Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - TS. Nguyễn Văn Quang

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, cách tính tích phân kép; Tọa độ cực; Ứng dụng hình học; Ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - TS. Nguyễn Văn Quang

1. Định nghĩa, cách tính tích phân kép 2. Tọa độ cực TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 3. Ứng dụng hình học 4. Ứng dụng cơ học
Nhắc lại = lim n→∞ Bài toán: Tìm diện tích. 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f  f ( x, y )  0 , giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D, giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn). Bài toán: Tìm thể tích hình trụ. 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y )  0 , giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn). giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D. Bài toán: Tìm thể tích hình trụ. 1) Chia D một cách tùy ý ra thành n hình chữ nhật rời nhau: D1, D2, ..., Dn. Có diện tích tương ứng là S D1 , S D2 ,..., S Dn . 2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm M i ( xi , yi )  Di n 3) Thể tích của vật thể: V   f ( M i )  S D  Vn (tổng Riemann) i i 1 4) V  lim Vn n 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D (tổng quát). Do đó, D có thể được bao kín trong một miền chữ nhật C. y Xác định hàm F(x,y) như sau: D C  f ( x, y ) ( x, y )  D F ( x, y )    0 ( x, y )  D x  n  Nếu giới hạn: I  lim   F ( M i )  SCi  tồn tại hữu hạn, thì ta nói hàm f(x,y) n   i 1  khả tích trên miền D. Ký hiệu: I   f ( x, y )dxdy D 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính chất 1) Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền này. 2) S D   dxdy D 3)   f ( x, y ) dxdy   f ( x, y ) dxdy D D 4)   f ( x, y )  g ( x, y )  dxdy   f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy D D D 5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 rời nhau:  f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy D D1 D2 6) ( x, y )  D, f ( x, y )  g ( x, y )   fdxdy   gdxdy D D 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f ( x, y )  16  x 2  2 y 2 giới hạn dưới bởi hình vuông: R  [0,2]  [0,2] giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên R. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau: a) Chia R thành 4 phần bằng nhau; b) Chia R thành 16 phần bằng nhau; c) Chia R thành 64 phần bằng nhau; d) Chia R thành 256 phần bằng nhau; e) Tính thể tích của vật thể. 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
4 V  Vn   f ( M i )  S Di i 1 S Di 1,i 1,...,4. V  f (1,1)  f (1, 2)  f (2,1)  f (2, 2) V  13  7  10  4  34. 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính (Định lý Fubini): Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D. tích phân lặp y = y2(x) y = y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: a  x  b b y2 ( x )  I   f ( x, y )dxdy   dx  f ( x, y )dy  y1 ( x)  y  y2 ( x) D a y1 ( x ) 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định lý Fubini: tích phân lặp  a xb b g2 ( x ) R: I   f ( x, y )dxdy   dx  f ( x, y )dy  g1 ( x)  y  g 2 ( x) R a g1 ( x ) y g2(x) g1(x) a b x 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp x = x1(y) d x = x2(y) c 2) Giả sử D xác định bởi: c  y  d d x2 ( y )  I   f ( x, y )dxdy   dy  f ( x, y )dx  x1 ( y )  x  x2 ( y ) D c x1 ( y ) 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định lý Fubini: tích phân lặp  c yd d h2 ( y ) R: I   f ( x, y )dxdy   dy  f ( x, y )dx h1 ( y )  x  h2 ( y ) R c h1 ( y ) y d c h1(y) h2(y) x 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giải câu e) 0  x  2 2  0  y  2 2     2 2 Tính thể tích của vật thể: V   16  x  2 y dxdy   dx  16  x 2  2 y 2 dy 2 2 R 0 0 2 3 2 y 2  2 16    (16  x ) y  2  dx    32  2 x   dx  48 2 0 3 0 0 3 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN