HỌC PHẦN ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
CHƯƠNG I. ĐỘ ĐO
$1. ĐẠI SỐ.
σ
- ĐẠI SỐ
1. Đại số
a) Định nghĩa 1. Cho tập hợp
φ
≠
X
. Một họ N các tập con của
X được gọi là một đại số các tập con của X, nếu N thoả mãn ba điều
kiện sau:
(i) X
∈
N ;
(ii) A
∈
N
⇒
CXA = X \ A
∈
N ;
(iii) A1, A2, ... , An
∈
N
⇒
U
n
k
k
A
1
∈
N .
b) Các tính chất
Cho
N là đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó N có các tính
chất sau đây:
1.
φ
∈
N ;
2. A1, A2, ... , An
∈
N
⇒
I
n
k
k
A
1
=
∈
N ;
3. A, B
∈
N
⇒
A \ B
∈
N.
Chứng minh.
1. được suy từ (i), (ii)
2. được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:
IU
n
k
n
k
kk CAAC 11
)(
=
=
=
3. được suy từ (ii), tính chất 2 vừa chứng minh và công thức
A \ B = A
∩
CXB
Nhận xét Đại số các tập con của tập hợp X có tính chất
" khép kín" đối với các phép toán : hợp hữu hạn, giao hữu hạn, hiệu
các tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các phép toán
này trên các phần tử của N thì kết quả sẽ là các phần tử của N).
c) Các ví dụ
1. Cho
X
A
⊂. Đặt N =
{
}
A
C
A
X
X
,,,
φ
.
Khi đó N là một đại số các tập con của X.
2. Cho X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 2, 4, 6 },
C = { 1, 2, 4, 7 }, D = { 3, 5, 6 }.
Đặt N = {
φ
, X, A, B, C, D }. Hãy kiểm tra xem N có là một đại
số các tập con của X?
3. Cho N là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn
điều kiện :
Nếu A, B
∈
N thì X \ A
∈
N và A
∩
B
∈
N.
Chứng minh rằng N là một đại số các tập con của X.
2.
σ
- đại số
a) Định nghĩa 2. Cho tập hợp
φ
≠
X
. Một họ M các tập con của
X được gọi là một
σ
- đại số các tập con của X, nếu M thoả mãn
ba điều kiện sau:
(i) X
∈
M ;
(ii) A
∈
M
⇒
CXA = X \ A
∈
M ;
(iii) A1, A2, ... , An , ...
∈
M
⇒
U
∞
=
1
k
k
A
∈
M .
b) Các tính chất
Cho
M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X. Khi đó M
có các tính chất sau đây:
1.
M là một đại số các tập con của X;
2.
φ
∈
M ;
3. A1, A2, ... , An
∈
M
⇒
I
n
k
k
A
1
=
∈
M ;
4. A, B
∈
M
⇒
A \ B
∈
M ;
5. A1, A2, ... , An , ...
∈
M
⇒
I
∞
=
1
k
k
A
∈
M .
Chứng minh.
- Tính chất 1 được suy từ (i), (ii) và (iii) khi đặt
A
n+1 = An+2 = ... =
φ
.
- Tính chất 2, 3, 4 được suy từ tính chất 1 vừa chứng minh.
- Tính chất 5 được suy từ (ii), (iii) và công thức de Morgan:
IU
∞
=
∞
=
=
11
)(
k
k
kk CAAC
Nhận xét
σ
- đại số các tập con của tập hợp X có tính chất " khép
kín" đối với các phép toán : hợp đếm được, giao đếm được của các tập
hợp, hiệu hai tập hợp và lấy phần bù ( nghĩa là : khi ta thực hiện các
phép toán này trên các phần tử của M thì kết quả sẽ là các phần tử của
M ).
c) Các ví dụ
1. Cho tập hợp
φ
≠
X
. Họ tất cả các tập con của tập hợp X là
một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
2. Cho M là một họ không rỗng các tập con của tập hợp X thoả mãn
hai điều kiện :
a) A
∈
M
⇒
X \ A
∈
M ;
b) A1, A, ... , An , ...
∈
M
⇒
I
∞
=
1
k
k
A
∈
M .
Chứng minh rằng M là một
σ
- đại số các tập con của X.
3. Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X và Z
∈
M.
Đặt MZ là họ tất cả các tập hợp thuộc M và chứa trong Z.
Chứng minh MZ là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp Z.
$2. ĐỘ ĐO
1. Tập hợp số thực không âm mở rộng
Cho tập hợp số thực không âm ),0[
+
∞.
Ta bổ sung cho tập hợp này một phần tử là +
∞
, tập hợp mới
thu được là ],0[ +∞ . Ta gọi đây là tập số thực không âm mở rộng với
các quy ước về phép toán như sau.
a < +∞ với mọi a
∈
),0[
+
∞;
a + (+∞) = (+∞) + a = +
∞
với mọi a
∈
],0[
+
∞;
a . (+∞) = (+∞) . a = +
∞
với mọi a
∈
],0(
+
∞;
0 . (+∞) = (+∞) . 0 = 0
Lưu ý. Đẳng thức a + c = b + c kéo theo a = b khi và chỉ khi
+∞≠c.
2. Các khái niệm
Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M → ],0[
+
∞.
Định nghĩa 1.
μ
được gọi là ánh xạ cộng tính hữu hạn, nếu có một
họ hữu hạn các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, ... , An
∈
M thì
∑
=
=
=n
k
k
n
k
kAA 1
1)()(
μμ
U
Định nghĩa 2.
μ
được gọi là ánh xạ
σ
- cộng tính nếu có một họ
đếm được các tập hợp đôi một rời nhau A1, A2, ... , An , ...
∈
M thì
∑
∞
+
=
∞
+
=
=1
1)()(
k
k
k
kAA
μμ
U
Định nghĩa 3.
μ
được gọi là một độ đo trên M, nếu hai điều kiện sau
được thoả mãn:
1.
μ
(
φ
) = 0;
2.
μ
là
σ
- cộng tính.
Định nghĩa 4. Cặp (X, M), trong đó M là
σ
- đại số các tập con của
tập hợp X, được gọi là không gian đo được. Mỗi tập hợp A
∈
M được
gọi là một tập đo được.
Định nghĩa 5. Bộ ba (X, M,
μ
), trong đó M là
σ
- đại số các tập con
của tập hợp X,
μ
là một độ đo trên M, được gọi là không gian độ đo.
Nếu A
∈
M thì số
μ
(A) được gọi là độ đo của tập hợp A.
Định nghĩa 5. Độ đo
μ
được gọi là độ đo hữu hạn nếu
μ
(X) < +
∞
.
Độ đo
μ
được gọi là độ đo
σ
- hữu hạn, nếu X = U
∞
=1
k
k
X, Xk
∈
M
và
μ
(Xk) < +
∞
với mọi k.
Nhận xét. Độ đo hữu hạn thì
σ
- hữu hạn.
3. Các ví dụ
a) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M → ],0[
+
∞ xác định bởi
μ
(A) = 0 với mọi A
∈
M .
Khi đó
μ
là một độ đo hữu hạn.
b) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X.
Xét ánh xạ
μ
: M → ],0[
+
∞ xác định bởi
μ
(
φ
) = 0 ,
μ
(A) = +
∞
với mọi A
∈
M và
φ
≠
A
.
Khi đó
μ
là một độ đo không
σ
- hữu hạn.
c) Cho M là một
σ
- đại số các tập con của tập hợp X và x0
∈
X.
Xét ánh xạ
μ
: M → ],0[
+
∞ xác định bởi :
- Nếu A
∈
M và x0
∈
A thì
μ
(A) = 1 ;
- Nếu A
∈
M và x0
∉
A thì
μ
(A) = 0 .
Chứng minh rằng
μ
là một độ đo hữu hạn.
Nhận xét. Có nhiều cách xây dựng độ đo trên cùng một
σ
- đại số
các tập con của tập hợp X, ứng với mỗi độ đo sẽ có một không gian độ
đo tương ứng với các tính chất khác nhau.
4. Các tính chất của độ đo
Cho (X, M,
μ
) là một không gian độ đo. Khi đó ta có các tính
chất sau đây.
1.
μ
là cộng tính hữu hạn.
2. Nếu A, B
∈
M và A ⊂ B thì
μ
(A)
≤
μ
(B) .
Ngoài ra, nếu
μ
(A) < +
∞
thì
μ
(B \ A) =
μ
(B) -
μ
(A).
3. Nếu A1, A2, ... , An , ...
∈
M thì
∑
∞
+
=
∞
+
=
≤1
1)()(
k
k
k
kAA
μμ
U
4. Nếu A, B
∈
M , A ⊂ B và
μ
(B) = 0 thì
μ
(A) = 0.
5. Nếu A, B
∈
M và
μ
(B) = 0 thì
μ
(A ∪ B) =
μ
(A \ B) =
μ
(A).
6. Hợp của một họ hữu hạn các tập hợp có độ đo không là tập
hợp có độ đo không:
μ
(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, ... , n ⇒ 0)( 1=
=
U
n
k
k
A
μ
7. Hợp của một họ đếm được các tập hợp có độ đo không là tập
hợp có độ đo không:
μ
(Ak ) = 0, ∀k = 1, 2, ... ⇒ 0)( 1=
∞
+
=
U
k
k
A
μ
8. Nếu
μ
là độ đo
σ
- hữu hạn thì
i) X = U
∞
=1
k
k
Y, trong đó các tập hợp Yk đôi một rời nhau,
Y
k
∈
M và
μ
(Yk) < +
∞
với mọi k;
ii) A = U
∞
=1
k
k
A, trong đó các tập hợp Ak đôi một rời nhau,
Ak
∈
M và
μ
(Ak) < +
∞
với mọi A
∈
M và mọi k.
9. Nếu { An } , n
∈
N, là dãy đơn điệu tăng các tập hợp đo được,
nghĩa là A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ... , thì
U
∞
+
=+∞→
=
1)()( lim
nn
n
nAA
μμ
10. Nếu { An } , n
∈
N, là dãy đơn điệu giảm các tập hợp đo
được, nghĩa là A1 ⊃ A2
⊃
...
⊃
An
⊃
... , và
μ
(A1) < +∞ thì