Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 1 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 2" Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến, trình bày các nội dung chính như sau: Hàm số sơ cấp; Giới hạn của hàm số; Vô cùng bé - vô cùng lớn; Hàm số liên tục; Đạo hàm; Vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 1 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Bài giảng TOÁN CAO CẤP A2 Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Kênh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 27 tháng 5 năm 2021 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 1 / 66
Nội dung 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3 VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4 LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 2 / 66
GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 Mục tiêu của môn học: Học phần Toán cao cấp A2 trang bị cho sinh viên một hệ thống kiến thức về giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân hàm số của một và nhiều biến số thực (2, 3 biến); nguyên hàm, tích phân xác định và tích phân suy rộng loại 1, loại 2 của hàm số một biến số; chuỗi số, chuỗi luỹ thừa. Ứng dụng vào các lĩnh vực khoa học – công nghệ, đồng thời môn học là công cụ cho các môn Toán chuyên ngành trong kỹ thuật – công nghệ. Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 3 / 66
GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 Nội dung tóm tắt môn học: Môn học này sẽ triển khai với nội dung liên quan đến ứng dụng toán: Học phần Toán cao cấp A2 giới thiệu một số dạng bài toán như phép tính vi phân hàm một biến và hàm nhiều biến, phép tính tích phân hàm một biến, lý thuyết về chuỗi số. Tập trung vào phương pháp giải một số bài toán liên quan. Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 4 / 66
GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học: Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần. Sinh viên tải về, in ra và mang theo khi học online. Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học Làm các bài kiểm tra cuối mỗi chương: 20% Kiểm tra giữa kỳ: 20% Thi cuối kỳ: 60% Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 5 / 66
GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 Cán bộ giảng dạy: Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ĐT: 0933373432 - 0378910071 Email: ncnhut@ntt.edu.vn Zalo: 0933373432 - 0378910071 Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/ Blog: https://nguyennhutblog.wordpress.com/ Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 6 / 66
GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A2 Giáo trình chính, bắt buộc: 1 Lê Thị Nhẫn, Bùi Hùng Vương, 2016, Bài giảng Toán cao cấp 2, Đại Học Nguyễn Tất Thành, Lưu hành nội bộ. Tài liệu/ giáo trình tham khảo khác: 2 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2007, Toán học cao cấp (tập 2), NXBGD. 3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2007, Bài tập Toán cao cấp (tập 2), NXBGD. 4 Lê Sĩ Đồng, 2006, Toán cao cấp –Giải tích hàm một biến, NXBGD. 5 Gilbert Strang, 2017, Calculus - 3e, Wellesley- Cambridge. Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 7 / 66
Nội dung 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3 VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4 LÝ THUYẾT CHUỖI Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 8 / 66
CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN NỘI DUNG 1-1 Hàm số sơ cấp 1-2 Giới hạn của hàm số 1-3 Vô cùng bé - vô cùng lớn 1-4 Hàm số liên tục 1-5 Đạo hàm 1-6 Vi phân Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 9 / 66
1.1 Hàm số sơ cấp Định nghĩa Cho X , Y khác rỗng. Ánh xạ f :X → Y với x → y = f (x ) là một hàm số. Khi đó: Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu Df , là tập X . Miền giá trị (MGT) của f là: G = {y = f (x )|x ∈ X }. Hàm số f (x ) được gọi là hàm chẵn nếu: f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df . Hàm số f (x ) được gọi là hàm lẻ nếu: f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df . Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 10 / 66
1.1 Hàm số sơ cấp Nhận xét: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 11 / 66
1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ NỘI DUNG 1 Định nghĩa và các giới hạn cơ bản 2 Một số tính chất 3 Các dạng vô định Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 12 / 66
1.2.1 Định nghĩa và các giới hạn cơ bản Định nghĩa Cho hàm số y = f (x ) xác định trong một khoảng chứa x0 (có thể trừ điểm x0 ). Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn là L khi dần về x0 nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x thỏa 0 < |x − x0 | < δ thì |f (x ) − L| < . Kí hiệu f (x ) → L khi x → x0 hoặc lim x → x0 f (x ) = L Các giới hạn cơ bản (xem giáo trình [1] trang 2-5). Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 13 / 66
1.2.2 Một số tính chất Cho lim x → x0 f (x ) = a và xlim 0 g (x ) = b. Khi đó: →x 1 lim [ x → x0 Cf (x )] = C .a (C: hằng số) 2 f x lim [ ( ) ± ( )] = x → x0 g x a ± b; f xg x lim [ ( ) ( )] = x → x0 ab f (x ) = a , b = 0 x → x0 g ( x ) b 3 lim 4 Nếu f (x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x0 − ; x0 + ) thì a ≤ b . 5 f (x ) ≤ h(x ) ≤ g (x ), ∀x ∈ (x0 − ; x0 + ) và lim f (x ) = lim g (x ) = L thì lim h (x ) = L. x → x0 x → x0 x → x0 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 14 / 66
Các kết quả cần nhớ C = −∞; C = +∞; lim C = 0, C: hằng số x →0− x x →0+ x x →∞ x 1 lim lim Xét L = lim an x n + an−1x n−1 + · · · + a0 , ta có: x →+∞ bm x m + bm −1 x m −1 + · · · + b0 2 a L = b n nếu n=m; m L = 0 nếu nm; Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 15 / 66
Định lý Nếu lim x → x0 u (x ) = a > 0, xlim 0 v (x ) = b, thì: →x ux lim [ ( )]v (x ) = b x → x0 a Ví dụ 1. 2x 2x x −1 Tìm giới hạn L = xlim∞ → x +3 2x 2x Ta có lim = 2; lim =2 x →∞ x +3 x →∞ x − 1 Suy ra L = 22 = 4 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 16 / 66
1.2.3 Các dạng vô định (xem giáo trình [1] trang 7-11) ∞ Dạng 0 ; Dạng 0 ∞; Dạng ∞ − ∞; Dạng 0.∞ Dạng 00 và ∞0 Đưa về dạng 0.∞ bằng cách dùng công thức y = e lny (y > 0). Khi đó, nếu lim(lny ) = a thì limy = e a . Ví dụ 2. lim x ln x lim xx = lim e ln x x = lim e x ln x =e x →0 = e0 = 1 x →0 + x →0 + x →0 + Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 17 / 66
Dạng 1∞ 1 Đối với hàm lượng giác và hàm mũ, lôgarit thì ta sử dụng các công thức cơ bản sau 1 + x = lim (1 + x ) = e ; lim e x 1 = lim 1 x 1 − ln(1+x ) x lim x x =1 x →+∞ x →0 x →0 x →0 2 Đưa về dạng 0.∞ bằng cách dùng công thức y = e lny (y > 0). Khi đó, nếu lim(lny ) = a thì limy = e a . Ví dụ 3. 2x x = lim (1 + sin 2x ) =e = e2 sin 1 1 . sin 2x lim x lim (1 + sin 2 ) x sin2x x x →0 x →0 x →0 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 18 / 66
Ứng dụng của phép tính vi phân 0 Quy tắc L’Hospital 1. Khử dạng 0 Giả sử f (x ), g (x ) khả vi và g (x ) = 0 trong một lân cận của x0 , có thể loại trừ x0 (x0 hữu hạn hoặc ∞). Khi đó nếu lim f (x ) = lim g (x ) = 0 và x → x0 x → x0 f (x ) = a thì lim f (x ) = a; (a hữu hạn hoặc ∞) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) lim ∞ Quy tắc L’Hospital 2. Khử dạng ∞ Giả sử f (x ), g (x ) khả vi và g (x ) = 0 trong một lân cận của x0 , có thể loại trừ x0 (x0 hữu hạn hoặc ∞). Khi đó nếu lim f (x ) = lim g (x ) = ∞ và x → x0 x → x0 f (x ) = a thì lim f (x ) = a, (a hữu hạn hoặc ∞) x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) lim Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 19 / 66
0 Các phương pháp khử dạng 0 Phương pháp 1 Đối với đa thức: Phân tích đa thức thành nhân tử Biểu thức chứa căn: Nhân lượng liên hợp Hàm lượng giác: Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản. Ví dụ 4. lim x 2 −4x +2 2 3 x →2 x − x +4 Giải (x −1)(x −2) lim x 2 −4x +2 = lim = lim x −1 = ∞ 2 3 x →2 x − x +4 x →2 (x −2)2 x →2 x −2 Thac si Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A2 Ngày 27 tháng 5 năm 2021 20 / 66