Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi số" bao gồm: Định nghĩa, tính chất, chuỗi không âm, tiêu chuẩn D’alembert, tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi có dấu tùy ý,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)

Chương 5: CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ
ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới Sn  a1  a2    an , n  N  {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:  an n 1 ( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát
ĐỊNH NGHĨA {Sn} có giới hạn hữu hạn khi n     an hội tụ n 1 Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ. Đặt:   an  lim Sn : tổng chuỗi n 1 n 
VÍ DỤ Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có:  1 1/  n 1 n (n  1) 1 1 1 Tổng riêng: Sn     1.2 2.3 n (n  1) 1 1 1 1 1  1      2 2 3 n (n  1) 1 n  1 1 (n  1)  1 Vậy chuỗi hội tụ và  1 n 1 n (n  1)
 1 1 1 1 Sn  1    2/  n 1 n 2 3 n n   n  n Vậy chuỗi phân kỳ.  n 1 1 1 1 ( 1) n 1 1 3/  Sn   2  3    (1) n n 2 2 2n 2 n 1 2  1 1    1  2 1   2 1  1  3    2 Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3.
TÍNH CHẤT   1/  an và  an có cùng bản chất (ht/pk) n 1 np   2 /   an , 0, và  an có cùng bản chất n 1 n 1
TÍNH CHẤT   3 /  an  A,  bn  B n 1 n 1    ( an   bn )   A   B n 1 • Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ • Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ
Điều kiện cần của sự hội tụ  Nếu chuỗi  an hội tụ thì lim an  0 n  n 1 Áp dụng: Nếu lim an  0 ( hoặc không tồn tại ) thì n    an không hội tụ. n 1
Ví dụ  n 1/  n phân kỳ vì n 1 ( 1) n n n lim an  lim n  1  0 n  n  ( 1) n n  n n  3n  2  2 /  (1)   n 1  2n  1  n  3n  2  n  an      2n  1   0  chuỗi phân kỳ  an 
Ví dụ  3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có: n  x n n 1 k 1 2 n Sn   x  x  x    x k 1  1 xn x , x  1   1 x n, khi x  1  khi x = 1: lim Sn   chuỗi pk n 
n  khi |x| > 1: lim x   hoặc không tồn tại n   lim Sn   hoặc không tồn tại n   chuỗi pk n x  khi |x| < 1: lim x  0  lim Sn  n  n  1 x x Chuỗi ht và có tổng là 1 x
CHUỖI KHÔNG ÂM. Cho an  0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} là dãy tăng. Vậy {Sn} hội tụ  {Sn} bị chận trên. Hay:   an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên. n 1
Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy Cho f(x) không âm, liên tục, giảm trên [1,+), khi đó    f ( x )dx và  f (n ) có cùng bản chất 1 n 1 Chứng n minh:2 3 n  f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx     f ( x )dx n 1 n1 1 2 1 fn( x )dx  f (1)  f (2)    f (n  1)  Sn  f (n) 1 f ( x )dx  f (2)    f (n)  Sn  f (1)
Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:  1 1 1/  2 f (x)  , x  [2, ) 2 n  2 n ln n x ln x f(x) dương, ltục và giảm nên   1  2   f (n ) cùng bản chất với n  2 n ln n n 2   dx  dt  h tụ  I  f ( x )dx  2  2 x ln x 2  ln 2 t 2
 1 2/   n 1 n •   0 : chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần 1 •  > 0 : xét hàm số f (x)   x f(x) > 0, liên tục, giảm trên [1, +)    1 dx   cùng bản chất với  f ( x )dx    n 1 n 1 1x  chuỗi hội tụ khi và chỉ khi  > 1.
 1 3/  n n 1 2 1 f (x)  , x  [1, ) dương, ltục và giảm nên x 2    1 dx  cùng bản chất với I  f ( x )dx  n 1 2 n  1 2 1 x
  dx 2tdt I  1 2 x   1 2 t  1 Chọn: g (t )  2 , khi đó t  1 g (t )dt hội tụ. Đồng thời: 3  2t 1  2t lim  t : 2   lim t  0 t   2 t  t  2 Theo tiêu chuẩn so sánh của tp suy rộng thì I hội tụ, do đó chuỗi đã cho hội tụ.
Tiêu chuẩn so sánh Dạng 1: an, bn  0, an  Kbn, n  N0    bn hội tụ   an hội tụ n 1 n 1    an phân kỳ   bn phân kỳ n 1 n 1
an Dạng 2: an, bn > 0, K  lim n  bn • 0 < K <  : hai chuỗi cùng bản chất   •K=0  bn hội tụ   an hội tụ n 1 n 1   •K=  an phân kỳ   bn phân kỳ n 1 n 1
Chuỗi cơ bản Chuỗi cấp số nhân: n hội tụ  |x| < 1 x   n1 xn x  , x  n 0 1 x n 1 1 x Chuỗi điều hòa:  1 hội tụ   > 1   n 1 n