zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Toán tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng

Chia sẻ: Minh Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Báo xấu

688
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán kinh tế - Chương 3: Toán tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng" cung cấp cho người học các kiến thức: Các bài toán sản xuất, bài toán tiêu dùng; phương pháp tìm cự trị tự do của hàm số trong trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn và trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn, ứng dụng trong phân tích kinh tế; tối ưu hóa với ràng buộc đẳng thức (Cự trị có điều kiện). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế - Chương 3: Toán tối ưu hóa sản xuất và tiêu dùng

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ SẢN XUẤT VÀ TIÊU DÙNG I . CÁC BÀI TOÁN 1. Bài toán sản xuất 2. Bài toán tiêu dùng II. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ 1. Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn 2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn 3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế III. TỐI ƯU HOÁ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC (CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN)
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. TS. Trần Đình Tuấn, Lý thuyết mô hình toán kinh tế, NXB Khoa học kỹ thuật,Hà Nội, 2004 2. To¸n cao cÊp cho c¸c nhµ kinh tÕ – phÇn I gi¶i tÝch ®¹i sè – Lª §×nh Thuý - §HKTQD Hµ néi 3. Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, Taylor & Francis e-Library, 2003. 4. Alpha C. Chiang, Optimization Problem: Fundamental Methods of Mathematical Economics – Third Edition ,
Bài toán sản xuất Giả sử xét một doanh nghiệp sản xuất ra sản phẩm hàng hoá. Để sẩn xuất ra sản phẩm đó, doanh nghiệp cần sử dụng N yếu tố đầu vào khác nhau. Khi biết được chi phí cho mỗi một đơn vị yếu tố đầu vào sản xuất, lúc đó doanh nghiệp có thể gặp phải 2 tình hưống sau: Một là, với số kinh phí đầu tư ấn định trước, doanh nghiệp muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức sản lượng là cao nhất - tối đa hoá sản lượng. Hai là, với mức sản lượng dự kiến sản xuất, doanh nghiệp phải tiêu tốn một khoản chi phí để thực hiện, đương nhiên là doanh nghiệp mong muốn lựa chọn tổ hợp sử dụng các yếu tố sao cho mức chi phí là thấp nhất - cực tiểu hoá chi phí.
Bài toán sản xuất Trường hợp 1: Tối đa sản lượng Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức X1,........,Xn để sản xuất. Do biết được giá của mỗi đơn vị yếu tố đâù vào, ta có thể viết được hàm tổng chi phí sau: P1X1 n + P2X2 +…+ PnXn=  P X Khi đó bài toán trở thành: j 1 j j Xác định Xj>0 (j=1…n) để cho hàm số: Q= F(x1, x2…xn)  Max ( sản lượng cực đại). Nhưng với điều kiện ràng buộc về tổng chi phí sản xuất: n P X j 1 j j K
Bài toán sản xuất Trường hợp 2: Cực tiểu chi phí Ta gọi Q0 là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất. Khi đó bài toán trở thành: n Xác định Xj>0 (j=1…n) để cho hàm số:  Pj X j  min (chi phí sản xuất nhỏ nhất) j 1 Nhưng với điều kiện ràng buộc về số đơn vị sản phẩm cần sản xuất: Q= F(x1, x2…xn) = Q0 Đây là dạng bài toán liên quan đến hiệu quả chi phí. Các nhà sản xuất thường lưu ý tới trường hợp 2 làm sao để hạ giá thành sản phẩm mà chất lượng hàng hoá không đổi.
Bài toán tiêu dùng Tác nhân hoạt động trên lĩnh vực tiêu thụ hàng hóa gọi là người tiêu dùng. Trong trường hợp hàng hóa được tiêu thụ là sản phẩm cuối cùng thì người tiêu dùng được gọi là hộ gia đình. Trong phạm vi môn học, chúng ta sẽ đề cập tới hành vi của hộ gia đình. Hành vi của các hộ gia đình trên thị trường hàng hóa là cách thức họ mua sắm, tiêu thụ các loại hàng hóa, từ đó hình thành mức cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình. Hộ gia đình quyết định chọn loại hàng nào, mua với khối lượng bao nhiêu phụ thuộc vào : - Thị hiếu, sở thích - Thu nhập đem chi tiêu mua hàng hóa ( ngân sách của hộ gia đình ) - Giá cả của hàng hóa - Mục đích tiêu dùng.
Bài toán sản xuất Trường hợp 1: Kí hiệu M là ngân sách tiêu dùng, P1 ,P2......, Pn là giá các loại hàng và U(X) là hàm thoả dụng của hộ gia đình. Khi hộ gia đình dự kiến mua giỏ hàng X=(X1, X2.......,Xn) thì sẽ đạt mức thoả dụng là U(X) vàn cần chi tiêu một khoản .Từ các P X j j yêu cầu ở trên ta có mô hình: j 1 U(X)  n Max với điều kiện å Pj X j = M j =1 Như vậy: Với giá cả các loại hàng hoá và ngân sách tiêu dùng cho trước, hộ gia đình cần quyết định chọn mua loại hàng nào, khối lượng bao nhiêu sao cho số chi tiêu không quá ngân sách tiêu dùng nhưng phải đáp ứng tốt nhất sở thích.
Bài toán sản xuất Trường hợp 2: Người tiêu dùng cần đạt mức lợi ích đã định trước U = U0 thì phải tổ chức mua sao cho chi phí tiêu dùng là thấp nhất. n  Pj X j j 1 Hàm mục tiêu: P1X1 + P2X2 + ... PnXn => Min Ràng buộc: U = U (X1, X2 ..., Xn) = U0
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM SỐ 1. Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn 2. Trường hợp bài toán có nhiều biến lựa chọn 3. Ứng dụng trong phân tích kinh tế
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn Chúng ta biết rằng : Đối với hàm số y = f(x). Điều kiện cần để hàm số có cực trị dy = 0 (vi phần cấp 1). dy = f'(x1) . dx1 => dy = 0  f'(x) = 0 - Điều kiện đủ để hàm số có cực đại: d2y < 0 - Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu: d2y > 0 + dy = f'(x) dx + d2y = d(f'(x, dx) = f''(x) d2x d2y < 0 khi f''(x) < 0 d2y > 0 khi f''(x) > 0 Như vậy ta có thể mở rộng ra trong trường hợp bài toán có 2 biến số
Trường hợp bài toán chỉ có 1 biến lựa chọn + Điều kiện cần để hàm số có cực trị dy = 0 dy = f1dx1 + f2dx2 =0 hay: f1 =0 f2=0 Giải hệ hai phương trình 2 biến trên ta xác định được một điểm dừng của hàm số M(x1, x2).
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn + Kiểm tra điều kiện đủ tại M dy2 = d (f1dx1 + f2dx2) = f11d2x1 + f12dx1dx2 + f21 dx2dx1 + f22d2x2 F F F F f  11 x 1 , f 12 1, f  21 , 2 f  22 2 1 x2 x1 x2 - Theo tính chất đối xứng thì f12 = f21
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn Điều kiện đủ để hàm số có cực đại là: f11 < 0 f11 * f22 > f212 Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu là: f11 > 0 f11 . f22 > f212
Trường hợp bài toán chỉ có 2 biến lựa chọn Ví dụ Tìm cực trị của hàm số y = 8x31 + 2x1x2 - 3x12 + x22 + 1 + Điều kiện cần để hàm số có cực trị là: dy = 0  (24x21 + 2x2 - 3) dx1 + (2x1 + 2x2) dx2 = 0 24x21 + 2x2 - 6x1= 0 x1 = 0 x1=1/3  M1 hoặc là M2 2x1 + 2x2 =0 x2 = 0 x2=-1/3 + Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Tại điểm dừng M1(x1,x2)=(0,0) ta có f11= 48x1- 6=- 6 0 ; f11 . f22 = 10* 2=20 > 22 =>hàm số đạt cực tiểu tại điểm M2(x1,x2)=(1/3,-1/3).
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn Giả sử ta có hàm số gồm 3 biến x1, x2, x3 : y = f (x1, x2, x3) + Điều kiện cần để hàm số có cực trị là: dy= f1dx1 + f2dx2 + f3dx3 = 0 hay: f1 = 0 f2= 0 f3= 0 Ta giải hệ để tìm điểm dừng của hàm số: M(x1, x2, x3) + Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại điểm M Để tìm điều kiện cực trị của hàm số trên chúng ta xét vi phân toàn phần cấp 2 (dy2)
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn Ta có thể hình dung dy2 (i,j =1..3 ) sẽ lập thành 1 ma trận cấp 3 éf11 f12 f13ù H= êf21 f22 f23ú - ma trận Hessian ê ú ê ëf31 f32 f33úû - Theo tính chất đối xứng của Young (fxy = fyx) => f13 = f31, f21 = f12, f32 = f23 Từ ma trận H ta lập nên các định thức con |HK| (k=1-3) được tạo từ K dòng đầu và K cột k đầu của ma trận H (tính từ dòng và cột đầu tiên).
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn Ví dụ: Cho định thức với y = x21 + 6x22 + 3x23 - 2x1x2 tìm cực trị của hàm số trên. Giải: Từ hàm số ta có: f1 = 2x1 – 2x2 ; f2 = 12x2 – 2x1; f3 = 6x3 + Điều kiện cần để hàm số có cực trị là : dy=0 hay : f1 = 2x1 – 2x2 = 0 x1= 0 f2 = 12x2 – 2x1 = 0 giải hệ ta xác định được M x2= 0 f3 = 6x3 =0 x3= 0
Trường hợp bài toán chỉ có 3 biến lựa chọn Giải: (tiếp) + Kiểm tra điều kiện đủ tại M(0,0,0) Ta đi tính các đạo hàm riêng cấp 2: f11= 2 ; f12=f21=-2; f13 =f31=0;f23 =f32=0; f22 =12; f33=6 é 2 - 2 0ù ê ú H = - 2 Và lập thành ma trận Hessian như sau: ê 12 0 ú êë 0 0 6 úû Do: |H1| = 2 > 0 và |H3| = 6 |H2| = 120 > 0 Theo phương pháp trên ta kết luận rằng dy2 xác định dương, hay hàm số đạt cực tiểu tại M(0,0,0).
Trường hợp bài toán có n biến lựa chọn Cho hàm số: y = f (x1, x2 ..., xn). Lấy vi phân toàn phần: dy = f1 dx1 + f2dx2 + ... + fndxn + Điều kiện cần để hàm số có cực trị : là dy = 0 hay f1 = f2 = ... fn = 0 Giải hệ ta xác định điểm M(x1, x2,…,xn) thoả mãn để dy=0 + Điều kiện đủ: ¶2y Ta đi tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số: fij= ¶ xi ¶ x j ; i, j(1 ¸ n) Chúng ta cũng lập ma trận Hessian
Trường hợp bài toán có n biến lựa chọn Chúng ta cũng lập ma trận Hessian |H| ={fij} Chúng ta lần lượt lập các định thức con |HK| từ k dòng đầu và k cột đầu của |H|. f11 = |H1|, |H2| = ... |Hn| = |H| Hàm số đạt cực tiểu tại M khi d2y xác định dương, tức là : |H1| > 0 Hàm số đạt cực đại tại M khi d2y |H2| > 0 xác định âm, tức là :  |H1| < 0 ; |H2| > 0;…;(-1)n |Hn| > 0 |Hn| > 0

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.