intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 2: Ôn tập tích phân kép và ứng dụng - Tăng Lâm Tường Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST
Báo xấu
6
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Ôn tập tích phân kép và ứng dụng, cung cấp cho người học những kiến thức như Ôn tập tích phân kép, tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các, tích phân kép trong hệ tọa độ cực, công thức biến đổi tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Ôn tập tích phân kép và ứng dụng - Tăng Lâm Tường Vinh

  1. Ôn tập tích phân kép và ứng dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Tp. Hồ Chí Minh, 05/2020 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 1 / 42
  2. Nội dung 1 Ôn tập tích phân kép Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các Tích phân kép trong hệ tọa độ cực Công thức biến đổi tổng quát 2 Ứng dụng Tính diện tích miền D Tính thể tích vật thể 3 Các ví dụ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 2 / 42
  3. Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các các ví dụ mục bài Định lý 1 (Định lý Fubini) Cho f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D = (x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d là hàm liên tục trên miền D. Khi đó     b d d b f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy  dx =  f (x, y) dx dy (1) D a c c a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 3 / 42
  4. Tích phân kép trên miền tổng quát các ví dụ mục bài Định lý 2 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên miền D. Nếu D : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) với g1 (x), g2 (x) liên tục trên miền [a, b] thì   b g2 (x) f (x, y) dx dy = f (x, y) dy  dx (2)    D a g1 (x) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 4 / 42
  5. Tích phân kép trên miền tổng quát các ví dụ mục bài Định lý 3 Cho hàm số f (x, y) liên tục trên miền D. Nếu D : c ≤ y ≤ d, h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y) với h1 (y), h2 (y) liên tục trên miền [c, d] thì   d h2 (y) f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy (3)    D c h1 (y) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 5 / 42
  6. Tích phân kép trong hệ tọa độ cực các ví dụ mục bài Hệ tọa độ cực (r, ϕ) xác định một điểm có tọa độ (x, y) như sau y r 2 = x2 + y 2 ; x = r cos ϕ; y = r sin ϕ; tan ϕ = x Định lý 4 Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên miền D = (r, ϕ) : 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤ ϕ ≤ β ở đây 0 ≤ β − α ≤ 2π thì β b f (x, y) dx dy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ (4) D α a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 6 / 42
  7. Tích phân kép trong hệ tọa độ cực (Miền tổng quát) các ví dụ mục bài Định lý 5 Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên miền D = (r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, h1 (ϕ) ≤ r ≤ h2 (ϕ) ở đây 0 ≤ β − α ≤ 2π thì   β h2 (ϕ) f (x, y) dx dy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr  dϕ (5)    D α h1 (ϕ) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 7 / 42
  8. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Định nghĩa 1 (Định thức Jacobian) Cho T là phép biến đổi miền R được xác định trong mặt phẳng uv thành miền D trong mặt phẳng Oxy theo những công thức sau x = x(u, v), y = y(u, v) Khi đó định thức Jacobian được tính theo công thức xu xv J = yu yv TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 8 / 42
  9. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Định lý 6 Tích phân kép của hàm f (x, y) trên miền D trong mặt phẳng Oxy là I = f (x, y) dx dy D được xác định như sau I= f x(u, v), y(u, v) |J | du dv (6) D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 9 / 42
  10. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Công thức biến đổi sang hệ tọa độ cực Công thức đổi biến sang hệ tọa độ cực là x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (r ≥ 0) Định thức Jacobian khi chuyển sang hệ tọa độ cực là ∂x ∂x ∂(x, y) ∂r ∂ϕ cos ϕ −r sin ϕ J = = = =r ∂(r, ϕ) ∂y ∂y sin ϕ r cos ϕ ∂r ∂ϕ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 10 / 42
  11. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Định lý 7 Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên miền D = {(r, ϕ) : α ≤ ϕ ≤ β, h1 (ϕ) ≤ r ≤ h2 (ϕ)} thì   β h2 (ϕ) f (x, y) dx dy = f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr  dϕ (7)    D α h1 (ϕ) TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 11 / 42
  12. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Miền D là hình tròn bán kính R tâm (x0, y0) Miền D là hình tròn (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ R2 , R > 0. Ta dùng phép biến đổi y − y0 x = x0 + r cos ϕ, y = y0 + r sin ϕ, tan ϕ = x − x0 Định thức Jacobian là ∂x ∂x ∂(x, y) ∂r ∂ϕ cos ϕ −r sin ϕ J = = = =r ∂(r, ϕ) ∂y ∂y sin ϕ r cos ϕ ∂r ∂ϕ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 12 / 42
  13. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Định lý 8 Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên miền D được xác định trong hệ tọa độ mở rộng D = (r, ϕ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ ϕ ≤ β thì β b f (x, y) dx dy = f (x0 + r cos ϕ, y0 + r sin ϕ) r dr dϕ (8) D α a TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 13 / 42
  14. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Miền D là ellipse x2 y2 Miền D là ellipse + = 1, a, b > 0. Ta dùng phép đổi biến a2 b2 x y y a = r cos ϕ, = r sin ϕ, tan ϕ = · a b x b Định thức Jacobian là ∂x ∂x ∂(x, y) ∂r ∂ϕ a cos ϕ −ar sin ϕ J = = = = abr. ∂(r, ϕ) ∂y ∂y b sin ϕ br cos ϕ ∂r ∂ϕ TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 14 / 42
  15. Công thức đổi biến tổng quát các ví dụ mục bài Định lý 9 Nếu f (x, y) là hàm liên tục trên miền D = {(r, ϕ) : r1 ≤ r ≤ r2 , α ≤ ϕ ≤ β} thì β r2 f (x, y) dx dy = f (ar cos ϕ, br sin ϕ) abr dr dϕ (9) D α r1 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 15 / 42
  16. Tính diện tích miền D các ví dụ mục bài Định lý 10 Diện tích miền D được tính theo công thức SD = 1 dx dy (10) D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 16 / 42
  17. Tính diện tích miền D các ví dụ mục bài Định lý 10 Diện tích miền D được tính theo công thức SD = 1 dx dy (10) D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 16 / 42
  18. Tính thể tích vật thể các ví dụ mục bài Định lý 11 Thể tích của vật thể Ω được giới hạn trên bởi mặt cong z = f (x, y), giới hạn bởi miền D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz, tựa trên biên của miền D được tính theo công thức V = f (x, y) dx dy (11) D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 17 / 42
  19. Tính thể tích vật thể các ví dụ mục bài Định lý 11 Thể tích của vật thể Ω được giới hạn trên bởi mặt cong z = f (x, y), giới hạn bởi miền D, giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz, tựa trên biên của miền D được tính theo công thức V = f (x, y) dx dy (11) D TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 17 / 42
  20. Các ví dụ của tích phân kép mục bài ví dụ 1 ví dụ 2 ví dụ 3 ví dụ 4 ví dụ 5 ví dụ 6 ví dụ 7 ví dụ 8 ví dụ 9 ví dụ 10 TĂNG LÂM TƯỜNG VINH Ôn tập tích phân kép và ứng dụng 18 / 42
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2