thái thuần quang
Bài giảng
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA TOÁN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Mục lục
Chương 1. Độ đo 1
1.1. Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 σ-đạisố.............................. 2
1.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Độ đo trên Rk.............................. 14
1.4.1 Độ đo trên đường thẳng R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Độ đo trên không gian Rk,(k > 1) ............... 19
1.5. Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Các định nghĩa và phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3 Tập có độ đo không và tính chất “hầu khắp nơi” . . . . . . . 26
1.5.4 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. Tích phân Lebesgue 33
2.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Tích phân các hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Tích phân các hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Tích phân các hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Tính chất cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Tính chất bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 Tính chất khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Các kết quả về giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 46
2.3.3 Tích phân Lebesgue xem như hàm tập . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Tích độ đo - Tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4.1 Biểu diễn độ đo của một tập bằng tích phân của độ đo các
thiết diện của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Ý nghĩa hình học của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chỉ mục 60
Chương 1
Độ đo
1.1. Đạisốtậphợp ......................... 1
1.2. Độ đo trên một đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Tháctriểnđộđo........................ 8
1.4. Độ đo trên Rk......................... 14
1.5. Hàmsốđođược ........................ 21
1.1. Đại số tập hợp
Ta sẽ giả thiết các tập hợp được nói đến đều là tập con của một tập Xcho trước.
Một lớp các tập con của Xgọi là kín đối với phép toán (nào đó) nếu kết quả
thực hiện phép toán đó trên các tập hợp của lớp đó bao giờ cũng thuộc về lớp đó.
1.1.1 Đại số
Một đại số (hay trường) là một lớp chứa X, ∅và kín đối với mọi phép toán hữu
hạn về tập hợp (phép hợp, phép giao hữu hạn, phép hiệu, hiệu đối xứng).
Định lý 1.1.1.1. Một lớp Clà một đại số và chỉ khi C 6=∅và thỏa mãn hai điều
kiện
a) A, B ∈ C =⇒A∪B∈ C,
b) A∈ C =⇒Ac=X\A∈ C.