Học phần Độ đo và Tích phân

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

257
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Học phần Độ đo và Tích phân gồm 2 chương, trình bày về độ đo và tích phân Lebesgue. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Học phần Độ đo và Tích phân

HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO $1. ĐẠI SỐ. σ - ĐẠI SỐ 1. Đại số a) Định nghĩa 1. Cho tập hợp X ≠ φ . Một họ N các tập con của X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều kiện sau: (i) X ∈ N; (ii) A∈ N ⇒ CXA = X \ A N; ∈ (iii) A1, A2, ... , An∈ n N ⇒ UA N. ∈ k k=1 b) Các tính chất Cho N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tính chất sau đây: 1. φ ∈N ; 2. A1, A2, ... , An ∈N ⇒ I n Ak ∈ N ; k =1 3. A, B ∈N ⇒ A \ B ∈ N. Chứng minh. 1. được suy từ (i), (ii) 2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: n n C ( I Ak ) = U CAk k =1 k =1 3. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức A\B=A CXB∩ Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N). c) Các ví dụ { 1. Cho A ⊂ X . Đặt N = φ , X , A, C A . X } Khi đó N là một đại số các tập con của X. 2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 },
C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }. Đặt N = { φ , X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại số các tập con của X? 3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn điều kiện : Nếu A, B ∈ N thì X \ A N và A ∈ B N. ∩ ∈ σ Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X. 2. - đại số a) Định nghĩa 2. Cho tập hợp X ≠ φ . Một họ M các tập con của X được gọi là một σ - đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn ba điều kiện sau: (i) X ∈ M ; (ii) A∈ M ⇒ CXA = X \ A ∈ M ; ∞ (iii) A1, A2, ... , An , ... ∈ M⇒ U A M . ∈ k k =1 σ b) Các tính chất Cho M là một - đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M có các tính chất sau đây: 1. M là một đại số các tập con của X; 2. φ ∈M; 3. A1, A2, ... , An ∈M ⇒ I n Ak ∈ M ; k =1 4. A, B ∈M ⇒ A \ B∈M ; 5. A1, A2, ... , An , ... ∈M ⇒ I ∞ Ak ∈ M . k =1 Chứng minh. - Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt An+1 = An+2 = ... = φ. - Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh. - Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan: ∞ ∞ C ( I Ak ) = U CAk k =1 k =1 Nhận xét σ - đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép kín" đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tập hợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các
phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của M ). c) Các ví dụ 1. Cho tập hợp X ≠ φ . Họ tất cả các tập con của tập hợp X là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. 2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn hai điều kiện : a) A ∈ M ⇒X\A M; ∈ , ... ∈ M Ak ∈ M ∞ b) A1, A, ... , An ⇒ I . σ k =1 σ Chứng minh rằng M là một - đại số các tập con của X. 3. Cho M là một - đại số các tập con của tập hợp X và Z M. ∈ σ Đặt MZ là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z. Chứng minh MZ là một - đại số các tập con của tập hợp Z. $2. ĐỘ ĐO 1. Tập hợp số thực không âm mở rộng Cho tập hợp số thực không âm [0,+∞) . Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là + ∞ , tập hợp mới thu được là [0,+∞]. Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với các quy ước về phép toán như sau. a
+∞ +∞ μ ( U Ak ) = ∑ μ ( Ak ) k =1 k =1 Định nghĩa 3. μ được gọi là một độ đo trên M, nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: 1. μ (φ ) = 0; 2. μ là σ - cộng tính. Định nghĩa 4. Cặp (X, M), trong đó M là σ - đại số các tập con của tập hợp X, được gọi là không gian đo được. Mỗi tập hợp A ∈ M được σ gọi là một tập đo được. Định nghĩa 5. Bộ ba (X, M, μ ), trong đó M là - đại số các tập con của tập hợp X, μ là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo. Nếu A ∈ M thì số μ (A) được gọi là độ đo của tập hợp A. Định nghĩa 5. Độ đo μ được gọi là độ đo hữu hạn nếu μ (X) < + ∞ . Độ đo μ được gọi là độ đo σ - hữu hạn, nếu X = U X , X ∈ M ∞ k k k =1 và μ (X ) < + ∞ với mọi k. σ k Nhận xét. Độ đo hữu hạn thì - hữu hạn. σ 3. Các ví dụ μ a) Cho M là một - đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → [0,+∞] xác định bởi (A) = 0 với mọi A ∈M. Khi đó μ là một độ đo hữu hạn. b) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X. Xét ánh xạ μ : M → [0,+∞] xác định bởi μ (φ ) = 0 , μ (A) = + ∞ với mọi A ∈ M và A ≠φ. Khi đó μ là một độ đo không σ - hữu hạn. c) Cho M là một σ - đại số các tập con của tập hợp X và x ∈ X. μ 0 Xét ánh xạ : M → [0,+∞] xác định bởi : - Nếu A ∈M và x0 ∈ A thì μ (A) = 1 ; - Nếu A ∈ M và x0 ∉ A thì μ (A) = 0 . Chứng minh rằng μ là một độ đo hữu hạn. Nhận xét. Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một σ - đại số các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ đo tương ứng với các tính chất khác nhau.
4. Các tính chất của độ đo Cho (X, M, μ ) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính chất sau đây. 1. μ là cộng tính hữu hạn. 2. Nếu A, B ∈M và A μ (A) ≤ μ (B) . ⊂ B thì Ngoài ra, nếu μ (A) < + ∞ thì μ (B \ A) = μ (B) - μ (A). 3. Nếu A1, A2, ... , An , ... ∈M thì +∞ +∞ μ ( U Ak ) ≤ ∑ μ ( Ak ) k =1 k =1 4. Nếu A, B ∈ M , A ⊂ B và μ (B) = 0 thì μ (A) = 0. 5. Nếu A, B ∈ M và μ (B) = 0 thì μ (A ∪ B) = μ (A \ B) = μ (A). 6. Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo không là tập hợp có độ đo không: n μ (A k ) = 0, ∀ k = 1, 2, ... , n ⇒ μ ( U Ak ) = 0 k =1 7. Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo không là tập hợp có độ đo không: +∞ μ (A k ) = 0, ∀ k = 1, 2, ... ⇒ μ ( U Ak ) = 0 k =1 8. Nếu μ là độ đo σ - hữu hạn thì ∞ i) X = U Yk , trong đó các tập hợp Yk đôi một rời nhau, k =1 Yk ∈M và μ (Y ) < + ∞ với mọi k; k ∞ ii) A = U Ak , trong đó các tập hợp Ak đôi một rời nhau, k =1 Ak ∈ M và μ (A ) < + ∞ với mọi A ∈ M và mọi k. k 9. Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được, nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ... , thì +∞ μ ( U An ) = lim μ ( An ) n =1 n→+∞ 10. Nếu { An } , n ∈ N, là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo được, nghĩa là A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ... , và (A1) < + thì μ ∞
+∞ μ ( I An ) = lim μ ( An ) n =1 n→+∞ 5. Độ đo đủ Để ý rằng tập con của một tập đo được chưa chắc là tập hợp đo được, nghĩa là nếu A ∈ M , B ⊂ A thì có thể B ∉ M . Định nghĩa 6. Độ đo μ được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập có độ đo không đều là tập đo được. Nhận xét. Nếu μ là độ đo không đủ thì ta có thể thác triển μ thành một độ đo đủ nhờ định lý dưới đây. Định lý. Giả sử (X, M, μ ) là một không gian độ đo. Gọi M' là họ tất cả các tập hợp A có dạng A=B∪C (1) trong đó B ∈ M, C ⊂ D, D M, ∈ μ (D) = 0. Với mỗi tập hợp A có dạng (1), đặt μ ' là ánh xạ sao cho μ '(A) = μ (B) (2) Khi đó: i) (X, M', μ ') là một không gian độ đo; ii) μ ' là độ đo đủ. Định nghĩa 7. M' được gọi là bổ sung Lebesgue của σ - đại số M và μ ' được gọi là thác triển Lebesgue của độ đo . μ 6. Thác triển ánh xạ σ - cộng tính thành độ đo σ Định lý (Hahn). Cho N là một đại số các tập con của tập hợp X và m : N → [0,+∞] là một ánh xạ - cộng tính. Khi đó tồn tại một σ - đại số M chứa N và một độ đo đủ μ : M → [0,+∞] sao cho μ (A) = m(A) với mọi A ∈ N . Ngoài ra, nếu m là σ - hữu hạn thì μ xác định một cách duy nhất. Định nghĩa 8. Độ đo μ được gọi là thác triển của m từ đại số N lên σ - đại số M. $3. ĐỘ ĐO LEBERGUE TRÊN ℜ 1. Khoảng trong ℜ Định nghĩa 1. Các tập hợp sau đây được gọi là các khoảng trong ℜ: (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (- ∞ ∞ ∞ ∞ , a), (- , a], (a, + ), [a, + ) ∞ ∞ (- , + ).
Để ý rằng giao của hai khoảng bất kỳ trong ℜ cũng là khoảng trong ℜ hoặc là tập hợp rỗng. Định nghĩa 2. Nếu Ι là khoảng trong ℜ có hai đầu mút là a, b (- ∞≤a ≤ b ≤ +∞ ) thì ta gọi số Ι = b - a là độ dài của Ι . 2. Đại số các tập con của ℜ Xét họ N các tập hợp P là hợp của hữu hạn các khoảng trong ℜ {P ⊂ ℜ / P = } không giao nhau: n N = U Ii , Ii ∩ I j = φ (i ≠ j ) (1) i =1 Trên N xét ánh xạ m : N → [0,+∞] xác định bởi n m( P ) = ∑ I i i =1 nếu P có biểu diễn như trong (1). Định lý 1. N là một đại số các tập con của ℜ. Chứng minh. Ta kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa đại số. (i) Ta có ℜ = (- ∞ , + ∞) ( hợp của một khoảng) nên hiển nhiên ℜ N. ∈ (ii) Giả sử P ∈ N thì P là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau. Khi đó dễ thấy ℜ \ P cũng là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau. Vậy ℜ \ P N. ∈ (iii) Giả sử P, Q ∈ N, ta cần chứng minh P ∪ Q ∈ N. Trước hết ta chứng minh P ∩ Q ∈ N. Thật vậy, vì P, Q đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau nên ta có biểu diễn: n P= U Ii , Ii I Ii' = φ , (i ≠ i ' ) i =1 k Q= U J j , J j I J j' = φ , ( j ≠ j' ) j =1 Khi đó
k k PI Q = PI ( U J j ) = U (PI J j ) = j =1 j =1 k n k n = U [( U I i )I J j ] = U U (Ii I J j ) j =1 i =1 j = 1i = 1 Thế mà I i I J j = Lij ( i = 1, 2, ... , n ; j = 1, 2, ... , k) là các khoảng không giao nhau đôi một nên P Q N. ∩ ∈ Bây giờ ta chứng minh P ∪ Q N khi P, Q N. ∈ ∈ Thậy vậy, ta có P, Q ∈ N nên theo (ii) ℜ \ P N,ℜ\Q N. Khi ∈ ∈ đó, theo phần vừa chứng minh, (ℜ \ P) (ℜ \ Q) N , hay ∩ ∈ ∈ ℜ \ (P ∪ Q) N, lại theo (ii) suy ra P ∪ Q N . ∈ ℜ σ Vậy, N là đại số các tập con của , định lý được chứng minh. Định lý 2. Ánh xạ m ánh xạ - cộng tính. Chứng minh. ∞ Giả sử Q = U Pk , trong đó các tập hợp Pk đôi một rời nhau, k =1 Q, Pk ∈ N (Q và Pk đều là hợp của hữu hạn khoảng không giao nhau). +∞ Ta cần chứng minh m(Q) = ∑ m( Pk ) k =1 Không mất tính tổng quát ta có thể xem Q và mỗi Pk chỉ là một khoảng trong ℜ . Trước hết ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng hữu hạn. Khi đó các Pk cũng là khoảng hữu hạn. Giả sử Q là khoảng hữu hạn có hai đầu mút là a, b , còn Pk có hai đầu mút là ak, bk . - Với mỗi n = 1, 2, ... , luôn tồn tại hữu hạn các khoảng Ι i ( i = 1, 2, ... , ni ) sao cho n ni Q = ( U Pk )U ( U I i ) k =1 i =1 trong đó các Pk , Ι i rời nhau. Khi đó n ni n Q = ∑ Pk + ∑ I i ≥ ∑ Pk k =1 i =1 k =1 Cho n → + ∞ , ta được
+∞ Q ≥ ∑ Pk (2) k =1 - Cho ε > 0 tuỳ ý sao cho ε < b−2a . Đặt Qk = ( ak − 2ε , bk + 2ε ) k k (k = 1, 2, ... ) Q ' = [a + ε , b − ε ] Ta có Pk ⊂ Qk nên +∞ +∞ Q' ⊂ Q = U Pk ⊂ U Qk k =1 k =1 Mặt khác, Q' là tập compact nên mỗi phủ mở của Q' đều có một phủ con hữu hạn , khi ấy tồn tại hữu hạn các tập Qk , Qk ,..., Qk 1 2 n sao cho n Q' ⊂ U Qk i i =1 Suy ra n Q' ≤ ∑ Qki i =1 hay n b − a − 2ε ≤ ∑ (bk − ak + 22ε ) ≤ i i ki i =1 +∞ +∞ +∞ ≤ ∑ (bk − ak + ) = 2ε 2k ∑ (bk − ak ) + ∑ 2εk −1 k =1 k =1 k =1 +∞ Thế nhưng ∑ 2εk −1 lại là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu k =1 u1 = ε , công bội q = 1/2 nên hội tụ và có tổng là 2ε . Vậy
+∞ b − a − 2ε ≤ ∑ (bk − ak ) + 2ε k =1 hay +∞ Q ≤ ∑ Pk + 4ε k =1 Cho ε → 0, ta có +∞ Q ≤ ∑ Pk (3) k =1 Từ (2) , (3) suy ra +∞ Q = ∑ Pk k =1 hay +∞ m(Q) = ∑ m( Pk ) k =1 Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp Q là khoảng vô hạn. Khi đó Q = +∞ . Rõ ràng ta luôn có thể biểu diễn Q ở dạng +∞ Q= U I n , I1 ⊂ I 2 ⊂ ..., lim I n = +∞ n =1 n→+∞ trong đó các Ι n đều là khoảng hữu hạn. +∞ Chẳng hạn, Q = (a,+∞) = U ( a, a + n) n =1 ∞ Vì In ⊂ Q và Q = U Pk , các Pk rời nhau nên k =1 +∞ +∞ I n = I n I Q = I n I ( U Pk ) = U ( I n I Pk ) k =1 k =1 trong đó các tập hợp I n I Pk hữu hạn và rời nhau theo chỉ số k = 1, 2, ... Theo phần vừa chứng minh +∞ +∞ In = ∑ I n I Pk ≤ ∑ Pk k =1 k =1
Cho n → + ∞ , ta được +∞ + ∞ ≤ ∑ Pk k =1 Do đó phải có +∞ ∑ Pk = +∞ = Q σ k =1 - cộng tính trên đại số N các tập con của ℜ . σ Vậy, m là ánh xạ σ Theo định lý Hahn về thác triển ánh xạ - cộng tính thành độ đo, ta có một - đại số M chứa N và một độ đo đủ μ là thác triển của m từ N lên M . 3. Độ đo Lebesgue trên ℜ Định nghĩa 3. Độ đo μ và σ - đại số M nhận được khi thác triển ánh xạ m trên đại số N các tập con của ℜ được gọi lần lượt là độ đo Lebesgue và σ- đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên ℜ. σ Các tính chất Độ đo Lebesgue μ và - đại số M các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên ℜ có các tính chất sau đây. 1. μ là độ đo đủ. 2. Tập không quá đếm được trên ℜ có độ đo không. 3. Tập mở, tập đóng trên ℜ là tập đo được. 4. Tập A ⊂ ℜ là đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0 tồn tại các tập mở G, tập đóng F sao cho F ⊂ A ⊂ Q và μ ε (G \ F) < . 5. Nếu A đo được thì các tập hợp t A , x + A ( t, x ∈ ℜ ) cũng μ ( t A ) = / t / μ ( A ) , μ ( x + A ) = μ ( A), 0 0 đo được và 0 trong đó tA = {ta / a ∈ A}, x0 + A = {x0 + a / a ∈ A} Các ví dụ a) Tập hợp Q các số hữu tỷ có độ đo không. b) Tập hợp Cantor P0 trên [0, 1] xây dựng theo cách dưới đây có độ đo không. Xét tập hợp [0, 1]. - Bước 1. Chia [0, 1] thành ba khoảng bằng nhau, bỏ đi khoảng giữa G1 = (1/3, 2/3).
- Bước 2. Chia ba mỗi đoạn còn lại là [0, 1/3] và [2/3, 1] , bỏ đi khoảng giữa của chúng, đặt G2 = (1/9, 2/9) ∪ (7/9, 8/9). - v.v... Gọi Gn là hợp của 2n-1 các khoảng bỏ đi ở bước thứ n , ∞ G= U Gk là hợp của tất cả các khoảng bỏ đi , P0 = [0,1] \ G. k =1 Ta có các tập Gn rời nhau và μ (G ) = 2 n n-1 . 1/ 3n = 1/2 . (2/3)n Khi đó +∞ +∞ μ (G ) = ∑ μ (Gn ) = 1 2 ∑ ( 23 ) n =1 n =1 n =1 Vậy μ (P ) = μ ([0, 1]) - μ (G) = 0. 0 Để ý rằng tập hợp P0 là tập không đếm được và có độ đo không. $4. HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC 1. Tập hợp số thực mở rộng ∞ ∞ Cho tập hợp số thực ℜ = (- , + ). ∞ ∞ Ta bổ sung cho tập hợp này hai phần tử là - , + , tập hợp mới thu ∞ ∞ được là [- , + ] = (- , + ∞ ∞ ∞ ∞ ) ∪ {- , + } . Ta gọi đây là tập số thực mở rộng, ký hiệu là ℜ , với các quy ước về phép toán như sau. - ∞ < a < + ∞ với mọi a ∈ ℜ ; a + (+ ∞ ) = (+ ∞ ) + a = + ∞ với mọi a ∈ (- ∞ , + ∞ ]; a + (- ∞ ) = (- ∞ ) + a = - ∞ với mọi a ∈ [- ∞ , + ∞ ); a . (+ ∞ ) = (+ ∞ ) . a = + ∞ với mọi a ∈ (0,+∞] a . (- ∞ ) = (- ∞ ) . a = - ∞ với mọi a ∈ (0,+∞]; a . (+∞ ) = (+ ∞ ) . a = - ∞ với mọi a ∈ (- ∞ , 0); a . (-∞ ) = (- ∞ ) . a = + ∞ với mọi a ∈ (- ∞ , 0); 0 . (+ ∞ ) = (+ ∞ ) . 0 = 0; 0 . (- ∞ ) = (- ∞ ) . 0 = 0; a +∞ = a −∞ = 0, ∀a ∈ ℜ + ∞ = − ∞ = +∞ Các ký hiệu (+ ∞ ) + (- ∞ ), (+ ∞ ) - (+ ∞ ), (- ∞ ) - (- ∞ ), ±∞ a ±∞ , 0 với mọi a ∈ℜ đều không có nghĩa.
2. Hàm số hữu hạn Định nghĩa 1. Hàm số f : A → ℜ được gọi là hữu hạn trên A nếu f(A) ⊂ ℜ . Các ví dụ 1. Hàm số f(x) = sinx là hữu hạn trên ℜ vì f(ℜ ) = [-1, 1] ⊂ ℜ . 2. Hàm số f(x) = x là hữu hạn trên ℜ vì f(ℜ ) = ℜ ⊂ ℜ . 3. Hàm số ⎧ 1x khi x ∈ (0,1) f ( x) = ⎨ ⎩+ ∞ khi x=0 là hàm số không hữu hạn trên [0, 1). 3. Hàm số đo được Dưới đây ta cho (X, M) là không gian đo được và A ∈M . Định nghĩa 2. Hàm số f : A →ℜ được gọi là đo được trên A nếu ∀a ∈ ℜ, {x ∈ A / f ( x) < a}∈ M Nếu X = ℜ và M là σ - đại số các tập đo được theo nghĩa Lebesgue trên ℜ , thì f được gọi là hàm đo được theo Lebesgue. Các ví dụ 4. Hàm hằng trên A là đo được trên A. Thật vậy, giả sử f(x) = c = const với mọi x ∈A và a là một số thực bất kỳ . Đặt B = {x ∈ A / f ( x) < a} Khi đó - Nếu a ≤ c thì B = φ nên B ∈ M ; - Nếu a > c thì B = A nên B M.∈ Vậy f đo được trên A. 5. Các hàm số đã xét ở ví dụ 1, 2, 3 đều là hàm đo được trên các tập tương ứng. Định lý 1. Các điều kiện sau đây là tương đương. (1) Hàm số f đo được trên A. (2) ∀a ∈ ℜ, {x ∈ A / f ( x) ≥ a}∈ M (3) ∀a ∈ ℜ, {x ∈ A / f ( x) > a}∈ M (4) ∀a ∈ ℜ, {x ∈ A / f ( x) ≤ a}∈ M
Chứng minh. Đặt B = {x ∈ A / f ( x) < a} C = {x ∈ A / f ( x) ≥ a} D = {x ∈ A / f ( x) > a} E = {x ∈ A / f ( x) ≤ a} Khi đó ta có C = A \ B, E = A \ D. ∈ ∈ Do đó B M ⇔ C M và E M ⇔ D M . ∈ ∈ Suy ra (1) ⇔ (2), (3) ⇔ (4) nên ta chỉ cần chứng minh (2) ⇔ (3). - Trước hết ta chứng minh +∞ +∞ D = U C n , C = I Dn n =1 n =1 trong đó C n = {x ∈ A / f ( x ) ≥ a + 1 n } Dn = {x ∈ A / f ( x) > a − 1n } Thật vậy, lấy x ∈D thì x ∈A và f(x) > a. Theo tính chất trù mật của tập số thực, tồn tại n0 sao cho f ( x) ≥ a + n10 > a +∞ Suy ra x ∈ C n0 do đó x ∈ U Cn n =1 +∞ Ngược lại, lấy x ∈ U Cn thì tồn tại n0 sao cho x ∈ C n0 n =1 Khi đó x ∈A và f ( x) ≥ a + n10 nên f(x) > a. Suy ra x ∈ D. Bây giờ ta lấy x ∈C thì x ∈A và f ( x) ≥ a nên với mọi n ta có +∞ f ( x) > a − 1n . Suy ra x ∈ Dn với mọi n, do đó x ∈ I Dn n =1 +∞ Ngược lại, lấy x ∈ I Dn thì x ∈ Dn với mọi n, do đó x ∈A và n =1 f ( x) > a − 1n với mọi n. Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức cuối
cùng này khi n → + ∞ , ta được lim f ( x ) = lim ( a − 1n ) hay n → +∞ n → +∞ f ( x) ≥ a .Do đó x C.∈ Vậy ta có các đẳng thức về tập hợp cần chứng minh trên đây. - Bây giờ ta chứng minh (2) ⇔ (3). Thật vậy, giả sử ta có (2), khi đó với mọi a ∈ ℜ và mọi n ta có C n ∈ M . Mà M là σ - đại số nên D ∈ M . Vậy (3) được thoả mãn. Ngược lại, giả sử ta có (3). Khi đó với mọi a ∈ ℜ và mọi n ta có Dn ∈ M . Mà M là σ - đại số nên C ∈ M . Vậy (2) được thoả mãn. Định lý chứng minh xong. Hệ quả ∈ 1º Nếu f đo được trên A M và Β ⊂ Α , B ∈M thì f đo được trên Β . Chứng minh. Với ∀a ∈ ℜ ta có { x ∈ Β / f ( x ) < a} = Β ∩ { x ∈ Α / f ( x ) < a} ∈ M ∞ 2º f đo được trên Α1 , Α 2 , … và f xác định trên Α = UΑ n thì f đo được n =1 trên Α . Chứng minh. Với ∀a ∈ ℜ ta có ⎧ ∞ ⎫ ∞ { x ∈ Α / f ( x ) < a} = ⎨ x ∈ U Αn / f ( x ) < a ⎬ = U{ x ∈ Αn / f ( x ) < a} ∈ M ⎩ n =1 ⎭ n=1 do M là δ - đại số. 4. Các tính chất của hàm đo được 1º Nếu f đo được trên Α và c = const ∈ ℜ thì cf đo được trên Α . 2º Nếu f , g đo được và hữu hạn trên Α thì f + g , fg đo được trên Α . α 3º Nếu f đo được trên Α , α > 0 thì f đo được trên Α . 1 4º Nếu f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Α và f đo được trên Α thì đo được trên Α . f 5º Nếu f , g đo được trên Α thì max ( f , g ) , min ( f , g ) đo được trên Α . 6º Nếu { f n } là dãy hàm đo được trên Α thì sup f n , inf f n , lim sup f n , n n n→∞ lim inf f n đo được trên Α . n→∞ 7º Nếu { f n } hội tụ trên Α , f n đo được trên Α thì lim f n đo được trên Α . n→∞
{ 8º Nếu f , g đo được trên Α thì các tập hợp x ∈ Α / f ( x ) < g ( x ) , } { x ∈ Α / f ( x ) ≤ g ( x )} , { x ∈ Α / f ( x ) = g ( x )} đều thuộc M . 9º Nếu f đo được trên Α thì các hàm số ⎧ f ( x ) , khi f ( x ) ≥ 0 f + ( x) = ⎨ = max { f ( x ) , 0} ⎩ 0, khi f ( x ) < 0 và ⎧ 0, khi f ( x ) ≥ 0 f − ( x) = ⎨ = max {− f ( x ) , 0} ⎩ − f ( x ) , khi f ( x ) < 0 là những hàm số đo được trên Α . 5. Hàm đặc trưng của tập hợp Định nghĩa 2. Cho Α ⊂ Χ . Hàm số χ A : Χ → ℜ xác định bởi ⎧1, neu x ∈ Α χΑ ( x ) = ⎨ ⎩0, neu x ∉ Α được gọi là hàm số đặc trưng của Α (trên Χ ). Tương tự ta có khái niệm hàm đặc trưng của tập hợp E trên A. Ví dụ 6. Hàm số Direchle: D: ℜ → ℜ xác định bởi ⎧1 khi x∈Q D( x) = ⎨ ⎩0 khi x∈ℜ \ Q là hàm đặc trưng của Q trên ℜ . Ta xét tính chất đo được của hàm đặc trưng. Định lý 2. Hàm đặc trưng χ E của tập hợp Ε ⊂ Α là đo được trên Α khi và ∈ chỉ khi E M. Chứng minh. Với ∀a ∈ ℜ ta có ⎧ Α , neu a > 1 { x ∈ Α : χ E ( x ) < a} = ⎪⎨Α \ Ε , neu 0 < a ≤ 1 ⎪ ∅ , neu a ≤ 0 ⎩ - Nếu E ∈ M thì A \ E ∈ M , do đó χ E đo được trên Α . - Nếu E ∉ M thì A \ E ∉ M , do đó χ E không đo được trên Α . 6. Hàm đơn giản Định nghĩa 3. Hàm số S : Χ → [ 0; + ∞ ] xác định trên Χ và chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hữu hạn không âm được gọi là hàm số đơn giản trên Χ . Tương tự ta có khái niệm hàm đơn giản trên tập hợp Α ⊂ Χ . Ví dụ 7. Hàm số Direchle trên đây là hàm số đơn giản trên ℜ vì nó chỉ nhận hai giá trị hữu hạn không âm là 0 và 1.
Ví dụ 8. Xét hàm số ⎧1 khi x ∈ [1,3) ⎪ f ( x) = ⎨2 khi [3,4] ⎪4 khi (4,7) ⎩ Đây là hàm đơn giản trên [1, 7). Nhận xét Cho hàm đơn giản S : Χ → [ 0; + ∞ ] và α1 , α 2 , …, α n là các giá trị khác nhau đôi một của S . Đặt { } Χ k = x ∈ Χ : S ( x ) = α k , k = 1, n . ∞ n Thế thì các Χ k rời nhau, Χ = UΧ k và S ( x ) = ∑α k =1 k χ Χk ( x ) , ∀x ∈ Χ . k =1 Ví dụ 9. Xét hàm đơn giản ở ví dụ 8. Đặt Α1 = [1, 3), A2 = [3, 4], A3 = (4, 7), α 1 = 1, α 2 = 2, α 3 = 4. Khi đó các tập hợp này rời nhau và f ( x ) = α 1 χ A1 ( x ) + α 2 χ A2 ( x ) + α 3 χ A3 ( x) với mọi x ∈ [1, 7). Xét tính chất của hàm đơn giản. Cho ( Χ , M ) - không gian đo được, A M. ∈ Định lý 3. Cho S là hàm đơn giản trên Α n n S ( x ) = ∑ α k χ Αk ( x ) , UA k = A , Α k rời nhau, α k khác nhau. k =1 k =1 Khi đó S đo được trên Α khi và chỉ khi mọi Ak ∈ M. Chứng minh. - Nếu S đo được trên Α thì { x ∈ Α : S ( x ) = α k } = Αk ∈ M , k = 1, n - Nếu Α1 , …, A ∈ M thì theo định lý 1 mọi hàm đặc trưng χ Α k đo được k trên Α . Khi đó hàm S ( x ) đo được trên Α (vì là tổng, tích các hàm hữu hạn đo được). 7. Cấu trúc của hàm đo được Định lý 4. Mọi hàm số đo được không âm trên Α đều là giới hạn của một dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được trên Α . Chứng minh. Giả sử f là hàm đo được không âm trên Α . Đặt
⎧ n , khi f ( x ) ≥ n ⎪ Sn ( x ) = ⎨ m − 1 m −1 m ⎪⎩ 2n , khi n ≤ f ( x ) < n , m = 1, 2,..., n 2n 2 2 thì S n ( x ) là dãy đơn điệu tăng (theo n ) các hàm đơn giản đo được trên Α . Ta chứng minh lim S n ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ Α . n→∞ Thật vậy, - Nếu f ( x ) < +∞ thì với n đủ lớn ta có f ( x ) < n . { Do đó với ∀n đủ lớn tồn tại số tự nhiên m ∈ 1, 2,..., n 2 n } sao cho m −1 m m −1 1 ≤ f ( x ) < . Vì S n ( x ) = nên S n ( x ) − f ( x ) < với n đủ 2n 2n 2n 2n lớn. - Nếu f ( x ) = +∞ thì S n ( x ) = n với ∀n . Suy ra, lim S n ( x ) = +∞ = f ( x ) . n→∞ Vậy, lim S n ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ Α trong cả hai trường hợp. n→∞ $5. SỰ HỘI TỤ HẦU KHẮP NƠI 1. Khái niệm hầu khắp nơi Định nghĩa 1. Cho không gian độ đo (X, M, μ ) và A ∈ M . Ta nói một tính chất ℑ nào đó xảy ra hầu khắp nơi trên tập hợp A nếu tồn tại một tập hợp B ⊂A , B ∈ M, μ (B) = 0 sao cho tính chất ℑ xảy ra tại mọi x ∈ A \ B. Nói một cách khác, các điểm x A mà tại đó tính chất ℑ không xảy ∈ ra đều thuộc tập hợp có độ đo không. Hiển nhiên, một tính chất xảy ra ( khắp nơi ) trên A thì xảy ra hầu khắp nơi trên A. Sau đây ta đưa ra một vài khái niệm cụ thể thường sử dụng. Định nghĩa 2. Hai hàm số f, g cùng xác định trên tập hợp ∈ A M được gọi là bằng nhau hầu khắp nơi trên A (hay tương đương nhau trên A ) nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B M, ∈ μ (B) = 0 sao ∈ cho f(x) = g(x) với mọi x A \ B. Khi đó ta ký hiệu f ~ g (trên A). Ví dụ 1. Hàm số Dirichlet D(x) ~ 0 trên ℜ vì D(x) = 0 với mọi ∈ x ℜ \ Q , trong đó Q ⊂ℜ là tập đo được và có độ đo không. Ví dụ 2. Hàm số ⎧ 1x khi x ∈ (0,1) f ( x) = ⎨ ⎩+ ∞ khi x=0
tương đương với hàm số ⎧ 1x khi x ∈ (0,1) g ( x) = ⎨ ⎩1 khi x=0 ∈ trên [0, 1), vì f(x) = g(x) với mọi x [0, 1) \ B, trong đó B = {0} là tập con của [0, 1), đo được và có độ đo không. Ví dụ 3. Hàm số ⎧ sin x khi x ∈ [0, π2 ]I Q f ( x) = ⎨ ⎩cos x khi x ∈ [0, 2 ] \ Q π π tương đương với hàm số g(x) = cosx trên [0, 2 ] . Định nghĩa 3. Hàm số f được gọi là hữu hạn hầu khắp nơi trên tập hợp A ∈ M nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B M, ∈ μ ∈ (B)= 0 sao cho f(x) ℜ với mọi x A \ B.∈ Ví dụ 4. Hàm số f(x) được cho ở ví dụ 2 hữu hạn hầu khắp nơi trên [0, 1). Định nghĩa 4. Hàm số f được gọi là xác định hầu khắp nơi trên tập hợp A ∈ M nếu tồn tại một tập hợp B ⊂ A , B M,∈ μ (B) = 0 sao cho f xác định trên A \ B. Ví dụ 5. Hàm số sơ cấp f ( x) = 1x xác định hầu khắp nơi trên ℜ . Định nghĩa 5. Dãy hàm số { f n } được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm số f trên tập hợp A ∈ M nếu tồn tại một tập hợp B ⊂A , B ∈ M, μ (B) = 0 sao cho nlim f n ( x) = f ( x) → +∞ ∈ với mọi x A \ B. Ví dụ 6. Dãy hàm số { f n } xác định bởi f n ( x) = x 2 + 3 x − sin x n 4− x + x 2 n hội tụ hầu khắp nơi về hàm số f ( x) = x 2 +3 x 4 − x trên [-1, 1]. 2. Sự hội tụ hầu khắp nơi Định lý 1. Cho không gian độ đo (X, M, μ ) và A ∈ M . Khi đó (i) Nếu f ~ g (trên A) và { f } hội tụ h.k.n về f trên A thì { f n } n hội tụ h.k.n về g trên A.
(ii) Nếu {f } n hội tụ h.k.n về f trên A và { f n } hội tụ h.k.n về g trên A thì f ~ g (trên A). Chứng minh. (i) Vì f ~ g (trên A) nên tồn tại một tập hợp B ⊂A , B ∈ M, μ (B) = 0 sao cho f(x) = g(x) với mọi x ∈ A \ B. Mặt khác, vì { f n } hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp C ⊂A , C ∈ M, μ (C) = 0 sao cho nlim f n ( x) = f ( x) → +∞ ∈ với mọi x A \ C. Khi đó (B U C) ⊂ A, B U C ∈ M, μ (B U C) = 0 và với mọi x ∈(A \ B) I ( A \ C) = A \ (B U C) ta có lim f n ( x) = f ( x) = g ( x) n → +∞ Vậy { f n } hội tụ h.k.n về g trên A. (ii) Tương tự, do { f n } hội tụ h.k.n về f trên A nên tồn tại một tập hợp B ⊂A , B ∈ M, μ (B) = 0 sao cho nlim f n ( x ) = f ( x) với → +∞ mọi x ∈A \ B. Lại do { f n } hội tụ h.k.n về g trên A nên tồn tại một tập hợp C ⊂A , C ∈ M, μ (C) = 0 sao cho nlim f n ( x) = g ( x) với mọi x ∈A \ C. → +∞ Khi đó, theo tính chất duy nhất của giới hạn của dãy số, với mọi x ∈(A \ B) I ( A \ C) = A \ (B U C) ta phải có lim f n ( x) = f ( x) = g ( x) . n → +∞ Mà (B U C) ⊂ A, B U C ∈ M, μ (B U C) = 0 nên f ~ g (trên A). Định lý được chứng minh. Từ định lý suy ra rằng, nếu ta đồng nhất các hàm số tương đương thì giới hạn của dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi là duy nhất. Định lý 2. (Egoroff) Giả sử {f } n là một dãy hàm đo được, hữu hạn h.k.n, hội tụ h.k.n về hàm số f đo được, hữu hạn h.k.n trên một tập hợp A có độ đo hữu hạn. Khi đó với mỗi ε > 0, tồn tại một tập hợp E đo