MATHEDUCARE.COM
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC
(cid:89) (cid:9) (cid:90)
NGUYEÃN VINH QUANG
LYÙ THUYEÁT ÑOÄ ÑO VAØ TÍCH PHAÂN
(Baøi Giaûng Toùm Taét)
-- Löu haønh noäi boä -- (cid:89) Ñaø Laït 2008 (cid:90)
MATHEDUCARE.COM
Môc lôc
1 §é ®o . . . . . 1.1 TËp hîp . . . . . . . . . . . . .
.
. . .
. . . . 1.1.1 C¸c kh¸i niÖm . . 1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . 1.1.3 Giíi h¹n . . 1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè . . . 1.2.1 §¹i sè . . . 1.2.2 . 1.2.3 . . . . . . . . σ - ®¹i sè . σ - ®¹i sè tÝch . . . . 1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ . . . . . 1.3.1 Hµm tËp . 1.3.2 §é ®o . . 1.3.3 1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong . . 1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . 1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 3 4 4 5 8 8 8 9 13 16 19 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 2 TÝch ph©n Lebesgue . 2.1 Hµm ®o ®−îc . . 2.2 TÝch ph©n Lebesgue . 2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o . . 2.3.1 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 29 36 36 37 . . . . . . . . . . . . . . .
matheducare.com
1
MATHEDUCARE.COM
Ch−¬ng 1
§é ®o
1.1 TËp hîp
1.1.1 C¸c kh¸i niÖm
N, . . .
N, {Bn}n∈
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp
Gi¶ sö kh«ng gian Ω (cid:1)= ∅. PhÇn tö: Nh÷ng ®iÓm thuéc Ω ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña Ω. Ký hiÖu: ω, ω1, ω2, . . . , ωn ∈ Ω. TËp con: A ®−îc gäi lµ tËp con cña Ω. Ký hiÖu: A ⊂ Ω ⇔ ∀ω ∈ A ⇒ ω ∈ Ω. TËp b»ng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B, B ⊂ A. Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ tËp hîp gäi lµ líp c¸c tËp. Ký hiÖu: A, B, C, . . . D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp. Ký hiÖu: {An}n∈
∞
1.Hîp
n=1
C = C = A ∪ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A hay ω ∈ B}. An := {ω ∈ Ω : ∃ n0 ∈ N, ω ∈ An0}.
2.Giao
∞
A ∩ B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω ∈ B}.
n=0 3.HiÖu hai tËp hîp
An := {ω ∈ Ω : ω ∈ An, ∀n}. (cid:1)
A\B := {ω ∈ Ω : ω ∈ A vµ ω /∈ B}.
matheducare.com
(cid:2) 2
MATHEDUCARE.COM
4.HiÖu ®èi xøng hai tËp hîp
A(cid:14)B := (A\B) ∪ (B\A).
C
C ∈
C. Chó ý: Khi A ∩ B = ∅ th× A ∪ B = A + B. 5.PhÐp lÊy phÇn bï (trªn Ω) Ký hiÖu: B (hay Bc) := Ω\B = {ω ∈ Ω : ω /∈ B}. 6.Ph©n ho¹ch Líp C gåm c¸c tËp rêi nhau ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch trªn Ω nÕu Ω =
TÝnh chÊt 1.1.1. 1.Giao ho¸n (cid:3)
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A(cid:14)B = B(cid:14)A. 2.KÕt hîp
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 3.Ph©n phèi
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (*)A ∩ (B(cid:14)C) = (A ∩ B)(cid:14)(A ∩ C)
∞
(*)C«ng thøc De Morgan ∞
n=1 ∞
n=1 ∞
An An =
An An =
n=1 (cid:5)
n=1 (cid:7)
(cid:4) (cid:6)
1.1.3 Giíi h¹n (cid:6)
N trªn Ω
(cid:4) (cid:7) (cid:5)
∞
∞
1.D·y t¨ng (gi¶m) Cho dQy {An} trªn Ω, ta nãi {An} lµ dQy t¨ng nÕu A1 ⊂ A2 ⊂ . . . Ký hiÖu: An ↑n. {An} lµ dQy gi¶m theo n nÕu A1 ⊃ A2 ⊃ . . . Ký hiÖu: An ↓n. 2.Giíi h¹n trªn (lim n) Cho {An}n∈
n=1
k=n
Ak lim nAn = infn(cid:1)1 supk(cid:1)n Ak =
3.Giíi h¹n d−íi (lim n)
matheducare.com
(cid:2) (cid:1) 3
MATHEDUCARE.COM
∞
∞
n=1
Ak lim nAn = supn(cid:1)1 infk(cid:1)n Ak =
k=n Ta nãi dQy {An} cã giíi h¹n (khi n → ∞) nÕu ta cã lim nAn = lim nAn vµ khi ®ã giíi h¹n cña dQy {An} chÝnh lµ lim vµ còng lµ lim . Ký hiÖu: limn An = lim nAn = lim nAn. Bµi tËp 1: Chøng minh mäi dQy ®¬n ®iÖu th× héi tô, h¬n n÷a
∞
(cid:1) (cid:2)
n=1 ∞
An ↑n, A = An th× An ↑ A.
n=1
An ↓n, A = An th× An ↓ A.
Bµi tËp 2: (LÊy phÇn bï) (cid:1) lim nAn = lim nAn.
1.2 §¹i sè vµ σ - ®¹i sè
1.2.1 §¹i sè
(cid:2)
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho kh«ng gian Ω (cid:1)= ∅, F0 lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. F0 ®−îc gäi lµ ®¹i sè nÕu nã tháa:
1. Ω ∈ F0 2. ∀A ∈ F0 th× A ∈ F0 3. A, B ∈ F0 th× A ∪ B ∈ F0.
n
VÝ dô.
i=1
lµ ®¹i sè trªn R. - (Ω, ∅) lµ ®¹i sè trªn Ω vµ ®−îc gäi lµ ®aÞ sè tÇm th−êng. - Líp c¸c tËp con trªn Ω, ký hiÖu 2Ω lµ ®¹i sè trªn Ω (®aÞ sè lín nhÊt). - σ(A) = {Ω, ∅, A, A} lµ ®¹i sè bÐ nhÊt chøa A. - C = [ai, bi) : −∞ < ai (cid:1) bi < +∞
Ω = {1, 2, 3, 4}. F0 = {∅, {1}, {2, 3, 4}, Ω} lµ ®¹i sè trªn Ω.
n
(cid:9) (cid:8) TÝnh chÊt 1.2.1.
i=1
Ai ∈ F0. (cid:3) 1. ∅ ∈ F0 2. ∀A, B ∈ F0 ⇒ A ∩ B, A\B, A(cid:14)B ∈ F0 3. ∀{Ai}i=1,n ⊂ F0 ⇒
(cid:1) Chøng minh. 1. Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa. 2. Ta cã A ∩ B = (A ∪ B)
matheducare.com
4
MATHEDUCARE.COM
k
k
k+1
V× A, B ∈ F0 nªn A, B ∈ F0. Suy ra(A ∪ B) ∈ F0 (theo tiªn ®Ò (3)). Do vËy, víi mäi A, B ∈ F0 th× (A ∪ B) ∈ F0 hay A ∩ B ∈ F0. A\B = A ∩ B ∈ F0 v× A, B ∈ F0. A(cid:14)B = (A\B) ∪ (B\A) ∈ F0 v× (A\B), (B\A) ∈ F0. 3. Dïng quy n¹p. Víi n = 2 ta cã A1 ∪ A2 ∈ F0 theo tiªn ®Ò (3). Gi¶ sö ®óng cho tr−êng hîp n = k, ta cã
i=1
i=1
n
Ai Ai Ai = ∪Ak+1 ∈ F0 v× ∈ F0 (theo gi¶ thiÕt quy n¹p) vµ Ak+1 ∈ F0.
i=1 Ai ∈ F0.
i=1
VËy
∞
(cid:4) (cid:6) (cid:4) (cid:6) (cid:1) (cid:1) (cid:1) 1.2.2 σ - ®¹i sè (cid:1) §Þnh nghÜa 1.2.2. Cho kh«ng gian Ω, ta nãi F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω nÕu tháa mQn c¸c tiªn ®Ò sau:
N ⊂ F ta cã
n=1
1. Ω ∈ F 2. ∀A ∈ F th× A ∈ F 3. ∀{An}n∈ An ∈ F.
TÝnh chÊt 1.2.2.
N ⊂ F ⇒
n=1
1. ∅ ∈ F 2. σ - ®¹i sè lµ ®¹i sè. ∞ 3. ∀{An}n∈ (cid:1) An ∈ F.
∞
(cid:2)
N ⊂ F (tiªn ®Ò 2).
Chøng minh. 1. HiÓn nhiªn. 2. ∀A, B ∈ F ®Æt A1 = A, A2 = B, An = ∅ ∀n = 3, ∞. An ∈ F (do tiªn ®Ò 3). ⇒ A ∪ B =
3. ∀{An}n∈
n=1 N ⊂ F ⇒ {An}n∈ ∞ An ∈ F.
n=1 Sö dông tiªn ®Ò 2 vµ c«ng thøc DeMorgan
∞
∞
Theo tiªn ®Ò 3 ⇒ (cid:1)
n=1
n=1
An ∈ F.
(cid:4)
An = (cid:1) Kh«ng gian ®o ®−îc Cho kh«ng gian Ω vµ F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω. Khi ®ã: (cid:6) - (Ω, F) ®−îc gäi lµ kh«ng gian ®o ®−îc. (cid:2) (cid:1) - A ∈ F ta gäi A lµ ®o ®−îc.
matheducare.com
5
MATHEDUCARE.COM
σ - ®¹i sè sinh
§Þnh nghÜa 1.2.3. Cho C lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi σ - ®¹i sè sinh bëi C lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: σ(C).
σ - ®¹i sè Borel trªn R σ - ®¹i sè Borel trªn R lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt chøa mäi kho¶ng ®ãng trªn R. Ký hiÖu: B hay B(R) hay B1. Gäi C lµ líp tËp cã d¹ng C = {[a, b] : −∞ < a (cid:1) b < +∞}. Khi ®ã σ(C) = B. Bµi tËp:Cho a (cid:1) b, a, b ∈ R. XÐt c¸c tËp sau: 1.(a, b) 2.[a, b) 3.(−∞, a) 4.(−∞, a] 5.(a, +∞) 6.[a, +∞) Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng nh− trong 1, 2, . . . , 6. CMR σ(C) = B.
Líp ®¬n ®iÖu
§Þnh nghÜa 1.2.4. Cho Ω, M lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Ta nãi M lµ líp ®¬n ®iÖu nÕu nã chøa tÊt c¶ c¸c giíi h¹n cña dQy ®¬n ®iÖu trong M
N ⊂ M, An ↑n A (hay An ↓n A) ⇒ A ∈ M.
{An}n∈
Líp ®¬n ®iÖu sinh bëi C Lµ líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa C. Ký hiÖu: M(C).
§Þnh lý 1.2.1. Cho F lµ líp c¸c tËp trªn Ω. Khi ®ã ta cã: F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇔ F lµ ®¹i sè, ®¬n ®iÖu.
N ⊂ F, An ↑n A, ta chøng minh A ∈ F.
∞
Chøng minh. [⇒] Gi¶ sö F lµ σ - ®¹i sè ⇒ F lµ ®¹i sè. Chøng minh F ®¬n ®iÖu. Cho ∀{An}n∈
n=1
∞
An (t¨ng vÒ sup). Ta cã: An ↑n A ⇒ A =
n=1
Theo tiªn ®Ò (3) cña σ - ®¹i sè ta cã A = An ∈ F.
(cid:1) 6
matheducare.com
(cid:1)
MATHEDUCARE.COM
∞
n=1
An ∈ F (theo tÝnh chÊt (3) cña σ - ®¹i sè).
∞
An ↓n A ⇒ A = VËy F ®¬n ®iÖu.
N ⊂ F ta cÇn chøng minh
n=1
n
[⇐] ∀{An}n∈ An ∈ F.
k=1
∞
(cid:2) §Æt Bn = Ak ∈ F (v× cã tÝnh chÊt ®¹i sè).
Ak ∈ F. (cid:1)
(cid:1)
MÆt kh¸c Bn ↑n k=1 VËy F lµ σ - ®¹i sè. §Þnh lý 1.2.2. Cho F0 lµ ®¹i sè trªn Ω khi ®ã ta cã σ(F0) = M(F0) (σ - ®¹i sè sinh bëi F0 còng lµ líp ®¬n ®iÖu sinh bëi F0). (cid:1)
Chøng minh. [⇐] σ(F0) ⊃ M(F0) Ta cã σ(F0) lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F0 nªn nã chøa líp ®¬n ®iÖu bÐ nhÊt chøa F0. Nãi kh¸c ®i σ(F0) ⊃ M(F0). [⇒] σ(F0) ⊂ M(F0) ∀A ∈ M(F0) ®Æt MA = {B ∈ M(F0) : A\B, B\A, A ∪ B ∈ M(F0)}. Víi c¸ch ®Æt MA nh− trªn ta ®−îc: 1. MA lµ líp ®¬n ®iÖu. 2. B ∈ MA ⇔ A ∈ MB (do tÝnh chÊt ®èi xøng ®Æt trªn MA).
Thùc vËy, ta cã ∀A ∈ M(F0), MA (cid:1)= ∅ v× A ∈ MA. Ta chøng minh (1). XÐt {Bn} ⊂ MA, Bn ↑n B ta chØ ra B ∈ MA. Do M(F0) lµ líp ®¬n ®iÖu vµ {Bn} ⊂ M(F0) (v× {Bn} ⊂ MA) nªn suy ra B ∈ M(F0). Ta cã {A\Bn} ⊂ M(F0) vµ (A\Bn) ↓n (A\B), suy ra A\B ∈ M(F0). Hoµn toµn t−¬ng tù ta suy ra B\A, A ∪ B ∈ M(F0). VËy B ∈ MA. ViÖc chøng minh cho mét dQy Bn ↓n B, {Bn} ⊂ MA hoµn toµn t−¬ng tù. VËy MA lµ líp ®¬n ®iÖu. XÐt A ∈ F0 bÊt kú. Víi c¸ch x©y dùng MA nh− trªn th× MA ⊂ M(F0). MÆt kh¸c, ∀B ∈ F0 ⊂ M(F0), A\B, B\A, A ∪ B ∈ F0 ⊂ M(F0) (v× F0 lµ ®¹i sè).
VËy B ∈ MA. Suy ra F0 ⊂ MA. Do MA lµ líp ®¬n ®iÖu chøa F0 nªn nã sÏ chøa M(F0). KÕt qu¶ trªn cho ta MA = M(F0), ∀A ∈ F0. XÐt B ∈ M(F0) bÊt kú. Theo trªn ∀A ∈ F0, MA = M(F0) nªn B ∈ MA, ∀A ∈ F0. Sö dông tÝnh chÊt (2) cña MA ta cã ∀A ∈ F0, A ∈ MB. VËy nªn F0 ⊂ MB. VËy MB = M(F0), ∀B ∈ M(F0). B©y giê ta chØ ra M(F0) lµ ®¹i sè. §iÒu nµy lµ hiÓn nhiªn: - Ω ∈ M(F0) (v× Ω ∈ F0 ⊂ M(F0)). - ∀A ∈ M(F0), A = Ω\A ∈ M(F0) (v× Ω ∈ MA).
matheducare.com
7
MATHEDUCARE.COM
1.2.3 σ - ®¹i sè tÝch
- ∀A, B ∈ M(F0), A ∪ B ∈ M(F0) (v× B ∈ MA). M(F0) lµ ®¹i sè vµ lµ líp ®¬n ®iÖu nªn M(F0) lµ σ - ®¹i sè chøa F0. Tõ ®ã ta ®−îc σ(F0) ⊂ M(F0).
Kh«ng gian tÝch Cho hai kh«ng gian ®o ®−îc (Ω1, F1), (Ω2, F2) víi A1 ⊂ Ω1, A2 ⊂ Ω2. Ta ®Þnh nghÜa tÝch Descartes: A1 × A2 = {(ω1, ω2) : ω1 ∈ A1, ω2 ∈ A2}.
1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o
1.3.1 Hµm tËp
§Æc biÖt khi A1 = Ω1, A2 = Ω2 th× Ω1 × Ω2 gäi lµ tÝch cña 2 kh«ng gian Ω1, Ω2. NÕu A1 ∈ F1, A2 ∈ F2 th× A1 × A2 gäi lµ h×nh ch÷ nhËt. Nãi chung: Líp tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt kh«ng ph¶i lµ σ - ®¹i sè. Khi ®ã σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm cho tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt ®ã ®o ®−îc (chøa tÊt c¶ c¸c h×nh ch÷ nhËt) ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè tÝch. (Ω1 × Ω2, F1 ⊗ F2) gäi lµ kh«ng gian tÝch cña 2 kh«ng gian (Ω1, F1), (Ω2, F2).
Cho C lµ líp c¸c tËp con trªn Ω. Hµm ϕ x¸c ®Þnh trªn C vµ nhËn gi¸ trÞ sè
ϕ : C −→ R ∀A ∈ C, ∃! x ∈ R : ϕ(A) = x ®−îc gäi lµ hµm tËp víi gi¸ trÞ sè.
n
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n khi ϕ(A) < ∞, ∀A ∈ C. - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ kh«ng ©m nÕu ϕ(A) (cid:2) 0, ∀A ∈ C. - Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu:
i=1
n
n
Ai ∈ C, ta cã ∀{Ai}i=1,n ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅ víi i (cid:1)= j; i, j = 1, n vµ
i=1
i=1
ϕ( Ai) = ϕ(Ai).
i=1
N ⊂ C : Ai ∩ Aj = ∅ víi i (cid:1)= j; i, j = 1, ∞ vµ (cid:3) ∞
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ céng tÝnh ®Õm ®−îc (σ - céng tÝnh) nÕu: (cid:3) ∞ ∀{An}n∈ Ai ∈ C, ta cã
i=1
i=1
(cid:3) ∞ ϕ( Ai) = ϕ(Ai).
∞
N ⊂ C : ∀C ∈ C th× ∃ {Ck}k∈ (cid:3)
k=1 (cid:3)
- Hµm tËp ϕ ®−îc gäi lµ σ - h÷u h¹n nÕu ta cã: (cid:3) Ck = C vµ ϕ(Ck) h÷u h¹n ∀k = 1, ∞.
matheducare.com
8 (cid:1)
MATHEDUCARE.COM
1.3.2 §é ®o
∞
i=1
i=1
§Þnh nghÜa 1.3.1. Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F) vµ mét hµm µ x¸c ®Þnh trªn F vµ nhËn gi¸ N ⊂ F : Ai ∩ Aj = ∅ víi trÞ trong [0, ∞]. µ ®−îc gäi lµ ®é ®o nÕu µ lµ σ - céng tÝnh (∀{An}n∈ ∞ Ai) = µ(Ai)). i (cid:1)= j; i, j = 1, ∞ th× µ(
(cid:3) (cid:3) - µ ®−îc gäi lµ h÷u h¹n (ký hiÖu µ < ∞) nÕu: µ(Ω) < ∞. - µ ®−îc gäi lµ céng tÝnh h÷u h¹n nÕu:
n
n
∀{Ai}i=1,n ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅ víi i (cid:1)= j; i, j = 1, n, ta cã:
i=1 ∞
µ( Ai) = µ(Ai).
i=1 N ⊂ F :
n=1
An = Ω vµ µ(An) < ∞, ∀n = 1, n.
(cid:3) (cid:3)
∞
∞
-µ lµ σ - h÷u h¹n nÕu: ∃{An}n∈ Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F) vµ µ lµ mét ®é ®o trªn (Ω, F). Khi ®ã (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian cã ®é ®o (hay kh«ng gian ®o). §Æc biÖt: Khi µ(Ω) = 1 th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian x¸c suÊt. (cid:1)
n=1
n=1
µ(An) (BÊt ®¼ng thøc Boole). An) (cid:1) TÝnh chÊt 1.3.1. a) NÕu ∃A ∈ F sao cho µ(A) < ∞ (µ(A) h÷u h¹n) th× µ(∅) = 0. b) TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cña ®é ®o. c) NÕu A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(A) (cid:1) µ(B). d) Gi¶ sö µ < ∞, A, B ∈ F vµ A ⊂ B th× µ(B\A) = µ(B) − µ(A). e) NÕu µ < ∞ th× ∀A, B ∈ F ta cã: µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). f) ∀{An}n ⊂ F ta cã µ(
(cid:1)
n=1
Chøng minh. a) Ta cã A ∈ F : A = A + ∅ + ∅ + . . . (cid:3) ∞ ⇒ µ(A) = µ(A + ∅ + ∅ + . . .) = µ(
∞
∞
n=1
n=2
n=1
∞
∞
An) trong ®ã A1 = A, Ai = ∅ ∀i (cid:2) 2. ∞ V× µ lµ σ - céng tÝnh nªn µ( An) = µ(An) = µ(A) + µ(An)
n=2
n=2
n
∞
µ(An) = µ( V× µ(A) < ∞ suy ra 0 = µ(A) − µ(A) = An) = µ(∅). (cid:3)
i=1
n
∞
i=1 ∞
i=1
i=1
i=1
i=1
b) Ta cã Ai = Ai, Ai = ∅ ∀i = n + 1, ∞. (cid:3) (cid:3) (cid:3) n Ai) = µ( Ai) = µ(Ai) = ⇒ µ( µ(Ai) (do tÝnh σ - céng tÝnh). (cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3) 9
matheducare.com
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)
MATHEDUCARE.COM
c) V× A ⊂ B suy ra B = B\A + A. V× µ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ(B) = µ(B\A + A) = µ(B\A) + µ(A). V× A, B ∈ F nªn B\A ∈ F suy ra µ(B\A) (cid:2) 0. ⇒ µ(B) (cid:2) µ(A). d) Sö dông kÕt qu¶ ë c©u c) vµ thªm tÝnh chÊt µ < ∞ ta cã µ(B\A) = µ(B) − µ(A). e) Ta cã A ∪ B = A + B\A vµ B = B\A + B ∩ A. Sö dông tÝnh céng tÝnh h÷u h¹n sÏ ®−îc µ(A∪B) = µ(A)+µ(B\A) vµ µ(B) = µ(B\A)+µ(B ∩A). MÆt kh¸c do µ < ∞ vµ A, B ∈ F nªn ta cã kÕt qu¶ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B). f) §Æt B1 = A1
B2 = A2\(A2 ∩ A1) B3 = A3\(A3 ∩ (A1 ∪ A2))
k−1
...
i=1
Ai)) Bk = Ak\(Ak ∩ (
∞
∞
Lóc nµy,
An =
n=1 i=1 Bi ⊂ Ai ∀ i = 1, ∞.
Bi vµ Bi ∩ Bj = ∅ víi i (cid:1)= j; i, j = 1, ∞. (cid:1)
∞
∞
∞
Ta cã:
n=1
n=1
∞
∞
Bn) = µ(Bn)(do tÝnh σ - céng tÝnh). µ( (cid:1) An) = µ( (cid:3)
n=1 µ(Bn) (cid:1)
n=1
n=1
Vµ µ(An) (v× Bn ⊂ An, ∀n).
Tõ ®ã cho ra kÕt qu¶. (cid:1) (cid:3) (cid:3)
N lµ dQy c¸c tËp trong F ®o ®−îc tháa mQn:
(cid:3) §Þnh lý 1.3.1 (Sù liªn tôc cña ®é ®o). 1. NÕu An ↑n A th× µ(An) ↑n µ(A) (tÝnh liªn tôc d−íi). (cid:3) 2. NÕu An ↓n A vµ µ(A1) < ∞ th× µ(An) ↓n µ(A) (tÝnh liªn tôc trªn).
∞
Chøng minh. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {An}n∈
n=1
An. 1. An ↑n A ⇒ A =
∞
§Æt B1 = A1, Bn = An\An−1 vµ do An ↑n A nªn cã thÓ viÕt A = A1 + (A2\A1) + (A3\A2) + . . . = B1 + B2 + . . .
∞ (cid:1) n=1
n=1
n
∞
An) = µ( Bn) MÆt kh¸c µ(A) = µ(
n=1
i=1
Do tÝnh σ - céng tÝnh suy ra µ(A) = µ(Bn) = limn[ µ(Bi)] = limn µ(An).
(cid:3)
(cid:3) VËy µ(An) ↑n µ(A). (cid:1) 2. Ta cã An ↓n A ⇒ (A1\An) ↑n (A1\A) ⇒ µ(A1\An) ↑n µ(A1\A) (do tÝnh liªn tôc d−íi cña ®é ®o) (cid:3) ⇒ [µ(A1)\µ(An)] ↑n [µ(A1)\µ(A)] (v× µ(A1) < ∞)
matheducare.com
10
MATHEDUCARE.COM
⇒ −µ(An) ↑n −µ(A) ⇒ µ(An) ↓n µ(A).
§Þnh lý 1.3.2. Cho F lµ σ - ®¹i sè, µ lµ hµm tËp, µ : F → [0, ∞]. µ céng tÝnh h÷u h¹n. Khi ®ã:
a) NÕu µ liªn tôc d−íi th× µ lµ σ - céng tÝnh. b) NÕu µ liªn tôc t¹i ∅ th× µ lµ σ - céng tÝnh. (Ta nãi µ liªn tôc t¹i ∅ nÕu An ↓n ∅ th× µ(An) ↓n 0).
∞
∞
Chøng minh.
N ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅, i (cid:1)= j. Chøng minh µ(A) =
n=1
n=1
n
n
a) Cho A = µ(Ai). An, {An}n∈
k=1
k=1
n
n
Ta cã Ak ↑n A. V× µ liªn tôc d−íi nªn µ( Ak) ↑n µ(A).
k=1
k=1
∞
MÆt kh¸c v× µ lµ céng tÝnh h÷u h¹n nªn µ( Ak) = µ(Ak) ↑n µ(A). (cid:3) (cid:3)
n=1
∞
µ(An) (do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n). (cid:3) (cid:3) ⇒ µ(A) =
N ⊂ F, Ai ∩ Aj = ∅, i (cid:1)= j. (cid:3) (cid:3)
n=1 n
n
b) Gi¶ sö A = An, {An}n∈
k=1
k=1
n
Ak. Ak) ↓n ∅, do vËy A = Bn + §Æt Bn = (A\ (cid:3)
k=1
n
∞
µ(Ak) (do µ céng tÝnh h÷u h¹n). ⇒ µ(A) = µ(Bn) + (cid:3)
n=1
k=1
∞
(cid:3) µ(An). (cid:3) Cho n → ∞ th× µ(Bn) + µ( Ak) → 0 +
n=1
VËy µ(A) = µ(An). (cid:3)
N ®o ®−îc. Khi ®ã ta cã:
(cid:3)
∞
(cid:3)
n=1
(cid:3) §Þnh lý 1.3.3 (B§T Fatou d−íi d¹ng ®é ®o). Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ) vµ {An}n∈ 1. µ(lim nAn) (cid:1) lim nµ(An). 2. NÕu µ( An) < ∞ th× lim nµ(An) (cid:1) µ(lim nAn).
∞
∞
Chøng minh.
n=1
k=n
∞
N lµ dQy t¨ng theo n).
Ak. 1. Ta cã lim nAn = (cid:1)
k=n
∞
∞
∀ n ®Æt Bn = Ak ({Bn}n∈
k=n
Bn = ( Bn = lim nAn. (cid:2) Ak) ↑n (cid:1) n=1 Tõ tÝnh liªn tôc d−íi cña µ ta cã µ(Bn) ↑n µ(lim nAn). (cid:2)
matheducare.com
11 (cid:2) (cid:1)
MATHEDUCARE.COM
∞
∞
n=1
k=n
∞
∞
Ak MÆt kh¸c Bn ⊂ An, ∀ n ⇒ µ(Bn) (cid:1) µ(An)∀ n. ⇒ lim nµ(Bn) (cid:1) lim nµ(An). Hay µ(lim nAn) (cid:1) lim nµ(An). 2. Ta cã lim nµ(An) =
n=1
k=n
∞
∞
§Æt Bn = Bn = lim nAn. Ak ↓n
n=1
n=1
MÆt kh¸c B1 = (cid:2) An ⇒ µ(B1) = µ( (cid:1) An) < ∞.
(cid:1)
(cid:1) (cid:1) Tõ ®Þnh lý vÒ sù liªn tôc ta cã: µ(Bn) ↓n µ(lim nA). (1) (cid:2) L¹i cã An ⊂ Bn∀n ⇒ µ(An) (cid:1) µ(Bn), ∀n. ⇒ lim nµ(An) (cid:1) lim nµ(Bn). KÕt hîp víi (1) suy ra lim nµ(An) (cid:1) µ(lim nAn).
HÖ qu¶. Cho kh«ng gian ®o (Ω, F, µ), µ < ∞. NÕu An → A khi n → ∞ th× ta cã µ(An) → µ(A).
Chøng minh. V× An → A khi n → ∞ nªn µ(A) = µ(limn An) = µ(lim nAn) = µ(lim nAn). Sö dông B§T Fatou ta cã:
∞
µ(A) = µ(lim nAn) (cid:1) lim nµ(An) (cid:1) lim nµ(An) (cid:1) µ(lim nAn) = µ(A) (do µ < ∞). VËy limn µ(An) = µ(A).
N ⊂ F. NÕu
n=1
§Þnh lý 1.3.4 (§Þnh lý Borel - Cantelli). Cho kh«ng gian (Ω, F, µ), {An}n∈ µ(An) < ∞ th× µ(lim nAn) = 0.
∞
∞
Chøng minh.
n=1
∞
Ak Ta cã lim nAn = (cid:3)
k=n Ak ↓n lim nAn.
k=n
∞
Víi Bn =
∞ (cid:2) k=1
∞
∞
k=1 Ak) (cid:1)
MÆt kh¸c B1 = Ak). Ak ⇒ µ(B1) = µ( (cid:1)
k=1
k=1
Sö dung B§T Boole µ(B1) = µ( (cid:1) µ(Ak) < ∞ (theo gi¶ thiÕt).
∞
∞
k=n
k=n Cho n → ∞ th× 0 (cid:1) µ(lim nAn) (cid:1) 0 hay µ(lim nAn) = 0.
(cid:1) Tõ ®Þnh lý liªn tôc ⇒ µ(Bn) ↓n µ(lim nAn). L¹i cã 0 (cid:1) µ(Bn) = µ( (cid:1) µ(Ak) (B§T Boole), ∀n. Ak) (cid:1) (cid:1) (cid:3)
(cid:1) (cid:3)
matheducare.com
12
MATHEDUCARE.COM
1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ
Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ tËp A ⊂ Ω. Ta nãi A lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng ®¸ng kÓ, hay µ - kh«ng) nÕu ∃B ∈ F sao cho A ⊂ B vµ µ(B) = 0. Gäi N lµ líp c¸c tËp N ⊂ Ω lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ. N = {N ⊂ Ω : N lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ}.
NÕu N ⊂ F th× (Ω, F, µ) ®−îc gäi lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ. Khi ®ã µ ®−îc gäi lµ ®é ®o ®ñ. VËy trong kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ, c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ ®Òu ®o ®−îc.
TÝnh chÊt 1.3.2.
1. NÕu N1 ⊂ N vµ N lµ tËp kh«ng ®¸ng kÓ th× N1 kh«ng ®¸ng kÓ. 2. TËp N ∈ F vµ µ(N ) = 0 th× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ. 3. Hîp ®Õm ®−îc c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ lµ kh«ng ®¸ng kÓ.
Chøng minh. 1. V× N lµ kh«ng ®¸ng kÓ nªn ∃B ∈ F sao cho N ⊂ B, µ(B) = 0.
N ⊂ F, Ni lµ µ - kh«ng ∀i. N ⊂ F, Ni ⊂ Bi vµ µ(Bi) = 0, ∀i. ∞
∞
∞
i=1
i=1
i=1
i=1
∞
V× N1 ⊂ N nªn N1 ⊂ B. ⇒ N1 lµ µ - kh«ng ®¸ng kÓ. 2. HiÓn nhiªn. 3. XÐt {Ni}i∈ ⇒ ∃{Bi}i∈ ∞ Bi vµ µ( Bi) (cid:1) µ(Bi) = 0. ⇒ Ni ⊂
i=1
VËy Ni lµ µ - kh«ng.
(cid:1) (cid:3) (cid:1)
(cid:1) §Þnh lý 1.3.5 (Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o). Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) vµ N lµ líp c¸c tËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ - kh«ng).
(cid:1) a) NÕu F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} th× F = σ(F ∪ N). b) µ : F → [0, ∞] ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
∀(A ∪ N ) ∈ F, µ(A ∪ N ) = µ(A). ∀A ∈ F, µ(A) = µ(A).
Khi ®ã µ lµ ®é ®o níi réng duy nhÊt cña µ lªn F (µ|F = µ). c) (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ.
Chó ý: Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ch−a ®ñ. Lµm ®Çy ®ñ kh«ng gian cã ®é ®o (Ω, F, µ) nghÜa lµ ®i x©y dùng (Ω, F, µ). Khi ®ã F ®−îc gäi lµ σ - ®¹i sè bæ sung cho σ - ®¹i sè F, µ gäi lµ ®é ®o ®ñ.
matheducare.com
13
MATHEDUCARE.COM
∈
Chøng minh. Ta cÇn chøng minh c¸c ®iÒu sau: 1. F = σ(F ∪ N). 2. KiÓm chøng µ lµ ¸nh x¹. 3. µ lµ ®é ®o. 4. µ lµ duy nhÊt. 5. µ lµ ®é ®o ®ñ.
∞
N ⊂ F ta chøng minh
1. F = σ(F ∪ N) ∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ B ∈ σ(F ∪ N) ⇒ F ⊂ σ(F ∪ N). MÆt kh¸c: ∀B ∈ (F ∪ N) ta cã B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N ⇒ B ∈ F . Do vËy (F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ(F ∪ N). Ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè. - Ω ∈ F ⇒ Ω = Ω ∪ N (N ∈ N) ∈ F ⇒ Ω ∈ F. - ∀B ∈ F, B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N. Do N ∈ N nªn ∃N1 ∈ F, N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0. . Ta cã B = A ∪ N = (A ∪ N1) ∪ ((A ∪ N ) ∩ N1) ⊂ N1 vµ µ(N1)=0
F V× thÕ ((A ∪ N ) ∩ N1) lµ tËp µ - kh«ng. Suy ra B ∈ F. - Cho {Bn}n∈
n=1
Bn ∈ F.
(cid:11)(cid:12) (cid:11)(cid:12) (cid:10) (cid:13) V× {Bn}n∈
∞
∞
∞
(cid:13) (cid:10) N ⊂ F ⇒ Bn = An ∪ Nn. Trong ®ã: An ∈ F, Nn ∈ N, ∀n. ∞
n=1
n=1
n=1
n=1
F
N
∈
∈
Bn = (cid:1) An) Nn) ⇒ (An ∪ Nn) = ( ∪ ( ∈ F.
(cid:5) (cid:1) (cid:1) VËy F lµ σ - ®¹i sè. Sö dông tÝnh chÊt cña σ - ®¹i sè cho ta σ(F ∪ N) ⊂ F ⊂ σ(F ∪ N). (cid:5)
(cid:10) (cid:11)(cid:12) (cid:13) (cid:10) (cid:11)(cid:12) (cid:13)
2. µ lµ ¸nh x¹ Gi¶ sö A1 ∪ N1 = A2 ∪ N2(Ai ∈ F, Ni ∈ N). ⇒ (A1 ∪ N1)\A2 ⊂ N2 (A2 ∪ N2)\A1 ⊂ N1
MÆt kh¸c ta cã: A1\A2 ⊂ A1 ∪ N1\N2 A2\A1 ⊂ A2 ∪ N2\N1
Tõ ®ã suy ra A1\A2 ⊂ N2 vµ A2\A1 ⊂ N1 ⇒ A1(cid:14)A2 = (A1\A2) ∪ (A2\A1) ⊂ (N1 ∪ N2). Do N1, N2 lµ tËp µ - kh«ng nªn N1 ∪ N2 còng lµ tËp µ - kh«ng, nghÜa lµ ∃B ∈ F, N1 ∪ N2 ⊂ B, µ(B) = 0
matheducare.com
14
MATHEDUCARE.COM
⇒ µ(A1(cid:14)A2) (cid:1) µ(B) = 0 ⇒ µ(A1(cid:14)A2) = 0 ⇒ µ(A1) = µ(A2). Theo ®Þnh nghÜa µ: µ(A1) = µ(A1 ∪ N1) µ(A2) = µ(A2 ∪ N2)
⇒ µ(A1 ∪ N1) = µ(A2 ∪ N2) VËy µ lµ ¸nh x¹.
N ⊂ F, Bi ∩ Bj = ∅ vµ i (cid:1)= j.
∞
∞
3. µ lµ ®é ®o Chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh. XÐt {Bn}n∈
n=1
n=1
N ⊂ F ⇒ Bn = An ∪ Nn, An ∈ F, Nn ∈ N, ∀n
Ph¶i chøng minh µ( Bn) = µ(Bn).
∞
∞
n=1
n=1
n=1
∞
Ta cã: {Bn}n∈ ∞ Bn = Nn) ⇒ (An ∪ Nn) = ( An) ∪ (
∞ (cid:3) n=1 ∞
∞
n=1
n=1
n=1
(cid:3) ∞ Bn) = µ[( Nn)] = µ( An) (theo ®Þnh nghÜa). ⇒ µ( An) ∪ (
n=1 ∞ (cid:3) n=1
∞ (cid:3) n=1 ∞
∞
∞
An) = µ(An). MÆt kh¸c Ai ∩ Aj = ∅ nªn µ( (cid:3) (cid:3)
n=1
n=1
n=1
µ(Bn). µ(An ∪ Nn) = Còng vËy, dùa vµo ®Þnh nghÜa cña µ th× (cid:3) (cid:3) (cid:3) µ(An) = (cid:3)
VËy µ lµ σ - céng tÝnh, hay µ lµ ®é ®o trªn F. (cid:3) (cid:3)
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
4. µ lµ duy nhÊt Gi¶ sö µ1 còng lµ mét níi réng cña µ. Ta chøng minh µ1 chÝnh lµ µ. Thùc vËy,
∀B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N
⇒ µ(B) = µ(A) = µ1(B) (theo ®Þnh nghÜa cña ®é ®o níi réng) ⇒ ∀B ∈ F : µ(B) = µ1(B), hay µ = µ1. VËy µ lµ duy nhÊt.
5. µ lµ ®é ®o ®ñ µ lµ ®é ®o ®ñ ⇔ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®ñ
⇔ F chøa tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng. V× F = σ(F ∪ N) nªn tÊt c¶ c¸c tËp µ - kh«ng ®Òu chøa trong F. SÏ chøng minh mäi tËp µ - kh«ng ®Òu lµ tËp µ - kh«ng. ThËt vËy, víi M lµ tËp µ - kh«ng bÊt kú ⇒ M ⊂ B ∈ F vµ µ(B) = 0. V× B ∈ F ⇒ B = A ∪ N, A ∈ F, N ∈ N.
matheducare.com
15
MATHEDUCARE.COM
1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong
Do N ∈ N nªn ∃N1 ∈ F, N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0. MÆt kh¸c µ(B) = µ(A) = 0, B = A ∪ N ⊂ A ∪ N1 vµ µ(A ∪ N1) (cid:1) µ(A) + µ(N1) = 0. VËy ∃(A ∪ N1) ∈ F, M ⊂ B ⊂ (A ∪ N1) vµ µ(A ∪ N1) = 0. V× thÕ M lµ µ - kh«ng.
§é ®o ngoµi Cho kh«ng gian (Ω, F, µ). µ∗ : 2Ω → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o ngoµi nÕu nã x¸c ®Þnh víi mäi A ∈ 2Ω: µ∗(A) = inf{µ(B) : B ∈ F, B ⊃ A}. §é ®o trong µ∗ : 2Ω → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o trong nÕu nã x¸c ®Þnh víi mäi A ∈ 2Ω: µ∗(A) = sup{µ(B) : B ∈ F, B ⊂ A}.
Bæ ®Ò. Cho (Ω, F, µ), A ⊂ Ω. Khi ®ã ∃ A(cid:6), A(cid:6)(cid:6) ∈ F:
A(cid:6) ⊂ A ⊂ A(cid:6)(cid:6) vµ: µ∗(A) = µ(A(cid:6)) µ∗(A) = µ(A(cid:6)(cid:6))
n=1
Bn ⇒ A ⊂ A(cid:6)(cid:6) ⊂ Bn, ∀n (do A ⊂ Bn)
n=1
Chøng minh. Ta cã µ∗(A) = inf{µ(B) : B ∈ F, B ⊃ A} N ⊂ F : µ(Bn) ↓n µ∗(A). ⇒ ∃{Bn}n∈ ∞ §Æt A(cid:6)(cid:6) = ⇒ µ∗(A) (cid:1) µ(A(cid:6)(cid:6)) (cid:1) µ(Bn), ∀n (BT: Gi¶i thÝch sù tån t¹i cña µ(A(cid:6)(cid:6))). Cho n → ∞ ⇒ µ∗(A) (cid:1) µ(A(cid:6)(cid:6)) (cid:1) µ∗(A) ⇒ µ∗(A) = µ(A(cid:6)(cid:6)).
(cid:2) µ∗(A) = sup{µ(B) : B ∈ F, B ⊂ A} N ⊂ F : µ(Bn) ↑n µ∗(A). ⇒ ∃{Bn}n∈ ∞ Bn ⇒ Bn ⊂ A(cid:6) ⊂ A, ∀n (do Bn ⊂ A). §Æt A(cid:6) = ∀n, µ(Bn) (cid:1) µ(A(cid:6)) (cid:1) µ∗(A). Cho n → ∞ : µ∗(A) (cid:1) µ(A(cid:6)) (cid:1) µ∗(A). Nãi kh¸c ®i µ∗(A) = µ(A(cid:6)).
(cid:1)
Nh¾c l¹i F = {A ∪ N : A ∈ F, N ∈ N} = σ(F ∪ N).
§Þnh lý 1.3.6. Cho (Ω, F, µ), µ < ∞. Khi ®ã: a) F = {A ⊂ Ω : µ∗(A) = µ∗(A)}. b) µ∗(A) = µ∗(A) = µ(A), ∀A ∈ F.
matheducare.com
16
MATHEDUCARE.COM
Chøng minh. a) [⇒] XÐt A ∈ F bÊt kú. Do vËy A = B ∪ N, B ∈ F, N ∈ N. Ta chøng minh µ∗(A) = µ∗(A) = µ(A). ThËt vËy, V× N ∈ N ⇒ ∃N1 ∈ F : N ⊂ N1 vµ µ(N1) = 0. XÐt A∗ = B ∪ N1 ∈ F. Râ rµng A∗ ⊃ A vµ µ(A∗) = µ(B) = µ(A) ⇒ µ∗(A) (cid:1) µ(A). MÆt kh¸c, ∀C ∈ F, C ⊃ A ⇒ C ⊃ B ⇒ µ(C) (cid:2) µ(B) ⇒ µ∗(A) (cid:2) µ(A). KÕt hîp víi trªn ta sÏ cã µ∗(A) = µ(A). ViÖc chøng minh cho µ∗(A) lµ hoµn toµn t−¬ng tù. VËy, F ⊂ {A ⊂ Ω : µ∗(A) = µ∗(A)}. [⇐] ∀A ∈ vÕ ph¶i ⇒ A ⊂ Ω. Theo bæ ®Ò ∃ A(cid:6), A(cid:6)(cid:6) ∈ F : A(cid:6) ⊂ A ⊂ A(cid:6)(cid:6), µ∗(A) = µ(A(cid:6)), µ∗(A) = µ(A(cid:6)(cid:6)). V× A ∈ vÕ ph¶i nªn µ∗(A) = µ∗(A). ⇒ ∃ A(cid:6), A(cid:6)(cid:6) ∈ F : A(cid:6) ⊂ A ⊂ A(cid:6)(cid:6), µ(A(cid:6)) = µ(A(cid:6)(cid:6)). ⇒ µ(A(cid:6)(cid:6)\A(cid:6)) = 0 (do µ < ∞). §Æt N = A\A(cid:6) ⊂ A(cid:6)(cid:6)\A(cid:6) ∈ F ⇒ N ∈ N (do µ(A(cid:6)(cid:6)\A(cid:6)) = 0). VËy A = A(cid:6) ∪ N, A(cid:6) ∈ F, N ∈ N ⇒ A ∈ F. b) Theo kÕt qu¶ ë c©u a), µ∗(A) = µ∗(A) = µ(A) .
∞
§Þnh lý 1.3.7 (XÊp xØ). Cho (Ω, F, µ), F0 lµ ®¹i sè trªn Ω, σ(F0) = F vµ µ < ∞. Khi ®ã, ∀ε > 0, ∀A ∈ F, ∃ Bε ∈ F0 : µ(A(cid:14)Bε) < ε.
N ⊂ F∗ chøng minh
n=1
Chøng minh. §Æt F∗ = {A ∈ σ(F0) : (∀ε > 0, ∃ Bε ∈ F0 : µ(A(cid:14)Bε) < ε)}. CÇn chøng minh F∗ = σ(F0) = F. Theo c¸ch x©y dùng F∗ ta cã F∗ ⊂ σ(F0). MÆt kh¸c ta cã ∀ε > 0, ∀A ∈ F0, ∃ Bε = A ∈ F0 : µ(A(cid:14)Bε) < ε ⇒ A ∈ F∗. VËy F0 ⊂ F∗ ⊂ σ(F0). V× thÕ ta chØ cÇn chøng minh F∗ lµ σ - ®¹i sè. - Ta cã Ω ∈ F∗ (v× F0 ⊂ F∗). - ∀A ∈ F∗ ⇒ ∀ε > 0, ∃ Bε ∈ F0 : µ(A(cid:14)Bε) < ε. Thªm vµo ®ã µ(A(cid:14)Bε) = µ(A(cid:14)Bε). ⇒ ∀ε > 0, ∃ Bε ∈ F0 : µ(A(cid:14)Bε) < ε ⇒ A ∈ F∗. - ∀{An}n∈ An ∈ F∗.
17
matheducare.com
(cid:1)
MATHEDUCARE.COM
∞
k=1
n
n
Ak. §Æt A =
k=1
k=1
N
Ta cã Ak ↑ A ⇒ µ( Ak) ↑ µ(A) < ∞ (do tÝnh liªn tôc).
k=1
N ⊂ F∗ ⇒ ∃ {Bn}n∈
N ⊂ F0 : µ(An(cid:14)Bn) <
(cid:1) Ak) ≈ µ(A). Suy ra ∃ N ∈ N kh¸ lín sao cho µ(
N
N
N
N
k=1
k=1
k=1
k=1
N
N
(cid:1) (cid:1) ε 2n+1 . V× {An}n∈ Víi N kh¸ lín l¹i cã (cid:1) N . Ak) + µ( + + µ(A(cid:14) Bk) (cid:1) µ(A(cid:14) Bk(cid:14) Ak) (cid:1) ε 2 µ(Bk(cid:14)Ak) (cid:1) ε 2 ε 2
k=1
k=1
k=1 1 )N 2 1 (cid:1) 2
N
k=1
1 − ( . . . < ε 2 1 2 ε 2 (cid:14) ε 2k+1 = (cid:1) ε 1 2k = 2 (cid:1) . (cid:1) 1 −
Bk ∈ F0 vµ µ(A(cid:14)Bε) < ε. (cid:6) (cid:14)
Tãm l¹i: ∀ε > 0, ∃ N > 0 sao cho Bε = (cid:4) (cid:14) ⇒ A ∈ F∗. VËy F∗ lµ σ - ®¹i sè.
(cid:1)
§Þnh lý 1.3.8 (Níi réng). Cho (Ω, F); µ, ν lµ ®é ®o h÷u h¹n trªn (Ω, F) , F0 lµ ®¹i sè trªn Ω, σ(F0) = F. NÕu µ = ν trªn F0 th× µ = ν trªn F.
Chøng minh. §Æt η = {A ∈ F : µ(A) = ν(A)}. CÇn chøng minh η = F. Theo c¸ch x©y dùng η ta cã η ⊂ F. Theo gi¶ thiÕt µ = ν trªn F0 ⇔ ∀A ∈ F0 ta ®−îc µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η ⇒ F0 ⊂ η. Do vËy ta chØ cÇn chøng minh η lµ líp ®¬n ®iÖu. ∀{An}n ⊂ η, An ↑n A ⇒ µ(A) ↑n µ(An) = ν(An) ↑n ν(A). ⇒ µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η. T−¬ng tù, ∀{An}n ⊂ η, An ↓n A ⇒ µ(A) ↓n µ(An) = ν(An) ↓n ν(A) (v× µ, ν < ∞). ⇒ µ(A) = ν(A) ⇒ A ∈ η. V× thÕ σ(F0) = M(F0) ⊂ η ⊂ F = σ(F0). VËy η = F.
§Þnh lý 1.3.9 (§Þnh lý CarathÐodory). Cho ®¹i sè F0 trªn Ω. µ0 lµ hµm tËp. µ0 : F0 → [0, ∞] tho¶: 1. µ0 lµ σ - h÷u h¹n trªn F0.
matheducare.com
18
MATHEDUCARE.COM
1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi
2. µ0 lµ σ - céng tÝnh trªn F0. Khi ®ã ta cã thÓ níi réng µ0 thµnh ®é ®o µ duy nhÊt lªn σ(F0).
§é ®o Lebesgue - Stieltjes
§Þnh nghÜa 1.3.2. Cho (R, B). Khi ®ã hµm tËp µ : B → [0, ∞] ®−îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes nÕu: µ(Ik) < ∞, ∀ Ik lµ kho¶ng giíi néi trong R.
Hµm ph©n phèi F ®−îc gäi lµ hµm ph©n phèi nÕu F : R → R tho¶:
1. F lµ hµm kh«ng gi¶m trªn R. 2. F lµ hµm liªn tôc tr¸i ∀x ∈ R.
§Þnh lý 1.3.10 (T−¬ng øng 1-1 gi÷a ®é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ hµm ph©n phèi). a. Cho ®é ®o Lebesgue - Stieltjes µ. Khi ®ã hµm F : R → R ®−îc x¸c ®Þnh bëi: F (b) − F (a) = µ[a, b), ∀a, b ∈ R, a (cid:1) b lµ hµm ph©n phèi. b. Ng−îc l¹i, cho hµm ph©n phèi F . Khi ®ã µ ®−îc ®Þnh nghÜa bëi (1), (2), (3) nh− sau:
n
(1) µ[a, b) = F (b) − F (a) (2) µ(−∞, a) = F (a) − F (−∞) µ[a, +∞) = F (+∞) − F (a) (3) §Æt F0 lµ líp c¸c tËp cã d¹ng tæng h÷u h¹n c¸c kho¶ng nöa hë bªn ph¶i. ∀A ∈ F0, A =
k=1
n
Ik, trong ®ã Ik lµ mét kho¶ng nöa hë bªn ph¶i.
k=1
µ(A) = µ(Ik)
(cid:3)
th× µ lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes trªn σ(F0) = B. (cid:3) Chøng minh. a. Chøng minh F lµ hµm kh«ng gi¶m, liªn tôc tr¸i. - Gi¶ sö a < b ta cã F (b) − F (a) = µ[a, b) (cid:2) 0 ⇒ F (a) (cid:1) F (b). VËy F lµ hµm kh«ng gi¶m. - Cho xn ↑n x ta chøng minh F (xn) ↑n F (x). Thùc vËy, xn ↑n x ⇒ [xn, x) ↓n ∅ ⇒ µ[xn, x) ↓n µ(∅) = 0. L¹i cã F (x) − F (xn) = µ[xn, x) ↓n 0 ⇒ −F (xn) ↓n −F (x). Nãi kh¸c ®i F (xn) ↑n F (x). V× thÕ F liªn tôc tr¸i.
matheducare.com
19
MATHEDUCARE.COM
n
i=1
n
n
VËy F lµ hµm ph©n phèi. b. Chøng minh µ lµ ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. Víi F0 = th× F0 lµ ®¹i sè trªn R, σ(F0) = B. [ai, bi) : −∞ < ai (cid:1) bi < +∞
k=1
k=1
∞
V× µ( Ik) = µ(Ik) ⇒ µ céng tÝnh h÷u h¹n trªn F0.
(cid:8) (cid:9) (cid:3)
(cid:3)
[−n, n) nªn µ lµ σ - h÷u h¹n trªn ®¹i sè F0. L¹i cã µ[−n, n) = F (n) − F (−n) < ∞ vµ R = n=1 NÕu thªm ®iÒu kiÖn µ lµ σ - céng tÝnh trªn F0 th× theo ®Þnh lý CarathÐodory ta cã thÓ níi réng µ (cid:3) thµnh ®é ®o duy nhÊt lªn σ(F0). VËy ®Ó kÕt thóc chøng minh ®Þnh lý ta chØ ra µ lµ σ - céng tÝnh. Cã 2 tr−êng hîp: (cid:1)
1. F (+∞) − F (−∞) < ∞ 2. F (+∞) − F (−∞) = ∞
∞
ε 2n . Trong ®ã Bn lµ bao ®ãng cña Bn trong
n=1
1. F (+∞) − F (−∞) < ∞ Ta cã µ(R) = µ(−∞, +∞) = F (+∞) − F (−∞) < ∞ nªn µ < ∞. V× thÕ viÖc chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh t−¬ng ®−¬ng víi viªc chøng minh µ liªn tôc t¹i ∅. Ta cÇn lµm viÖc trªn kh«ng gian compac R. §Þnh nghÜa F : R → R nhê biÓu thøc F (±∞) = lim F (x). x→±∞ ∀{An}n ⊂ F0 (hay {An}n ⊂ F = σ(F0)) theo ®Þnh lý xÊp xØ ∃ {Bn}n ⊂ F0, Bn ⊂ An, ∀n tho¶ mQn µ(An(cid:14)Bn) < R. Do An ↓n ∅, ⇒ An = ∅.
∞
V× Bn ⊂ An, ∀n = 1, ∞
n=1
⇒ Bn = ∅.
N
k=1
N
N
(cid:2) MÆt kh¸c R lµ compact⇒ ∃ N kh¸ lín sao cho Bk = ∅.
k=1
k=1 N
N
Bk Bk + H¬n n÷a (cid:2) An = An\
k=1
N
k=1 N
(cid:2) Bk) + µ( Bk) ⇒ µ(An) = µ(An\
k=1
(cid:2) (cid:2) = µ( Bk).
(cid:2) (cid:2) An\Bk) + µ( k=1 V× An ↓n⇒ A1 ⊃ A2 . . . ⊃ An ⇒ ∀n > N ta cã:
(cid:1) (cid:2)
matheducare.com
20
MATHEDUCARE.COM
n
n
k=1
k=1
= 0 n
n
n
. µ(An) (cid:1) µ( Bk) Ak\Bk) + µ(
k=1
k=1
Ak\Bk) (cid:1) µ(Ak\Bk) (cid:1) ε 2k < ε. (cid:7) k=1 ⇒ µ(An) (cid:1) µ( (cid:1) VËy µ liªn tôc t¹i ∅, hay µ lµ σ - céng tÝnh.
(cid:11)(cid:12) (cid:13) (cid:10) 2. F (+∞) − F (−∞) = ∞ (cid:3) (cid:3)
§Æt FN = nÕu |x| (cid:1) N nÕu x > N
(cid:1) F (x) F (N ) F (−N ) nÕu x < −N
∞
∞
µN [a, b) = FN(b) − FN (a) µN (−∞, a) = FN(a) − FN (−∞) µN [a, +∞) = FN(+∞) − FN (a) FN (x) = F (x) ⇒ lim N →∞ µN (A) = µ(A). ⇒ lim N →∞
n=1
n=1
n
k=1
k=1 n
∞
µ(An). An ⇒ µ(A) = Chøng minh µ lµ σ - céng tÝnh ⇔ A = n Ta cã µ(A) (cid:2) µ( Ak) = µ(Ak), ∀n (do µ céng tÝnh h÷u h¹n).
k=1
k=1
∞
k=1 ∞
∞
µ(Ak) = µ(Ak). (cid:3) (cid:3) ⇒ µ(A) (cid:2) lim n→∞ ∞ (cid:3) (cid:3) • NÕu µ(Ak) = ∞ th× µ(A) = µ(Ak) = ∞.
k=1 µ(Ak) < ∞ th× 0 (cid:1) µ(A) −
k=1
k=1
µ(Ak). • NÕu (cid:3) (cid:3)
∞
∞
µN (A), µN lµ σ - céng tÝnh (v× µN(R) = FN (+∞) − FN (−∞) = (cid:3) (cid:3) H¬n n÷a µ(A) = lim N →∞ F (N ) − F (−N ) < ∞).
k=1
∞
∞
k=1 ∞
(cid:3) µN( µN(Ak) ⇒ lim N →∞ µN (A) = lim N→∞ (cid:3) Ak) = lim N →∞
k=1
k=1
k=1
∞
∞
µ(Ak) µN (Ak) − 0 (cid:1) µ(A) − µ(Ak) = lim N→∞
k=1
k=1
∞
(cid:3) (cid:3) [µN (Ak) − µ(Ak)] < = lim N→∞ ε 2k = ε.
k=1
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
Cho ε ↓ 0 ⇒ µ(A) = µ(Ak). VËy µ lµ σ - céng tÝnh trªn F0. (cid:14) (cid:3)
matheducare.com
(cid:3) 21
MATHEDUCARE.COM
1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng)
§é ®o Lebesgue Cho ®é ®o Lebesgue - Stieltjes trªn (R, B) vµ F lµ hµm ph©n phèi t−¬ng øng víi ®é ®o Lebesgue - Stieltjes. NÕu F (b) − F (a) = b − a, a (cid:1) b, a, b ∈ R. Khi ®ã µ[a, b) = b − a vµ µ trong tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy ®−îc gäi lµ ®é ®o Lebesgue trªn R.
Cho kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F). Ta nãi λ lµ ®é ®o cã dÊu trªn (Ω, F) nÕu: λ : F → [−∞, +∞) (hoÆc (−∞, +∞]) tho¶ mQn 2 tÝnh chÊt:
- λ(∅) = 0 - λ lµ σ - céng tÝnh.
Kh¸i niÖm TËp ©m vµ tËp kh«ng ©m. Cho ®é ®o cã dÊu λ : F → [−∞, +∞). Ta nãi:
- A ∈ F lµ tËp ©m ®èi víi λ nÕu ∀E ⊂ A, E ∈ F, λ(E) < 0. - A lµ tËp kh«ng ©m ®èi víi λ nÕu ∀E ⊂ A, λ(E) (cid:2) 0.
Ph©n ho¹ch Hahn. Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu trªn F. Tån t¹i (A, A) sao cho A lµ tËp ©m ®èi víi λ vµ A lµ tËp kh«ng ©m ®èi víi λ. Khi ®ã (A, A) ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch Hahn cña Ω ®èi víi ®é ®o cã dÊu λ (ph©n ho¹ch Hahn kh«ng lµ duy nhÊt). Ph©n tÝch Jordan Cho ®é ®o cã dÊu λ : F → [−∞, +∞), (A, A) mét ph©n ho¹ch Hahn cña Ω ®èi víi ®é ®o cã dÊu λ. Ta ®Þnh nghÜa λ+, λ−, |λ| lµ hµm tËp ®i tõ F → [0, +∞) x¸c ®Þnh nh− sau: ∀E ∈ F, λ+(E) = λ(E ∩ A)
λ−(E) = −λ(E ∩ A) |λ|(E) = λ+(E) + λ−(E).
Bµi tËp ch−¬ng I
N c¸c tËp ®¬n ®iÖu th× héi tô.
Tõ ®Þnh nghÜa ta cã λ+, λ−, |λ| lµ nh÷ng ®é ®o trªn (Ω, F). λ = λ+ − λ−. Khi viÕt λ = λ+ − λ− nghÜa lµ ta ®Q ph©n tÝch Jordan ®èi víi ®é ®o cã dÊu λ.
1) Chøng minh mäi dQy {An}n∈ HD: Chøng minh lim nAn = lim nAn cho 2 tr−êng hîp An ↑n, An ↓n.
∞
2) T×m ph¶n vÝ dô chøng tá F1, F2 lµ ®¹i sè nh−ng F1 ∪ F2 kh«ng lµ ®¹i sè.
n=1
Fn lµ σ - ®¹i sè. 3) Cho {Fn}n lµ dQy σ - ®¹i sè. Chøng minh
4) F1, F2 lµ hai σ - ®¹i sè. Líp G ®−îc ®Þnh nghÜa: G = {A1 ∩ A2 : A1 ∈ F1, A2 ∈ F2}.
matheducare.com
(cid:2) 22
MATHEDUCARE.COM
a. Chøng tá r»ng G ch−a ch¾c lµ ®¹i sè. b. Chøng minh σ(G) = σ(F1 ∪ F2).
5) Cho ε1 = {[a, b] : −∞ < a (cid:1) b < +∞} ε2 = {(a, b) : −∞ < a (cid:1) b < +∞} ε3 = {[a, ∞) : a ∈ R} Chøng minh:
a. ε1, ε2, ε3 ⊂ B. Víi B lµ σ - ®¹i sè Borel trªn R. b. σ(εi) = B, ∀i = 1, 2, 3.
6) Chøng minh dQy {An}n héi tô ⇔ 1An héi tô. Trong ®ã
. 1An (ω) = 1 0 nÕu ω ∈ An nÕu ω /∈ An
7) Chøng minh:
a. A1 ⊂ A2 ⇒ µ∗(A1) (cid:1) µ∗(A2) (cid:19) b. µ∗(A ∪ B) (cid:1) µ∗(A) + µ∗(B) − µ∗(A ∩ B).
matheducare.com
23
