intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
240
lượt xem 36
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 trình bày về tích phân kép – định nghĩa và cách tính bao gồm công thức đổi biến sang tọa độ cực và các bài tập áp dụng. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 2.1 - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân I = � � x + y )dxdy trong đó cos( D D là miền giới hạn bởi : π/4≤max{|x|,|y|} ≤ π/2 Miền D được chia thành 4 phần D3 −π −π ,−π x y π (D1) 2 4 2 2 −π x π ,−π y − π (D 2) D4 4 4 2 4 D1 −π x π ,π y π (D3) 4 4 4 2 D2 π x π ,−π y π (D 4) 4 2 2 2 −π π −π π 4 2 4 I1 = �dx �cos( x + y )dy = �sin( x + y ) π dx 2 − −π −π −π 2 2 2 2
  2. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính −π 4 I1 = (cos x − ( − cos x ))dx = 0 −π 2 Tương tự, ta tính cho 3 tích phân trên 3 miền còn lại. Ta còn có thể tính tích phân này bằng cách tính tích phân trên hình vuông lớn trừ tích phân trên hình vuông nhỏ π π π π 2 2 4 4 I = �dx �cos( x + y )dy − �dx �cos( x + y )dy −π −π −π −π 2 2 4 4
  3. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ: Tính tích phân kép I = �y − x 2 dxdy � D D là miền giới hạn bởi -1≤x≤1, 0≤y≤1 I = �( xy ) dxdy = � y − x 2 dxdy + � y − x 2 dxdy � � � D D1 D2 D1 � D1 ( � ) = � y − x 2 dxdy + � x 2 − y dxdy D2 ( ) x2 ( ) ( ) 1 1 1 D2 D2 = �dx � y − x 2 dy + �dx � x 2 − y dy −1 x2 −1 0 11 I = 15
  4. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính x Ví dụ: Tính tích phân I = � y dxdy �e D Với D là miền giới hạn bởi x = y 2, x = 0, y = 1 Nếu chỉ nhìn vào miền lấy tích phân này thì ta chiếu D xuống trục nào cũng như nhau. 1 Tuy nhiên, hàm dưới dấu tích phân sẽ buộc ta phải chiếu D xuống trục Oy 1 1 y2 x 1 x 2 1 I = � � dx dy e = �ye y )0 dy = �ye y − y )dy ( y y ( 0 0 0 0
  5. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 y Ví dụ : Đổi thứ tự lấy tích phân sau I = � � f ( x, y )dx dy 0 y 2 −2 Ta vẽ miền lấy tích phân ￬0 y 2 2 D: ￬￬ 2 ￬y - 2￬ x ￬ y ￬ D2 Chiếu miền D vừa vẽ xuống D1 trục Ox -2 2 Ta thấy phải chia D thành 2 phần D1 và D2 0 x +2 2 x +2 I = � � f ( x, y )dy + � � f ( x, y )dy dx dx −2 0 0 x
  6. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nhắc lại về tọa độ cực Điểm M có tọa độ là (x,y) trong M(x,y) tọa độ Descartes. r ϕ = g (Ox,OM ) φ Đặt : r = OM Khi đó, mối liên hệ giữa x, y và r, φ là ￬ r = x2 + y 2 ￬ x = r cos ϕ ￬ ￬ ￬ ￬ y = r sin ϕ ￬ j = arctan y ￬ ￬ ￬ x
  7. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ: Đổi các phương trình sau sang tọa độ cực 1. (x-a)2 + y2 = a2 ↔ x2 + y2 = 2ax ↔ r = 2acosφ x2 y 2 Đổi sang tọa độ cực mở rộng bằng 2. 2 + 2 = 1 a b cách đặt : x=a.r.cosφ, y = b.r.sinφ Thì ta được pt r = 1 3 3. x = 3 ↔ rcosφ = 3 ↔ r= cos j
  8. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Công thức đổi biến sang tọa độ cực � f ( x, y )dxdy = � J f (r cos ϕ , r sin ϕ )drdϕ � � Trong đó D( x,y ) D( r ,ϕ ) D( x, y ) xr xϕ J= = =r D(r,ϕ ) y r yϕ Thông thường, ta sẽ đổi tích phân kép sang tọa độ cực nếu miền lấy tích phân kép là 1 phần hình tròn hoặc ellipse
  9. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = �x − 2y )dxdy �( D Trong đó D giới hạn bởi : x 2 + y 2 = 2 x, y = 0( y 0) Để xác định cận của tích phân theo φ, ta quét từ dưới lên theo ngược chiều kim đồng hồ bởi các tia màu đỏ. Ta được φ đi từ 0 đến π/2 Còn để xác định cận của tích phân theo r, ta sẽ đi theo 1 tia màu vàng từ trong gốc tọa độ ra, gặp đường nào trước thì pt đường đó (trong tọa độ cực) là cận dưới, đường nào trước thì pt đường đó là cận trên.
  10. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Nếu chỉ gặp 1 đường như trong ví dụ này thì cận dưới ta sẽ lấy là 0, cận trên là pt đường tròn sau khi đổ sang tọa độ cực: r = 2cosφ π Vậy : 2 2cos ϕ I = �dϕ � r (r cos ϕ − 2r sin ϕ )dr 0 0 π 2 r 3 2cos ϕ = ((cos ϕ − 2sin ϕ ) )0 dϕ 0 3 π 1 2 = (cos ϕ − 2sin ϕ )8cos3 ϕ dϕ 3 0
  11. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = � x 2 + y 2 dxdy � D Trong đó D giới hạn bởi x 2 + y 2 = a2 , x = 0, y = 3x( x, y 0) y=√3x ↔ y/x = √3 ↔ φ = π/3 Suy ra: p ￬ j ￬ p 3 2 Đi từ trong gốc tọa độ ra chỉ gặp 1 đường nên 0 ≤ r ≤ a π 2 a π π r3 a π 3 I = � ϕ �.r .dr = ( − )( )0 = a d r π 0 2 3 3 18 3
  12. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I=� �xydxdy D Trong đó D giới hạn bởi x 2 + y 2 2y , x + y 0 y > 0, x+y=0 ↔ φ = 3π/4 Suy ra : 3π/4 ≤φ ≤ π x2+y2 = 2y ↔ r = 2sinφ Suy ra : 0 ≤ r ≤ 2sinφ π 2sin ϕ I = �dϕ � r .r cos ϕ .r sin ϕ dr 3π 0 4
  13. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I = � y − 1)dxdy �(2 D Trong đó D giới hạn bởi : 2 x x 2 + y 2 4 x, − 3x y 0 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ - 3x ￬ y ￬ 0 ￬ - p ￬ j ￬ 0 3 Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân 0 4 cos ϕ I = �dϕ � r (2r sin ϕ − 1)dr −π 2cos ϕ 3
  14. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I=� �xdxdy D Trong đó D giới hạn bởi ( x − 2)2 + y 2 1,0 y Ta đi tích phân này bằng cách dời hình tròn để tâm 1 hình tròn là (0,0), sau đó mới đổi sang tọa độ cực. 1 2 Thực hiện 2 việc trên bằng 1 -1 phép đổi biến sang tọa độ cực mở rộng như sau: đặt x = 2 + r cos ϕ y = r sin ϕ
  15. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Khi đó, miền D giới hạn bởi 0 ϕ π 0 r 1 π 1 Vậy : I = � ϕ �(2 + r cos ϕ )dr d r 0 0
  16. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân x2 y 2 I = � 1 − 2 − 2 dxdy � D a b Trong đó D giới hạn bởi x2 y 2 2 + 2 1, x 0 a b Ta đổi biến sang tọa độ cực b mở rộng bằng cách đặt x = ar cos ϕ � J = abr a y = br sin ϕ Thì D giới hạn bởi 3π π ϕ 3π 2 1 2 2 abr 1 − r 2 dr � I = �dϕ � 0 r 1 π 0 2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2