Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Cao Thi Ly | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

0
28
lượt xem
2
download

Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích: Chương 6 Tích phân suy rộng của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 2 bài được trình bày như sau: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu

04/12/2017<br /> <br /> Chương 6:<br /> <br /> Tích phân suy rộng<br /> <br /> Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân<br /> suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy<br /> cho biết nó thuộc loại nào.<br /> <br /> <br /> 1<br /> dx<br /> a )  2 dx<br /> b)  2<br /> x<br /> x 1<br /> 1<br /> <br />  /2<br /> <br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Các loại tích phân suy rộng<br /> §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng<br /> <br /> c) <br /> 0<br /> <br /> sin xdx<br /> cos x<br /> <br /> 1<br /> <br /> dx<br /> x<br /> 1<br /> <br /> d )<br /> <br /> 1<br /> <br /> dx<br /> .<br /> x<br /> 2<br /> <br /> e) <br /> LOG<br /> O<br /> <br /> 4<br /> <br /> §1. Các loại tích phân suy rộng<br /> <br /> 2<br /> <br /> Loại 1: <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> f ( x) dx;<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx.<br /> <br /> <br /> <br /> Loại 2:<br /> b<br /> <br />  f ( x)dx trong đó lim f ( x)   với c  [a, b].<br /> a<br /> <br /> x c<br /> <br /> 3<br /> <br /> của tích phân suy rộng<br /> <br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> f ( x) dx;<br /> <br /> §2. Khảo sát sự hội tụ<br /> <br /> TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn<br /> tại điểm suy rộng của tích phân xác định để<br /> tính tích phân.<br /> TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu<br /> chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả<br /> hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm.<br /> Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay<br /> phân kỳ.<br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 04/12/2017<br /> <br /> TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)):<br /> <br />  Điểm suy rộng tại c  ( a, b)<br /> b<br /> <br /> Phương pháp:<br /> -Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm<br /> c  [a, b] mà lim f ( x )  .<br /> x c<br /> -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích<br /> phân xác định để tính tích phân.<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> c<br /> <br /> f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x )dx<br /> a<br /> <br /> c<br /> <br /> -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn<br /> tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược<br /> lại là tích phân phân kỳ.<br /> -Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích<br /> phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân<br /> hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.<br /> <br /> 7<br /> <br /> 10<br /> <br /> Chú ý 2.1:<br /> <br /> Định lí 2.2:<br /> <br /> b<br /> <br /> b<br /> <br /> <br /> <br />   f ( x)dx  alim  f ( x)dx<br />  <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx  lim<br /> <br /> b  <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx   f ( x )dx <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x )dx, c   tùy ý<br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> b)<br /> <br /> <br /> <br /> x a <br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> f ( x )dx  lim  f ( x)dx<br /> <br /> t a<br /> <br /> <br /> <br /> t<br /> <br /> x b <br /> <br /> <br /> <br /> t<br /> <br /> b<br /> t b<br /> <br /> c<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> c<br /> <br /> 2<br /> <br /> 9<br /> <br /> c  (a, b)<br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 11<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> e) <br /> <br /> f)<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> b<br /> <br />  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx,<br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> d )  xe  x dx<br /> <br /> g) <br /> <br /> a<br /> <br />  Điểm suy rộng tại a và b<br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích<br /> phân sau (trong trường hợp hội tụ)<br /> <br /> 0<br /> <br /> dx<br /> ln x<br /> a)  2<br /> b)  e x dx<br /> c) <br /> dx<br /> x<br /> x<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> 1<br /> <br /> f ( x ) dx  lim  f ( x ) dx<br /> <br /> <br /> a<br /> <br />  g ( x)dx.<br /> <br /> f ( x) dx hội tụ và k là một hằng số<br /> <br /> a <br /> <br /> a<br /> <br />  Điểm suy rộng tại b lim f ( x )  <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br />   k . f ( x) dx hội tụ và k . f ( x) dx  k .  f ( x)dx<br /> <br />  Điểm suy rộng tại a lim f ( x)  <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> f ( x) dx <br /> <br /> <br /> <br /> 8<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   f ( x)  g ( x) dx <br /> <br /> f ( x )dx, b  (0, ) tùy ý<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br />  g ( x)dx hội tụ<br /> <br />    f ( x)  g ( x)  dx hội tụ và<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x) dx hội tụ và<br /> <br /> <br /> <br /> a <br /> <br /> b<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a)<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> j) <br /> 2<br /> <br /> dx<br /> 1  x2<br /> <br /> 2 xdx<br /> 1  x2<br /> <br /> <br />  /2<br /> <br /> h)<br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> sin xdx<br /> 1  cos x<br /> <br /> dx<br /> 1  x2<br /> <br /> 1<br /> <br /> e x dx<br /> ex  1<br /> 1<br /> <br /> i) <br /> <br /> dx<br /> 4  x2<br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br /> 04/12/2017<br /> <br /> TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)):<br /> Phương pháp:<br /> -Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm<br /> c  [a, b] mà lim f ( x )  .<br /> <br /> Chú ý 2.4:<br />  Với 0  a   , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x c<br /> <br /> -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã<br /> có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên<br /> hàm.<br /> <br /> a<br /> <br /> 1<br /> dx<br /> xn<br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> dx<br /> xn<br /> <br /> 13<br /> <br /> f ( x )dx,<br /> <br />  g ( x)dx<br /> <br /> ii) k  0 :<br /> <br /> 1<br />  (b  x)n dx<br /> a<br /> <br /> cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> g ( x)dx hội tụ <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f ( x) dx hội tụ.<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> f ( x)dx phân kỳ <br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> <br /> 1<br />  ( x  a)n dx<br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> f ( x )dx hội tụ <br /> <br />  g ( x)dx hội tụ.<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> 14<br /> <br /> f ( x )  g ( x ) khi x  <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> f ( x)dx và<br /> <br />  g ( x)dx<br /> a<br /> <br /> cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.<br /> Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên<br /> <br /> [ a, b), (a , b]<br /> <br /> 15<br /> <br /> phân kỳ  n  1<br /> <br /> f ( x) dx phân kỳ.<br /> 17<br /> <br /> a<br /> <br /> Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [a, ) và<br /> <br /> <br /> <br /> hội tụ  n  1<br /> <br /> <br /> <br />  g ( x)dx phân kỳ  <br /> a<br /> <br /> phân kỳ  n  1<br /> <br />  Với a  b   , ta có<br /> <br />  g ( x)dx phân kỳ.<br /> <br /> <br /> <br /> iii) k   :<br /> <br /> hội tụ  n  1<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> thì<br /> <br /> b<br /> <br /> a<br /> <br /> <br /> <br /> phân kỳ  n  1<br /> <br />  Với a  b   , ta có<br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> hội tụ  n  1<br /> <br /> 16<br /> <br /> Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên [a, ) và khả tích<br /> trên mọi đoạn [a,b], b  a.<br /> f ( x)<br />  k.<br /> Xét xlim<br />  g ( x )<br /> i) 0  k   :<br /> <br /> <br /> <br /> phân kỳ  n  1<br /> <br />  Với 0  b   , ta có<br /> b<br /> <br /> <br /> <br /> hội tụ  n  1<br /> <br /> Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân<br /> <br /> <br /> a) <br /> 1<br /> <br /> <br /> c) <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> dx<br /> 3<br /> x  x 1<br /> <br /> b) <br /> 1<br /> <br /> <br /> ( x  5) dx<br /> 3<br /> <br /> x 1 x<br /> <br /> d) <br /> <br /> 3<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2 xdx<br /> x5  x  1<br /> dx<br /> x3<br /> <br /> 1<br /> <br /> dx<br /> sin x<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> ln(1  x)dx<br /> x 3/2<br /> 0<br /> <br /> f )<br /> <br /> e) <br /> <br /> 18<br /> <br /> 3<br /> <br /> 04/12/2017<br /> <br /> Ví dụ 2.3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân<br /> <br /> <br /> a) <br /> 0<br /> <br /> x2<br /> ex<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> b) <br /> <br /> dx<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> x2<br /> <br /> 1<br /> <br /> ln x<br /> d)<br /> dx<br /> x<br /> 0<br /> <br /> c )  xe dx<br /> 0<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> dx<br /> <br /> e) <br /> <br /> f )<br /> <br /> x2  1<br /> <br /> 1<br /> <br /> x 2  x  5ln x<br /> dx<br /> 2 x3  x  1<br /> <br /> 0<br /> <br /> x 3dx<br /> 3<br /> <br /> (1  x 2 )5<br /> <br /> Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu<br /> Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định<br /> lý sau<br /> Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ<br /> <br />  Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ.<br /> Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt<br /> đối.<br /> Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X .<br /> <br /> Ví dụ 2.5: Khảo sát sự hội tụ của tích phân<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 19<br /> <br /> sin x<br /> dx<br /> x3<br /> 22<br /> <br /> Định lí 2.5:<br /> <br /> 0  f ( x) <br /> Khi đó:<br /> <br /> <br /> [a,  )<br /> g ( x ) với mọi x trên [a, b), lim f ( x )  <br /> x b<br /> <br />  (a, b], lim f ( x)  <br /> <br /> x a<br /> <br /> b<br /> <br /> b<br /> <br /> i)  g ( x )dx hội tụ   f ( x)dx hội tụ.<br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> b<br /> <br /> ii)  f ( x)dx phân kỳ   g ( x)dx phân kỳ.<br /> a<br /> <br /> a<br /> <br /> 20<br /> <br /> Chú ý 2.6:<br />  x  1 , ta có x 2  x  x  1.<br />  x  1, ta có ln x  x  e x .<br />  x  0, ta có e x  1.<br />  x  e, ta có ln x  1.<br />  x  2, ta có ln(1  x )  1.<br /> Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> e x 1dx<br /> x<br /> 0<br /> <br /> 2<br /> <br /> a )  e x dx<br /> 1<br /> <br /> b) <br /> 6<br /> <br /> ln x<br /> dx<br /> ( x  3) 4<br /> 3<br /> <br /> c) <br /> <br /> 21<br /> <br /> 4<br /> <br />
Đồng bộ tài khoản