Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 2 - Chuỗi lỹ thừa" cung cấp cho người học cấc nội dung: Định nghĩa, định lý Abel, trường hợp chuỗi tổng quát, cách tìm bán kính hội tụ, tính chất của chuỗi lũy thừa,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)

CHUỖI LŨY THỪA
ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:  n  an ( x  x0 ) , an  R là giá trị cho trước n 1 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:    n D   x  R :  an ( x  x0 ) hoä i tuï  n 1   n a X Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành  n , n 1 nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này.
Định lý Abel  n Neá u  n hoäituï taïi x 0  0 thì hoäituï a x n 1 tuyeä i trong   x0 , x0  t ñoá Hệ quả:  n Neá u  n phaân kyøtaïi x 0 thì phaân kyø a x n 1 taïi moïi x    x0 , x0 
Chứng minh định lý  n n Neá u a  n x hoä i tuï taï i x 0  0 thì lim a x n 0 0 n 1 n  n  M  0 : an x0  M , n n n n n x  x an x  an x0   M  x0  x0 x x    x0 , x0  : 1 x0  n  x   hoä i tuï  an x n hoä i tuï n 0 x0 n 0
Bán kính hội tụ  n SoáR >0 sao cho  n hoäituï trong  R , R  a x n 1 vaøphaâ n kyøbeâ i  R , R  goïi laøbaù n ngoaø n kính hoä i tuï cuû a chuoã i.  R , R  goïi laøkhoaûn g hoäituï cuûa chuoãi. Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ cần xét thêm tại R
Trường hợp chuỗi tổng quát  n  an ( x  x0 ) n 1  n SoáR >0 sao cho a  n ( x  x 0 ) hoä i tuï trong n 1  x0  R , x0  R  vaøphaân kyøbeân ngoaøi  R , R  goïi laøbaù n kính hoä i tuï cuû a chuoã i. Khoảng hội tụ: ( x 0  R , x0  R )
Cách tìm bán kính hội tụ n an 1 Tính:   lim an hoặc   lim n  n  an 0,     1  R   , 0       ,   0 R  0 : MHT =0  hoaë i TQ  c  x0  cho chuoã  R   : MHT =  ,  
Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 1 an R  lim hay R  lim n  n an x  an 1 2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng.
Ví dụ  n n (1) n (1) 1 / Tìm mieà n hoä i tuï  x an  n 1 n n 1 n R  lim  lim n  1  Khoảng ht: (1,1) n  n an n   (1)n x  1 : chuoãi trôûthaø nh  , ht theo tc L. n 1 n 1 x  1: chuoã i trôûthaø n h  , phaâ n kyø n 1 n Vaäy mieà n hoä : D   1,1 i tuï laø
 2 (n !) n 2 / Tìm baù n kính hoä i tuï:  x n 1 (2n )! 2 (n !) an  (2n )! (n !) 2 an (2n )! R  lim  lim n  an 1 2 n  (n  1)! (2n  2)! (2n  1)(2n  2)  lim 2 4 n  (n  1)
 n 1 ( x  1) an  2 n 3 / Tìm mieà n hoä i tuï  2 n n 1 n 2 n 2 1 n 2 n R  lim  lim n 2  2 n  n an n   Khoảng ht: (1  2,1  2)  (1,3)  n  n (2) (1) x  1:  2 n   2 , ht theo tc L. n 1 n 2 n 1 n  n  2 1 x  3 :  2 n   2 ht .  D   1,3 n 1 n 2 n 1 n
 n ( x  3) 4 / Tìm mieà n hoä i tuï  n n 1 5  n  n ( x  3)  x  3  n    5  : chuoãicaáp soánhaân n 1 5 n 0   x 3 Điều kiện hội tụ:  1  8  x  2 5 Vaä y mieà n hoä : D   8, 2  i tuï laø
Tính chất của chuỗi lũy thừa  n Cho chuoã i luõ y thöø a  n coùbaùn kính a x n 1 hoä i tu ï R , goïi S ( x ) laøtoå n g c huoã i. 1 / S ( x ) lieâ n tuïc treâ n mieà n hoä i tu ï.  n 1 2 / S ( x )  na  n x , x   R , R  n 1  x an n 1 3/ 0 S (t )dt  x ,   R , R  n 1 n  1
Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng. 3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.   n n 1 S(x)   n  S ( x )  a x na  n x n 0 n 1
Ví dụ áp dụng: tính tổng chuỗi Nhắc lại:   1n n x  x  1 x ,  x  1 x n 0 n 1 Điều kiện: |x| < 1
 n x 1 / S(x)   MHT: D   1,1 n 1 n   n 1 n 1 S ( x )  x  x  , x   1,1 n 1 n 0 1 x dt x  S ( x )  S (0)     ln(1  x ), x   1,1 0 1 t Do S (0)  0  S ( x )   ln(1  x ), x  1 S (1)  lim S ( x )   ln 2 x 1
 n 2 / S(x)   (n  1)x MHT: D   1,1 n 1  x n 1 0 S (t )dt  n1 x , x   1,1  n  x  x , x   1,1 x 1 2 x  , x   1,1 1 x 2 2   x  2x  x  S(x)     , x   1,1 2 1  x  (1  x )
 n 3 / S(x )   nx MHT: D   1,1 n 1  n 1 S ( x )  x  nx n 1   n   x   xx   x  , x   1,1   1  x   n 1  x  2 , x   1,1 (1  x )
 1 4/S   n n 1 2 .n.(n  1)   1 1  S   n  n n 1 n.2 (n  1).2   n x Xét chuỗi lũy thừa S(x)   n 1 n 1 MHT D   1,1  2 Trong VD1 ta có: S ( x )   ln(1  x ), x  1
 xn S(x)     ln(1  x ), x  1 n 1 n   1 1  S   n  n n 1  n.2 (n  1).2   n  n 1 1 / 2  1 / 2    2 n 1 n n 1 n 1  n  n 1 / 2  1 / 2    2 n 1 n n2 n  1  S 1 / 2   2 S 1 / 2     ln 2  1  2