Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang
lượt xem 6
download
Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba; Hệ tọa độ trụ; Hệ tọa độ cầu; Ứng dụng hình học; Ứng dụng cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Chương 4 - TS. Nguyễn Văn Quang
- 1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 2. Hệ tọa độ trụ TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm 3. Hệ tọa độ cầu 4. Ứng dụng hình học 5. Ứng dụng cơ học
- Định nghĩa f f ( x, y, z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn E . Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ: E1, E2 ,..., En . Thể tích tương ứng mỗi khối: V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ). Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểm M i ( xi , yi , zi ). n Lập tổng Riemann: I n f ( M i ) V ( Ei ) i 1 I lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi n I f ( x, y, z )dxdydz E được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính chất 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này. 2) VE dxdydz E 3) f ( x, y, z )dxdydz f ( x, y, z )dxdydz E E 4) ( f g )dxdydz fdxdydz gdxdydz E E E 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau: fdxdydz fdxdydz fdxdydz E E1 E2 6) ( x, y, z ) E , f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) fdxdydz gdxdydz E E 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính (Định lý I f ( x, y, z )dxdydz Fubini): tích phân lặp E z z 2 ( x, y ) Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là 𝑂𝑥𝑦. Mặt phía dưới: z z1 ( x, y ) Mặt phía trên: z z2 ( x, y ) Hình chiếu: PrOxy E Dxy z z1 ( x, y ) I f ( x, y, z )dxdydz E z2 ( x , y ) dxdy f ( x, y, z )dz Dxy z1 ( x , y ) Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp) Chú ý • Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz. • Thông thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 sẽ có biên là phương trình của biên khối E nhưng không chứa 𝑧. Ta sẽ khử 𝑧 ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm phương trình nào không chứa 𝑧 của biên khối E. 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính tích phân bội ba I zdxdydz trong đó E là vật thể: E z 2 x y2 , z 0 ; x2 y 2 1 2 Hình chiếu của E xuống Oxy: D : x2 y 2 1 Mặt phía trên: z2 ( x, y ) 2 x y 2 2 Mặt phía dưới: z1 0 2 x 2 y 2 I zdz dxdy x 2 y 2 1 0 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 2 x 2 y 2 z2 I dxdy x 2 y 2 1 2 0 (2 x 2 y 2 ) 2 I dxdy . Đổi sang hệ tọa độ cực. x 2 y 2 1 2 2 r 2 2 2 1 7 I d r dr 0 0 2 6 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ Tính tích phân bội ba I zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E y 1 x, z 1 x 2 , nằm trong góc phần tám thứ nhất. Hình chiếu của E xuống Oxy: Tam giác OAB. Mặt phía trên: z2 ( x, y ) 1 x 2 Mặt phía dưới: z1 0 1 x 2 B I dxdy zdz OAB 0 A 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ 1 x 2 I zdz dxdy OAB 0 A 2 1 x 2 I z dxdy OAB 2 0 B 2 1 x2 O I dxdy OAB 2 1 x 2 2 1 1 x 11 dx dy 0 0 2 60 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ Tính tích phân I (2 x 3 y )dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E y x , z 1 y, x 0, z 0. Mặt phía trên: z 1 y Mặt phía dưới: z 0 Hình chiếu của E xuống Oxy: 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ 1 y I 2 x 3 y dz dxdy D 0 1 y I (2 x 3 y ) z 0 dxdy D I 2 x 3 y (1 y ) dxdy D 1 1 I dx 2 x 3 y (1 y ) dy 0 x 11 I 60 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ Tính tích phân I ( z 1)dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E x y 2 , z x, z 0, x 1. Mặt phía trên: z x Mặt phía dưới: z 0 Hình chiếu của E xuống Oxy: 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Ví dụ x I ( z 1)dz dxdy D 0 2 x z I z dxdy D 2 0 x2 I x dxdy D 2 1 1 x2 I dy x dx 1 y2 2 38 I 35 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Đổi biến tổng quát Định lý: Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤); sao cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm hữu hạn), khi đó: 𝐸𝑥𝑦𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐸𝑢𝑣𝑤 𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 Trong đó: 𝑥′𝑢 𝑥′𝑣 𝑥′𝑤 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐽= = 𝑦′𝑢 𝑦′𝑣 𝑦′𝑤 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤 ) 𝑧′𝑢 𝑧′𝑣 𝑧′𝑤 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa z Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ Oxyz. M được xác định duy nhất bởi bộ (r , , z ). (r , , z ) được gọi là hệ tọa độ trụ của điểm M. M ( x, y , z ) Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ: x r cos y r sin z z z y xr x xz r J yr y yz r x M1 ( x, y,0) zr z zz 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Đổi biến sang tọa độ trụ. I f ( x, y, z )dxdydz x r cos E y r sin Mặt phía dưới: z z1 (r , ) zz z z2 ( r , ) Mặt phía trên: z z2 (r , ) Hình chiếu: D Xác định cận r , của D: 1 2 z z1 (r , ) D: r1 r r2 2 r2 z2 ( r , ) I d dr f (r cos ,r sin , z ) r dz 1 r1 z1 ( r , ) 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính tích phân I x 2 y 2 dxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E z 4, z 1 x 2 y 2 , x 2 y 2 1. Mặt phía trên: z 4 Mặt phía dưới: z 1 r 2 Hình chiếu xuống Oxy: D : x 2 y 2 1 0 2 D: 0 r 1 2 1 4 I d dr r r dz 0 0 1 r 2 2 1 2 4 2 1 12 I d dr r z 2 d (3 r )r dr 2 2 0 0 1 r 0 0 5 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Tính tích phân I zdxdydz , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E z x 2 y 2 , z 2 x 2 y 2 , x 2 y 2 1. Mặt phía trên: z 2 r 2 Mặt phía dưới: z r 2 Hình chiếu của E xuống O𝑥𝑦: D : x2 y 2 1 Cận của D: 0 2 D: 0 r 1 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- 2 r 2 2 1 2 r 2 2 1 2 z I d dr z r dz d r dr 3 0 2 0 r 0 0 2 r2 Tính tích phân I x 2 z 2 dxdydz , trong đó E: 2 y x 2 z 2 , y 2. E Chiếu xuống O𝑥𝑧. Mặt trên: y 2 r2 Mặt dưới: y 2 Hình chiếu: D : x 2 z 2 4 y 2 2 2 16 I d dr r r dy 2 0 0 r 2 /2 3 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
- Định nghĩa Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) trong hệ trục tọa độ O𝑥𝑦𝑧. z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , ). ( , , ) được gọi là hệ tọa độ cầu của điểm M. M ( x, y , z ) Công thức đổi biến sang tọa độ cầu: x sin cos y sin sin z cos z cos y x x x J y y y J 2 sin r sin z z z x M1 ( x, y,0) 23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20 Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 7 - TS. Đặng Văn Vinh
58 p | 137 | 22
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 & 2
86 p | 379 | 20
-
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội
113 p | 168 | 13
-
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường (Phần 2)
38 p | 143 | 8
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - TS. Nguyễn Văn Quang
55 p | 54 | 6
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 6 - TS. Nguyễn Văn Quang
98 p | 40 | 6
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)
50 p | 67 | 5
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 5 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)
46 p | 88 | 5
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - Hoàng Đức Thắng
57 p | 62 | 5
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Hoàng Đức Thắng
38 p | 59 | 5
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)
38 p | 47 | 4
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 3 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)
26 p | 46 | 4
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)
28 p | 64 | 4
-
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt
60 p | 81 | 4
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 0 - Trần Ngọc Diễm
16 p | 41 | 3
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 2)
44 p | 61 | 3
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Trần Ngọc Diễm (Phần 3)
10 p | 49 | 3
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 2 - Trần Ngọc Diễm (Phần 1)
32 p | 50 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn