −2𝑎) 𝑋2 = (2,4, 𝑎, 1) 𝑋3 = (1,2,1,1, ) 𝑋4 = (−2, −3, 𝑎, 1)
BÀI 3: HẠNG VÀ CƠ SỞ CỦA HỆ VÉC TƠ, CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN 𝒏 ℝ 1. Cơ sở và hạng của hệ véctơ Xét hệ m véc tơ n chiều: {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 }
Định nghĩa 1: Cho hệ m véctơ n chiều. • Nếu hệ m véctơ ĐLTT thì ta nói hệ m véctơ là ĐLTT cực đại. • Một hệ con gồm k véctơ (𝑘 < 𝑚) được gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu hệ con đó là ĐLTT và nếu thêm vào hệ đó một véctơ bất kỳ trong số các véctơ còn lại thì hệ con trở thành PTTT.
Ví dụ 2: Cho 3 véctơ 𝑋1 = (1,2,3,0,4) 𝑋2 = (−1, 3,4,1,2) 𝑋3 = (0,5,7,1,6) Tìm hệ véc tơ con độc lập tuyến tính cực đại
Định nghĩa 2: Mỗi hệ con ĐLTT cực đại của 1 hệ véctơ gọi là 1 cơ sở của hệ véctơ đó. Mỗi một hệ véctơ có thể có nhiều cơ sở, nhưng số véctơ của mỗi cơ sở đều là như nhau, số đó gọi là hạng của hệ véctơ đó. Kí hiệu: 𝑟{𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑚 }
Ví dụ 3: Hạng của hệ véctơ ở VD 2 bằng 2.
Định nghĩa 3: 𝑛 Trong không gian ℝ , mỗi hệ n véctơ độc lập tuyến tính gọi là một 𝑛 cơ sở của không gian ℝ . Ví dụ 3: Trong ℝ𝑛 , n véctơ đơn vị: 𝑒1 = 1, 0, … , 0 𝑒2 = 0, 1, … , 0 …. 𝑒𝑛 = 0, 0, … 0, 1 Lập thành cơ sở của ℝ𝑛 , gọi là cơ sở chính tắc.
2. Biểu diễn một véctơ theo cơ sở Định lý: Mỗi véctơ của hệ có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở của hệ.
Định nghĩa: Cho {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 } là một cơ sở 𝑛 của KGVT ℝ . Khi đó, mọi véctơ n chiều X thì X có biểu diễn duy nhất: 𝑋 = 𝑘1 𝑝1 + 𝑘2 𝑝2 + ⋯ + 𝑘𝑛 𝑝𝑛 Bộ n số 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 gọi là tọa độ của véctơ X trong không gian cơ sở {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 }.
Ví dụ 1: Biểu diễn tuyến tính véctơ X = (5, -5, -6) qua các véctơ 𝑋1 = (1,2,3) 𝑋2 = (−1, 3,4)