intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - TS. Nguyễn Văn Quang

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

14
lượt xem
3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân đường loại 1; Tích phân đường loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - TS. Nguyễn Văn Quang

  1. 1. Tích phân đường loại 1 2. Tích phân đường loại 2 TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm
  2. Định nghĩa  An Mn   A2         An1 M2      A1 M1   A0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  3. Định nghĩa Xét hàm f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1,..., An . Độ dài tương ứng L1, L2 ,..., Ln . Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi ). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y )dl C được gọi là tích phân đường loại một của f = f(x,y) trên cung C. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  4. Tính chất 1) Hàm f(x,y) liên tục trên cung C thì khả tích trên C. 2) L(C )   dl 3)    fdl   fdl 4)  ( f  g )dl   fdl   gdl C C C C C C 5) Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C. 6) Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 rời nhau:  fdl   fdl   fdl C C1 C2 7) ( x, y )  C , f ( x, y )  g ( x, y )   fdl   gdl C C 8) Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho:  fdl  f ( M 0 )  L C 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  5. Cách tính f  f ( x, y ) xác định trên đường cong C có phương trình: y  y ( x), a  x  b. Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởi các điểm A0 , A1,..., An . Độ dài tương ứng L1, L2 ,..., Ln . Li  Ai 1 Ai  ( xi  xi 1 ) 2  ( yi  yi 1 ) 2  (xi ) 2  (yi ) 2 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  6. Cách tính Theo công thức Lagrange (Định lý giá trị trung bình) đối với y(x) trong đoạn [xi–1, xi], ta tìm được một giá trị 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] sao cho: y ( xi )  y ( xi 1 )  y( xi* )  ( xi  xi 1 )  yi  y( xi* )  xi  Li  (xi ) 2  (yi ) 2 2  (xi )   y( x )  xi  2 * i 2 2  1   y( x )   (xi )  1   y( x )   xi * i 2 * i (do xi  0) 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  7. Cách tính Sau khi thực hiện phép chia đường cong C, khi đó: Trên mỗi cung Ai 1 Ai lấy một điểm M i ( xi* , y ( xi* )). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  Li i 1 n 2  f ( xi , y ( xi ))  * * 1  y( xi )  *  xi i 1   Do đó: n 2  I  lim I n  I   f ( x, y )dl  lim   f ( xi , y ( xi ))  1   y( xi )   xi  * * * n C n  i 1  b   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2 a 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  8. Cách tính Cung C cho bởi phương trình: y  y ( x ) , a xb b  f ( x, y )dl   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2 C a Tương tự, cung C cho bởi phương trình: x  x( y ) , c yd d  f ( x, y )dl   f ( x( y ), y )  1   x( y )   dy 2 C c 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  9. Cách tính Cung C cho bởi phương trình tham số: x  x(t ) , y  y (t ) , t1  t  t2 Khi đó: y(t )  x(t )   y(t ) 2 2 y( x)  ; dx  x(t )dt ; 1   y( x)   2 x(t ) x(t ) t2  f ( x, y )dl   f ( x(t ), y (t ))   x(t )    y(t )  2 2  dt C t1 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  10. Cách tính Cung C cho trong hệ tọa độ cực: r  r ( ) , 1     2 Khi đó, phương trình tham số của cung C: x  r ( ) cos  , y  r ( )sin    x( )    y( )   r 2 ( )   r ( )  2 2 2 2  f ( x, y )dl   f  r ( ) cos  , r ( )sin    r ( )   r ( )   d 2 2 C 1 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  11. Định nghĩa Tương tự , ta có định nghĩa tích phân đường trong không gian. f  f ( x, y, z ) xác định trên đường cong C trong không gian.  x  x(t )  C cho bởi phương trình tham số:  y  y (t ), t1  t  t2  z  z (t )  I   f ( x, y, z )dl C t2  f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y (t ), z (t ))   x(t )    y(t )    z (t )  2 2 2  dt C t1 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  12. Ví dụ 2 x Tính I   x3dl , trong đó C là cung parabol y  , 0  x  3 C 2 b I   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2 a 3 1   y( x)  dx 2   x 3 0 3 58   x 3 1  x dx  2 0 15 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  13. Ví dụ Tính I   2 xdl , trong đó C = C1 U C2 , với C1: y = x2, từ (0,0) đến (1,1) và C C2 là đường thẳng từ (1,1) đến (1,2). 1 I   2 xdl   2 xdl   2 xdl   2 x  1   y( x)   dx  2 C C1 C2 0 2   2.1. 1   x( y )   dy 2 1 1 2 5 5 1   2 x  1  4 x  dx   2 1  1   0  2 2  dy  2 0 1 6 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  14. Tính I   (2  x 2 y )dl , với C là nửa trên đường tròn x 2  y 2  1 C b Có thể dùng công thức I   f ( x, y ( x))  1   y( x)   dx 2 a nhưng việc tính toán phức tạp. Viết phương trình tham số cung C. Đặt: x  r cos t ; y  r sin t Vì x 2  y 2  1, nên r = 1.  x  cos t Phương trình tham số của nửa trên đường tròn:  ; 0t   y  sin t   2 I   (2  cos t  sin t )  x(t )    y(t )  dt   (2  cos t  sin t ) dt  2  2 2 2 2 0 0 3 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  15. Tính I   xy 4dl , với C là nửa bên phải đường tròn x 2  y 2  16; x  0. C Viết phương trình tham số cung C.  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  16 , nên r  4  x  4  cos t   Phương trình tham số của C:  ;  t   y  4  sin t 2 2  /2  /2 2 6 I   4cos t  4 sin t ( 4sin t )  (4cos t ) dt  4  cos t  sin tdt   4 4 4 2 2 6 4  /2  /2 5 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  16. Tính I   ( x 2  y 2 )dl , với C là nửa đường tròn x 2  y 2  2 x; x  1. C Viết phương trình tham số cung C.  x  r cos t Đặt   y  r sin t Vì x 2  y 2  2 x , nên r  2cos t Phương trình tham số của C:  x  2cos t  cos t  1  cos 2t    ; - t   y  2cos t  sin t  sin 2t 4 4  /4 I   (2  2cos 2t ) ( 2sin 2t ) 2  (2cos 2t ) 2 dt  4  2  /4 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  17. Tính I   2 xdl , với C là giao của 2 mặt: x 2  y 2  4 ; x  z  4. C  x  r cos t  Đặt:  y  r sin t  z  4  r cos t  Vì x 2  y 2  4, nên r  2 Phương trình tham số của C:  x  2cos t   y  2sin t ; 0  t  2  z  4  2cos t  2 I   4cos t  (2sin t ) 2  (2cos t ) 2  (2sin t ) 2 dt  0. 0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  18. Tính I   ( x  y )dl , với C là đường tròn: x 2  y 2  z 2  4; y  x. C Đường tròn 𝐶 = 𝐶1 ∪ 𝐶2 . Trong đó, 𝐶1 là nửa đường tròn nằm ở phần nửa mặt cầu bên phải. Tham số đường cong 𝐶1 qua hệ tọa độ cầu.  1 x  y  r   sin t Đặt  2  z  r  cos t  Vì x 2  y 2  z 2  4, y  x , nên r  2 Phương trình tham số của 𝐶1 :  x  y  2 sin t  ; 0t   z  2cos t  I1   2 2 sin t  2cos 2 t  2cos 2 t  4(  sin t ) 2 dt  8 2 0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  19. Tính I   ( x  y )dl , với C là đường tròn: x 2  y 2  z 2  4; y  x. C 𝐶2 là nửa đường tròn nằm ở phần nửa mặt cầu bên trái. Tham số đường cong 𝐶2 qua hệ tọa độ cầu.  1 x  y  r   sin t Đặt  2  z  r  cos t  Vì x 2  y 2  z 2  4, y  x , nên r  2 Phương trình tham số của 𝐶2 :  x  y   2 sin t  ; 0t   z  2cos t  I 2    2 2 sin t  2cos 2 t  2cos 2 t  4(  sin t ) 2 dt  8 2  I  I1  I 2  0 0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
  20. Tính I   x 2 dl , với C là đường tròn: x  y  z  4; x  y  z  0. 2 2 2 C Viết phương trình tham số đường tròn C (qua hệ tọa độ trụ) phức tạp. Nhận xét: do đường tròn C đối xứng qua gốc O, hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên: I   x 2dl   y 2dl   z 2dl C C C 1 3C 2 2 2  4  I   x  y  z dl   dl 3C  4   độ dài đường tròn C (chu vi đường tròn R=2 ). 3 4 16   4  3 3 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2