Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính; Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm; Phương pháp khử dần các ẩn; Phương pháp Cramer;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - TS. Trịnh Thị Hường

Bộ Môn: TOÁN Môn học: Toán cao cấp 1 CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
CHƯƠNG 3:HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Các nội dung chính:  1. Các khái niệm cơ bản  1.1. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính  1.2. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm  2. Cách giải hệ phương trình tuyến tính  2.1. Phương pháp khử dần các ẩn  2.2. Phương pháp Cramer  3. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  3.1. Dạng tổng quát  3.2. Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường  4. Một số dạng bài tập
1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. CÁC DẠNG BIỂU DIỄN a. Dạng tổng quát Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 (1) … 𝑎𝑚 1 𝑥1 + 𝑎𝑚 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 • 𝑎𝑖𝑗 ( 𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛) : hệ số ẩn 𝑥𝑗 của phương trình thứ 𝑖 . • 𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 𝑚): hệ số tự do
Nhận xét: Từ hệ phương trình 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 … 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 Rút ra ma trận tương ứng:
Kí hiệu: 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝐴= ⋮ : ma trận hệ số của hệ (1) 𝑎𝑚1 𝑎𝑚 2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝑏2 𝐴= ⋮ : ma trận hệ số mở rộng của hệ (1) 𝑎𝑚 1 𝑎𝑚 2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
b. Dạng ma trận Kí hiệu các ma trận 𝑥 𝑏1 𝑥2 𝑏2 𝑋= ⋮ ; 𝐵= ⋮ 𝑥𝑛 𝑏𝑚 Khi đó, hệ phương trình (1) tương đương với phương trình ma trận: 𝐴𝑋 = 𝐵
c. Dạng véc tơ Kí hiệu 𝐴𝑗 là véctơ cột thứ 𝑗 của ma trận A. Hệ (1) viết dưới dạng véc tơ 𝐴1 𝑥1 + 𝐴2 𝑥2 + ⋯ + 𝐴𝑛 𝑥𝑛 = 𝐵
1.2. NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM Một véctơ n chiều 𝑋 0 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) được gọi là nghiệm của hệ nếu ta thay các ẩn 𝑥𝑗 bởi các số 𝛼𝑗 (𝑗 = 1, 𝑛) vào tất cả các phương trình của hệ ta được các đẳng thức đúng. Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại, hoặc cả hai hệ phương trình đều vô nghiệm
Định lý (Cronecker - Capelly) Điều kiện cần và đủ để mọi hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là r A = r(A). Nhận xét: r A = r A = n = số ẩn: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất. r A = r A < n : Hệ phương trình có vô số nghiệm. r A ≠ r(A): Hệ phương trình vô nghiệm.
2. CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẦN ẨN a. Ba phép biến đổi tương đương của hệ phương trình Đổi chỗ hai phương trình Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số khác không. Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số bất kỳ, rồi cộng vào hai vế tương ứng của một phương trình khác. Nhận xét: Ba phép biến đổi tương đương trên hệ phương trình tương ứng là ba phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận hệ số mở rộng 𝐴 .
b. Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 −1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑥𝑛 −1 + 𝑎𝑛 −1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 −1 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 ( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛) 𝑏𝑛 Giải: Từ phương trình thứ n, tính được 𝑥𝑛 = . 𝑎 𝑛𝑛 Thế vào phương trình thứ 𝑛 − 1, tính được 𝑥𝑛−1 . Tiếp tục quá trình đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 𝑥 = 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 3 𝑦 − 3𝑧 = −7 2𝑧 = 6
c. Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑟𝑟 𝑥𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑟 ( 𝑎𝑖𝑖 ≠ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑟) Nhận xét: 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 𝑟 < 𝑛 nên hệ có vô số nghiệm. Gọi 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑟 là các ẩn cơ sở ( 𝑟 ẩn cơ sở phải ứng với 𝑟 cột tạo thành định thức cấp 𝑟 khác không), các ẩn còn lại là các ẩn ngoài cơ sở hay các ẩn tự do.
Cách giải hệ hình thang:  Chuyển các ẩn tự do sang vế phải ta có hệ phương trình dạng tam giác đối với các ẩn cơ sở.  Cho các ẩn tự do nhận giá trị tùy ý.  Tìm các ẩn cơ sở qua các ẩn tự do. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 4 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −3
d. Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát bằng phương pháp khử dần các ẩn Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình về dạng tam giác hoặc hình thang. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình (Bài 3.1 ý 2) 𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 − 4𝑥4 = 4 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = −3 𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥4 = 1 −7𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑥4 = −3
2.2. PHƯƠNG PHÁP CRAMER Định nghĩa: Hệ cramer là hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn số với định thức của ma trận hệ số khác 0 (det (A)≠ 0). Nhận xét: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất. Định lý: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất là 𝐷𝑗 𝑥𝑗 = , ∀𝑗 = 1, 𝑛 𝐷 Trong đó, 𝐷 = det⁡ (𝐴), 𝐴 là ma trận hệ số của hệ phương trình, 𝐷𝑗 là định thức cấp n, lấy từ định thức D bằng cách thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do.
Giải hệ Crame bằng cách tìm ma trận nghịch đảo: Giả sử hệ phương trình sau là hệ Crame: 𝐴𝑋 = 𝐵 hoặc 𝑋𝐴 = 𝐵 Trong đó 𝐴 ≠ 0, tồn tại 𝐴−1 . Khi đó 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1 𝐵 𝑋𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐵𝐴−1 Nhận xét 2: Sử dụng tính chất duy nhất nghiệm của hệ Crame để biện luận hệ Crame.
Ví dụ 4: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5 2𝑥 + 5𝑦 + 𝑎𝑧 = 1
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 3.1. DẠNG TỔNG QUÁT Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình, n ẩn 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 có dạng: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0 … 𝑎𝑚 1 𝑥1 + 𝑎𝑚 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0 Nhận xét 𝑟 𝐴 = 𝑟(𝐴) nên hệ luôn có ít nhất một nghiệm. Nghiệm 𝑋 0 = (0, 0, … , 0) được gọi là nghiệm tầm thường.
3.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI NGHIỆM KHÔNG TẦM THƯỜNG Định lý 1: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số của nó nhỏ hơn số ẩn. Hệ quả 1: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn thì nó có nghiệm không tầm thường. Hệ quả 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng không.