Bài giảng Giải tích 2: Ứng dụng hình học của tích phân kép - Trần Ngọc Diễm (tt)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 2: Ứng dụng hình học của tích phân kép" cung cấp cho người học các kiến thức: Tính diện tích miền phẳng, tính thể tích vật thể trong R3, tính diện tích mặt cong. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Ứng dụng hình học của tích phân kép - Trần Ngọc Diễm (tt)

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP
NỘI DUNG • Tính diện tích miền phẳng • Tính thể tích vật thể trong R3 • Tính diện tích mặt cong
TÍNH DIỆN TÍCH MIỀN PHẲNG D là miền đóng và bị chận trong R2: S (D)  D dxdy Có thể dùng cách tính của tp xác định trong GT1 cho những bài không đổi biến.
Ví dụ 1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 2 y  x ,y  x 2 yx S (D )  D dxdy y x 1 x 1   dy  dx  3 0 x2
2/ Tính diện tích miền D là phần nằm ngoài đường tròn x 2  y 2  1 và nằm trong đường tròn 2 22 x y  x 3 Đổi biến: x = rcos, y = rsin Tọa độ giao điểm x 2  y 2  1   2 2 2 x  y  x  3
x 2  y 2  1 r  1 r  1     2 2 2  3   x  y  x cos   2    6  3        6 6 D: 1  r  2 cos   3  2 cos  3  6 S (D )     6 d  1 3 rdr   6 18
Nếu sử dụng tính đối xứng của D Miền D đối xứng qua Ox D1 = D {x,y)/ y  0}  S(D) = 2S(D1) 0      6 D1 :  1  r  2 cos  3  2 cos  6 3 S (D )   0 d  1 rdr
BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ  được giới hạn trên bởi mặt cong z = f2(x, y), mặt dưới là z = f1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. V ()   f2 ( x , y )  f1 ( x , y )  dxdy D Khi đó, hình chiếu của  lên Oxy là D.
Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D B1: chọn hàm tính tích phân: Chọn hàm tương ứng với biến chỉ xuất hiện 2 lần trong các pt giới hạn miền tính thể tích (). VD: z chỉ xuất hiện 2 lần : z = f1(x, y), z = f2(x,y), hàm tính tp là z = |f2(x,y) – f1(x,y)|
Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D B2: Xác định miền tính tp D Gs hàm tính tp là z = f(x,y), D là hình chiếu của  lên mp Oxy và được xác định từ các yếu tố sau: 1.Điều kiện xác định của hàm tính tp 2.Các pt không chứa z giới hạn miền . 3.Hình chiếu giao tuyến của z = f1(x,y) và z = f2(x,y) (có thể không sử dụng)
Hình chiếu giao tuyến 1.Được tìm bằng cách khử z từ các pt chứa z. 2. Các TH sử dụng hc giao tuyến. Tìm được từ đk 1,2 Không sử dụng Sử dụng
f 1 > f2 D1 D2 f2 > f 1 Sử dụng để xác định dấu của f2 – f1
Ví dụ 1/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: y  x , y  0, z  0, x  z  1 Cách 1: z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là z = 1 – x và z = 0 (các hàm xác định trên R2) D  hc  1 Oxy •các pt không chứa z D y  0, y  x •Hc giao tuyến: 1  x  0 1
V ( )   D [(1  x )  0]dxdy 1 1  dy   (1  x )dx 0 y2 1 1 4 0   dy (1  x )dx  2 15 y
 : y  x , y  0, z  0, x  z  1 Cách 2: y xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là y  0, y  x D  hc  Oxz x •Đk xác định của hàm tính tp: x  0 •Các pt không chứa y: x  z  1, z  0 z •Hc giao tuyến: x 0 x 0
V ( )   D [ x  0]dxdz 1 1 x  dx  0 0 xdz 1 4    x 1/2 x 3/2  dx  15 0
 : y  x , y  0, z  0, x  z  1 Cách 3: x xuất hiện 2 lần, chọn hàm tính tp là 2 y  x  x  y , x  1 z z 1 D  hc  Oyz z=1– y2 •Đk xác định hàm: y  0 •Các pt không chứa x: y  0, z  0 1 y •Hc giao tuyến: 1  z  y 2
2 V ( )   D [(1  z)  y ]dydz 1 1 y 2 2 4  dy  0  0 (1  z  y )dz  15
D  hc  Oyz D  hc  Oxz D  hc  Oxy
2/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: 2 2 2 2 z  4  x  y , z  0, x  y  2 z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là: 2 2 z  4  x  y ,z  0 D  hc  Oxy •Các pt không chứa z: x2  y 2  2 2 2 •Hc hiếu giao tuyến: 2 2 0  4x y Hình chiếu giao tuyến không sử dụng