intTypePromotion=3

Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:74

0
171
lượt xem
49
download

Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 trình bày các nội dung tiếp theo của chương 1 về khả vi và vi phân; đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp; công thức taylor - maclaurint; cực trị hàm nhiều biến.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 1.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. §3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 d 2f = d (df ) = d (fxᄁ + fyᄁdy ) = d (fxᄁ ) + d (fyᄁ ) dx dx dy = (d (fxᄁ)dx + fxᄁ (dx )) + (d (fyᄁ)dy + fyᄁd (dy )) d ᄁᄁdx 2 + 2fxy dxdy + fyy dy 2 = fxx ᄁᄁ ᄁᄁ Hay ta viết dưới dạng ᄁ 2f ᄁ 2f ᄁ 2f d 2f = 2 dx 2 + 2 dxdy + 2 dy 2 ᄁx ᄁ xᄁ y ᄁy Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 � ᄁ ᄁ � � ᄁ ᄁ � df = ᄁ dx + dy ᄁ f ᄁ 2 d f = ᄁ dx + ᄁᄁ x dy ᄁ f ᄁ ᄁᄁ x ᄁ � ᄁ ᄁ � ᄁy � ᄁ ᄁy �
  2. §3 : Khả vi và Vi phân Tổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) 3 � ᄁ ᄁ � 3 d f = ᄁ dx + ᄁᄁ x dy ᄁ f ᄁ ᄁ � ᄁy � ᄁ ᄁᄁᄁdx 3 + 3fxxy dx 2dy + 3fxyy dxdy 2 + fyyy dy 3 = fxxx ᄁᄁᄁ ᄁᄁᄁ ᄁᄁᄁ Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 2 � ᄁ ᄁ ᄁ � d f ( x, y , z ) = ᄁ dx + dy + dzᄁ f 2 ᄁᄁ x ᄁ ᄁ � ᄁy ᄁ ᄁz � = fxx dx 2 + fyy dy 2 + fzzdz 2 + 2fxy dxdy + 2fyzdydz + 2fzxdzdx ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ
  3. §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, d2f tại (0,π/2) Giải : Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, thay vào công thức tính vi phân fxᄁ = sin y + 2y sin x, fyᄁ = x cos y - 2cos x fxx = 2y cos x, fxy = cos y + 2sin x, fyy = - x sin y ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ Vậy ta được: df (0, p ) = fxᄁ(0, p )dx + fyᄁ(0, p )dy = dx - 2dy 2 2 2 2 d f (0, p ) = f ᄁᄁ(0, p )dx 2 + 2f ᄁᄁ(0, p )dxdy + f ᄁᄁ(0, p )dx 2 2 xx 2 xy 2 yy 2 Vậy : df 0, p ( )= dx - 2dy ,và d 2f (0, p ) = pdx 2 2 2
  4. §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y,z) = xy2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính df, d2f Giải Tương tự ví dụ trên, ta có df = fxᄁ + fyᄁdy + fzᄁ dx dz df = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dz d 2f = fxx dx 2 + fyy dy 2 + fzzdz 2 + 2fxy dxdy + 2fyzdydz + 2fzxdzdx ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 + 2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx
  5. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và dz ᄁ z dx ᄁ z dy = + dt ᄁ x dt ᄁ y dt dz Ví dụ : Cho hàm z = x -3xy, x = 2t+1, y= t -3. Tính 2 2 dt Giải: dz = ᄁ z dx + ᄁ z dy =(2x – 3y)2 + (-3x)2t dt ᄁ x dt ᄁ y dt
  6. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Tổng quát hơn: Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự: ᄁz ᄁzᄁx ᄁzᄁy = + ᄁu ᄁxᄁu ᄁyᄁu ᄁz ᄁzᄁx ᄁzᄁy = + ᄁv ᄁxᄁv ᄁyᄁv ᄁz z ᄁz ᄁx ᄁy Ta có thể tổng quát bằng sơ đồ sau : ᄁx x ᄁx y ᄁy Cần tính đạo hàm của z ᄁu ᄁv ᄁy ᄁv theo biến nào ta đi theo ᄁu đường đến biến đó u v u v
  7. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2. Tính ᄁ z , ᄁ z ᄁu ᄁv Giải: Ta sử dụng công thức trên để tính ᄁz ᄁz ᄁx ᄁz ᄁy y y = . + . = e (- sin u ) + xe .2u ᄁu ᄁx ᄁu ᄁy ᄁu ᄁz ᄁz ᄁx ᄁz ᄁy y y = . + . = e (cos v ) + xe .2v ᄁv ᄁx ᄁv ᄁy ᄁv Chú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, y theo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàm thông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả nhanh hơn
  8. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z Giải : Ta đặt thêm 2 biến trung gian : u = x+y, v = 2x – 3y để thấy rõ ràng hàm z = f(u,v) là hàm hợp Dùng công thức đh hàm hợp, ta được 2 đhr cấp 1: z’x= f’u.u’x+f’v.v’x= f’u+2f’v ; z’y = f’u.u’y+f’v.v’y = f’u-3f’v Sau đó, lấy đhr của các đh cấp 1, ta được các đhr cấp 2:
  9. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp z”xx = [f’u]’x + 2[f’v]’x = z”xx = [(f’u)’u.u’x+(f’u)’v.v’x]+2[(f’v)’u.u’x+(f’v)’v.v’x] Giữ nguyên Giữ nguyên Lấy đhr theo u thì nhân Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của u theo x với đhr của v theo x Lấy đhr cấp 2 theo thì tương ứng nhân với đhr của u, v theo x Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv
  10. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x2-y2). Tính zx , zy ᄁ ᄁ Giải: Ta đặt t = x2-y2, thì f là hàm theo 1 biến t, z=y.f Vậy: ᄁz ᄁ.t x = y .f ᄁ.2 x ᄁ z = f + y .f ᄁ.t y = f + y .f ᄁ.(- 2y ) = y .f ᄁ ᄁ ᄁx ᄁy Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta tính vi phân của hàm z theo vi phân của 2 biến độc lập u, v bằng cách dùng công thức như hàm 2 biến thường` dz = zv dv + zu du ᄁ ᄁ
  11. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm hợp Cho hàm z = z(x,y), trong đó x = x(u,v), y = y(u,v). Ta đi tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v zuu = ( zu )u = ( zx .xu + zy .y u )u ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ = (( zx )u .xu + zx .xuu ) + (( zy )u .y u + zy .y uu ) ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ = ( zxx .xu + zxy .y u )xu + zx xuu + ( zyx .xu + zyy .y u )y u + zy y uu ᄁᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ Vậy: ᄁᄁ = ( zxx xu 2 + 2zxy xu y u + zyy y u2) + ( zx xuu + zy y uu ) zuu ᄁᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁᄁ ᄁ ᄁᄁ Tương tự, ta có 2 đạo hàm cấp 2 còn lại
  12. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = x2y - xy2, x = uv, y =u2 - v2. Tính zuv ᄁᄁ Giải: ᄁ = zx xu + zy y u = (2 xy - y 2 )vu v - 1 + ( x 2 - 2xy )2u zu ᄁ ᄁ ᄁ ᄁ Ta lấy đạo hàm theo v của biểu thức trên: zuv = (2 xy - y 2 )v vu v - 1 + (2 xy - y 2 )(vu v - 1 )v + ( x 2 - 2xy )v 2u ᄁᄁ ᄁ ᄁ ᄁ = (2(u v ln u.y + x(- 2v )) - 2y (- 2v ))vu v - 1 + (2 xy - y 2 )(u v - 1 + vu v - 1 ln u ) +(2 xu v ln u - 2(u v ln u.y + x(- 2v )))2u
  13. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2 của hàm z(u,v). Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp là 2 ᄁᄁ du 2 + 2zuv dudv + zvv dv 2 d z = zuu ᄁᄁ ᄁᄁ Ví dụ: Cho z = xcosy, x = uv, y = u+v. Tính dz, d2z theo vi phân của biến độc lập du, dv Giải: Ta sẽ tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, rồi thay vào công thức vi phân, ta được: dz = (v cos y - x sin y )du + (u cos y - x sin y )dv d 2z = (- 2v sin y - x cos y )du 2 + (- 2u sin y - x cos y )dv 2 +2(- v sin y + cos y - u sin y - x cos y )dudv
  14. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Hàm ẩn 1 biến (Đã biết) : Cho hàm y=y(x) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y)=0 Ta tính đạo hàm y’ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình F(x,y)=0 theo x: ᄁ F dx ᄁ F dy dy . + . = 0 Ta tính từ đẳng thức này ᄁ x dx ᄁ y dx dx để được công thức dy Fxᄁ = yᄁ = - dx Fyᄁ
  15. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0 Giải: Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức Fxᄁ 1 1+ y 2 yᄁ= - =- = Fyᄁ 1 y2 - 1+ 1+ y 2 Để tính đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1 với ghi nhớ rằng y’ đã có trước đó để thay vào cuối cùng. 1 2yy ᄁ 2( y 2 + 1) y ᄁᄁ = (1 + 2 )ᄁ = - 4 =- y y y5
  16. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Hàm ẩn nhiều biến: Cho hàm z=z(x,y) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y,z) = 0. Ta phải tính 2 đạo hàm riêng Tương tự hàm ẩn 1 biến, ta có công thức tính đạo hàm Fxᄁ Fyᄁ zx = - ᄁ , zy = - ᄁ Fzᄁ Fzᄁ Hoặc ta có thể tính đạo hàm riêng của hàm z theo x, y bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình hàm ẩn lần lượt theo x, y (Coi biến còn lại là hằng số
  17. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương trình x2+y2+z2-3x+6y-5z+2 = 0. Tính zx , zy ᄁ ᄁ Giải: Cách 1: Lấy đạo hàm 2 vế phương trình đã cho theo x, coi y là hằng số 3 - 2x 2 x + 2zzx - 3 - 5zx = 0 � zx = ᄁ ᄁ ᄁ 2z - 5 Và lấy đạo hàm theo y, coi x là hằng số 6 + 2y 2y + 2zzy + 6 - 5 zy = 0 � zy = ᄁ ᄁ ᄁ 5 - 2z
  18. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Cách 2: Sử dụng công thức bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình đã cho Fxᄁ = 2 x - 3, Fyᄁ = 2y + 6, Fzᄁ = 2z - 5 Ta cũng sẽ được kết quả như trên. Để có đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1, và nhớ rằng z là hàm, biến còn lại là hằng số Vi phân của hàm ẩn: hàm y(x) hoặc z(x,y) đều là các hàm theo 1 hoặc 2 biến độc lập nên ta tính vi phân các cấp của chúng như với hàm bình thường
  19. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ: Tính dz, d2z nếu zex + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1) Giải: Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để được z = -1 Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên ze x 3 zx ᄁ =- x , zy ᄁ =- x � zx (0,1) = 1 , zy (0,1) = - 3 ᄁ ᄁ e +1 e +1 2 2 1 � dz(0,1) = (dx - 3dy ) 2
  20. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn ᄁ ᄁ � ze x � � z.ze x � zxx = � x ᄁᄁ � - � =� � � x - � � � e + 1� � ze + z � � � � � x Ta thay zex = 1-3y-z vào biểu thức trên rồi tính đạo hàm tiếp � z(1- 3 y - z )�ᄁ zxx = ᄁ- ᄁᄁ ᄁ ᄁ = - zx (1- 3 y - z ) + z(- zx ) ᄁ ᄁ ᄁ ᄁ � 1- 3 y ᄁ � (1- 3 y )2 x z - (1- 3 y - z ) Thay z’x(0,1) = ½ vào, ta zxx = zx ᄁᄁ ᄁ (1- 3 y )2 được z”xx(0,1) = 0 Tương tự, ta tính được 2 đạo hàm riêng cấp 2 còn lại. Và được d 2 z(0,1) = 3 dxdy 2

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản