Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 Giải tích, cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số thực nhiều biến; Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị; Cực trị tự do; Cực trị có điều kiện. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán đại cương: Chương 2 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 2: GIẢI TÍCH Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
NỘI DUNG CHÍNH 1. Hàm số thực nhiều biến 2. Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị a. Cực trị tự do b. Cực trị có điều kiện
1. Khái niệm hàm số Cho tập 𝑋 ⊂ ℝ2 . Một quy luật 𝑓, đặt tương ứng mỗi cặp 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 với một số thực 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ được gọi là một hàm của hai biến độc lập 𝑥 và 𝑦. Kí hiệu: 𝑓: 𝑋 → ℝ 𝑥, 𝑦 ⟼ 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) Ví dụ: a. 𝑧 = 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦 3 , b. 𝑧 = ln 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 + 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 .
2. Đạo hàm riêng và ứng dụng vào bài toán cực trị Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) xác định trong lân cận của điểm (𝑥0 , 𝑦0 ). Đạo hàm riêng cấp 1 theo 𝑥 tại điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) nếu có được kí hiệu và xác định như sau: 𝑓 𝑥0 +∆𝑥,𝑦0 −𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 = lim . ∆𝑥→0 ∆𝑥
- Tương tự có đạo hàm riêng cấp 1 theo 𝑦 tại (𝑥0 , 𝑦0 ) là 𝑓𝑦′ 𝑥0 , 𝑦0 . Nhận xét: Trong thực hành muốn tính ĐHR cấp 1 theo 𝑥 thì coi 𝑦 là hằng số và đạo hàm như đối với hàm một biến. Tương tự, tính đạo hàm riêng theo 𝑦 thì coi 𝑥 là hằng số. Ví dụ: Tính các đạo hàm cấp riêng cấp 1 của hàm số: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 − 3𝑦 4 + 2𝑥 − 3𝑦 + 1 .
Định nghĩa 2: Đạo hàm riêng cấp 2 ′′ = (𝑓 ′ )′ 𝑓𝑥𝑥 ′′ = (𝑓 ′ )′ 𝑓𝑦𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 ′′ = (𝑓 ′ )′ 𝑓𝑥𝑦 𝑓 ′′ = (𝑓 ′ )′ . 𝑥 𝑦 𝑦𝑥 𝑦 𝑥 Nhận xét: Trong chương trình học ′′ ′′ 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng đến cấp hai của hàm sau: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 3 + 8 .
Ứng dụng ĐHR tìm cực trị của hàm hai biến: a. Cực trị tự do Định nghĩa: Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) nếu tồn tại một lân cận của M sao cho trên đó 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦). (tương ứng 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)). Kí hiệu: 𝑓𝐶Đ ; 𝑓𝐶𝑇 .
Điều kiện cần của cực trị Định lý:Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực trị tại điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) và tại đó có các ĐHR thì 𝑓𝑥′ 𝑥0 , 𝑦0 = 0 ൝ ′ 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = 0 Mỗi điểm M thoả mãn hệ thức trên được gọi là một điểm dừng (hay điểm tới hạn) của hàm số.
Điều kiện đủ của cực trị: Định lý:Giả sử điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) là một điểm dừng của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) và tại đó hàm số có các ĐHR cấp hai: ′′ 𝑥 , 𝑦 𝐴 = 𝑓𝑥𝑥 ; 𝐵 = 𝑓 ′′ 𝑥 , 𝑦 ; 𝐶 = 𝑓 ′′ 𝑥 , 𝑦 . 0 0 𝑥𝑦 0 0 𝑦𝑦 0 0 - Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 > 0 thì M không là cực trị. - Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 < 0 thì M là cực trị, khi đó: Nếu 𝐴 > 0 thì M là cực tiểu, Nếu 𝐴 < 0 thì M là cực đại. - Nếu 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 0 thì chưa kết luận được về tính cực trị của M
b. Cực trị có điều kiện Bài toán: Tìm cực trị của hàm 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝑔 𝑥, 𝑦 = 0. Phương pháp giải: Phương pháp nhân tử lagrang. Xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến có ràng buộc: 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ቊ . 𝑔 𝑥, 𝑦 = 0 Lập hàm lagrang: 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝜆𝑔(𝑥, 𝑦).
Điều kiện cần của cực trị Nếu hàm số đạt cực trị tại 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) thì tồn tại 𝜆0 sao cho bộ ba (𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 ) thỏa mãn: 𝐿′𝜆 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 = 0 ൞𝐿′𝑥 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 = 0 𝐿′𝑦 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 = 0 Khi đó 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 được gọi là một điểm dừng của hàm Lagrang.
Điều kiện đủ của cực trị Giả sử 𝑥0 , 𝑦0 , 𝜆0 là một điểm dừng của hàm Lagrang. 0 𝑔𝑥′ 𝑔𝑦′ Đặt 𝐻 = 𝑔𝑥′ 𝐿′′𝑥𝑥 𝐿′′𝑥𝑦 𝑔𝑦′ 𝐿′′𝑥𝑦 𝐿′′𝑦𝑦 𝑥0 ,𝑦0 ,𝜆0
Khi đó: +) Nếu 𝐻 > 0 thì 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm cực đại của bài toán đã cho. +) Nếu 𝐻 < 0 thì 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm cực tiểu của bài toán đã cho. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm 𝑎. 𝑍 = 𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥 2 + 𝑦 2 = 8. b. 𝑍 = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 = 2.