Nội dung của chương 6 Tích phân nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: định nghĩa tích phân bất định, tính chất của tích phân bất định, công thức tích phân bất định, một số phương pháp tính tích phân.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế: Chương 6 - Nguyễn Ngọc Lam
- C6. TÍCH PHÂN
1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH:
Định nghĩa:
- Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên D nếu F’(x) = f(x) với mọi x D
- Tập hợp các nguyên hàm của f(x) được gọi là tích
phân bất định của f(x). Ký hiệu:
f (x )dx F(x ) C
Trong đó, F(x): Nguyên hàm
C: Hằng số
dx: vi phân của biến x
146
- C6. TÍCH PHÂN
Các tính chất cơ bản:
(f (x ) g(x ))dx f ( x )dx g(x )dx
kf ( x )dx k f (x )dx
f ( x)dx ' f (x )
147
- C6. TÍCH PHÂN
Một số công thức: dx
2
cot gx C
dx x C sin x
dx
x 1 tgx C
x dx C ( -1) 2
cos x
1
dx x x
dx 2 arcsin C arccos C
ln x C a x 2 a a
x dx
ax 2 ln x x 2 b C
a x dx C x b
ln a
dx 1 x 1 x
sin xdx cos x C 2 arctg C arc cot g C
2 a
a x a a a
dx 1 ax
cos xdx sin x C 2 ln
2 2a a x
C
a x 148
- C6. TÍCH PHÂN
Một số phương pháp tính tích phân:
1. Phương pháp đổi biến:
x2
Ví dụ: Tính xe dx tgxdx
2. Phương pháp tích phân từng phần:
udv uv vdu
x
Ví dụ: Tính ln xdx xe dx
149
- C6. TÍCH PHÂN
P(x )
Tích phân hàm hữu tỉ: Bậc của tử nhỏ hơn mẫu.
Q( x )
P(x ) A1 A2 Am
m ( x a)
2
...
( x a) ( x a) (x a)m
P( x ) B1x C1 B2 x C2 Bnx Cn
2 n
2 2 2
.. 2 n
(x bx c ) (x bx c ) (x bx c ) ( x bx c)
Với b2 – 4c < 0 ; trong đó m, n là số nguyên dương.
Xác định Ai, Bj, Cj được thực hiện bằng đồng nhất thức
1 1 xdx
Ví dụ: Tính dx dx 2
xa (x a)m (x x 1)
150
- C6. TÍCH PHÂN
Tích phân hàm vô tỉ: Sử dụng phương pháp đổi biến
chuyển về hàm hữu tỉ.
dx
Ví dụ: Tính
1 3 x 1
151
- C6. TÍCH PHÂN
2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH:
Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định, liên tục và không âm
trên [a,b], chia [a,b] thành n đoạn: a = x0 < x1
- C6. TÍCH PHÂN
Một số tính chất cơ bản:
b a
f ( x )dx f (x )dx
a b
b c b
f ( x)dx f (x )dx f (x )dx, a c b
a a c
b b b
( f (x ) g( x ))dx f (x )dx g(x )dx
a a a
b b
kf (x )dx k f (x )dx , k R
a a
153
- C6. TÍCH PHÂN
Công thức Newton – Leibnitz:
Cho f liên tục trên [a,b] và F là nguyên hàm của f thì:
b
f (x )dx F(x ) b F(b) F(a )
a
a
Phương pháp tính tích phân xác định: Sử dụng các
phương pháp tích phân bất định.
Ví dụ: Tính tích phân:
2 1 e2 x 2e x e
1 x dx dx ln2 xdx
2x
0 0 e 1 1
154
- C6. TÍCH PHÂN
3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG:
Tích phân suy rộng loại 1 (có cận vô hạn):
Cho hàm số f(x) xác định trên [a,+) và f khả tích trên
[a,t] với mọi t > a.
t
f (x )dx lim f (x )dx B
a t a
B được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,+).
Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta
nói là phân kỳ
155
- C6. TÍCH PHÂN
Tương tự có các dạng khác như sau:
b b
f (x )dx lim f (x )dx
t t
c
f (x )dx f (x )dx f (x )dx
c
Ví dụ: Xét các tích phân suy rộng sau:
xdx
x
e dx
0 0 x2 1
156
- C6. TÍCH PHÂN
Tích phân suy rộng của các hàm không âm:
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm không âm trên [a,+)
và f(x) ≤ g(x), khi đó:
g(x )dx hội tụ thì f (x )dx hội tụ
a a
f (x )dx phân kỳ thì g(x )dx phân kỳ
a a
Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:
e x sin2 xdx
0 157
- C6. TÍCH PHÂN
Định lý : Cho f(x), g(x) là hai hàm không âm trên [a,+)
f (x )
lim k, k (0,)
x g(x )
f (x )dx, g(x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ
a a
Ví dụ: Xét tính hội tụ và phân kỳ:
3 x2
dx
1 x 1
158
- C6. TÍCH PHÂN
Tích phân loại 2 (của hàm không bị chặn): Cho hàm số
f(x) liên tục trong khoảng [a,b) và lim f (x )
t b
b t
f ( x )dx lim f (x )dx B
a t b a
được gọi là tích phân suy rộng của f trên [a,b]
Nếu B hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta
nói phân kỳ.
Tương tự ta có định tích phân suy rộng loại 2 trong
trường hợp f(x) không bị chặn khi gần điểm a và f(x)
không bị chặn đồng thời tại a và b. 159
- C6. TÍCH PHÂN
Ví dụ, Tính tích phân
0 dx 2 dx
2
1 x 0 x2
160
- C6. TÍCH PHÂN
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm
trên [a,b), f(x) ≤ g(x), không bị chặn tại b và
lim f ( x) lim g(x)
x b xb
b b
g(x )dx hội tụ thì f ( x)dx hội tụ
a a
b b
f ( x)dx phân kỳ thì g(x )dx phân kỳ
a a
161
- C6. TÍCH PHÂN
Định lý: Cho f(x) và g(x) là hai hàm liên tục không âm
trên [a,b) có:
f (x )
lim f ( x) lim g(x ) lim k, k (0,)
x b x b x b g(x )
b b
g(x )dx f (x )dx cùng hội tụ hoặc phân kỳ
a a
162
- C6. TÍCH PHÂN
4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG:
Ứng dụng tích phân bất định: Tìm hàm mục tiêu từ hàm
giá trị biên.
Tìm hàm chi phí: Cho biết hàm chi phí biên một sản
phẩm của doanh nghiệp và chi phí cố định là 50.
MC 3x 2 2x 5
Tìm hàm doanh thu và hàm cầu: Cho biết hàm doanh thu
biên.
2
MR 500 Q
163
- C6. TÍCH PHÂN
Tìm hàm lợi nhuận: Cho biết hàm lợi nhuận biên theo
sản lượng và nếu chỉ bán 50 sản phẩm thì lỗ 13.500$.
MP 5Q 500
Ứng dụng tích phân xác định:
Phân tích lợi nhuận: Lợi nhuận biên của 1 sản phẩm
MP 0,0005x 12,2
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ
100 lên 101 đơn vị?
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi lượng bán tăng từ
100 lên 110 đơn vị?
164
- C6. TÍCH PHÂN
Chi phí trung bình: Cho hàm chi phí theo thời gian t
(tháng) của doanh nghiệp trong thời gian 3 năm. Tìm chi
phí sản xuất trung một tháng trong kỳ kinh doanh này.
TC 0 , 006 t 2 0 ,02 t 13 ,15
Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất:
Một sản phẩm trên thị trường có hàm cung và hàm cầu:
Hàm cầu: P = -0,3x + 10
Hàm cung: P = 0,1x + 2
Hãy tìm thặng của người tiêu dùng và thặng dư
của người sản xuất tại điểm cân bằng.
165
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
