Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

138
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2 Chương 7: Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm chuỗi số, chuỗi không âm, chuỗi có dấu tùy ý - Hội tụ tuyệt đối, chuỗi đan dấu - Tiêu chuẩn Leibnitz. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 2 Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Khái niệm chuỗi số. II – Chuỗi không âm. III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz. V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.
II. Chuỗi không âm Định nghĩa chuỗi không âm  Chuỗi số không âm là chuỗi  an , (n)an  0, n 1 Nhận xét Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng S n là dãy không giảm Vậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.
Tiêu chuẩn so sánh 1   Hai chuỗi  an ,  bn thoả điều kiện 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1   1) Nếu chuỗi  bn hội tụ, thì chuỗi  an hội tụ. n 1 n 1   2) Nếu chuỗi  an phân kỳ, thì chuỗi  an phân kỳ. n 1 n 1  CM Chuỗi  b n hội tụ nên dãy tổng riêng S n bị chặn tr n 1  n n  S n'   an   bn S n dãy tổng riêng an của n 1 k 0 k 0 bị chặn trên, vậy chuỗi hội
Tiêu chuẩn so sánh 2   Hai chuỗi  an (1) ,  bn (2) thoả 0  an  bn , n  n0 n 1 n 1 an K  lim n b n 1) K  0 : Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ. 2) K hữu hạn,  0 : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng P 3) K   : Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.
 2  cos n Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi    an n 1 n( n  1) n 1 2 cos n 1 1 Chuỗi dương   2 n(n  1) n(n  1) n   1 Chọn chuỗi số  2   bn n 1 n n 1 an lim  1 hữu hạn, khác không. n b n   Suy ra hai chuỗi  an ,  bn cùng tính chất hội tụ. n 1 n 1   1 Vì chuỗi  bn   2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 n 1 n
5  3(1)n   Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2 n 1 n Chuỗi dương 0  5  3(  1) 8 1 n 3  n 3  n 2 2 2  1 1 Vì chuỗi  n , |q |  1 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 2 2  n 3 e n Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n 3   an n 1 2  ln n n 1 n 3 n n Chuỗi dương e  n e  e  n 3  n   2  ln n 2  2   n  e  e chuỗi    , |q |  1 FK, nên chuỗi đã cho FK. n 1  2  2
 ln(1  sin(1/ n)  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  ln 2 n   an n 1 n 1 ln(1  sin(1/ n) 1/ n 1 Chuỗi dương 2   2 n  ln n n n  1 Vì chuỗi  2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 n      Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  cosh  1   an  n  n1 n 1 2 2       an  n  cosh  1  n1/ 2  1  2  1  3/ 2  n   2n  2n  2  chuỗi  2n3/ 2 HT, nên chuỗi đã cho HT. n 1
  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  n  1  ln  cosh(1/ n)    an n 1 n 1 2 1 an  n  1  ln  cosh(1/ n)   n  ln(1  1/(2n ))  3/ 2 2n  1 Vì chuỗi  3/ 2 hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ. n 1 2n  2 arctan(n  2n)  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ  3n  n2   an n 1 n 1 arctan(n 2  2n)  /2  1 an  n 2  n  n 3 n 3 2 3  1 chuỗi  n HT, nên chuỗi đã cho HT. n 1 3
  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT  1  n  sin(1/ n)  n 1    1 1  1 an  1  n  sin(1/ n)   1  n    3     2   n 3!n   6 n 1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi   2    1 1 Ví dụ Tìm  để chuỗi HT   ln sin n  ln n  n 1    1 1  1   1   1 an   ln   3   ln   ln 1    2  2    n 6n  n    6n   6 n 1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi   2
   1  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT    cos(1/ n)  n 1  n sin(1/ n)    1  1  an   3  1  2    n(1/ n  1/ 6n )  2n     1  1  an   2  1  2    1  1/ 6n  2n      1  1  2 1 an  1  2  1  2      2  6n  2n   3 n 1 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi   2
n  Ví dụ Tìm  để chuỗi HT   e  1  1/ n   2 n 1 1  cos(1/ n)  n  1 n ln(11/ n ) n (1/ n 1/ 2 n2 ) e  1    e  e  ee  e  e11/ 2n  n 1/ 2 n  1  e  e  e.e  e  e 1     2n  2n 1     2 e /2 n e 1  cos(1/ n)   2  an   4n 4n 2 2  2 n 2 Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 2    1    1
iêu chuẩn d'Alembert  an 1 Chuỗi dương  an . Giả sử lim n a D n 1 n 1) D  1: chuỗi hội tụ. 2) D  1: chuỗi phân kỳ. ) D  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.
Tiêu chuẩn Cô si  Chuỗi dương  an . Giả sử lim n an  C n n 1 1) C  1: chuỗi hội tụ. 2) C  1: chuỗi phân kỳ. 3) C  1: không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.
 n 3  n!  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n   an n 1 n n 1 n 1 n n 3  (n  1)! 3  3  (n  1)  n! 3  3  n! an 1  n 1  n  n (n  1) (n  1)  (n  1) ( n  1) an 1 3  3n  n! n n 3 n 3   n  n  n    1 Phân kỳ an (n  1) 3  n! (1  1/ n) e   n 5  3n  2  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n    a n 1  4n  3  n1 3n  2 n 5 3 lim ann  lim  n  1 HT theo t/c Cô si. n n 4n  3 4
 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  an n 1 2  5  8 (3n  1) an  1  6 11 (5n  4) 2  5  8 (3(n  1)  1) 2  5  8 (3n  2) an 1   1  6 11 (5(n  1)  4) 1  6 11 (5n  1) 2  5  8 (3n  1)(3n  2) (3n  2)   an  1  6 11 (5n  4)(5n  1) (5n  1) an 1 3n  2 3  lim  lim   1 n a n 5n  1 5 n Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert.
 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  an n 1 2  5  8 (3n  2) an  n 2  (n  1)! 2  5  8 (3(n  1)  2) 2  5  8 (3n  5) an 1  n 1  n 2  (n  1  1)! 2  2  (n  2)! 2  5  8 (3n  2)  (3n  5) (3n  5)  n  an  2  2  (n  1)!(n  2) 2( n  2) an 1 3n  5 3  lim  lim  1 n a n  2n  4 2 n Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert.
 n í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  n/2 ,  0 n 1 (ln( n  1))  n 1 lim an  lim n n n / 2  lim  0 1 n n (ln( n  1)) n ln( n  1) Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi   n3  1  Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi   cos n  n 1   1 3 n n2  2 n 2  2 n 2  1   1  m n an  lim n  cos   lim  cos    1  1   n  n  n  n   nlim    1 2  2n   1    1/ 2   1 Hội tụ theo Cô si. e e
 n 4 3n 1 í dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi    n  1   n 1  n  1  2 n 4 3 n 1 n3 3 n 1  ( n 1)   n  1    n 1 n n lim n an  lim   2  2 1 n n  n  1    lim 1     2 n  n 1   e   Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si.  n2 n 1 n2 Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 3    n3 n 1 1  ( n 3) n 3 n   n   1  1  3 lim an  lim 3  3  1  n    1 Phân kỳ n n  n  3   e  
II. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối. Định nghĩa hội tụ tuyệt đối   Chuỗi  an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi  an hội tụ n 1 n 1 Định lý   Nếu chuỗi  an hội tụ, thì chuỗi  an hội tụ. n 1 n 1 Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Mệnh đề ngược lại không đúng: có những chuỗi hội tụ, tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ.