Bài giảng Toán đại cương: Chương 3.2 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán đại cương: Chương 3.2 Đại lượng ngẫu nhiên, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên; quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên; Các số đặc trưng chính của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán đại cương: Chương 3.2 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN ĐẠI CƯƠNG CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
NỘI DUNG CHÍNH 3.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 3.2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 3.3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT QUAN TRỌNG
3.2 Đại lượng ngẫu nhiên 3.2.1 Định nghĩa và phân loại ĐLNN Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên ( biến ngẫu nhiên, ĐLNN) là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có với một xác suất tương ứng xác định. • ĐLNN thường được ký hiệu bởi chữ cái hoa như: X, Y, Z,…,X1,Y1 …, • Các giá trị có thể có của ĐLNN được ký hiệu bởi các chữ cái thường x,y, z,…,x1, x2, …
Ví dụ. a) Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo quân xúc xắc X là ĐLNN nhận các giá trị có thể có: 1,2,3,4,5,6 b) Theo báo cáo của phòng Y tế chiều cao sinh viên K52C nằm trong đoạn [150;190](cm). Chọn ngẫu nhiên một sinh viên K52C .Gọi Y là chiều cao của sinh viên. Khi đó Y là ĐLNN Y nhận các giá trị có thể có: [150;190]
Phân loại ĐLNN • ĐLNN rời rạc: ĐLNN X được gọi là ĐLNN rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của nó là đếm được. • ĐLNN liên tục: ĐLNN X được gọi là ĐLNN liên tục nếu tập các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng bất kỳ trên trục số.
VÍ DỤ 1. Tung hai đồng xu, số mặt sấp xuất hiện là một biến ngẫu nhiên. 2. Gieo hai con súc sắc, tổng số chấm xuất hiện là một biến ngẫu nhiên. 3. Gieo hai con súc sắc, tích số chấm xuất hiện là một biến ngẫu nhiên 4. Một người đi thi cho đến khi đỗ thì số lần thi của người này cũng là biến ngẫu nhiên. • Cân nặng của một trẻ sơ sinh. • Thời gian bạn đi từ nhà đến trường mỗi ngày. • Chiều cao của cây bạch đàn 1 năm tuổi.
3.2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN a) Định nghĩa: Luật phân phối xác suất của ĐLNN là quy luật cho biết sự tương ứng giữa những giá trị có thể của ĐLNN và các xác suất để nó nhận các giá trị đó.
b) Bảng phân phối xác suất Cho X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể có x1, x2, …,xn, … và các xác suất tương ứng p1, p2, …,pn, …Bảng phân phối xác suất của X có dạng: X x1 x2 ... xn … P p1 p2 ... pn … Tính chất: ∑ pi = ∑ P(X = xi)=1
VÍ DỤ: GIEO HAI ĐỒNG XU CÂN ĐỐI VÀ ĐỒNG CHẤT. GỌI X LÀ SỐ MẶT SẤP XUẤT HIỆN. 1. BIẾN NGẪU NHIÊN X NHẬN CÁC GIÁ TRỊ NÀO? 2. HÃY TÍNH XÁC SUẤT ĐỂ X NHẬN MỖI GIÁ TRỊ CHỈ RA Ở TRÊN 3. LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA X
c) Hàm phân phối xác suất. Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X, ký hiệu F(x), là xác suất để ĐLNN X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là số thực bất kỳ. F(x)=P(X< x) Chú ý: Nếu X là ĐLNN rời rạc, ta có: F ( x) = p i:xi  x i
VÍ DỤ: LẬP HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC CÓ BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Cho X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn X x1 x2 ... xn P p1 p2 ... pn 0 𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 𝑥1 𝑝1 𝑛ế𝑢 𝑥1 < 𝑥 ≤ 𝑥2 Đồ thị dạng 𝐹 𝑥 = 𝑝1 + 𝑝2 𝑛ế𝑢 𝑥2 < 𝑥 ≤ 𝑥3 bậc thang …. 1 𝑛ế𝑢 𝑥 > 𝑥𝑛
Tính chất của hàm phân phối xác suất Tính chất 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1 với mọi x Tính chất 2 : F(x) là hàm không giảm. Nếu x1 < x2 ta có: F(x1) ≤ F(x2) Hệ quả 1: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)
Hệ quả 2: Nếu X là ĐLNN liên tục thì: +) Xác suất để X nhận một giá trị xác định luôn bằng 0. P(X = x0 ) = 0 +) P(a ≤ X ≤ b)= P(a ≤ X < b)= P(a < X ≤ b)= P(a < X < b)
Tính chất 3 : lim F( x ) = F(+) = 1 x →+ lim F( x ) = F(−) = 0 x →− Tính chất 4 : Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a;b] thì F(x) = 0 với mọi x ≤ a F(x) = 1 với mọi x > b
d) Hàm mật độ xác suất. ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x), nếu F(x) khả vi tại x thì hàm số 𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥) được gọi là hàm mật độ xác suất của ĐLNN X.
Tính chất 1. 𝑓 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 2. 𝐹 𝑥 = ‫׬‬−∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 3. 𝑉ớ𝑖 𝑎 < 𝑏, 𝑡𝑎 𝑐ó 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = ‫𝑥𝑑)𝑥(𝑓 𝑎׬‬ +∞ 4. ‫׬‬−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =1 Nếu hàm số f(x) thỏa tính chất 1 và 4 thì f(x) sẽ là hàm mật độ xác suất của một ĐLNN nào đó.
3.2.3 Các số đặc trưng chính của ĐLNN a) Kỳ vọng toán b) Mốt c) Phương sai d) Độ lệch tiêu chuẩn
a) Kỳ vọng toán Kỳ vọng toán của ĐLNN X, ký hiệu E(X), là số được xác định: • X là ĐLNN rời rạc: E ( X ) =  xi pi i + • X là ĐLNN liên tục: E( X ) =  xf ( x)dx − Ý nghĩa của kỳ vọng toán • Kỳ vọng toán đặc trưng cho giá trị trung bình của ĐLNN theo nghĩa xác suất.
Tính chất. 1. E(C) = C với C = const 2. E(C.X) = C.E(X) với C = const 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y) 4. Nếu X, Y là hai ĐLNN độc lập thì: E(X.Y) = E(X).E(Y) Hai ĐLNN X và Y được gọi là độc lập nếu việc nhận giá trị này hay giá trị khác của một trong hai đại lượng không ảnh hưởng đến luật phân phối xác suất của đại lượng còn lại.