zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu (2018)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

75
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích - Chương 6: Tích phân suy rộng" cung cấp cho người học các kiến thức: Các loại tích phân suy rộng, khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. Cuối bài giảng có thêm phần bài tập để người học có thể ôn tập và củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích: Chương 6 - Phan Trung Hiếu (2018)

11/15/2018 Chương 6: Tích phân suy rộng GV. Phan Trung Hiếu §1. Các loại tích phân suy rộng §1. Các loại tích phân suy rộng §2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng LOG O 2 Ví dụ 1.1: Tích phân nào sau đây là tích phân suy rộng? Nếu là tích phân suy rộng thì hãy Loại 1:  cho biết nó thuộc loại nào. b    1 dx  f ( x )dx;  f ( x) dx;  f ( x) dx. a )  2 dx b)  2 a   1 x  x 1 Loại 2:  /2 sin xdx 1 dx b c)  d ) cos x x  f ( x)dx trong đó lim f ( x)   với c  [a, b]. a xc 0 1 1 dx e)  . 2 x 3 4 TH1 (Dễ tính nguyên hàm): Ta dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích phân xác định để tính tích phân. §2. Khảo sát sự hội tụ TH2 (Khó tính nguyên hàm): Ta dùng tiêu của tích phân suy rộng chuẩn so sánh với tích phân đã có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên hàm. Từ đó, đưa ra kết luận tích phân hội tụ hay phân kỳ. 5 6 1
11/15/2018 TH1 (Dễ tính nguyên hàm của f(x)): Chú ý 2.1: b b Phương pháp:   f ( x) dx  alim    f ( x ) dx  a -Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm  b c  [ a, b] mà lim f ( x )  .  xc  f ( x )dx  lim b    f ( x)dx -Dùng giới hạn tại điểm suy rộng của tích a a phân xác định để tính tích phân.  b    f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx , b  (0,  ) tùy ý a a b  c    f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx, c   tùy ý   c 7 8  Điểm suy rộng tại a lim f ( x )    x  a   Điểm suy rộng tại c  ( a, b ) b c b b b  f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x )dx  f ( x)dx  lim  f ( x)dx a t a  t a a c -Trong công thức ,,, nếu giới hạn tồn  Điểm suy rộng tại b lim f ( x)    xb   tại hữu hạn thì kết luận tích phân hội tụ, ngược b t lại là tích phân phân kỳ.  f ( x )dx  lim  f ( x )dx a t b a -Trong công thức ,,, nếu cả 2 tích  Điểm suy rộng tại a và b phân (bên phải) hội tụ thì kết luận tích phân b c b hội tụ, ngược lại là tích phân phân kỳ.  f ( x )dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx, c  (a, b) a a c 9 10 Định lí 2.2: Ví dụ 2.1: Khảo sát sự hội tụ và tính các tích   phân sau (trong trường hợp hội tụ) a)  f ( x) dx hội tụ và  g ( x)dx hội tụ  dx 0  ln x a  a a)  2 b)  e  x dx c)  dx 1 x  1 x    f ( x)  g ( x )  dx hội tụ và    2 xdx dx a    d)  xe x dx e)  1  x2 f)  1 x 2    f ( x)  g ( x) dx   0 f ( x) dx   g ( x )dx. 1  /2 1 a a a g)  dx sin xdx e x dx  h)  i)  0 1 x 2 0 1  cos x 1 ex 1 b)  f ( x ) dx hội tụ và k là một hằng số 2 a    dx j)    k . f ( x )dx hội tụ và  k . f ( x) dx  k .  f ( x )dx 2 4  x2 a a 11 a 12 2
11/15/2018 Định lí 2.2: f(x), g(x) dương trên [ a, ) và khả tích TH2 (Khó tính nguyên hàm của f(x)): trên mọi đoạn [a,b], b  a. f ( x) Phương pháp: Xét xlim  g ( x )  k. i) 0  k   : -Chú ý những điểm suy rộng:  , điểm   c  [ a, b] mà lim f ( x )  .  f ( x )dx ,  g ( x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. xc a a   -Dùng tiêu chuẩn so sánh với tích phân đã ii) k  0 : có kết quả hoặc tích phân dễ tính nguyên  g ( x)dx hội tụ   a f ( x )dx hội tụ. a   hàm. f ( x)dx phân kỳ   a  g ( x)dx phân kỳ. a   iii) k   :  f ( x )dx hội tụ  a  g ( x)dx hội tụ. a    g ( x)dx phân kỳ   f ( x) dx phân kỳ. 13 a 14 a Hệ quả 2.3: f(x), g(x) dương, liên tục trên [ a, ) và Chú ý 2.4: f ( x )  g ( x) khi x    Với 0  a   , ta có thì hội tụ  n  1    f ( x)dx và 1   g ( x)dx  dx a a a xn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. phân kỳ  n  1  Với 0  b   , ta có Định lý và Hệ quả trên tương tự cho trường hợp trên [ a, b), (a, b] b hội tụ  n  1 1  dx 0 xn phân kỳ  n  1 15 16  Với a  b   , ta có Ví dụ 2.2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân   hội tụ  n  1 dx 2 xdx b a)  b)  1 3 x  x 1 x5  x  1 a (b  x) n dx 1  1  phân kỳ  n  1 ( x  5)dx dx c)  d)   Với a  b   , ta có 1 3 x 1 x 3 0 x3 1 b hội tụ  n  1 1 ln(1  x ) dx dx 1 e)  f ) a ( x  a) n dx x3/2 0 sin x 0 phân kỳ  n  1 17 18 3
11/15/2018 Ví dụ 2.3: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích Ví dụ 2.4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân phân suy rộng sau hội tụ   x 2  x  5ln x x2 b)  dx  x m 1 a)  dx ex 2 2 x3  x  1  1  x dx 0 0 1 1 1 1 2 1 c )  xe x dx d)  dx 0 0 ln x 2 1 dx x3dx e)  f ) 1 x2  1 0 3 (1  x 2 )5 1 5 x3  x g)  dx 0 tan x  x 19 20 Ví dụ 2.5: Tìm tất cả giá trị thực của m để tích Định lí 2.5:  phân suy rộng sau hội tụ [ a, )  0  f ( x)  g ( x) với mọi x trên [a, b), lim f ( x)    xb  x m1e  x dx  ( a, b], lim f ( x)   0 Khi đó:  xa b b i)  g ( x) dx hội tụ   f ( x) dx hội tụ. a a b b ii)  f ( x)dx phân kỳ   g ( x)dx phân kỳ. a a 21 22 Ví dụ 2.6: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân Chú ý 2.7: Trường hợp hàm f(x) đổi dấu  Phương pháp: Lấy trị tuyệt đối và đánh giá theo Định  dx ln 3 x lý sau a)  b)  dx 2 x 2  sin 2 3x 1 x 5 Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ 1   Tích phân suy rộng của f (x) hội tụ. 1 e x 1dx sin 2 x Khi đó, ta nói tích phân suy rộng của f(x) hội tụ tuyệt c)  d)  dx 0 x 0 x2 đối.  Chú ý kết quả: sin X 1; cos X 1, X . arctan x e)  dx Ví dụ 2.7: Khảo sát sự hội tụ của tích phân 0 2  ex  sin x  dx 1 x3 23 24 4
Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Bài 1: Tính các tích phân sau và cho biết tích phân hội tụ hay phân kỳ  x 1   2 x 4 e x 1)  e 2 dx. 4 2)   e dx. 3)   (2  x )dx. 4)  1 x dx. 0    dx 3 x xdx dx 5)  4 x 2 . 6) xe dx. 7)  (x 2 . 8)  x ln .  0 0  2) 2 e2 3 x    1 dx xdx 2  x3 dx 9)  e x ln x ln x . 10)   1  x 2 . 11)  xe dx. 12)  0 x . 1 1 2 5 1 dx xdx x dx dx 13)  2 . 14)  . 15)  . 16)  (2  x) . 0 x 0 1 x 2 0 4 x 2 0 1 x 1 4 1  dx dx (ln x )3 dx dx 17) 1 x 2 . 18) 0 ( x  1)2 . 19) 0 x . 20)  2 2 x x2 . 1  0 1/ x 2 xdx 2 e 2 21)  . 22)  sin xdx. 23)  3 dx. 24) x ln xdx. 0 1 x 0 1 x 0 1 ln x 25) 0 x dx. Bài 2: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau     dx xdx x  x 1 x3  2 1) x . 2)  . 3) x dx. 4)  dx. 1 1  x 5  x10 1 1  x3 3 1  x 5 1 2  2 5 x4  1 1 2x2  x  1  1  x ln  1   1 2 1  x dx ln(1  5 x 3 ) x 5)  1 x 2  1 dx. 6) 0 x( x  1) . 7) 0 esin x  1 dx. 8) 0 sin 2 x dx. 1    dx xdx dx 5x  1 9) e x . 10)  . 11)  . 12) x 2 dx. 0 1 0 2  x2 0 x 3x 2 2  1  /2  2 dx dx dx 13)  (1  cos )dx. 14)  . 15)  . 16)  (1  x 2 2 . 1 x 0 x2 x 0 x sin x 0 ) Bài 3: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau   1  /2 1 ln(1  x) x dx 1)  dx. 2)  dx. 3)  dx. 4)  cos x . e ln x 1 x 0 1  x4 0  1 x   dx e dx x 2 5)  1 2 ln (1  x) . 6) 0 1  cos x dx. 7)  1 5 x  ln x . 8)  e dx. 1 4 2  2 dx dx ex dx 9)  . 10)  . 11)  dx. 12)  . 0 x 2 1 ln x 1 2x  1 0 2 x  x2 5
Bài tập Giải tích  1 1 1 ln x dx 2dx dx 13)  dx. 14)  x . 15)  . 16)  . 1 x( x 2  1) 0 e  cos x 0 (1  x 2 )(4  x 2 ) 0 cos x  cos1 1 1 dx ln x 17)  . 18)  dx. 0 3 x (e x  e  x ) 0 1  x2 Bài 4: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau     2  e x dx sin 2 x 1  x2 1)  dx. 2)  . 3)  dx. 4)  dx. 1 x 1 x (1  e x ) 2 0 x 1 x3   1 x  sin x x arctan x sin 2 x 5)  dx. 6)  dx. 7)  dx. 3 7 3 3 3 1 x  cos x  sin 2 x 1 1 x 0 1 x 1    sin x  cos x arctan x x x 1 8)  dx. 9)  dx. 10) x dx. 11)  dx. 0 5 1  x3 0 2  ex 0 3 1 1 x4  x   2 arctan x e x cos 2 x 12)  dx. 13)  dx. 14) 0 3 1  x dx. 0 x 3/ 2 0 x Bài 5: Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau     cos x cos x cos x sin x 1)  dx. 2)  3/2 dx. 3)  dx. 4)  dx. 0 x  /2 x 0 x2  1 1 x3     sin x  3 1  cos x x sin x 5)  1 x dx. 6) 1 x 2 dx. 7)  e s in2xdx. 0 8)  0 x (1  x) dx. Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tích phân suy rộng sau hội tụ   1 1  x m  1 m ln(1  x ) 1)   2   dx. 2)  dx. 3) x ln xdx.  4)  dx. 0  x  1 3x  1  e x (ln x) m 0 0 xm   2 1 m dx 5)  ( x  1) arctan   dx. 6)  m . 0 x 0 x  2 x 1  6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.