intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST
Báo xấu
79
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Khả vi và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp, đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn, công thức Taylor – Maclaurint, cực trị hàm nhiều biến (Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, GTLN - GTNN trong miền đóng). Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

  1. §3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 d 2f = d (df ) = d (fx¢dx + fy¢dy )= d (fx¢dx ) + d (fy¢dy ) = (d (fx¢)dx + fx¢d (dx )) + (d (fy¢)dy + fy¢d (dy )) 2 2 ¢ ¢ ¢¢ = fxx dx + 2fxy dxdy + fyy dy¢ ¢ Hay ta viết dưới dạng 2 2 2 2 ¶ f 2 ¶ f ¶ f 2 d f= 2 dx + 2 dxdy + 2 dy ¶x ¶ x¶ y ¶y Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 æ¶ ¶ ö æ¶ ¶ ö df = çç dx + dy ÷ ÷f 2 d f = çç dx + dy ÷ ÷ f çè¶ x ¶y ø ÷ çè¶ x ¶ y ø÷
  2. §3 : Khả vi và Vi phân Tổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) 3 æ¶ ¶ ö 3 d f = çç dx + dy ÷ ÷ f çè¶ x ¶ y ø÷ 3 2 2 3 ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ = fxxx dx + 3fxxy dx dy + 3fxyy dxdy + fyyy dy Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 2 æ¶ ¶ ¶ ö d f (x, y,z) = çç dx + dy + dz÷ 2 ÷ f çè¶ x ¶y ¶ z ø÷ = fxx¢¢dx2 + fyy¢¢dy 2 + fzz¢¢dz2 + 2fxy¢¢dxdy + 2fyz¢¢dydz + 2fzx¢¢dzdx
  3. §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, d2f tại (0,π/2) Giải : Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, thay vào công thức tính vi phân f x¢ = sin y + 2 y sin x , f y¢ = x co s y - 2 co s x fxx¢¢ = 2y cos x, fxy¢¢ = cos y + 2sin x, fyy¢¢ = - x sin y Vậy ta được: df (0, p ) = fx¢(0, p )dx + fy¢(0, p )dy = dx - 2dy 2 2 2 2 p ¢ ¢ p 2 ¢ ¢ p ¢ ¢ p d f (0, ) = fxx (0, )dx + 2fxy (0, )dxdy + fyy (0, )dx2 2 2 2 2 ( Vậy : df 0, p 2)= dx - 2dy ,và d 2f (0, p ) = p dx 2 2
  4. §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính df, d2f Giải Tương tự ví dụ trên, ta có df = fx¢dx + fy¢dy + fz¢dz df = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dz d 2f = fxx¢¢dx 2 + fyy¢¢dy 2 + fzz¢¢dz2 + 2fxy¢¢dxdy + 2fyz¢¢dydz + 2fzx¢¢dzdx d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 + 2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx
  5. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và dz ¶ z dx ¶ z dy = + dt ¶ x dt ¶ y dt dz Ví dụ : Cho hàm z = x2-3xy, x = 2t+1, y= t2-3. Tính dt Giải: dz = ¶ z dx + ¶ z dy =(2x – 3y)2 + (-3x)2t dt ¶ x dt ¶ y dt
  6. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Tổng quát hơn: Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự: ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y = + ¶u ¶x ¶u ¶y ¶u ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y = + ¶v ¶x ¶v ¶y ¶v ¶z z ¶z ¶x ¶y Ta có thể tổng quát bằng sơ đồ sau : ¶x x ¶x y ¶y Cần tính đạo hàm của z ¶v ¶y ¶u ¶v theo biến nào ta đi theo ¶u đường đến biến đó u v u v
  7. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2. Tính ¶ z , ¶ z ¶u ¶v Giải: Ta sử dụng công thức trên để tính ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y y y = . + . = e (- sin u ) + xe .2u ¶u ¶x ¶u ¶y ¶u ¶z ¶z ¶x ¶z ¶y y y = . + . = e (cos v ) + xe .2v ¶v ¶x ¶v ¶y ¶v Chú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, y theo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàm thông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả nhanh hơn
  8. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z Giải : Ta đặt thêm 2 biến trung gian : u = x+y, v = 2x – 3y để thấy rõ ràng hàm z = f(u,v) là hàm hợp Dùng công thức đh hàm hợp, ta được 2 đhr cấp 1: z’x= f’u.u’x+f’v.v’x= f’u+2f’v ; z’y = f’u.u’y+f’v.v’y = f’u-3f’v Sau đó, lấy đhr của các đh cấp 1, ta được các đhr cấp 2:
  9. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp z”xx = [f’u]’x + 2[f’v]’x = z”xx = [(f’u)’u.u’x+(f’u)’v.v’x]+2[(f’v)’u.u’x+(f’v)’v.v’x] Giữ nguyên Giữ nguyên Lấy đhr theo u thì nhân Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của u theo x với đhr của v theo x Lấy đhr cấp 2 theo thì tương ứng nhân với đhr của u, v theo x Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv
  10. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x2-y2). Tính zx¢, zy¢ Giải: Ta đặt t = x2-y2, thì f là hàm theo 1 biến t, z=y.f Vậy: ¶z ¶z ¢ ¢ ¢ = y .f .t x = y .f .2 x = f + y .f ¢.t y¢ = f + y .f ¢.(- 2y ) ¶x ¶y Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta tính vi phân của hàm z theo vi phân của 2 biến độc lập u, v bằng cách dùng công thức như hàm 2 biến thường` dz = zv¢dv + zu¢du
  11. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm hợp Cho hàm z = z(x,y), trong đó x = x(u,v), y = y(u,v). Ta đi tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v ¢¢ = ( zu¢)¢u = ( zx¢.xu¢ + zy¢.y u¢)u¢ zuu = ((zx¢)u¢.xu¢+ zx¢.xu¢u¢) + ((zy¢)u¢.yu¢+ zy¢.yu¢¢u ) = (zx¢¢x.xu¢+ zx¢¢y .yu¢)xu¢+ zx¢xuu ¢¢ + (zy¢¢x.xu¢+ zy¢¢y .yu¢)yu¢+ zy¢yuu ¢¢ Vậy: 2 2 zuu = (zxx xu + 2zxy xu yu + zyy y u )+ (zx¢xuu ¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢) ¢¢ + zy¢yuu Tương tự, ta có 2 đạo hàm cấp 2 còn lại
  12. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = x2y - xy2, x = uv, y =u2 - v2. Tính zuv ¢¢ Giải: 2 v- 1 2 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ zu = zx xu + zy y u = (2 xy - y )vu + ( x - 2 xy )2u Ta lấy đạo hàm theo v của biểu thức trên: ¢¢ = (2xy - y 2 )v¢vuv- 1 + (2xy - y 2 )(vuv- 1)v¢ + ( x 2 - 2xy )v¢2u zuv = (2(uv lnuy . + x(- 2v))- 2y(- 2v))vuv- 1 + (2xy - y2)(uv- 1 + vuv- 1lnu) +(2xuv lnu - 2(uv lnuy . + x(- 2v)))2u
  13. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2 của hàm z(u,v). Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp là 2 2 2 ¢¢ ¢¢ ¢¢ d z = zuu du + 2zuv dudv + zvv dv Ví dụ: Cho z = xcosy, x = uv, y = u+v. Tính dz, d2z theo vi phân của biến độc lập du, dv This image cannot currently be displayed. Giải: Ta sẽ tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, rồi thay vào công thức vi phân, ta được: dz = (v cos y - x siny)du + (u cos y - x siny)dv d 2z = (- 2v sin y - x cos y )du 2 + (- 2u sin y - x cos y )dv 2 + 2(- v sin y + cos y - u sin y - x cos y )dudv
  14. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Hàm ẩn 1 biến (Đã biết) : Cho hàm y=y(x) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y)=0 Ta tính đạo hàm y’ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình F(x,y)=0 theo x: ¶ F dx ¶ F dy dy . + . = 0 Ta tính từ đẳng thức này ¶ x dx ¶ y dx dx để được công thức dy Fx¢ = y ¢= - dx Fy¢
  15. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0 Giải: This image cannot currently be displayed. Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức 2 Fx¢ 1 1 + y y ¢= - =- = Fy¢ 1 y 2 - 1+ 1+ y 2 Để tính đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1 với ghi nhớ rằng y’ đã có trước đó để thay vào cuối cùng. 2 1 2yy ¢ 2( y + 1) y ¢¢= (1 + 2 )¢= - 4 = - y y y5
  16. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Hàm ẩn nhiều biến: Cho hàm z=z(x,y) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0. Ta phải tính 2 đạo hàm riêng Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta có công thức tính đạo hàm Fx¢ Fy¢ zx¢ = - , zy¢ = - Fz¢ Fz¢ Hoặc ta có thể tính đạo hàm riêng của hàm z theo x, y bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình hàm ẩn lần lượt theo x, y (Coi biến còn lại là hằng số
  17. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương trình x2+y2+z2-3x+6y-5z+2 = 0. Tính zx¢, zy¢ Giải: Cách 1: Lấy đạo hàm 2 vế phương trình đã cho theo x, coi y là hằng số 3 - 2x 2 x + 2zzx¢ - 3 - 5zx¢ = 0 Þ zx¢ = 2z - 5 Và lấy đạo hàm theo y, coi x là hằng số 6 + 2y 2y + 2zzy¢ + 6 - 5zy¢ = 0 Þ zy¢ = 5 - 2z
  18. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Cách 2: Sử dụng công thức bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình đã cho Fx¢= 2 x - 3, Fy¢= 2y + 6, Fz¢= 2z - 5 Ta cũng sẽ được kết quả như trên. Để có đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1, và nhớ rằng z là hàm, biến còn lại là hằng số Vi phân của hàm ẩn: hàm y(x) hoặc z(x,y) đều là các hàm theo 1 hoặc 2 biến độc lập nên ta tính vi phân các cấp của chúng như với hàm bình thường
  19. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ: Tính dz, d2z nếu zex + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1) Giải: Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để được z = -1 Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên ze x 3 ¢ zx = - x ¢ , zy = - x Þ zx¢(0,1) = 1 ,zy¢(0,1) = - 3 e +1 e +1 2 2 1 Þ dz(0,1) = (dx - 3dy ) 2
  20. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn æ ze x ö¢ æ z.ze x ö¢ ¢¢ = çç- x zxx ÷ = çç- ÷ çè e + 1ø÷ x èç ze x + z ø÷ ÷ ÷ Ta thay zex = 1-3y-z vào biểu thức trên rồi tính đạo hàm tiếp æ z(1- 3 y - z )ö¢ z ¢(1- 3 y - z ) + z(- zx¢) ¢¢ = çç- zxx ÷ ÷ =- x çè 1- 3 y ÷ øx (1- 3 y )2 z - (1- 3 y - z ) Thay z’x(0,1) = ½ vào, ta ¢¢ = zx¢ zxx (1- 3 y )2 được z”xx(0,1) = 0 Tương tự, ta tính được 2 đạo hàm riêng cấp 2 còn lại. Và được d 2 z(0,1) = 3 dxdy 2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2