Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 1: Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến" cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm và vi phân hàm hợp, đạo hàm và vi phân hàm ẩn. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 2
Nội dung 1. Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2. Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP Trường hợp cơ bản: hợp của hàm 2 biến và hàm 2 biến Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v). Nếu z, x, y khả vi: zu  fx .xu  fy .y u , zv  fx .xv  fy .yv dz  zu du  zv dv dz  fxdx  fy dy  fx ( xu du  xv dv )  fy ( y u du  y v dv )
Trường hợp riêng 1 Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) zu  f ( x ) xu , zv  f ( x ) xv dz  zu du  zv dv dz  f ( x )dx  f ( x )( xu du  xv dv )
Trường hợp riêng 2: z = f(x, y), x = x(t), y = y(t) (hợp 2 biến và 1 biến) z(t )  fx .x(t )  fy .y (t ) dz  z(t )dt dz  fxdx  fy dy  fx .x (t )dt  fy .y (t )dt
Trường hợp riêng 3: z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) z( x )  fx  fy .y ( x ) dz  z( x )dx Löu yù: khi tính ñaïo haøm haøm hôïp, luoân baét ñaàu töø ñaïo haøm cuûa f theo bieán chính. Sau ñoù, tuøy thuoäc vaøo yeâu caàu, nhaân theâm ñaïo haøm cuûa bieán chính vaøo caïnh ñaïo haøm cuûa f.
VÍ DỤ xy 2 1/ Cho: z  f ( x , y )  e , x  u , y  u v tìm z’u, z’v , dz tại (u, v)= (1, 1). z’u = f’x. x’u + f’y.y’u z’v = f’x. x’v + f’y.y’v (u, v)= (1, 1)  (x, y) = (1, 2) xy zu  ye .2u  xe xy .1  xy xy  zv  ye .0  xe .1
zu (1,1)  2.e 2 .2  1.e 2 .1  5e 2  2 zv (1,1)  e 2 2 dz (1,1)  zu (1,1)du  zv (1,1)dv  5e du  e dv
2  u 2/ Cho:z  f ( x )  sin( x  x ), x  arctan   v  Tính z’u, z’v tại (0, 1) z’u = f’(x). x’u z’v = f’(x). x’v x(0, 1) = 0 2 1 1 zu  (1 2x)cos(x  x )   2 v u 1 2 v zu (0,1)  1  2 u 1 zv (0,1)  0 zv  (1 2x)cos(x  x )  2  v u2 1 2 v
3/ Cho: z  f ( x , y )  sin( xy ), x  arctan  t  , y  et Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), 1 t z(t )  y cos( xy ) 2  x cos( xy ) e 1 t t  0  x  0, y  1  dz (0)  dt
z  f ( x , y )  sin( xy ), x  arctan  t  , y  et Cách 2: dz  fxdx  fy dy  fx .x (t )dt  fy .y (t )dt dz  y cos( xy )dx  x cos( xy )dy dt t  y cos( xy ) 2  x cos( xy )e dt 1 t  dz (0)  dt
2 4/ Cho: ln( y  1) z  f (x, y )  . x2 a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 2 z ln( y  1) ln(1) a / zx   fx  2 3  zx (1,0)  2 0 x x 1 b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) 2 ln( y  1) 2y x  2 3  2 2 e x ( y  1) x
2 ln(y  1) 2y x z '( x )  2 3  2 2 e x ( y  1) x x 1 y  e 2 2 2e  z(0)  2ln(e  1)  2 e 1
5/ Cho: z  f ( x  y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy  z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) zx  fu .u x  fv .v x  fu .1  fv y zy  fu .uy  fv.v y  fu .(1)  fv x
 x  6/ Cho: z  xf  2  với f là hàm khả vi y  Chứng minh đẳng thức: 2 xzx  yzy  2z x Đặt : u 2  z = x.f(u) y zx  f (u )  x.f (u ) x 1  f (u )  x.f (u ).ux  f (u )  x.f (u ). 2 y
 x  zy  x.f (u )y z  xf  2  y  2 x  xf (u ).uy  x.f (u ). 3 y  1  2 x 2 xzx  yzy  2 x  f (u )  x.f (u ). 2   yx.f (u ). 3  y  y  2 xf (u )  2z
7/ Cho: z  f x 2  y , xy 2  với f là hàm khả vi Tính dz theo dx, dy. Đặt: u = x2 – y , v = xy2  z = f(u, v) •Cách 1: dz = z’xdx + z’ydy với zx  fu .u x  fv .v x  fu .2 x  fv .y 2 zy  fu .u y  fv .v y  fu .(1)  fv .2 xy  dz  fu .2 x  fv .y 2  dx   f   f .2xy  dy u v
• Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) = f’u(2xdx – dy) + f’v(y2dx + 2xydy) = (2xf’u + y2f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy
Đạo hàm và vi phân cấp cao của hàm hợp Xét trường hợp cơ bản, các trường hợp khác tương tự. Cho z = f(x, y) và x = x(u, v), y = y(u, v)   fx .xu  fy .y u  zuu  u         fx  u .xu  fx .xuu       fy .y u  fy .y uu   u     uv x z  f  .x   f  .y  u y  u v         fx  v .xu  fx .xuv       fy .y u  fy .y uv   v   
  fx .xv  fy .yv  zvv  v         fx  v .xu  fx .xuv        fy .y u  fy .yvv v   Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv 2 2 2  du  2zuv d z  zuu  dudv  zvv  dv