Bài giảng Giải tích: Chương 2 - Phan Trung Hiếu (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 2: Hàm liên tục" cung cấp cho người học các khái niệm về hàm liên tục, tính chất của hàm liên tục. Đây là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên ngành Toán và nhứng ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập vầ nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 2 - Phan Trung Hiếu (2019)

9/16/2019 Chương 2: Hàm liên tục §1. Khái niệm GV. Phan Trung Hiếu §1. Khái niệm §2. Tính chất của hàm liên tục LOG O 2 I. Hàm số liên tục tại một điểm: (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu lim f ( x)  f ( x0 ). Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định x  x0 trong một khoảng chứa x0. Ta nói: Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu sau:  f(x) xác định tại x0. lim f ( x)  f ( x0 ). x  x0  lim f ( x ) tồn tại. x  x0 (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu  lim f ( x )  f ( x0 ). lim f ( x )  f ( x0 ). x  x0 x  x0 3 4 Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau: f  f(x) không xác định tại x0. f  g , f .g , ( g  0) cũng liên tục tại x0. g  f(x) xác định tại x0, nhưng Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau lim f ( x ) không tồn tại hoặc x  x0  sin 3x  khi x  0 tại x  0. lim f ( x) không tồn tại a ) f ( x)   x 0 x  x0 3 khi x  0 hoặc lim f ( x)  lim f ( x ). x  x0 x  x0  x2  1 khi x  1  tại x0  1.  f(x) xác định tại x0, lim f ( x) tồn tại, nhưng b) f ( x)   x2 x  x0  khi x  1 lim f ( x)  f ( x0 ). 2 x x0 5 6 1
9/16/2019 Ví dụ 1.2: Cho hàm số Ví dụ 1.4: Tìm m và n để hàm số x tan x f ( x)  , x  k 2 (k  ).  3mx khi x  3, 1  cos x  f (x )   x  n khi x  3, Tìm f(0) để hàm số trên liên tục tại x0  0. x2  khi x  3. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số 3 liên tục tại x0  3.  ex 1  khi x  0 f ( x )   ln(1  x 2 ) liên tục tại x0  0.  2 1  m khi x  0 7 8 II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn: Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ thị là một đường liền nét (không đứt khúc) Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b) trên đoạn đó. khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a,b). Định nghĩa 2.2: f(x) liên tục trên (a,b)   a b a b f(x) liên tục trên [a,b]   xlim a f ( x)  f (a)   Liên tục Không liên tục  xlim b f ( x )  f (b)  9 10 Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số Ví dụ 1.5: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác mx 2  2 x khi x  2 định f ( x)   3  x  mx khi x  2  2 x  3 khi x  0  liên tục trên . f ( x )  1 khi x  0 . Ví dụ 1.7: Tìm m và n để hàm số  x 2  3 khi x  0 1  x khi x  1   1 f ( x)  mx  n khi 1  x   2 1 1 x khi x   2 liên tục trên . 11 12 2
9/16/2019 Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng. Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì §2. Tính chất của hàm số liên tục đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. 13 14 Định lý 2.6 (Định lý giá trị trung gian): Hệ quả 2.6: f(x) liên tục trên [a,b] f(x) liên tục trên [a,b] f (a )  f (b)  c  (a , b ) : f (c )  N .  c  (a, b) : f (c)  0. f (a ). f (b)  0 N   f ( a), f (b)  Ví dụ 2.1: Cho phương trình cos x  x 3 . a) Chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1). b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình. 15 16 3
Bài tập Giải tích Chương 2 Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x0 cho trước  arcsin( x 2  2 x )  ln(1  4 x 2 )  khi x  0  khi x  0 1) f ( x)   3x tại x0  0 . 2) f ( x )   1  e 2 x2 tại x0  0 . 2 / 3 khi x  0  khi x  0  2 ln x  ln 2 Bài 2: Cho hàm số f ( x)  , x  2. Tìm f(2) để hàm số liên tục tại x  2. x2 Bài 3: Xác định m để các hàm số sau liên tục tại điểm x0  0  ln(2  cos(mx ))  3 tan 2 x  sin 2 x  khi x  0  khi x  0 1) f ( x)   x 4  2 x2 . 2) f ( x )   2x . m khi x  0 m khi x  0    m sin 2 x khi x  0,  x  Bài 4: Tìm m và n để hàm số f ( x)  2 khi x  0, liên tục tại điểm x0  0.    2n 1  x  1  khi x  0  x  Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định  sin( x )  x  khi x  1 cos khi x  1 1) f ( x)   x  1 . 2) f ( x)   2 .   khi x  1  x 1 khi x  1 Bài 6: Xác định m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định  e5 mx  cos x  khi x  0 1) f ( x )   x . m 2  4 khi x  0   (1  cos(mx)).(e x  e5 x )  khi x  0 2) f ( x )   x 5  x3 . 3m  1 khi x  0  Bài 7: Cho phương trình ln x  3  2 x . a) Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thực. b) Tìm một khoảng với độ dài là 0,01 có chứa nghiệm của phương trình. 4