§3 : Kh vi và Vi phân ả
Vi phân c p 2 là vi phân c a vi phân c p 1ấ ủ ấ
( ) ( )
x y
d f dx d f dy
ﾢ ﾢ
= +
2
( ) ( )
x y
d f d df d f dx f dy
ﾢ ﾢ
= = +
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
x x y y
d f dx f d dx d f dy f d dy
ﾢ ﾢ ﾢ ﾢ
= + + +
2 2
2
xx xy yy
f dx f dxdy f dy
ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ
= + +
Hay ta vi t d i d ngế ướ ạ
2 2 2
2 2 2
2 2
2
f f f
d f dx dxdy dy
x x y y
ﾢ ﾢ ﾢ
= + +
ﾢ ﾢ ﾢ ﾢ
V y ta vi t d i d ng quy c sauậ ế ướ ạ ướ
2
2
d f dx dy f
x y
� �
ﾢ ﾢ ﾢ
ﾢ
= + ﾢ
ﾢﾢ
ﾢ
� �
ﾢ ﾢ
df dx dy f
x y
� �
ﾢ ﾢ ﾢ
ﾢ
= + ﾢ
ﾢﾢ
ﾢ
� �
ﾢ ﾢ
§3 : Kh vi và Vi phân ả
2
2
2 2 2
( , , )
2 2 2
xx yy zz xy yz zx
d f x y z dx dy dz f
x y z
f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx
� �
ﾢ ﾢ ﾢ ﾢ
ﾢ
= + + ﾢ
ﾢﾢ
ﾢ
� �
ﾢ ﾢ ﾢ
ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ
= + + + + +
Vi phân c p 2 c a hàm 3 bi n f(x,y,z)ấ ủ ế
3
3
3 2 2 3
3 3
xxx xxy xyy yyy
d f dx dy f
x y
f dx f dx dy f dxdy f dy
� �
ﾢ ﾢ ﾢ
ﾢ
= + ﾢ
ﾢﾢ
ﾢ
� �
ﾢ ﾢ
ﾢﾢﾢ ﾢﾢﾢ ﾢﾢﾢ ﾢﾢﾢ
= + + +
T ng quát công th c trên cho hàm 3 bi n và cho vi ổ ứ ế
phân c p 3 c a hàm 2 bi nấ ủ ế
Vi phân c p 3 c a hàm 2 bi n f(x,y)ấ ủ ế
§3 : Kh vi và Vi phân ả
Ví d : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, ụ
d2f t i (0,ạπ/2)
Gi i :ả
Ta đi tính các đ o hàm riêng đ n c p 2, thay vào ạ ế ấ
công th c tính vi phânứ
sin 2 sin , cos 2cos
x y
f y y x f x y x
ﾢ ﾢ
= + = -
2 cos , cos 2sin , sin
xx xy yy
f y x f y x f x y
ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ
= = + = -
(0, ) (0, ) (0, ) 2
2 2 2
x y
df f dx f dy dx dy
p p p
ﾢ ﾢ
= + = -
V y ta đ c:ậ ượ
2 2 2
(0, ) (0, ) 2 (0, ) (0, )
2 2 2 2
xx xy yy
d f f dx f dxdy f dx
p p p p
ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ
= + +
( )
2 2
0, 2 , à (0, )
2 2
df dx dy v d f dx
p p p
= - =
V y : ậ
§3 : Kh vi và Vi phân ả
Ví d : Cho hàm f(x,y,z) = xyụ2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính
df, d2f
Gi iả
T ng t ví d trên, ta cóươ ự ụ
x y z
df f dx f dy f dz
ﾢ ﾢ ﾢ
= + +
df = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dz
d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 +
2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx
2 2 2 2
2 2 2
xx yy zz xy yz zx
d f f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx
ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ ﾢﾢ
= + + + + +
§4 : Đ o hàm riêng và Vi phân hàm h p ạ ợ
Đ o hàm riêng c p 1 c a hàm h pạ ấ ủ ợ
Đ nh lýị : Cho hàm z = z(x,y) kh vi trong mi n D; ả ề x, y
là các hàm theo bi n t: ếx=x(t), y=y(t) kh vi trong ả
kho ng ả(t1,t2), khi y hàm h p ấ ợ z = z(x(t),y(t)) cũng
kh vi trong kho ng ả ả (t1,t2) và
dz z dx z dy
dt x dt y dt
ﾢ ﾢ
= +
ﾢ ﾢ
Ví d : Cho hàm ụz = x2-3xy, x = 2t+1, y= t2-3. Tính dz
dt
Gi i: ả
dz z dx z dy
dt x dt y dt
ﾢ ﾢ
= +
ﾢ ﾢ
=(2x – 3y)2 + (-3x)2t