zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - ĐH Ngân hàng TP. HCM

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Báo xấu

6
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" cung cấp cho người đọc các nội dung: Các khái niệm, định lý Croneker - Capelli, phương pháp ma trận nghịch đảo, phương pháp định thức, phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Jordan. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - ĐH Ngân hàng TP. HCM

Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ngày 27 tháng 9 năm 2024 1
2
Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa 1.1. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn số có dạng   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2  . (1)   . .  am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm    a11 · · · a1n      a21 · · · a2n  x1 b1  .   .  Ma trận A =  . .  , X =  .  , B =  .  được gọi    . .. .  . . . . . xn bm am1 · · · amn là ma trận hệ số, ma trận biến số và ma trận hệ số tự do của (1). Khi đó: (1) ⇔ AX = B. (2) A = (A|B) được gọi là ma trận hệ số mở rộng của (1). 3
Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm   a1j Ma trận Aj =  .  , j ∈ {1, . . . , n} được gọi là ma trận cột thứ j của A.  .  . amj Khi đó: (1) ⇔ A1 x1 + · · · + An xn = B. (3) T α = (α1 , α2 , . . . , αn ) được gọi là nghiệm của (2) nếu Aα = B. Các cách viết nghiệm của (1): (α1 , α2 , . . . , αn ) hoặc x1 = α1 , x2 = α2 , . . . , xn = αn . Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. 4
Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm Định nghĩa 1.2. Có 3 phép biến đổi sơ cấp như sau: 1 P1: Hoán vị 2 dòng/cột. 2 P2: Nhân một dòng/cột với một số λ ̸= 0. 3 P3: Nhân một dòng/cột với một số λ rồi cộng vào một dòng/cột khác. Định lý 1.1. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận các hệ số A tương ứng biến hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương với nó. Ví dụ:   x + 2y + z + t = 2 Xét hệ phương trình: −x + y − 2z − t = −3 2x + 6y + 3z + 2t = 8      1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 d2 →d2 +d1 A =  −1 1 −2 −1 −3  − − − −  0 3 −−−→ −1 0 −1  d3 →d3 −2d1 2 6 3 2 8 0 2 1 0 4 5
Hệ phương trình tuyến tính Định lý Croneker - Capelli Định lý 1.2 (Croneker - Capelli). 1 Hệ (1) vô nghiệm ⇔ rank(A) < rank(A) 2 Hệ (1) có nghiệm ⇔ rank(A) = rank(A) Hệ (1) có nghiệm duy nhất ⇔ rank(A) = rank(A) = n Hệ (1) có vô số nghiệm ⇔ rank(A) = rank(A) < n 6
Hệ phương trình tuyến tính Định lý Croneker - Capelli Ví dụ: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình sau:   x + 2y + z = 2 −x + y − 2z = 1 2x + y + 3z = m  Ta có ma trận các hệ số của hệ phương trình:   1 2 1 2 A = (A|B) =  −1 1 −2 1  2 1 3 m     1 2 1 2 1 2 1 2 d →d2 +d1 − 2− − −  0 3 −1 −−−→ 3  −3− −−d2  0 d →d3 − − −→ − 3 −1 3  d3 →d3 −2d1 0 −3 1 m−4 0 0 0 m−1 Nếu m = 1 : rank(A) = 2 = rank(A) < 3 ⇒ Hpttt có vô số nghiệm. Nếu m ̸= 1 : rank(A) = 2 < rank(A) = 3 ⇒ Hpttt vô nghiệm. 7
Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Định nghĩa 2.1. Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính thỏa 2 điều kiện 1 Số phương trình bằng số ẩn. 2 Ma trận hệ số A có định thức khác không. Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất. Hpttt (1) ⇔ AX = B. Vì |A| = 0 nên A khả nghịch. ̸ Do đó, X = A−1 B 8
Hệ Cramer Phương pháp ma trận nghịch đảo Ví dụ:   2x + y − z = 1 Giải hệ phương trình: y + 3z = 3 2x + y + z = −1  2 1 −1 Ta có |A| = 0 1 3 = 4 ̸= 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer. 2 1 1   −2 −2 4 1 Ta tìm được A−1 = 6 4 −6 . 4 −2 0 2 Từ đó ta được        −2 −2 4 1 −12 −3 1 1 X = A−1 B = 6 4 −6   3  = 24  =  6  4 4 −2 0 2 −1 −4 −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (−3, 6, −1). 9
Hệ Cramer Phương pháp định thức Gọi D = |A| và Dj là định thức của ma trận có được bằng cách thay cột j của A bằng B. Dj Khi đó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất với xj = , j = 1, . . . , n. D Ví dụ:   2x + y − z = 1 Giải hệ phương trình y + 3z = 3 2x + y + z = −1  2 1 −1 Ta có D = |A| = 0 1 3 = 4 ̸= 0 nên hệ đã cho là hệ Cramer. 2 1 1 1 1 −1 2 1 −1 D1 = 3 1 3 = − 12 D2 = 0 3 3 = 24 −1 1 1 2 −1 1 2 1 1 D3 = 0 1 3 = − 4 2 1 −1 D1 D2 D3 Vậy: Hpttt có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( , , ) = (−3; 6; −1). D D D 10
Các phương pháp giải HPT tuyến tính Phương pháp Gauss tổng quát Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận các hệ số A về dạng bậc thang theo dòng. Trong quá trình biến đổi, lưu ý: Nếu có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì bỏ đi 1 dòng. Bỏ đi tất cả các dòng không (nếu có). Nếu có một dòng có dạng (0 · · · 0|a) với a ̸= 0 thì hpttt vô nghiệm. 11
Các phương pháp giải HPT tuyến tính Phương pháp Gauss tổng quát   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4 Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2  Ta có   1 6 2 −5 −2 −4 A =  2 12 6 −18 −5 −5  3 18 8 −23 −6 −2   1 6 2 −5 −2 −4 d →d2 −2d −2 − − −1  0 0 2 −8 −1 3  −−−→ d3 →d3 −3d1 0 0 2 −8 0 10   1 6 2 −5 −2 −4 d →d3 −d2 −3− − −  0 0 2 −8 −1 3  − − −→ 0 0 0 0 1 7 Ta có được hệ phương trình tương đương   x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4  x5 = 7 2x3 − 8x4 − x5 = 3 ⇔ x3 = 4x4 + 5 x5 = 7 x1 = −6x2 − 3x4   Vậy tập nghiệm của hệ là {(−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R}. 12
Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng pháp Gauss-Jordan Phương quát PHƯƠNG PHÁP GAUSS-JORDAN Sau khi đã đưa ma trận các hệ số về dạng bậc thang theo dòng theo phương pháp Gauss, ta tiếp tục biến đổi sao cho Phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng là phần tử khác không duy nhất trên cột tương ứng. Các phần tử khác không đầu tiên của mỗi dòng phải bằng 1. 13
Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng pháp Gauss-Jordan Phương quát Ví dụ:  x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4  Giải hệ phương trình 2x1 + 12x2 + 6x3 − 18x4 − 5x5 = −5 3x1 + 18x2 + 8x3 − 23x4 − 6x5 = −2  Sau khi dùng phương pháp Gauss biến đổi ta được 1 6 2 −5 −2 −4 1 6 2 −5 0 10 d →d +2d A−− − − −→ 0 0 2 −8 −1 3 −1− − − → − − 1− −3 0 0 2 −8 0 10 d2 →d2 +d3 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 1 7 1 6 0 3 0 0 d2 → 1 d2 1 6 0 3 0 0 d →d −d −1− − −2 − −1− → 0 0 2 −8 0 10 − − 2− −−→ 0 0 1 −4 0 5 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 1 7  có được hệ phương trình tương đương Ta   x1 + 6x2 + 3x4 = 0  x1 = −6x2 − 3x4 x3 − 4x4 = 5 ⇔ x3 = 4x4 + 5 x5 = 7 x5 = 7   Vậy nghiệm tổng quát của hệ là (−6a − 3b, a, 4b + 5, b, 7), a, b ∈ R. 14
Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng pháp Gauss-Jordan Phương quát Ví dụ:   mx + y + z = 1 Giải và biện luận hệ phương trình: x + my + z = 1 x + y + mz = 1  Cách 1: Gauss/Gauss-Jordan m 1 1 1 1 1 m 1 d1 ↔d3 A= 1 m 1 1 −− − − −→ 1 m 1 1 1 1 m 1 m 1 1 1 1 1 m 1 d2 →d2 −d1 −− − −→ −−−− 0 m−1 1−m 0 d3 →d3 −d1 0 1−m 1 − m2 1−m 1 1 m 1 d3 →d3 +d2 −− − −→ −−−− 0 m−1 1−m 0 0 0 2 − m − m2 1−m   1 1 −2 1 Nếu m = −2 : A −→  0 −3 3 0  ⇒ Hệ vô nghiệm. 0 0 0 3 Nếu m = 1 : A −→ 1 1 1 1 ⇒ Hệ tương đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z Nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 15
Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng pháp Gauss-Jordan Phương quát Nếu m ̸= 1 ∧ m ̸= −2 :   1 1 m 1 A−− −  0 m−1 −−→ 1−m 0  0 0 2 − m − m2 1−m . . .  1  1 0 0  m+2   1  −−−  −−→  0 1 0  m+2   1  0 0 1 m+2 1 1 1 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( , , ). m+2 m+2 m+2 Vậy: m = −2: Hệ vô nghiệm. m = 1: Hệ có vô số nghiệm dạng tổng quát (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 1 1 1 m ̸= 1 ∧ m ̸= −2: Hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = ( m+2 , m+2 , m+2 ). 16
Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng pháp Gauss-Jordan Phương quát Cách 2: Cramer+Gauss/Gauss-Jordan m 1 1 Ta có D = |A| = 1 m 1 = m3 − 3m + 2 = (m − 1)2 (m + 2) 1 1 m |A| = 0 ⇔ m = −2 ∨ m = 1     −2 1 1 1 1 1 −2 1 Nếu m = −2 : A =  1 −2 1 1  −→  0 −3 3 0  1 1 −2 1 0 0 0 3 ⇒ Hệ vô nghiệm.   1 1 1 1 Nếu m = 1 : A =  1 1 1 1  −→ 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ Hệ tương đương x + y + z = 1 ⇔ x = 1 − y − z suy ra hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là (1 − a − b, a, b), a, b ∈ R. 17
Các phương pháp giải HPT tuyến tính tổng pháp Gauss-Jordan Phương quát Nếu m ̸= 1 ∧ m ̸= −2 : 1 1 1 D1 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 1 1 m Tương tự ta tính được m 1 1 D2 = 1 1 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 , 1 1 m m 1 1 D3 = 1 m 1 = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 1 1 1 1 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất x = y = z = m+2 . 18
Hpttt thuần nhất Định nghĩa 4.1. Hpttt có ma trận hệ số tự do bằng không được gọi là hpttt thuần nhất.   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0  . .    . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0  19
Hpttt thuần nhất Hpttt thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường (x1 , . . . , xn ) = (0, . . . , 0). Do ta luôn có rank(A) = rank(A) nên theo Croneker-Capelli Nếu rank(A) = n thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Nếu rank(A) < n thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm. Trong trường hợp hpttt thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn Nếu |A| = 0 thì hpttt thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. ̸ Nếu |A| = 0 thì hpttt thuần nhất có vô số nghiệm. Lưu ý Khi giải hpttt thuần nhất bằng phương pháp Gauss hoặc Gauss-Jordan chỉ cần biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số ẩn A (do B = 0). 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.