Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân

Chia sẻ: HidetoshiDekisugi HidetoshiDekisugi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: các khái niệm cơ bản; cấp của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp 1; phương trình đẳng cấp cấp 1; phương trình tuyến tính cấp 1; phương trình Becnuly; phương trình vi phân cấp 2;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Chương 9: Phương trình vi phân

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƢƠNG 9 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
ĐẶT VẤN ĐỀ
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân là phƣơng trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm chƣa biết và các đạo hàm hoặc vi phân của nó. Ví dụ
2. CẤP CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN  Cấp của phƣơng trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số có mặt trong phƣơng trình ấy.  Phƣơng trình vi phân cấp n là phƣơng trình có dạng Trong đó, không đƣợc khuyết
NGHIỆM CỦA PTVP Định nghĩa: Nghiệm của phƣơng trình vi phân cấp n là mọi hàm số khả vi đến cấp n mà khi thay vào phƣơng trình đó ta đƣợc một đồng nhất thức. Ví dụ: Nghiệm của phƣơng trình vi phân là với C là hằng số tùy ý.
II. PTVP CẤP 1 1. Các khái niệm cơ bản a. Các dạng biểu diễn  Dạng tổng quát: .  Dạng giải đƣợc theo đạo hàm  Dạng đối xứng
b. Các dạng nghiệm của ptvp cấp 1  Nghiệm tổng quát: Nghiệm có dạng y , với C tùy ý.  Nghiệm riêng: , với C= là một hằng số xác định  Tích phân tổng quát: Nghiệm có dạng , C là hằng số tùy ý.  Tích phân riêng: Nghi với là hằng số xác định
c. Sự tồn tại duy nhất nghiệm  Bài toán: Cho phƣơng trình vi phân cấp một: với điều kiện ban đầu  Định lí:  Nếu hàm f(x, y) liên tục trong một lân cận của thì bài toán trên có nghiệm.  Nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trên lân cận đó thì nghiệm đó là duy nhất.
2. PTVP cấp 1 có biến phân ly a. Khái niệm: Phƣơng trình vi phân cấp một biến số phân li có dạng (1)
3. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1 a. Khái niệm: Phƣơng trình vi phân cấp một đẳng cấp là loại phƣơng trình vi phân có thể đƣa về đƣợc dạng sau:
b. Cách giải  Đặt biến phụ:  Đƣa về PTVP có biến phân ly theo hàm z, biến x.
4. Phƣơng trình tuyến tính cấp 1 a. Định nghĩa: Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục. b. Cách giải: Sử dụng phƣơng pháp biến thiên hằng số (PP Lagrange)
5. Phƣơng trình Becnuly a. Định nghĩa: Phƣơng trình Becnuly có dạng trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục; là một số thực cho trƣớc. b. Cách giải  Đổi biến  Đƣa về PTVP tuyến tính cấp 1
III. PTVP CẤP 2 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN  a. Các dạng biểu diễn Phƣơng trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát Dạng đã giải ra đƣợc đối với đạo hàm
b. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm
c. Nghiệm của PTVP cấp 2 Giải PTVP cấp hai, đƣợc kết quả dạng trong đó là các hằng số tùy ý thì đẳng thức đó gọi là nghiệm tổng quát của PTVP đó. Nếu thay các giá trị cụ thể vào nghiệm tổng quát thì nghiệm gọi là một nghiệm riêng của phƣơng trình.
2. MỘT SỐ TRƢỜNG HỢP GIẢM CẤP ĐƢỢC Xét phƣơng trình vi phân cấp 2 dạng a. Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc y, y’. Phƣơng trình có dạng: Cách giải: Lấy tích phân liên tiếp hai lần
b. Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc y. Phƣơng trình có dạng: Cách giải:- Đổi biến - Đƣa về ptvp cấp 1 với p, từ đó giải ra y
c.Trƣờng hợp vế phải không chứa x. Dạng phƣơng trình: Cách giải: - Đặt biến phụ: . - Đƣa về PTVP cấp 1 với biến y, hàm p(y) - Giải p(y), từ đó tìm ra nghiệm của phƣơng trình đã cho.