TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT
KHOA TOAÙN - TIN HOÏC
Y Z
NGUYEÃN VINH QUANG
LYÙ THUYEÁT ÑOÄ ÑO VAØ TÍCH PHAÂN
(Baøi Giaûng Toùm Taét)
-- Löu haønh noäi boä --
Y Ñaø Laït 2008 Z
MATHEDUCARE.COM
Môc lôc
1 §é ®o 2
1.1 TËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 §¹i sè vµ σ- ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 §¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 σ- ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 σ- ®¹i sè tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Hµm tËp vµ ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Hµm tËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 §é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 TËp kh«ng ®¸ng kÓ (µ- kh«ng ®¸ng kÓ) - Kh«ng gian cã ®é ®o ®ñ . . . . 13
1.3.4 §é ®o ngoµi - §é ®o trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 §é ®o Lebesgue - Stieltjes vµ Hµm ph©n phèi . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.6 §é ®o cã dÊu (®é ®o suy réng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 TÝch ph©n Lebesgue 24
2.1 Hµm ®o ®−îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 TÝch ph©n Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
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Ch−¬ng 1
§é ®o
1.1 TËp hîp
1.1.1 C¸c kh¸i niÖm
Gi¶ sö kh«ng gian Ω=∅.
PhÇn tö: Nh÷ng ®iÓm thuéc Ω®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña Ω.
Ký hiÖu: ω, ω
1
, ω
2
,...,ω
n
∈Ω.
TËp con: A®−îc gäi lµ tËp con cña Ω.
Ký hiÖu: A⊂Ω⇔ ∀ω∈A⇒ω∈Ω.
TËp b»ng nhau: A=B⇔A⊂B, B ⊂A.
Líp c¸c tËp: TËp mµ c¸c phÇn tö cña nã lµ tËp hîp gäi lµ líp c¸c tËp.
Ký hiÖu: A,B,C, . . .
D·y c¸c tËp: Lµ líp gåm mét sè ®Õm ®−îc c¸c tËp.
Ký hiÖu: {A
n
}
n∈N
,{B
n
}
n∈N
,...
1.1.2 C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp
1.Hîp
C=A∪B:= {ω∈Ω : ω∈Ahay ω∈B}.
C=
∞
n=1
A
n
:= {ω∈Ω : ∃n
0
∈N, ω ∈A
n
0
}.
2.Giao
A∩B:= {ω∈Ω : ω∈Avµ ω∈B}.
∞
n=0
A
n
:= {ω∈Ω : ω∈A
n
,∀n}.
3.HiÖu hai tËp hîp
A\B:= {ω∈Ω : ω∈Avµ ω /∈B}.
2
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4.HiÖu ®èi xøng hai tËp hîp
A△B:= (A\B)∪(B\A).
Chó ý: Khi A∩B=∅th× A∪B=A+B.
5.PhÐp lÊy phÇn bï (trªn Ω)
Ký hiÖu: B(hay B
c
) := Ω\B={ω∈Ω : ω /∈B}.
6.Ph©n ho¹ch
Líp Cgåm c¸c tËp rêi nhau ®−îc gäi lµ mét ph©n ho¹ch trªn ΩnÕu Ω =
C∈C
C.
TÝnh chÊt 1.1.1.
1.Giao ho¸n
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
A△B=B△A.
2.KÕt hîp
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
3.Ph©n phèi
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
(*)A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)
(*)C«ng thøc De Morgan
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
A
n
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
A
n
1.1.3 Giíi h¹n
1.D·y t¨ng (gi¶m)
Cho dQy {A
n
}trªn Ω, ta nãi {A
n
}lµ dQy t¨ng nÕu A
1
⊂A
2
⊂...
Ký hiÖu: A
n
↑
n
.
{A
n
}lµ dQy gi¶m theo nnÕu A
1
⊃A
2
⊃. . .
Ký hiÖu: A
n
↓
n
.
2.Giíi h¹n trªn (lim
n
)
Cho {A
n
}
n∈N
trªn Ω
lim
n
A
n
= inf
n1
sup
kn
A
k
=
∞
n=1
∞
k=n
A
k
3.Giíi h¹n d−íi (lim
n
)
3
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lim
n
A
n
= sup
n1
inf
kn
A
k
=
∞
n=1
∞
k=n
A
k
Ta nãi dQy {A
n
}cã giíi h¹n (khi n→ ∞) nÕu ta cã lim
n
A
n
= lim
n
A
n
vµ khi ®ã giíi h¹n cña
dQy {A
n
}chÝnh lµ lim vµ còng lµ lim .
Ký hiÖu: lim
n
A
n
= lim
n
A
n
= lim
n
A
n
.
Bµi tËp 1: Chøng minh mäi dQy ®¬n ®iÖu th× héi tô, h¬n n÷a
A
n
↑
n
, A =
∞
n=1
A
n
th× A
n
↑A.
A
n
↓
n
, A =
∞
n=1
A
n
th× A
n
↓A.
Bµi tËp 2: (LÊy phÇn bï)
lim
n
A
n
= lim
n
A
n
.
1.2 §¹i sè vµ σ- ®¹i sè
1.2.1 §¹i sè
§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho kh«ng gian Ω=∅,F
0
lµ líp c¸c tËp con trªn Ω.F
0
®−îc gäi lµ ®¹i sè nÕu
nã tháa:
1. Ω∈F
0
2. ∀A∈F
0
th× A∈F
0
3. A, B ∈F
0
th× A∪B∈F
0
.
VÝ dô.
-(Ω,∅)lµ ®¹i sè trªn Ωvµ ®−îc gäi lµ ®aÞ sè tÇm th−êng.
- Líp c¸c tËp con trªn Ω, ký hiÖu 2
Ω
lµ ®¹i sè trªn Ω(®aÞ sè lín nhÊt).
-σ(A) = {Ω,∅, A, A}lµ ®¹i sè bÐ nhÊt chøa A.
-C=
n
i=1
[a
i
, b
i
) : −∞ < a
i
b
i
<+∞lµ ®¹i sè trªn R.
Ω = {1,2,3,4}.
F
0
={∅,{1},{2,3,4},Ω}lµ ®¹i sè trªn Ω.
TÝnh chÊt 1.2.1.
1. ∅ ∈ F
0
2. ∀A, B ∈F
0
⇒A∩B, A\B, A△B∈F
0
3. ∀{A
i
}
i=1,n
⊂F
0
⇒
n
i=1
A
i
∈F
0
.
Chøng minh.
1.Suy trùc tiÕp tõ ®Þnh nghÜa.
2.Ta cã A∩B=(A∪B)
4
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