Bài giảng Toán đại cương: Chương 4.2 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán đại cương: Chương 4.2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên; ước lượng điểm; Ước lượng bằng khoảng tin cậy. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán đại cương: Chương 4.2 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 4: THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
NỘI DUNG CHÍNH 4.1 LÝ THUYẾT MẪU 4.2 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA ĐLNN 4.2.1. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 4.2.2. ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 4.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
4.2 Ước lượng tham số của ĐLNN 4.2.1. Ước lượng điểm Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên một đám đông nào đó. • Ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2,…,Xn) • Tùy thuộc vào θ, XDTK: θ* = f(X1,X2,…,Xn). • Khi n khá lớn với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn), tính toán θ*tn = f (x1,x2,…,xn) Ta lấy θ ≈ θ*tn làm ước lượng điểm cho tham số θ.
CÁC TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ BẢN CHẤT TỐT CỦA ƯỚC LƯỢNG a. Ước lượng không chệch (unbiased estimator) b. Ước lượng vững (consistent estimator) c. Ước lượng hiệu quả (efficient estimator)
a. Ước lượng không chệch. Thống kê θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ nếu E(θ*) = θ Ngược lại, ta nói θ* được gọi là ước lượng chệch của θ .
b. Ước lượng vững θ* được gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi ε > 0 ta có: lim 𝑃 ( 𝜃 ∗ − 𝜃 < 𝜀) = 1 𝑛→∞ Ví dụ: 𝑋 là ước lượng vững của μ. f là ước lượng vững của p.
c. Ước lượng hiệu quả (không chệch tốt nhất) θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng một mẫu.
Hạn chế của phương pháp ước lượng điểm • Kết quả ước lượng không đáng tin cậy nếu n không đủ lớn. • Không chỉ ra sai số, độ tin cậy của ước lượng => Phương pháp: Ước lượng bằng khoảng tin cậy
4.2.2. Ước lượng bằng khoảng tin cậy a. Ước lượng khoảng, khoảng tin cậy và độ tin cậy Giả sử cần ước lượng tham số θ của ĐLNN X trên đám đông. Chọn mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, …, Xn), Từ ước lượng điểm tốt nhất của θ xây dựng thống kê: G = f(X1,X2, …, Xn, θ) sao cho G có quy luật xác định
Với γ = 1 - α cho trước, xác định α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 thỏa mãn α1+ α2 = α Từ đó xác định các phân vị g1- α1 và gα2 𝑃 𝑔1−𝛼1 < 𝐺 < 𝑔𝛼2 = 1 − 𝛼1 − 𝛼2 = 1 − 𝛼 𝑃 𝜃1∗ < 𝐺 < 𝜃2∗ = 1 − 𝛼 Xác suất  = 1 - α được gọi là độ tin cậy Khoảng 𝜃1∗ , 𝜃2∗ được gọi là khoảng tin cậy 𝐼 = 𝜃2∗ − 𝜃1∗ được gọi là độ dài khoảng tin cậy
Chú ý: + Thường chọn độ tin cậy khá lớn như 0,9; 0,95 hay 0,99…. theo nguyên lý xác suất lớn thì biến cố (θ*1 < θ < θ*2 ) hầu chắc chắn xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. + Xác suất mắc sai lầm trong ước lượng khoảng là α. + Khi G có phân phối N(0,1) hoặc phân phối Student nếu chọn α1= α2 = α/2 ta có khoảng tin cậy ngắn nhất và đó là các khoảng tin cậy đối xứng + Để ước lượng giá trị tối đa hoặc tối thiểu của θ ta chọn α1= α hoặc α2 = α
b. Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN Giả sử ĐLNN X trên đám đông có E(X) = μ và Var(X) = σ2 trong đó μ chưa biết. Bài toán đặt ra: từ mẫu ngẫu nhiên thu được, ta ước lượng μ Trường hợp 1: ĐLNN gốc X phân phối chuẩn, σ2 đã biết Trường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối chuẩn, σ2 chưa biết Trường hợp 3: Chưa biết luật PPXS của X, nhưng n > 30
TRƯỜNG HỢP 1: ĐLNN GỐC X PHÂN PHỐI CHUẨN, Σ2 ĐÃ BIẾT 𝜎2 Vì 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎 2 nên 𝑋ሜ ∼ 𝑁 𝜇, 𝑛 𝑋ሜ − 𝜇 𝑈 = 𝜎 ∼ 𝑁 0,1 𝑛
Xác suất Khoảng tin cậy Hai phía 𝑃( 𝑈 < 𝑢𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 = 𝛾 𝜎 𝜎 𝑋 − 𝑢𝛼 ; 𝑋 + 𝑢𝛼 2 𝑛 2 𝑛 Trái 𝑃(−𝑢𝛼 < 𝑈) = 1 − 𝛼 = 𝛾 𝜎 −∞ ; 𝑋 + 𝑢𝛼 𝑛 Phải 𝑃(𝑈 < 𝑢𝛼 ) = 1 − 𝛼 = 𝛾 𝜎 𝑋 − 𝑢𝛼 ; +∞ 𝑛
Ta có 3 bài toán cần giải quyết: Bài toán 1: Cho n, cho 𝛾 , tìm sai số hoặc khoảng tin cậy Bài toán 2: Cho n, cho sai số ε hoặc khoảng tin cậy, tìm độ tin cậy.  n  u / 2 =    = 1−  2 Bài toán 3: Cho độ tin cậy, cho sai số hoặc khoảng tin cậy, tìm n 2 𝜎 2 𝑢𝛼/2 𝑛= 𝜖2 Chú ý: Nếu biết μ, cần ước lượng 𝑋ത ta sẽ có: 𝑃 𝜇 − 𝜖 < 𝑋ത < 𝜇 + 𝜖 = 1 − 𝛼 = 𝛾
TRƯỜNG HỢP 2: ĐLNN GỐC X PHÂN PHỐI CHUẨN, Σ2 CHƯA BIẾT Vì 𝑋 ∼ 𝑁 𝜇, 𝜎 2 nên ta xây dựng thống kê 𝑋ሜ − 𝜇 𝑇= ∼𝑇 𝑛−1 𝑆′ 𝑛
Xác suất Khoảng tin cậy Hai phía (𝑛−1) 𝑆′ 𝑃( 𝑇 < 𝑡𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 = 𝛾 (𝑛−1) (𝑛−1) 𝑆′ 𝑋 − 𝑡𝛼 ; 𝑋 + 𝑡𝛼 2 𝑛 2 𝑛 Trái (𝑛−1) 𝑃(−𝑡𝛼 < 𝑇) = 1 − 𝛼 = 𝛾 𝑆′ (𝑛−1) −∞ ; 𝑋 + 𝑡𝛼 𝑛 Phải 𝑃(𝑇 < 𝑡𝛼 (𝑛−1) )=1−𝛼 =𝛾 𝑆′ (𝑛−1) 𝑋 − 𝑡𝛼 ;+∞ 𝑛
TRƯỜNG HỢP 3: CHƯA BIẾT LUẬT PPXS CỦA X, NHƯNG N > 30 𝜎2 Vì n > 30 nên 𝑋ሜ ≃ 𝑁 𝜇, 𝑛 𝑋ሜ − 𝜇 𝑈 = 𝜎 ≃ 𝑁 0,1 𝑛 •Phần còn lại tiến hành tương tự trường hợp X có phân phối chuẩn với σ2 đã biết. •Với n đủ lớn, ta có thể lấy σ  s’.
c. Ước lượng tỷ lệ Trên đám đông kích thước N có M phần tử mang dấu 𝑀 hiệu A, khi đó 𝑃 𝐴 = = 𝑝. 𝑁 Bài toán đặt ra: từ mẫu ngẫu nhiên thu được, ta ước lượng p
Từ đám đông ta lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n 𝑛𝐴 và tính được tần suất 𝑓 = 𝑛 Vì n đủ lớn nên 𝑝𝑞 𝑓 ≃ 𝑁 𝑝, 𝑛 𝑓−𝑝 𝑈= ≃ 𝑁 0,1 𝑝𝑞 𝑛