Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 7 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 7 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tập xác định của hàm 2 biến; Đạo hàm riêng của hàm 2 biến; Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức; Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 7 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 7 HÀM HAI BIẾN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
I. Hàm 2 biến 1. Định nghĩa (SGT trang 168) Cho tập hợp 𝑋 ⊂ ℝ2 . Một hàm 2 biến xác định trên X là một quy tắc biến mỗi cặp (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑋 thành một và chỉ một giá trị 𝑧 ∈ ℝ. 𝑓: 𝑋 → ℝ 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Ví dụ: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥 2 + 5𝑦 3 1 𝑛ế𝑢 𝑥 = 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 𝑦
2. Tập xác định của hàm 2 biến Định nghĩa: là tập hợp các điểm (x,y) sao cho hàm số có nghĩa. Ví dụ: Tìm tập xác định và biểu diễn hình học TXĐ của hàm số sau 𝑥+1 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥𝑦 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 3
II. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến 1. ĐHR cấp 1: Cho hàm f(x,y) xác định trong lân cận của điểm (x0, y0). ĐHR cấp 1 theo biến x tại điểm (x0,y0) (nếu có) được xác định như sau: 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 − 𝑓(𝑥0 , 𝑦𝑜 ) 𝑓𝑥′ 𝑥 0 , 𝑦0 = lim Δ𝑥→0 Δ𝑥 Tương tự, ĐHR cấp 1 theo biến y tại điểm (x0,y0) nếu có: 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + Δ𝑦 − 𝑓(𝑥0 , 𝑦𝑜 ) 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 = lim Δ𝑦→0 Δ𝑦
Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1 theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm như đối với hàm 1 biến. Tương tự, tính ĐHR theo y thì coi x là hằng số. Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑦 4 + 2𝑥 − 3𝑦 + 1
2. ĐHR cấp 2: ′′ ′′ 𝑓𝑥𝑥 = (𝑓𝑥′ )′𝑥 𝑓𝑦𝑦 = (𝑓𝑦′ )′𝑦 ′′ ′′ 𝑓𝑥𝑦 = (𝑓𝑥′ )′𝑦 𝑓𝑦𝑥 = (𝑓𝑦′ )′𝑥 Chú ý: Trong chương trình học ′′ ′′ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm sau 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 3 + 8
III. Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thức Bài toán: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tại một điểm (x,y) nhưng không tính đúng được. Ta lại biết giá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y). Khi đó ta có công thức tính gần đúng sau: Định lý: Nếu Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 , Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 đủ bé thì 𝑓 𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 + Δ𝑦 ≈ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 . Δ𝑥 + 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 . Δ𝑦
IV. Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến 1. Định nghĩa cực trị tự do 2.1. Định nghĩa Ta nói hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦). (tương ứng 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)). Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.
2.2. Điều kiện cần của cực trị Định lý:Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị tại điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) và tại đó có các ĐHR thì 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 = 0 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 = 0 Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là một điểm dừng (hay điểm tới hạn).
2.3. Điều kiện đủ của cực trị Định lý:Giả sử điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) là một điểm dừng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) và tại đó có các ĐHR cấp hai: ′′ ′′ ′′ 𝐴 = 𝑓𝑥𝑥 𝑥0 , 𝑦0 ; 𝐵 = 𝑓𝑥𝑦 𝑥0 , 𝑦0 ; 𝐶 = 𝑓𝑦𝑦 𝑥0 , 𝑦0  Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 > 0 thì M không là cực trị.  Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 < 0 thì M là cực trị  Nếu 𝐴 > 0 thì M là cực tiểu.  Nếu 𝐴 < 0 thì M là cực đại.  Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 0 thì chưa kết luận được về tính cực trị của M
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số sau: 𝟐𝟎 𝟓𝟎 𝒛 = 𝒙𝒚 + + 𝒙 𝒚
2. Cực trị có điều kiện 2.1. Bài toán: Tìm cực trị của hàm số 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 với ràng buộc g 𝑥, 𝑦 = 0. (1) Trường hợp 1: Điều kiện được cho bằng hàm tường, tức là từ g 𝑥, 𝑦 = 0 suy ra 𝑦 = ℎ 𝑥 . Bài toán tìm cực trị tự do: 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, ℎ 𝑥 . Trường hợp 2: Điều kiện được cho bằng hàm ẩn => Phương pháp Lagrange
2.2.Trường hợp 2: Điều kiện được cho bằng hàm ẩn Phương pháp Lagrange Kí hiệu: Hàm Lagrange 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝜆𝑔 𝑥, 𝑦 (𝜆 gọi là nhân tử Lagrange) Định lí 1 (ĐK cần): Nếu 𝑀0 𝑥𝑜 , 𝑦0 là điểm cực trị của bài toán (1) thì tồn tại số thực 𝜆0 sao cho x0 , y0 , 𝜆0 thỏa mãn hệ thức Chú ý: Mỗi nghiệm của hệ trên là 1 điểm dừng
Ví dụ sách giáo trình TMU