Bài giảng Giải tích: Chương 2 - Phan Trung Hiếu

9/17/2017<br /> <br /> Chương 2:<br /> <br /> GIẢI TÍCH<br /> <br /> Hàm liên tục<br /> <br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> GV. Phan Trung Hiếu<br /> <br /> §1. Khái niệm<br /> §2. Tính chất của hàm liên tục<br /> <br /> 60 tiết<br /> LOG<br /> O<br /> <br /> LOG<br /> O<br /> <br /> I. Hàm số liên tục tại một điểm:<br /> <br /> §1. Khái niệm<br /> <br /> Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định<br /> trong một khoảng chứa x0. Ta nói:<br /> (i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu<br /> <br /> lim f ( x)  f ( x0 ).<br /> <br /> <br /> x  x0<br /> <br /> (ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu<br /> <br /> lim f ( x)  f ( x0 ).<br /> <br /> <br /> x  x0<br /> <br /> 3<br /> <br /> (iii) f(x) liên tục tại x0 nếu<br /> lim f ( x)  f ( x0 ).<br /> x  x0<br /> <br /> Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều<br /> sau:<br />  f(x) xác định tại x0.<br />  lim f ( x) tồn tại.<br /> x  x0<br /> <br />  lim f ( x )  f ( x0 ).<br /> <br /> 4<br /> <br /> Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián<br /> đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:<br />  f(x) không xác định tại x0.<br />  f(x) xác định tại x0, nhưng<br /> lim f ( x) không tồn tại<br /> x  x0<br /> hoặc<br /> lim f ( x) không tồn tại<br /> hoặc<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> lim f ( x)  lim f ( x).<br /> <br /> <br /> <br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br />  f(x) xác định tại x0,lim f ( x) tồn tại, nhưng<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> x  x0<br /> <br /> lim f ( x)  f ( x0 ).<br /> <br /> x  x0<br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1<br /> <br /> 9/17/2017<br /> <br /> Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì<br /> f  g , f .g ,<br /> <br /> f<br /> ( g  0) cũng liên tục tại x0.<br /> g<br /> <br /> Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau<br />  sin 3x<br /> khi x  0<br /> <br /> a) f ( x)   x<br /> tại<br /> 3<br /> khi x  0<br /> <br /> <br /> x2 1<br /> <br /> b) f ( x )   x 2<br /> <br /> 2<br /> 2 x  3<br /> <br /> c) f ( x)  1<br />  x2  3<br /> <br /> <br /> khi x  1<br /> <br /> khi x  1<br /> <br /> x0  0.<br /> <br /> tại x0  1.<br /> <br /> khi x  0<br /> <br /> khi x  0 tại<br /> khi x  0<br /> <br /> Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số<br /> 3<br />  ex 1<br /> khi x  0<br /> <br /> a) f ( x)   ln(1  x 2 )<br /> liên tục tại x0  0.<br /> <br /> 1  m2<br /> khi x  0<br /> <br /> <br /> e x<br /> b) f ( x)  <br /> x  m<br /> <br /> khi x  0<br /> <br /> x0  0.<br /> <br /> 7<br /> <br /> 8<br /> <br /> II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn:<br /> <br /> Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)<br /> khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc<br /> (a,b).<br /> Định nghĩa 2.2:<br /> <br /> <br /> <br /> f(x) liên tục trên [a,b]   xlim f ( x)  f (a)<br /> a<br /> <br />  xlim f ( x)  f (b)<br /> b<br /> <br /> Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ<br /> thị là một đường liền nét (không đứt khúc)<br /> trên đoạn đó.<br /> <br /> f(x) liên tục trên (a,b)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> §2. Tính chất của hàm số liên tục<br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> b<br /> <br /> Không liên tục<br /> <br /> Liên tục<br /> <br /> 9<br /> <br /> 10<br /> <br /> Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân<br /> thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các<br /> hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,<br /> y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.<br /> Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì<br /> đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.<br /> Định lý 2.6:<br /> <br /> f(x) liên tục trên [a,b]<br /> <br /> f (a ). f (b)  0<br /> <br /> 11<br /> <br /> liên tục tại x0  0.<br /> <br /> khi x  0<br /> <br />  c  (a, b) : f (c)  0.<br /> 12<br /> <br /> 2<br /> <br />