Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba; Hệ tọa độ trụ; Hệ tọa độ cầu; Ứng dụng hình học; Ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang

1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 2. Hệ tọa độ trụ TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 3. Hệ tọa độ cầu 4. Ứng dụng hình học 5. Ứng dụng cơ học
Định nghĩa f  f ( x, y, z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn E . Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ: E1, E2 ,..., En . Thể tích tương ứng mỗi khối: V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ). Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi , zi ). n Lập tổng Riemann: I n   f ( M i )  V ( Ei ) i 1 I  lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi n I   f ( x, y, z )dxdydz E được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính chất 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này. 2) VE   dxdydz E 3)    f ( x, y, z )dxdydz   f ( x, y, z )dxdydz E E 4)  ( f  g )dxdydz   fdxdydz   gdxdydz E E E 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau:  fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z )  E , f ( x, y, z )  g ( x, y, z )   fdxdydz   gdxdydz E E 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính (Định lý I   f ( x, y, z )dxdydz Fubini): tích phân lặp E z  z 2 ( x, y ) Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là 𝑂𝑥𝑦. Mặt phía dưới: z  z1 ( x, y ) Mặt phía trên: z  z2 ( x, y ) Hình chiếu: PrOxy E  Dxy z  z1 ( x, y ) I   f ( x, y, z )dxdydz E z2 ( x , y )   dxdy  f ( x, y, z )dz Dxy z1 ( x , y ) Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp) Chú ý • Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz. • Thông thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 sẽ có biên là phương trình của biên khối E nhưng không chứa 𝑧.  Ta sẽ khử 𝑧 ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm phương trình nào không chứa 𝑧 của biên khối E. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân bội ba I   zdxdydz trong đó E là vật thể: E z  2  x  y2 , z  0 ; x2  y 2  1 2 Hình chiếu của E xuống Oxy: D : x2  y 2  1 Mặt phía trên: z2 ( x, y )  2  x  y 2 2 Mặt phía dưới: z1  0  2 x 2  y 2  I     zdz  dxdy x 2  y 2 1   0  23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
2 x 2  y 2  z2  I     dxdy x 2  y 2 1  2  0 (2  x 2  y 2 ) 2 I   dxdy . Đổi sang hệ tọa độ cực. x 2  y 2 1 2 2  r  2 2 2 1 7 I   d   r  dr  0 0 2 6 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính tích phân bội ba I   zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E y  1  x, z  1  x 2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất. Hình chiếu của E xuống Oxy: Tam giác OAB. Mặt phía trên: z2 ( x, y )  1  x 2 Mặt phía dưới: z1  0 1  x 2 B I   dxdy   zdz  OAB  0  A 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ 1 x 2  I     zdz  dxdy OAB  0 A   2 1 x 2  I    z  dxdy OAB  2 0    B   2 1  x2 O I   dxdy OAB 2 1  x  2 2 1 1 x 11   dx  dy  0 0 2 60 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính tích phân I   (2 x  3 y )dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E y  x , z  1  y, x  0, z  0. Mặt phía trên: z  1  y Mặt phía dưới: z  0 Hình chiếu của E xuống Oxy: 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ 1 y  I      2 x  3 y  dz  dxdy D 0  1 y I   (2 x  3 y ) z 0  dxdy D  I    2 x  3 y  (1  y )  dxdy D 1 1 I   dx   2 x  3 y  (1  y )  dy 0 x 11 I 60 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ Tính tích phân I   ( z  1)dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E x  y 2 , z  x, z  0, x  1. Mặt phía trên: z  x Mặt phía dưới: z  0 Hình chiếu của E xuống Oxy: 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ x  I     ( z  1)dz  dxdy D 0   2  x z I     z   dxdy  D  2    0   x2  I     x  dxdy D 2  1 1 x2  I   dy    x  dx 1 y2  2  38 I 35 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát Định lý: Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤); sao cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm hữu hạn), khi đó: 𝐸𝑥𝑦𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐸𝑢𝑣𝑤 𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 Trong đó: 𝑥′𝑢 𝑥′𝑣 𝑥′𝑤 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐽= = 𝑦′𝑢 𝑦′𝑣 𝑦′𝑤 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤 ) 𝑧′𝑢 𝑧′𝑣 𝑧′𝑤 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa z Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ Oxyz. M được xác định duy nhất bởi bộ (r ,  , z ). (r ,  , z ) được gọi là hệ tọa độ trụ của điểm M. M ( x, y , z )  Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ:  x  r  cos    y  r  sin  z z  z y   xr x xz r J  yr y yz  r x M1 ( x, y,0) zr z zz 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến sang tọa độ trụ. I   f ( x, y, z )dxdydz  x  r  cos  E   y  r  sin  Mặt phía dưới: z  z1 (r ,  )  zz  z  z2 ( r ,  ) Mặt phía trên: z  z2 (r ,  ) Hình chiếu: D Xác định cận r , của D: 1    2 z  z1 (r ,  ) D:  r1  r  r2 2 r2 z2 ( r , ) I   d  dr  f (r cos  ,r sin  , z )  r  dz 1 r1 z1 ( r , ) 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân I   x 2  y 2 dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E z  4, z  1  x 2  y 2 , x 2  y 2  1. Mặt phía trên: z  4 Mặt phía dưới: z  1  r 2 Hình chiếu xuống Oxy: D : x 2  y 2  1 0    2 D:  0  r 1 2 1 4 I   d  dr  r  r  dz 0 0 1 r 2 2  1 2 4  2 1 12 I   d  dr r z 2   d  (3  r )r dr  2 2 0 0  1 r   0 0 5 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân I   zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E z  x 2  y 2 , z  2  x 2  y 2 , x 2  y 2  1. Mặt phía trên: z  2  r 2 Mặt phía dưới: z  r 2 Hình chiếu của E xuống O𝑥𝑦: D : x2  y 2  1 Cận của D: 0    2 D:  0  r 1 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
2  r 2 2 1 2 r 2 2 1 2 z I   d  dr  z  r  dz   d  r dr  3 0 2 0 r 0 0 2 r2   Tính tích phân I   x 2  z 2 dxdydz , trong đó E: 2 y  x 2  z 2 , y  2. E Chiếu xuống O𝑥𝑧. Mặt trên: y  2 r2 Mặt dưới: y  2 Hình chiếu: D : x 2  z 2  4 y 2 2 2 16 I   d  dr  r  r  dy  2 0 0 r 2 /2 3 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) trong hệ trục tọa độ O𝑥𝑦𝑧. z M được xác định duy nhất bởi bộ ( ,  ,  ). ( ,  ,  ) được gọi là hệ tọa độ cầu của điểm M. M ( x, y , z )  Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:  x    sin   cos     y    sin   sin   z    cos  z   cos   y x x x  J  y y y  J   2  sin  r   sin  z z z x M1 ( x, y,0) 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN