Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6.1 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6.1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Đạo hàm cấp một; vi phân hàm số; Đạo hàm cấp cao;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 6.1 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 6 PHÉP TÍNH VI PHÂN Giảng viên: T.S TRỊNH THỊ HƯỜNG Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
1. ĐẠO HÀM CẤP MỘT Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định trong khoảng (𝑎, 𝑏). Đạo hàm của hàm 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) (nếu có) là giới hạn hữu hạn của tỉ Δ𝑦 số Δ𝑥 khi Δ𝑥 → 0 và được kí hiệu là 𝑓 ′ (𝑥0 ) hay 𝑦 ′ 𝑥0 . Δ𝑦 f x0 + Δx − f(x0 ) 𝑓 ′ 𝑥0 = lim = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 Δ𝑥→0 Δ𝑥
Nhận xét: Hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 thì liên tục tại 𝑥0 . Điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 2 (Các đạo hàm một phía) ′ + f x0 + Δx − f(x0 ) 𝑓 𝑥 0 = lim + Δ𝑥→0 Δ𝑥 f x0 + Δx − f(x0 ) 𝑓 ′ 𝑥 −0 = lim − Δ𝑥→0 Δ𝑥 Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại điểm 𝑥0 là tồn tại đạo hàm phải và đạo hàm trái tại 𝑥0 và chúng bằng nhau. Tức là 𝑓 ′ 𝑥 +0 = 𝑓 ′ 𝑥 −0 = 𝑓 ′ 𝑥0 .
2. VI PHÂN HÀM SỐ 2.1. Định nghĩa Định nghĩa 3: Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định trong một lân cận nào đó của 𝑥0 . Nếu tồn tại hằng số A sao cho tại 𝑥0 ta có Δ𝑓 𝑥0 = 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥0 = 𝐴. Δ𝑥 + 𝛼 Δ𝑥 trong đó 𝛼 Δ𝑥 là VCB bậc cao hơn Δ𝑥 khi Δ𝑥 → 0, thì ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥0 và biểu thức 𝐴. Δ𝑥 gọi là vi phân của hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥0 . Kí hiệu 𝑑𝑦 𝑥0 = 𝑑𝑓 𝑥0 = 𝐴. Δ𝑥.
Định lý: 1. Nếu hàm 𝑓(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥0 thì nó khả vi tại 𝑥0 và 𝑑𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ 𝑥0 Δ𝑥. 2. Nếu hàm 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥0 thì nó có đạo hàm tại 𝑥0 và 𝑓 ′ 𝑥0 = 𝐴. Nhận xét: 1. Ký hiệu Δ𝑥 = 𝑑𝑥. 2. Ký hiệu thường dùng khác của đạo ′ 𝑑𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑑𝑥
2.2. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng Định lý: Nếu Δ𝑥 đủ bé thì ta có 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 + 𝑓 ′ 𝑥0 . Δ𝑥
3. Đạo hàm cấp cao 𝑓 ′′ 𝑥 = (𝑓 ′ (𝑥))′ 𝑓 (𝑛) 𝑥 = (𝑓 (𝑛−1) (𝑥))′