Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông - Sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI

VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI

VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập dưới sự

hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính

xác và trung thực.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014

TÁC GIẢ

Văn Ngọc Thảo Quyên

LỜI CẢM ƠN

Người đầu tiên Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất đó là Thầy

Khanh. Tôi xin phép được gọi Thầy là Thầy Khanh thay vì TS. Trần Lương

Công Khanh nhằm bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. Thầy là người đã hướng dẫn

tận tình và giúp đỡ tôi rất nhiều, luôn theo sát để Tôi có thể hoàn thành luận

văn này.

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê

Văn Tiến, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như

Thư Hương đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic

toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên

cứu.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu cùng các em học sinh trường

THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi

thực hiện thực nghiệm trong luận văn.

Cuối cùng, Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn

cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa

học.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 09 tháng 9 năm 2014

TÁC GIẢ

Văn Ngọc Thảo Quyên

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục bảng

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1

Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG

VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP ......................................................... 4

1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor .................................... 4

1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn ............................................................................. 5

1.1.2. Giả thuyết continuum ................................................................................... 7

1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor ........................................ 8

1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von

Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell .................................................. 12

1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel .................................................. 12

1.2.2. Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp ......................... 13

1.2.3. Lý thuyết kiểu ............................................................................................. 14

1.3. Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ......................................................... 15

1.3.1. Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki ................................... 15

1.3.2. Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại ................................ 16

Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 17

Chương 2. VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ

THÔNG .............................................................................................. 18

2.1. Phân tích sách Đại số 10 cơ bản ......................................................................... 18

2.1.1. Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa ............................... 18

2.1.2. Tập hợp - đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT ................... 19

2.2. Khảo sát chương trình Toán THPT ban cơ bản hiện hành ................................. 29

2.2.1. Hàm số và đồ thị ......................................................................................... 30

2.2.2. Phương trình và bất phương trình_hệ phương trình và hệ bất phương

trình ............................................................................................................ 33

2.2.3. Đại số tổ hợp ............................................................................................... 34

2.2.4. Xác suất và thống kê ................................................................................... 36

2.2.5. Hình học ...................................................................................................... 39

Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 41

Chương 3. ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG ........................ 43

3.1. Độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp. ........................... 43

3.1.1. Kết quả chương 1. ....................................................................................... 43

3.1.2. Kết quả chương 2. ....................................................................................... 44

3.1.3. Chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa

hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp. ............................................ 44

3.2. Nghiên cứu thực nghiệm .................................................................................... 46

3.2.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................... 46

3.2.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................... 46

3.2.3. Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực

nghiệm ........................................................................................................ 46

Kết luận chương 3 ..................................................................................................... 66

KẾT LUẬN ............................................................................................................. 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 69

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HS : Học sinh

GV : Giáo viên

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

SBT : Sách bài tập

THCS : Trung học cơ sở

THPT : Trung học phổ thông

KNV : Kiểu nhiệm vụ

Tr. : Trang

Nxb : Nhà xuất bản

PT : Phương trình

HPT : Hệ phương trình

BPT : Bất phương trình

HBPT : Hệ bất phương trình

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1. ................................................... 27

Bảng 2.2. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 .................................. 28

Bảng 2.3. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T8 và T9 .................................. 36

Bảng 2.4. Ngôn ngữ biến cố ..................................................................................... 37

Bảng 3.1. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 1 ............................................. 51

Bảng 3.2. Kết quả về số lượng học sinh chọn chiến lược giải ................................. 52

Bảng 3.3. Bảng lựa chọn các giá trị của các biến dạy học trong bài 2. ................... 54

Bảng 3.4. Số lượng học sinh chọn theo 2 bạn và các giải thích thường gặp ........... 56

Bảng 3.5. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 3 ............................................. 60

Bảng 3.6. Thống kê số lượng học sinh chọn các chiến lược giải. ............................ 62

MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận và câu hỏi ban đầu

Tập hợp được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông ngay từ lớp 10. Hơn

thế nữa, tập hợp lại được giới thiệu ngay ở chương I của sách giáo khoa Đại số 10.

Bên cạnh đó, tập hợp được sử dụng để định nghĩa nhiều khái niệm trong

chương trình như: Đồ thị hàm số; Phương trình tương đương; Tổ hợp, Chỉnh hợp,

Hoán vị; Quỹ tích… Các phép toán tập hợp lại được vận dụng triệt để trong việc

giải bất phương trình, hệ bất phương trình “ Để giải một hệ bất phương trình ta giải

từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm” [5, tr.10].

Từ những ghi nhận trên đã dẫn chúng tôi đến câu hỏi sau:

Sự nối khớp giữa vai trò đối tượng và vai trò công cụ của tập hợp được thể

hiện như thế nào trong sách giáo khoa và thực tế giảng dạy ở trung học phổ thông?

2. Khung lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong phạm vi của Didactic toán, mà cụ thể là

thuyết nhân học và hợp đồng Didactic. Trong đó, thuyết nhân học giúp chúng tôi

hình thành các mối quan hệ của thể chế đối với tri thức tập hợp, các bước chuyển

hóa sư phạm trong việc dạy học tập hợp và các tổ chức toán học (praxéologie) được

trình bày trong chương trình toán trung học phổ thông. Qua phân tích thể chế,

chúng tôi có thể tìm ra những ràng buộc cũng như qui tắc hợp đồng tồn tại trong

chương trình.

3. Mục đích nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu luận văn này nhằm mục đích là: chỉ ra sự nối khớp giữa

hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa và thực tế giảng

dạy ở bậc trung học phổ thông. Dựa vào khung lý thuyết tham chiếu chúng tôi đặt ra

hai câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau

như thế nào?

Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã

cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?

4. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm:

Mở đầu

Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của

tập hợp.

Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa

toán THPT.

Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng.

Kết luận.

5. Phương pháp nghiên cứu

Toàn bộ nghiên cứu của chúng tôi thực hiện theo sơ đồ sau:

Khảo sát khoa học luận

Trả lời câu hỏi Phát biểu giả thuyết

Phân tích thể chế Thực nghiệm

Giải thích sơ đồ:

Chúng tôi thực hiện khảo sát khoa học luận đối chiếu song song với phân tích

thể chế chương trình toán trung học phổ thông. Từ việc phân tích đối chiếu này giúp

chúng tôi trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra và phát biểu giả thuyết nghiên

cứu. Cuối cùng thực nghiệm giúp chúng tôi bổ sung trả lời các câu hỏi, cũng như

việc khẳng định hay bác bỏ giả thuyết nghiên cứu ban đầu.

6. Phương hướng thực hiện

Dựa vào phương pháp nghiên cứu, chúng tôi định hướng nội dung của từng

chương như sau:

Chương 1: Khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp

- Lịch sử hình thành lý thuyết tập hợp của Cantor và sự xuất hiện và ảnh hưởng

của các nghịch lý đến lý thuyết này.

- Việc giải quyết các nghịch lý để hoàn thiện lý thuyết tập hợp.

- Những lĩnh vực toán học có sự hiện diện của lý thuyết tập hợp.

Chương 2: Vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp trong sách giáo khoa toán

THPT.

- Mục đích đưa vào khái niệm tập hợp.

- Việc xây dựng khái niệm tập hợp trong sách giáo khoa, những qui ước để

tránh các nghịch lý.

- Những khái niệm được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp.

- Những kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ khái niệm tập hợp.

Chương 3: Đối chiếu và thực nghiệm kiểm chứng.

- Trả lời các câu hỏi:

Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau

như thế nào?

Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã

cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?

- Thực nghiệm.

PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ

ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

Chương này trình bày kết quả khảo sát khoa học luận về vai trò đối tượng và

công cụ của tập hợp dựa trên các tài liệu lịch sử toán học và các chuyên luận toán

học. Kết quả thu được trong chương này và chương 2 sẽ được đối chiếu trong

chương 3 để xác định độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và

sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp.

Nghiên cứu trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi dưới

đây:

Lý thuyết tập hợp ra đời nhằm giải quyết vấn đề gì? Quá trình hình thành và

phát triển lý thuyết tập hợp đã gặp những chướng ngại khoa học luận nào? Các nhà

toán học đã giải quyết những chướng ngại đó bằng cách nào?

Ngày nay, lý thuyết tập hợp được sử dụng trong những lĩnh vực toán học nào ?

Vai trò của lý thuyết tập hợp trong mỗi lĩnh vực toán học đó?

Các tài liệu tham chiếu chính của chương này là:

- Bourbaki N. (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des

ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris.

- Dahan-Dalmendico A., Peiffer J. (1986), Une histoire des mathématiques,

routes et dédales, Éditions du Seuil.

- Phan Đình Diệu (2006), Logich toán & cơ sở toán học, Nxb Đại học quốc

gia Hà Nội.

- Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, bài giảng dành

cho học viên cao học Trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, tài liệu lưu

hành nội bộ.

1.1. Sự hình thành và phát triển lý thuyết tập hợp của Cantor

Theo mục từ Set and set theory của trang web Earliest Known Uses of Some of

the Words of Mathematics1, tên gọi naive set theory ra đời từ những năm 1940 và

được dùng phổ biến trong các nước nói tiếng Anh. Tên gọi tương đương trong tiếng

Pháp (théorie naïve des ensembles) xuất hiện sớm nhất ở lời nói đầu quyển Théorie

axiomatique des ensembles của Jean-Louis Krivine, xuất bản năm 1972.

Một số nhà nghiên cứu xem lý thuyết tập hợp ngây thơ là lý thuyết tập hợp

được xây dựng và phát triển bởi Cantor, không sử dụng các tiên đề tường minh.

Một số khác, chẳng hạn Paul Hamos (1916-2006) trong Naive Set Theory xuất bản

năm 1960, xem lý thuyết tập hợp có trang bị hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel là ngây

thơ.

Trong luận văn này, chúng tôi tránh dùng thuật ngữ lý thuyết tập hợp ngây thơ

vì nội hàm của nó chưa được các nhà toán học thống nhất.

1.1.1. Lực lượng của tập vô hạn: động lực ra đời lý thuyết tập hợp

Trước Cantor, tập hợp là một quan niệm cơ bản, được sử dụng ngầm ẩn từ thời Aristote (384-322 trước Thiên Chúa2). Trong Cơ bản, quyển 9, mệnh đề 20,

Euclide từng phát biểu và chứng minh mệnh đề về sự tồn tại vô hạn các số nguyên

tố. Tuy nhiên, nếu các tập hữu hạn được các nhà khoa học cổ đại chấp nhận dễ dàng

thì các tập vô hạn lại là đề tài của nhiều tranh luận triết học.

Mặc dù là thành quả của nhiều thế hệ nhà nghiên cứu, lịch sử toán học xem Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor3 (1845-1918) là người đặt nền móng cho lý

thuyết tập hợp từ năm 1874.

Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác vào thập niên 1870 đưa Cantor

đến khái niệm tập dẫn xuất của một tập số.

Cho X là tập các số thực nào đó. Tập dẫn xuất X’ của X là tập có được từ X sau

khi đã loại đi các điểm cô lập. Chẳng hạn, nếu X = {1/n, n ∈ N*} ∪ {0} thì các

điểm 1/n là cô lập trong X nên X’ = {0}. Ta cũng có thể xét tập dẫn xuất của X’ - ký

1 Địa chỉ http://jeff560.tripod.com/s.html, truy cập ngày 31/3/2014. 2 Chúng tôi dùng trước Thiên Chúa, sau Thiên Chúa mà không dùng trước Công nguyên, sau Công nguyên vì chúng ta đang sống trong Công nguyên. 3 Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor sinh ngày 3-3-1845 tại Saint-Péterbourg (Nga), mất ngày 6-1-1918 tại Halle (Đức), quốc tịch Đức.

hiệu X” - và thu được X” = ∅.

Lặp lại tiến trình này, ta có thể xây dựng một tập X các số thực có thể lấy dẫn xuất vô hạn lần. Nếu ký hiệu X(n) là tập dẫn xuất cấp n của X thì các X(n) tạo thành

một dãy các tập giảm (theo quan hệ bao hàm). Tập dẫn xuất cấp vô hạn của X - ký hiệu X(∞) - là giao của tất cả các X(n).

Cantor phát hiện sự tồn tại của các tập số thực X mà X(∞) còn chứa các điểm cô

lập, do đó còn lấy dẫn xuất được. Có những tập có thể lấy dẫn xuất cấp ∞ + 1, ∞ +

2, ..., cấp ∞ + ∞. Dường như tồn tại những phép tính số học trên các vô hạn. Dựa

vào điều này, Cantor xây dựng và phát triển lý thuyết tập hợp.

[…] các bản số vô hạn được ký hiệu bằng chữ cái Hébreu ℵ (alep) có chỉ số.

Bản số vô hạn nhỏ nhất - bản số của tập N các số tự nhiên - được ký hiệu là ℵ0

(alep không). Bản số nhỏ nhất lớn hơn ℵ0 được ký hiệu là ℵ1. Một cách tổng quát,

02ℵ = card R [10, tr.2].

một bản số bất kỳ có thể viết dưới dạng ℵα với α là một số thứ tự.

Năm 1874, Cantor chứng minh được card N = ℵ0 <

Việc Cantor chứng minh tập các số thực có “nhiều” phần tử hơn tập các số tự

nhiên cho thấy “số phần tử” (tức bản số) của các tập vô hạn không hoàn toàn giống

nhau. Điều này đưa Cantor đến việc xây dựng khái niệm tương ứng một-một để định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn4. Riêng tập vô hạn lại được ông chia thành tập đếm được và tập không đếm được5. Ông còn chứng minh tập các bản số vô hạn là

một tập vô hạn, nghĩa là có vô hạn tập vô hạn.

Kết quả trên giúp chúng tôi rút ra những nhận xét sau:

- Quan niệm về tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn đã xuất hiện ngầm ẩn từ thời

cổ đại. Khi ấy, tập hợp, tập hữu hạn, tập vô hạn là những đối tượng cận toán học

(objets paramathématiques) vì có tên gọi nhưng chưa có định nghĩa.

- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo

sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần

4 Theo Cantor, tập E gọi là hữu hạn nếu tồn tại một số tự nhiên n và một song ánh từ E đến tập các số tự

nhiên nhỏ hơn n. Đặc biệt, khi n = 0, E là tập rỗng. Số n gọi là bản số của E, ký hiệu n = E (ký hiệu của chính Cantor) hoặc n = |E| hoặc n = card E. Tập không hữu hạn gọi là tập vô hạn. 5 Cantor định nghĩa tập đếm được là tập có cùng lực lượng với N, tập không đếm được là tập vô hạn không cùng lực lượng với N.

quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Năm 1821, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) xuất bản Cours d'Analyse

trong đó ông định nghĩa khái niệm giới hạn và dãy Cauchy - hai khái niệm chính

cho phép định nghĩa số thực như giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Năm 1872,

Richard Dedekind (1831-1916) công bố bài báo Vorlesungen über Zahlentheorie

(Tính liên tục và các số vô tỷ) liên quan đến việc định nghĩa số vô tỷ bằng nhát cắt.

Năm 1874, Cantor bắt đầu nghiên cứu lực lượng của các tập vô hạn dựa trên các

tính chất của số thực và giới hạn. Như vậy, quá trình xây dựng lý thuyết tập hợp của

Cantor gắn bó mật thiết với những kiến thức về lý thuyết số và giải tích.

1.1.2. Giả thuyết continuum

Cantor đã thu được kết quả card N = ℵ0 < card R. Vì ℵ1 là bản số nhỏ nhất

lớn hơn ℵ0 nên ông có ngay hệ thức ℵ0 < ℵ1 ≤ card R. Hệ thức này dần dần đưa

ông đến những suy xét và câu hỏi dưới đây:

- Lực lượng đếm được nhỏ hơn lực lượng continuum.

- Giữa ℵ0 và ℵ1 không có bản số nào khác vì ℵ1 là bản số nhỏ nhất lớn hơn

ℵ0.

- Giữa ℵ0 và card R có ℵ1 nhưng vấn đề là ℵ1 < card R hay ℵ1 = card R?

Nếu ℵ1 < card R, ta có ℵ0 < ℵ1 < card R, nghĩa là tồn tại lực lượng ở giữa

lực lượng đếm được và lực lượng continuum. Nếu ℵ1 = card R, ta có ℵ0 < ℵ1 =

card R, nghĩa là không có lực lượng nào ở giữa lực lượng đếm được và lực lượng

continuum.

Để trả lời câu hỏi đã đặt, Cantor đưa ra giả thuyết continuum nhưng không

02ℵ , nghĩa là không có tập hợp

chứng minh hay bác bỏ được.

Giả thuyết continuum khẳng định rằng ℵ1 =

nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập N và nhỏ hơn lực lượng của tập R. Nói

cách khác, có thể chuyển từ tập rời rạc (tập đếm được) sang tập liên tục chỉ bằng

một bước nhảy. Đây cũng là nguồn gốc của tên gọi continuum.

[...] Trong đại hội toán học quốc tế lần thứ 2 tổ chức tại Paris năm 1900,

Hilbert liệt kê 23 bài toán lớn mà thế kỷ 19 để lại cho thế kỷ 20, trong đó giả thuyết

continuum đứng đầu danh sách.

Mãi đến năm 1938, Kurt Gödel6 (1906-1978) mới chứng minh được rằng giả thuyết continuum là độc lập đối với hệ tiên đề ZFC7 nên không thể bác bỏ giả thuyết continuum trong lý thuyết ZFC. Năm 1963, Paul Joseph Cohen8 (1934-2007)

sử dụng phương pháp forcing để chứng minh rằng không thể chứng minh giả thuyết

continuum từ hệ tiên đề ZFC [10, tr.3].

Công trình của Gödel và Cohen không chứng minh hay bác bỏ giả thuyết

continuum nên giả thuyết này vẫn là một trong những bài toán lớn cần giải quyết

của thế kỷ 21. Các nhà toán học thế giới đang tiếp tục đi tìm một tiên đề bổ sung

vào hệ tiên đề ZFC hoặc xây dựng một hệ tiên đề mới cho phép khẳng định hoặc

bác bỏ giả thuyết continuum.

1.1.3. Các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor

Theo Từ điển toán học thông dụng do GS Ngô Thúc Lanh chủ biên (2000),

thuật ngữ nghịch lý được dùng để chỉ một kết quả đúng nhưng trái với trực giác

thông thường (nghịch lý loại 1) hoặc một lập luận thoạt nhìn thì đúng nhưng dẫn

đến mâu thuẫn (nghịch lý loại 2). Phần này đề cập đến một số nghịch lý loại 2 tiêu

biểu (gọi tắt là nghịch lý) trong lý thuyết tập hợp của Cantor.

Toán học hiện đại chia các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor thành

hai nhóm lớn: các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các

nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập.

1.1.3.1. Các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa

6 Kurt Gödel là nhà toán học và lôgic học sinh ngày 28-4-1906 tại Áo-Hung, nhập quốc tịch Tiệp Khắc năm 1918, quốc tịch Áo năm 1929, quốc tịch Đức năm 1938 và quốc tịch Mỹ năm 1948, mất ngày 14-1-1978. Ông thường được xem là người Áo. Ngoài việc xây dựng lý thuyết hàm đệ quy và chứng minh tính đầy đủ của phép toán vị từ bậc nhất, Gödel còn chứng minh tính chặt chẽ tương đối của giả thuyết continuum, theo đó ta không thể bác bỏ giả thuyết continuum bằng các tiên đề đã được chấp nhận của lý thuyết tập hợp (giả định rằng các tiên đề này là chặt chẽ). Công trình nổi tiếng nhất của ông là định lý về tính không đầy đủ, theo đó bất kì một hệ tiên đề nào đủ mạnh để mô tả số học cũng chứa những mệnh đề về các số nguyên mà chúng ta không thể phủ định cũng không thể khẳng định nó từ những tiên đề của hệ. 7 Hệ tiên đề ZFC (tức hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel có bổ sung tiên đề chọn) là hệ tiên đề được Ernst Zermelo (1871-1953) và Abraham Fraenkel (1891-1965) xây dựng vào đầu thế kỷ 20 nhằm tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor , tránh các nghịch lý đã phát hiện trước đó. 8 Paul Joseph Cohen sinh ngày 2-4-1934 tại Long Branch (Mỹ), mất ngày 23-3-2007 tại Palo Alto (Mỹ), là nhà toán học Mỹ. Ông nổi tiếng vì đã chứng minh tính độc lập của giả thuyết continuum với hệ tiên đề ZFC bằng phương pháp forcing. Công trình này đem lại cho ông giải thưởng Field năm 1966.

Trong số các nghịch lý liên quan đến ngôn ngữ chưa được hình thức hóa,

chúng tôi chọn ra ba nghịch lý tiêu biểu để phân tích: nghịch lý Cantor, nghịch lý

Richard và nghịch lý Berry.

1.1.3.1.1. Nghịch lý Cantor

Nghịch lý Cantor được chính ông phát hiện năm 1899. Xét S là tập tất cả các tập hợp và P(S) là tập các tập con của S. Theo định lý Cantor9, ta có card S <

card P(S). Mặt khác, ánh xạ f : P(S) → S, E  f(E) = E là đơn ánh nên card P(S) ≤

card S. Ta thu được hai bất đẳng thức mâu thuẫn với nhau.

Để giải quyết mâu thuẫn, Cantor phân biệt “số nhiều phù hợp” với “số nhiều

không phù hợp”. “Số nhiều phù hợp” có thể tham gia tạo thành tập hợp trong khi

“số nhiều không phù hợp” (chẳng hạn tập hợp tất cả các tập hợp) là “vô hạn tuyệt

đối” thuộc về thượng đế mà con người không thể hiểu được.

Chúng tôi sẽ đề cập đến việc giải quyết nghịch lý Cantor khi trình bày về lý

thuyết lớp trong mục 2.2 của chương này.

1.1.3.1.2. Nghịch lý Richard

Nghịch lý này được Richard công bố năm 1905. Ông xét các chỉnh hợp lặp

chập 2 của 26 chữ cái tiếng Pháp và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp này theo thứ tự từ

điển. Một cách tương tự, ông tiếp tục xét và sắp thứ tự các chỉnh hợp lặp chập 3, 4,

5… của 26 chữ cái tiếng Pháp.

Với k ≥ 2 cho trước, số chỉnh hợp lặp chập k của 26 là 26k. Tập hợp E các

chỉnh hợp lặp chập k (k = 2, 3, 4…) của 26 chữ cái tiếng Pháp là tập đếm được. Bất

kỳ một diễn đạt nào gồm hữu hạn từ tiếng Pháp đều tương ứng với duy nhất một

phần tử của E. Ví dụ: Je vais à l'école (Tôi đến trường) tương ứng với phần tử

jevaisalecole ∈ E. Đặc biệt, việc xác định một số thực bằng hữu hạn từ tương ứng

với việc thiết lập một chỉnh hợp lặp chập k nào đó của 26 chữ cái tiếng Pháp.

Gọi G là tập những phần tử của E tương ứng với việc xác định một số thực

bằng hữu hạn từ, ta có G đếm được và được sắp thứ tự (với thứ tự của E thu hẹp

9 Được chứng minh năm 1891, định lý Cantor phát biểu rằng bản số của một tập bất kỳ luôn nhỏ hơn bản số của tập các tập con của nó.

trên G). Gọi ui là số thực được xác định từ phần tử thứ i của E. Tập G' = {ui | i

∈ N*} là tập đếm được gồm các số thực được xác định bằng hữu hạn từ.

Ta xây dựng số thực N có cách viết trong hệ thập phân như sau:

- Phần nguyên của N là 0;

- Nếu chữ số thứ n trong phần thập phân của un là p thì chữ số thứ n trong

phần thập phân của N là p + 1 (khi p ≠ 8 và p ≠ 9) hoặc là 1 (khi p = 8 hoặc p = 9).

Với mọi n ∈ N*, ta có N ≠ un vì chúng có ít nhất chữ số thập phân thứ n khác

nhau (cách xây dựng N cho phép tránh hai cách biểu diễn thập phân khác nhau của

cùng một số thực, chẳng hạn 0,(9) = 1). Vậy N ∉ G'. Mặt khác, N được xác định

bằng hữu hạn từ nên N ∈ G'. Ta thu được hai kết quả mâu thuẫn.

Ta giải quyết nghịch lý này bằng cách phân biệt hai mức độ ngôn ngữ: ngôn

ngữ bình thường (đôi khi được gọi là ngôn ngữ đối tượng) và ngôn ngữ được sử

dụng để mô tả lý thuyết đang xét (siêu ngôn ngữ và thường chưa được hình thức

hóa). Khi định nghĩa một tập đếm được các số thực có thể định nghĩa bằng một số

hữu hạn từ, ta hiểu rằng các từ này thuộc về một ngôn ngữ cụ thể của một dân tộc

nào đó. Việc mô tả số thực N được thực hiện bằng một số hữu hạn từ trong siêu

ngôn ngữ. Quá trình xây dựng N cho thấy rằng nó không thể mô tả bằng một số hữu

hạn từ trong ngôn ngữ đối tượng. Khi mã hóa siêu ngôn ngữ thành ngôn ngữ đối

tượng, nghịch lý Richard không còn là nghịch lý [10, tr.4].

1.1.3.1.3. Nghịch lý Berry

Nghịch lý Berry là một dạng khác của nghịch lý Richard, được Russel phát

hiện năm 1906 và đặt tên theo tên của Berry (1867-1928) - thủ thư thư viện Bodley

thuộc đại học Oxford.

Xét “Số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ”10. Số

này có thuộc tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười

sáu từ hay không?

Gọi E là tập các số tự nhiên được mô tả bằng một phát biểu không quá mười

10 Trong nguyên văn tiếng Pháp, số này được mô tả bằng đúng mười lăm từ là: “Le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins”. Về nguyên tắc, có thể thay số 16 bằng một số bất kỳ lớn hơn số từ mà ta sử dụng để mô tả số tự nhiên đang xét.

sáu từ và n là “số tự nhiên nhỏ nhất không thể mô tả bằng không quá mười sáu từ”.

Ta có n ∈ E (vì định nghĩa của n có đúng 15 từ) và n ∉ E (vì n không thể mô tả

bằng không quá 16 từ). Ta gặp lại một mâu thuẫn tương tự nghịch lý Richard.

1.1.3.2. Các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập

Liên quan đến tính chất đặc trưng của một tập, chúng tôi chọn nghịch lý

Russell để phân tích.

Quay lại nghịch lý Cantor, nếu ký hiệu S là tập tất cả các tập hợp, ta có S (với

tư cách là một tập) là một phần tử của S (với tư cách là tập tất cả các tập hợp). Nói

cách khác, S ∈ S hay S là một phần tử của chính nó.

Nếu tránh nói đến tập tất cả các tập hợp, ta vẫn có thể nêu một ví dụ khác về

sự tồn tại của những tập là phần tử của chính nó. Gọi E là tập các tập hợp có hơn

một phần tử, ta có N ∈ E và Z ∈ E nên E ∈ E (vì E có hơn một phần tử).

Điều này khiến Russell xét G là tập các tập hợp không phải là phần tử của

chính nó và đặt câu hỏi G ∈ G hay G ∉ G? Nếu G ∈ G thì G là phần tử của chính

nó nên G ∉ G (theo định nghĩa). Nếu G ∉ G thì G không phải là phần tử của chính

nó nên G ∈ G (theo định nghĩa). Mỗi trường hợp G ∈ G hay G ∉ G đều dẫn đến

mâu thuẫn.

Nghịch lý Russell còn được phát biểu dưới dạng nghịch lý người thợ cạo:

Ở làng Seville có một ông thợ cạo. Tại làng này, tất cả đàn ông đều tự cạo râu

hoặc nhờ thợ cạo. Ông thợ này cho biết: “Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông

làng Seville không tự cạo râu được”. Hỏi ông thợ cạo có cạo râu cho chính mình

không? Việc khảo sát hai khả năng có hoặc không đều dẫn đến mâu thuẫn.

Nếu thuộc nhóm tự cạo râu (nhóm 1) thì ông thợ cạo không cạo râu cho những

người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông phải

thuộc nhóm không tự cạo râu (nhóm 2). Nếu ở nhóm không tự cạo râu (nhóm 2) thì

ông thợ cạo sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc

đó hoá ra ông lại tự cạo râu cho mình, nghĩa là ông thuộc nhóm 1.

Vậy ông thợ cạo thuộc nhóm nào? Điều này sẽ dễ dàng giải quyết nếu người

thợ cạo không sống ở làng Seville hoặc là phụ nữ. Tuy nhiên, câu chuyện đã xác

định rõ người thợ cạo sống ở làng Seville và là đàn ông [10, tr.5].

Nghịch lý Russell chỉ ra những mâu thuẫn lô-gic có thể phát sinh khi xác định

một tập hợp bằng cách nêu đặc trưng. Việc giải quyết những mâu thuẫn này đòi hỏi

phải xây dựng những điều kiện về tính hợp thức của tính chất đặc trưng của một tập

mà Cantor chưa thực hiện. Chúng tôi sẽ quay lại nghịch lý Russell khi trình bày về

lý thuyết Zermelo-Fraenkel trong mục 2.1 dưới đây.

1.2. Tiên đề hóa lý thuyết tập hợp: hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von

Neumann-Bernays-Gödel, hệ tiên đề Russell

Cantor chưa giải quyết triệt để các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của mình:

ông không đề xuất giải pháp đối với một số nghịch lý (chẳng hạn nghịch lý Russell)

hoặc giải pháp của ông còn mang tính hình thức (chẳng hạn “số nhiều phù hợp” hay

“vô hạn tuyệt đối”).

Sự tồn tại các nghịch lý trong lý thuyết tập hợp của Cantor và những tranh cãi

xung quanh giả thuyết continuum đòi hỏi phải có một định nghĩa chính xác về tập

hợp. Nhiều nhà toán học đã nghĩ đến phương pháp tiên đề mà Hilbert từng sử dụng

vào năm 1899 khi xây dựng cơ sở của hình học Euclide.

Trong số nhiều cố gắng tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor, được sử

dụng nhiều nhất là hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-Bernays-

Gödel và hệ tiên đề Russell. Lý thuyết tập hợp xây dựng trên các hệ tiên đề này

tương ứng gọi là lý thuyết ZF, lý thuyết lớp và lý thuyết kiểu.

1.2.1. Hệ tiên đề và lý thuyết Zermelo-Fraenkel

Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel (hoặc hệ tiên đề ZF) được xây dựng từ các tiên

đề do Ernst Zermelo (1871-1953) phát biểu năm 1908, cộng thêm tiên đề về thay

thế do Abraham Adolf Halevi Fraenkel (1891-1965) bổ sung. Thoralf Albert

Skolem (1887-1963) là người diễn đạt lại hệ tiên đề ZF dưới dạng thường thấy ngày

nay (xem phụ lục 1).

Mục tiêu chính của hệ tiên đề ZF là loại bỏ những sai lệch liên quan đến các

khái niệm trực giác về tập hợp và liên thuộc trong lý thuyết tập hợp của Cantor.

Đặc biệt, tiên đề 7 của hệ tiên đề ZF quy định điều kiện đối với tính chất đặc

trưng của một tập và cho phép giải quyết nghịch lý người thợ cạo của Russell.

Tiên đề 7 (tiên đề về cách hiểu). Với bất kỳ tập hợp E, với bất kỳ tính chất11

P được diễn đạt bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, tồn tại một tập F chứa các

phần tử của E thỏa mãn tính chất P. Có thể phát biểu một cách hình thức tiên đề này

như sau:

∀E ∀P ∃F ∀x [x ∈ F ⇔ (x ∈ E ∧ P(x) = 1)]

Trở lại nghịch lý người thợ cạo, gọi E là tập gồm đúng một phần tử là ông thợ

cạo làng Seville, P là tính chất “không tự cạo râu cho chính mình”. Ta không tìm

được tập F = {x ∈ E | P(x)}. Vậy tính chất P là không hợp thức trong lý thuyết tập

hợp [10, tr.5].

Hệ tiên đề ZF cũng cho phép chứng minh không tồn tại tập tất cả các tập hợp

và không tồn tại tập hợp là phần tử của chính nó (xem phụ lục 1).

Trở lại nghịch lý Russell (dạng tập hợp) đã trình bày trong mục 1.3.2, ta thấy

mọi tập hợp thỏa hệ tiên đề ZF đều không là phần tử của chính nó. Do đó, “tập” các

tập hợp không là phần tử của chính nó là một cách diễn đạt khác của “tập” tất cả các

tập hợp và cả hai “tập” này đều không tồn tại trong lý thuyết ZF.

1.2.2. Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel và lý thuyết lớp

Năm 1925, John von Neumann (1903-1957) xây dựng lý thuyết lớp từ khái

niệm hàm số. Năm 1930, Paul Bernays (1888-1977) xây dựng lại và đơn giản hóa lý

thuyết lớp của von Neumann dựa vào khái niệm tập hợp và quan hệ liên thuộc.

Năm 1940, Kurt Gödel (1906-1978) dựa vào công trình của Bernays để trình bày

một phiên bản mới của lý thuyết lớp nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chặt

chẽ tương đối của tiên đề chọn và giả thuyết continuum. Phiên bản sau cùng này

còn gọi là hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel (hoặc hệ tiên đề NBG).

Năm 1955, John Leroy Kelley (1916-1999) xuất bản chuyên luận General

topology (Tôpô đại cương) trong đó ông giới thiệu lý thuyết Morse-Kelley - một lý

thuyết lớp khác mạnh hơn lý thuyết NBG.

Như chúng tôi đã xác định ở trên, phần này chỉ đề cập đến lý thuyết lớp NBG.

11 Tính chất ở đây được hiểu là một công thức của phép tính vị từ một biến (Chú thích của tài liệu đã dẫn).

Lý thuyết lớp phân biệt hai khái niệm lớp và tập hợp. Tập hợp được xem là

một lớp đặc biệt và tồn tại lớp chứa tất cả các tập hợp. Một lớp A là một tập hợp nếu

tồn tại một lớp B sao cho A ∈ B. Một lớp không phải là tập hợp được gọi là lớp thật

sự. Một cách hình thức, ta có A là lớp thật sự nếu và chỉ nếu A ∉ B với mọi lớp B.

Chẳng hạn, lớp tất cả các tập hợp lớp hoặc lớp các tập hợp không phải là phần tử

của chính nó là các lớp thật sự.

Lý thuyết lớp gồm 7 tiên đề về lớp đặc biệt và 10 tiên đề về lớp thật sự (xem

phụ lục 2). Có thể xem lý thuyết lớp là một mở rộng của lý thuyết ZF. Do đó, mọi

mệnh đề đúng trong lý thuyết ZF cũng đúng trong lý thuyết lớp. Ngược lại, mọi

mệnh đề đúng chỉ nói về lớp đặc biệt trong lý thuyết lớp cũng đúng trong lý thuyết

ZF.

Trở lại nghịch lý Cantor đã trình bày trong mục 1.3.1.1, ta có lớp tất cả các tập

hợp (ký hiệu S) là một lớp thật sự. Ta suy ra lớp các lớp con của S (ký hiệu P(S))

cũng là một lớp thật sự. Vì ta chỉ định nghĩa ánh xạ giữa hai tập hợp nên tương ứng

f : P(S) → S, E  f(E) = E không là ánh xạ. Do đó, không thể suy ra card P(S) ≤

card S.

1.2.3. Lý thuyết kiểu

Phiên bản đầu tiên của lý thuyết kiểu (còn gọi là lý thuyết phân nhánh) được

Bertrand Russell (1872-1970) trình bày trong The Principles of Mathematics (Các

nguyên lý toán học) xuất bản năm 1903 nhằm giải quyết các nghịch lý lôgic, trong đó có các nghịch lý của lý thuyết tập hợp12. Phiên bản này được Frank Ramsey

(1903-1930) đơn giản hóa, được thay thế bằng lý thuyết Zermelo-Frankel năm 1922

và được xem xét lại sau các phát hiện về phép tính lamda và lôgic tổ hợp.

Lý thuyết kiểu là một nhánh của lôgic toán theo đó một đối tượng bất kỳ

(thuật ngữ, tập hợp, hàm số...) là một kiểu và các thực thể chỉ có thể kết hợp với

nhau theo những quy tắc về định kiểu (xem phụ lục 3).

Áp dụng các quy tắc định kiểu vào lý thuyết tập hợp của Cantor, ta tránh được

12 Cần phân biệt tác phẩm này với 3 quyển Principia Mathematica (viết bằng tiếng Anh nhưng có tựa là tiếng Latin) do Russell viết chung với Alfred North Whitehead (1861-1947) và xuất bản từ 1910 đến 1913.

các nghịch lý đã nêu.

1.3. Lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại

Nhu cầu tiên đề hóa lý thuyết tập hợp của Cantor làm nảy sinh nhiều lý thuyết

khác nhau về tập hợp. Cho đến nay, các nhà toán học chưa phát hiện sự mâu thuẫn

giữa các lý thuyết này và công nhận lý thuyết ZF là sự tiên đề hóa phù hợp nhất với

lý thuyết tập hợp của Cantor.

1.3.1. Lý thuyết tập hợp trong chuyên luận của Bourbaki

Năm 1935, một số nhà toán học hàng đầu thế giới họp mặt tại Besse-et-Saint-

Anastaise (Pháp) để bàn việc viết chung một chuyên luận về giải tích. Sau cùng, với bút danh Nicolas Bourbaki, họ cho ra đời bộ Éléments de mathématique13 (Các cơ

sở của toán học) gồm 10 quyển mà Théorie des ensembles (Lý thuyết tập hợp) là

quyển đầu tiên.

Théorie des ensembles nói riêng, Éléments de mathématique nói chung, là tác

phẩm kinh điển của toán học vì những lý do sau đây:

- Mặc dù những người sáng lập tuyên bố Nicolas Bourbaki đã mất,

Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki (Hiệp hội các cộng tác viên của

Nicolas Bourbaki) thành lập năm 1952 vẫn không ngừng kết nạp thành viên mới.

Các thành viên của nhóm Nicolas Bourbaki đều là những nhà toán học hàng đầu thế

giới và đã nhận 5 giải thưởng Fields: Laurent Schwartz (1950), Jean-Pierre Serre

(1954), Alexandre Grothendieck (1966), Alain Connes (1982) và Jean-Christophe

Yoccoz (1994).

- Éléments de mathématique được xây dựng trên cơ sở khái niệm cấu trúc và

được viết bằng một ngôn ngữ hình thức hóa chặt chẽ cho phép nhìn rõ mối liên hệ

giữa các ngành toán học khác nhau.

- Éléments de mathématique có ảnh hưởng lớn đến việc dạy và học toán, đặc

biệt là cuộc cải cách giáo dục do tiểu ban Lichnerowicz đề xướng năm 1969 tại

Pháp.

Phần này giới thiệu tóm tắt nội dung của lý thuyết tập hợp được trình này

13 Khác với các quy tắc văn phạm hiện hành, từ mathématique (toán học) trong tựa tác phẩm được viết ở dạng số ít với mong muốn trình bày tất cả các kiến thức toán học thành một khối duy nhất.

trong chuyên luận Théorie des ensembles của Nicolas Bourbaki.

Chuyên luận này được tác giả viết trong 4 chương:

Chương I: Description de la mathématique formelle (mô tả toán học hình

thức). Nội dung của chương trình bày một cách có hệ thống các thuật ngữ và lý

thuyết về logic, định lượng và tương đương trong toán học.

Chương II: Théorie des ensembles (lý thuyết tập hợp). Chương này gồm 6 bài.

Chủ đề được trình bày trong chương là: Quan hệ tập hợp hóa, cặp thứ tự, tương

ứng, phép hợp và giao của họ tập hợp, tích một họ tập hợp và quan hệ tương tương.

Trong các chủ đề có lồng ghép các tiên đề và các tiên đề chỉ xuất hiện trong chương

này:

Quan hệ tập hợp hóa gồm tiên đề về đẳng thức, tiên đề về bộ đôi, tiên đề về

tập rỗng và sơ đồ chọn. Quan hệ bao hàm và quan hệ tập hợp hóa cũng được trình

bày trong chủ đề này.

Cặp thứ tự trình bày về cặp thứ tự và tích của hai tập hợp.

Tương ứng trình bày các khái niệm về tương ứng và hàm. Phép co và phép cắt

cũng được nhắc đến trong chủ đề này.

Phép hợp và giao của họ tập hợp trình bày định nghĩa và tính chất của hai

phép này, khái niệm phủ, phân hoạch và tổng của một họ các tập.

Tích một họ tập hợp gồm tiên đề về tập các tập con. Chủ đề này trình bày định

nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích họ các tập hợp.

Quan hệ tương tương trình bày về định nghĩa quan hệ tương đương, mở rộng

thêm lớp tương đương và lớp thương.

Chương III: Ensembles ordonnés, cardinaux, nombres entiers (tập thứ tự, lực

lượng, số nguyên). Chương này trình bày các nội dung về tập thứ tự, lực lượng và

số nguyên như tên của chương đã giới thiệu.

Chương IV: Structures (cấu trúc). Chương này trình bày về cấu trúc, cấu xạ,

các ứng dụng và ví dụ của nó.

1.3.2. Vai trò của lý thuyết tập hợp trong toán học hiện đại

Ra đời từ cuối thế kỉ XIX, lý thuyết tập hợp đã nhanh chóng trở thành một

ngành toán học với nội dung phong phú. Trong toán học hiện đại lý thuyết tập hợp

có hai vai trò chính sau:

- Cùng với lô-gic toán, lý thuyết tập hợp là một trong hai nền tảng của toán

học hiện đại. Tác giả Hoàng Tụy nhận định: “Có thể nói rằng không có lĩnh vực nào

trong toán học không chịu ảnh hưởng trực tiếp hay gián tiếp của nó”.[15, tr.80]

- Lý thuyết tập hợp là một hệ thống biểu đạt giúp thể hiện các đối tượng cơ

bản (số, hàm số…) và các mệnh đề toán học thuộc nhiều ngành toán học khác nhau

thành một khối nhất quán theo quan điểm cấu trúc.

Kết luận chương 1

Những phân tích trên giúp chúng tôi trả lời hai nhóm câu hỏi đã đặt ở đầu

chương:

- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo

sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần

quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Vì khái niệm tập hợp không được định nghĩa, quá trình hình thành và phát

triển lý thuyết tập hợp làm nảy sinh hai nhóm nghịch lý: các nghịch lý liên quan đến

ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc

trưng của một tập.

- Việc giải quyết các nghịch lý khiến các nhà toán học phải tiên đề hóa khái

niệm tập hợp. Trong số các hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-

Bernays-Gödel và hệ tiên đề Russell, hệ tiên đề ZF được công nhận là sự tiên đề

hóa phù hợp nhất với lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Ngày nay, lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của

các ngành toán học.

Chương 2. VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chương này trình bày các kết quả phân tích về vai trò đối tượng và công cụ

của tập hợp trong sách giáo khoa toán trung học phổ thông hiện hành. Kết quả trong

chương này cùng với chương 1 sẽ được đối chiếu trong chương 3 để xác định độ

lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai

trò đối tượng và công cụ của tập hợp.

Vì tập hợp được giảng dạy ở THPT từ đầu lớp 10 và ngôn ngữ tập hợp cũng

được sử dụng rộng rãi trong các nội dung khác và sách giáo khoa Toán nâng cao chỉ

được sử dụng trong một số lớp khá, giỏi ở các trường THPT, chúng tôi chọn sách

Đại số 10 cơ bản để phân tích. Tuy nhiên, để không mất đi tính tổng thể, việc phân

tích sẽ được đặt trong mối liên hệ với bộ sách giáo khoa Toán cơ bản và chương

trình Toán THPT hiện hành.

“Các chương tiếp theo của SGK sẽ được trình bày thống nhất theo ngôn ngữ

mệnh đề và tập hợp. Như vậy, nội dung của chương I là rất cơ bản và cần thiết để

học sinh học tập tiếp các chương sau nói riêng, để học tập và ứng dụng Toán nói

chung” [6, tr.32].

Phân tích trong chương này được định hướng bằng hai nhóm câu hỏi sau:

Mục đích đưa khái niệm tập hợp vào SGK? Việc xây dựng khái niệm tập hợp

trong SGK có những qui ước nào để tránh các nghịch lý?

Những khái niệm nào được xây dựng nhờ ngôn ngữ tập hợp? Những kiểu

nhiệm vụ nào được giải quyết nhờ khái niệm này?

2.1. Phân tích sách Đại số 10 cơ bản

2.1.1. Mục đích đưa khái niệm Tập hợp vào sách giáo khoa

Lý thuyết tập hợp ra đời từ thế kỉ 19, trải qua nhiều đổi mới trong quá trình

phát triển của nó. Có thể nói rằng việc phát hiện các nghịch lý đã dẫn đến việc hình

thành các lý thuyết mới (lý thuyết Zermelo- Fraenkel, lý thuyết lớp, lý thuyết kiểu),

trong đó lý thuyết Zermelo- Fraenkel- được xem là lý thuyết tiên đề hóa hợp lý nhất

của lý thuyết tập hợp, tránh các nghịch lý nội tại.

Lôgic toán và lý thuyết tập hợp được xem là cơ sở của mọi ngành Toán học và

bắt đầu từ chương trình THPT học sinh được tiếp cận với các khái niệm này. Khái

niệm Tập hợp được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 10, được phân phối ở bài

2 chương I sách Đại số 10 cơ bản. Tuy nhiên, tập hợp đã được đưa vào giảng dạy từ

lớp 6 và học sinh đã được làm quen với khái niêm này. Vậy tại sao SGK lại đưa

khái niệm tập hợp vào chương trình Toán 10 và mục đích của việc đưa vào này là

gì?

“[…] tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tuy nhiên, khái niệm tập hợp khá

trực quan với học sinh. Hơn nữa, học sinh đã được biết khái niệm tập hợp, phần tử,

tập hợp con ngay từ lớp 6. Vì vậy, trong SGK các khái niệm này được trình bày khá

gọn, chủ yếu là để ôn tập và hệ thống lại.

Ở đây, điểm mới là sử dụng ngôn ngữ mệnh đề để trình bày các khái niệm,

chẳng hạn

”

[6, tr.35].

Như vậy, theo các tác giả SGK tập hợp là một khái niệm nguyên thủy và trực

quan và mục tiêu của việc giới thiệu này ở chương trình THPT chủ yếu là để ôn tập

và hệ thống lại các kiến thức về tập hợp đã biết trước đây. Một điểm mới so với

chương trình Toán lớp 6 là trình bày các khái niệm này dưới dạng ngôn ngữ mệnh

đề.

Chúng ta có thể thấy rằng mục đích đưa khái niệm tập hợp vào chương trình THPT một lần nữa14 không phải chỉ rõ những khiếm khuyết của lý thuyết tập hợp

cũng như những bổ sung cần thiết đề hoàn thiện lý thuyết này.

2.1.2. Tập hợp- đối tượng dạy học trong chương trình Toán THPT

Phần bài học

14 Tập hợp đã được giới thiệu ở chương trình Toán lớp 6.

Lý thuyết tập hợp được nhắc đến ngay lời mở đầu chương I của sách Đại Số

10 cơ bản “Chương này củng cố, mở rộng hiểu biết của học sinh về Lí thuyết tập

hợp đã được học ở các lớp dưới” và tập hợp chính thức giới thiệu từ bài Tập hợp.

Một điều rất rõ lí thuyết tập hợp đã được học sinh biết đến và ở đây SGK có nhiệm

vụ nhắc lại như SGV viết:” Các khái niệm tập hợp, phần tử, tập hợp rỗng và cách

xác định một tập hợp học sinh đã được biết từ lớp 6. Vì vậy ở đây ta chỉ tổ chức các

hoạt động để học sinh nhớ lại các kiến thức đó.” [6, tr.41].

Việc minh họa tập hợp bằng biểu đồ Ven cũng được nhắc lại

B “Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng

được bao quanh bởi một đường khép kín, gọi là biểu đồ Ven như

hình 1.” [5, tr.11].

“Cũng như mệnh đề, tập hợp là một khái niệm nguyên thủy.

Tuy nhiên, khái niệm tập hợp khá trực quan với học sinh. Hơn nữa, học sinh đã

được biết khái niệm tập hợp, phần tử, tập hợp con ngay từ lớp 6. Vì vậy, trong SGK

các khái niệm này được trình bày khá gọn, chủ yếu là để ôn tập và hệ thống lại.” [6,

tr.35].

Theo sách giáo viên, mặc dù không được định nghĩa, khái niệm tập hợp khá

trực quan đối với học sinh và đã được dạy ở lớp 6. Sách lớp 10 chỉ nhắc lại một

cách ngắn gọn và hệ thống.

“Điểm mới” được SGV nhắc đến khi trình bày lại khái niệm tập hợp đã được

giới thiệu trong nội dung của tập hợp rỗng.

Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử.

Theo kết quả khảo sát khoa học luận cho thấy tất cả các tiên đề trong hệ tiên

đề ZF đều được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ mệnh đề. Do đó, việc đưa ngôn ngữ

15 Bước trực quan được hiểu là sự mô tả tập hợp thông qua các ví dụ hay sự minh họa tập hợp bằng biểu đồ Ven. 16 Bước logic được hiểu là sự trình bày các phát biểu dưới dạng ngôn ngữ mệnh đề. Nó cũng là điểm mới được SGV nhắc đến

mệnh đề vào tập hợp ở giai đoạn này phải chăng SGK mong muốn thực hiện bước chuyển đổi từ trực quan15 sang logic16?

Hơn thế nữa, SGK đã xây dựng 6 khái niệm có sử dụng ngôn ngữ mệnh đề,

trong đó có sự hiện diện của 8 biểu đồ Ven. Đó là các khái niệm:

1) Tập hợp rỗng

Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử.

2) Tập hợp con

Ta có các tính chất sau:

với mọi tập hợp A. a)

b) Nếu và thì (h.4).

với mọi tập hợp A. c)

3) Tập hợp bằng nhau

4) Giao của hai tập hợp

( phần gạch Kí hiệu

chéo trong hình 5). Vậy

5) Hợp của hai tập hợp

( phần gạch Kí hiệu

chéo trong hình 6). Vậy

6) Hiệu và phần bù của hai tập hợp

( phần gạch Kí hiệu

chéo trong hình 7). Vậy

thì gọi là phần Khi

bù của B trong A, kí hiệu

(phần gạch chéo trong hình 8).

Chúng ta thấy rằng bên cạnh các phát biểu mệnh đề luôn xuất hiện biểu đồ

Ven. Thậm chí có đến 4 biểu đồ Ven trong phần giới thiệu về tập hợp con. Hơn thế

nữa, khi chuyển sang bài 3: Các phép toán tập hợp , các phát biểu mệnh đề luôn

được minh họa bằng hình ảnh và được chú thích bằng” phần gạch chéo trong

hình…”. Điều này giúp chúng tôi khẳng định rằng: Các khái niệm liên quan tập hợp

được trình bày trong SGK tuy đã được diễn đạt chính xác dưới ngôn ngữ mệnh đề

nhưng vẫn đi kèm với hình ảnh minh họa trực quan.

Các tập hợp số được SGK chú trọng nhiều hơn thể hiện bằng một lưu ý trong

SGV “Nên dành nhiều thời gian để làm các bài tập luyện tập” và mục đích của việc

trình bày các tập hợp số này được SGV thể hiện rõ:

“Nắm vững các khái niệm khoảng, đoạn, biết thực hiện các phép toán tập hợp

trên chúng, biết dùng trục số để biểu diễn chúng là những yêu cầu bắt buộc với mỗi

học sinh. Điều đó tạo nên cơ sở để học sinh có kĩ năng giải bất phương trình, hệ

(tuyển) bất phương trình, xét dấu một biểu thức, xét dấu tam thức bậc hai…” [6,

tr.36].

Mục tiêu này cho chúng ta thấy rằng các tập hợp số nói riêng và lý thuyết tập

hợp nói chung có tác động đến nhiều lĩnh vực được đề cập sau này như: Bất phương

trình, hệ (tuyển) bất phương trình, xét dấu một biểu thức hay tam thức…

Cách trình bày song song giữa các tập hợp con của và minh họa của nó trên

và biểu diễn của nó trên trục trục số cho thấy mối liên hệ giữa tập hợp con của

số. Như vậy, các tác giả SGK đã chọn trình bày tập hợp theo lối “trực quan” bằng

cách minh họa các tập hợp này bằng biểu đồ Ven hay biểu diễn trên trục số.

Nhằm tránh các nghịch lý có thể phát sinh như đã phân tích ở chương 1, chúng

tôi đề xuất bổ sung những qui ước sau khi giảng dạy khái niệm tập hợp:

- Không có tập hợp của tất cả các tập hợp.

- Không có tập hợp nào là phần tử của chính nó.

- Một tập hợp E hoàn toàn xác định nếu với mỗi phần tử x bất kỳ, ta có thể

kiểm tra một cách khách quan x ∈ E hoặc x ∉ E.

Khi định nghĩa khái niệm phần bù của một tập, các tập được xét trong SGK

đều được quy ước là tập con của một tập E nào đó. Điều này không vi phạm quy

ước “Không có tập hợp của tất cả các tập hợp”. Thật vậy, với mọi tập A1, A2, …,

chứa tất cả các tập Ai. An, luôn tồn tại E = 

Phần bài tập

Trong phần này, chúng tôi khảo sát các kiểu nhiệm vụ có mặt trong sách Đại

số 10 cơ bản liên quan đến khái niệm tập hợp. Đó là hai kiểu nhiệm vụ dưới đây:

T1. Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến

bao hàm thức.

T2. Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số.

Với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi cố gắng chọn lựa một (hoặc nhiều) nhiệm

vụ tiêu biểu để minh họa. Lời giải của mỗi nhiệm vụ này đều được rút ra từ sách

Đại số 10 cơ bản và sách Bài tập Đại số 10 cơ bản. Từ những lời giải mong đợi

này, chúng tôi phát biểu kỹ thuật giải của mỗi kiểu nhiệm vụ đang xét.

Trước hết, chúng tôi xét một nhiệm vụ điển hình thuộc kiểu nhiệm vụ T1 là

bài 2 trang 12 SBT như sau:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của

các mệnh đề sau.

. a)

b) .

Lời giải trong SBT như sau:

Lời giải của sách bài tập giúp chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải của T1 như sau:

Bước 1: Biểu diễn các tập hợp đã cho trong giả thiết của mệnh đề bằng biểu

đồ Ven. Việc biểu diễn này phải tuân theo một số quy ước không được phát biểu

tường minh nhưng được thể hiện ngầm qua các ví dụ, lời giải của sách giáo khoa,

sách bài tập, giáo viên. Hai quy ước thường được huy động là:

- Quy ước về biểu diễn quan hệ bao hàm: A ⊂ B khi và chỉ khi miền biểu diễn

của A nằm trong miền biểu diễn của B.

- Quy ước về sự tương giao: Hai tập A, B bất kỳ cho trước thường được biểu

diễn bằng hai đường cong khép kín có miền chung sao cho miền chung này thật sự nhỏ hơn miền biểu diễn A và miền biểu diễn B17. Tương tự cho trường hợp n tập bất

kỳ (n ≥ 3).

Bước 2: Gạch chéo phần biểu diễn các tập hợp cần so sánh (theo quan hệ bao

hàm) trong kết luận của mệnh đề. Dựa vào quy ước về biểu diễn quan hệ bao hàm

để nhận xét về tính đúng sai của mệnh đề.

Hình 1 trích trong sách bài tập thể hiện rõ hai quy ước trên. Miền biểu diễn

của A nằm trong miền biểu diễn của B để thể hiện giả thiết A ⊂ B. A và C được biểu

diễn sao cho miền biểu diễn của chúng có phần chung nhưng phần chung này nhỏ

hơn hai miền ban đầu. Tương tự cho miền biểu diễn B và C.

B A

Tác động của quy ước về sự tương giao khiến sách bài tập không minh họa

bằng những trường hợp khác (có thể vi phạm quy ước), chẳng hạn minh họa sau:

B A

Minh họa này cho ta quan hệ A⊂ A ∩ B đúng khi A⊂B. Tuy nhiên theo qui

17 Một cách hình thức, phải biểu diễn A, B bằng biểu đồ Ven sao cho A ∩ B ≠ ∅, A ∩ B là tập con thật sự của A và B.

ước về sự tương giao ta sẽ có minh họa:

Đáp án được tìm thấy trong SGV là quan hệ này sai. Điều này cho thấy SGV

đã ngầm sử dụng qui tắc về sự tương giao này. Từ những phân tích trên, cho phép

chúng tôi đưa ra qui tắc sau:

Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề

liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường

hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề.

- tính chất c/ Thêm đó, trong chứng minh quan hệ

trang 41 SGV trình bày như sau:

“Tính chất thứ ba chứng minh như sau:

luôn đúng, vì là mệnh đề sai với mọi x. Tất Mệnh đề

nhiên, không thể trình bày phép chứng minh này cho học sinh.”

Lưu ý rằng trong SGK thời kỳ 1975-1990, tính chất này được chấp nhận thông

qua quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập bất kỳ. Việc SGV hiện hành chứng

minh tính chất này (thay vì quy ước) cho thấy các tác giả muốn sử dụng chân trị của

mệnh đề P ⇒ Q khi P sai. Tuy nhiên, sách giáo viên không giải thích vì sao “không

thể trình bày phép chứng minh này cho học sinh”. Do đó, khi xét tính đúng, sai của

mệnh đề liên quan đến bao hàm thức thì việc dùng biểu đồ Ven để minh họa đã

được SGV ngầm chấp nhận trong trường hợp này. SGV cũng không yêu cầu HS

đưa ra giải thích, mà chỉ dừng ở mức đưa ra đáp án. Điều này cho phép chúng tôi

khẳng định kiểu nhiệm vụ T1 đã tác động đến một kiểu nhiệm vụ khác mà chúng tôi

gọi kiểu nhiệm vụ T1’: Xét tính đúng, sai của mệnh đề liên quan bao hàm thức.

Nhiệm vụ điển hình cho kiểu nhiệm vụ này là bài 41 trang 18 SBT như sau:

Cho A, B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Xét xem trong các mệnh đề sau,

mệnh đề nào đúng.

Hai kiểu nhiệm vụ này cùng mục đích đánh giá các mệnh đề liên quan bao

hàm thức. Tuy nhiên, T1 lại chỉ rõ “dùng biểu đồ Ven” ngược lại T1’ thì không. Do

đó, việc sử dụng kĩ thuật của T1 để giải quyết T1’ là không thể tránh khỏi. Để

khẳng định cho nhận xét này, chúng tôi đề ra giả thuyết sau và sẽ kiểm chứng nó

trong chương 3:

Đối với bài toán xét tính đúng, sai của mệnh đề liên quan bao hàm thức, không

yêu cầu dùng biểu đồ Ven thì việc minh họa bằng biểu đồ này cũng được HS huy

động để tìm ra đáp án.

Bảng 2.1. Nhiệm vụ minh họa kiểu nhiệm vụ T1.

Nội dung a)

b) Đề bài Bài 15 trang 25 SGK Những quan hệ nào trong các quan hệ sau là đúng? c)

d) Đáp án a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai e) Đúng

b); c); d) a)

c) a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng d)

c) a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

Bài 41 trang 18 SBT Cho A, B là hai tập hợp khác rỗng phân biệt. Xét xem trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng. Câu 1, Đề kiểm tra số 1 cuối chương I trang 49 SGV Cho A, B là hai tập hợp khác rỗng. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau( không cần giải thích). ( 4 điểm) Câu 3, Đề kiểm tra số 2 cuối chương I trang 50 SGV Cho A, B, C là những tập hợp tùy ý. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau( không cần giải thích). ( 4 điểm) d)

Dưới đây, chúng tôi tiếp tục xét một nhiệm vụ điển hình của kiểu nhiệm vụ T2

(Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số) trong sách Đại số 10 cơ bản

[5, tr. 18].

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

b) 1. a)

c) d)

b) 2. a)

d) c)

b) 3. a)

d) c)

Kỹ thuật được sử dụng là: thực hiện các phép toán tập hợp trên các đối tượng

. là tập hợp con của

Công nghệ biện minh cho kỹ thuật này là:

và các phép toán tập hợp. - Các tập hợp con của tập hợp số thực

Bảng 2.2. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2

Kiểu nhệm vụ Kỹ thuật ưu tiên

T1 Trong SGK 5 Số lượng bài tập Trong Trong SGV SBT 8 4 Tổng 17

T2 Minh họa Ven Minh họa trục số 16 38 4

Cộng 58 75

Số lượng bài tập trong kiểu nhiệm vụ T2 (58 bài) trong tổng số 75 bài. Điều

này phù hợp với yêu cầu mà SGK đã đặt ra ngay từ đầu: “[…] Nắm vững các khái

niệm khoảng, đoạn, biết thực hiện các phép toán tập hợp trên chúng, biết dùng trục

số để biểu diễn chúng là những yêu cầu bắt buộc với mỗi học sinh.” [6, tr.36].

Kết luận về SGK Đại số 10 cơ bản

- Tập hợp được giảng dạy trong chương trình THPT với mục đích ôn tập và hệ

thống lại các kiến thức đã biết về tập hợp trước đó nhằm chuẩn bị cho việc học tập

các chương sau cũng như chương trình Toán THPT. Song song đó, các tác giả giới

thiệu cách trình bày các khái niệm liên quan tập hợp thông qua ngôn ngữ mệnh đề.

Việc sử dụng ngôn ngữ mệnh ở đây nhằm phát biểu chính xác các định nghĩa liên

quan tập hợp, nhưng tập hợp ở bậc THPT vẫn không thoát khỏi mô tả hình ảnh trực

quan của mình.

- Tập hợp trong chương trình THPT ảnh hưởng bởi các minh họa trực quan.

Do đó, các qui ước trong cách trình bày tập hợp ở THPT để tránh các nghịch lý là:

+ Một tập hợp được gọi là xác định nếu với một phần tử thì ta phải khách quan

kiểm tra được phần tử đó có thuộc tập hợp đó hay không?

+ Không có tập hợp của tất cả các tập hợp.

+ Không có tập hợp nào chứa phần tử là chính nó.

- Phần bài tập SGK đưa ra hai kiểu nhiệm vụ:

T1. Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến

bao hàm thức.

T2. Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số.

Bên cạnh đó, còn tồn tại kiểu nhiệm vụ T1’. Xét tính Đúng/ Sai của các bao

hàm thức tập hợp.

Qui tắc hợp đồng liên quan đến kiểu nhiệm vụ này là:

Đối với bài toán xét tính đúng/ sai của bao hàm thức tập hợp, học sinh

không có nhiệm vụ kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với các tập

hợp đã cho khi mà các bao hàm thức này đúng.

Đối với kiểu nhiệm vụ T2 thì số lượng bài tập (58/75) chiếm ưu thế hơn T1 và

kỹ thuật minh họa trục số được dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. Giải quyết

kiểu nhiệm vụ này tạo cơ sở cho việc giải bất phương trình, hệ (tuyển) bất phương

trình, xét dấu một biểu thức, xét dấu tam thức bậc hai…sau này.

2.2. Khảo sát chương trình Toán THPT ban cơ bản hiện hành

Trong chương trình Toán THPT, ngôn ngữ tập hợp được dùng để diễn đạt các

kiến thức Toán trong năm chủ đề sau:

- Hàm số và đồ thị.

- Phương trình và hệ phương trình.

- Đại số tổ hợp.

- Xác suất và thống kê.

- Hình học.

Chúng tôi tiến hành khảo sát trên từng chủ đề nhằm mục đích trả lời hai câu

hỏi sau: Trong chương trình Toán THPT, những khái niệm toán học nào được xây

dựng thông qua ngôn ngữ tập hợp? Với mỗi khái niệm, có những kiểu nhiệm vụ nào

được giải quyết nhờ ngôn ngữ tập hợp?

2.2.1. Hàm số và đồ thị

Hàm số đã được giảng dạy từ lớp 7 và ôn tập lại ở lớp 10 trong chương II sách

Đại số 10 cơ bản. Hàm số được xem là một phản ánh của khái niệm ánh xạ và được

định nghĩa nhờ ngôn ngữ tập hợp. Toán học các thời kì trước định nghĩa hàm số

Năm 1718, J. Becnuli đã đưa định nghĩa: Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải

tích gồm biến lượng đó và các đại lượng không đổi.

Năm 1755, Ơ le đã định nghĩa: Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho

sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ

nhất được gọi là hàm số của các đại lượng thứ hai.

Năm 1873, Đirichle đưa ra định nghĩa: y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương

ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y, còn sự tương ứng đó thiết lập như thế nào thì không quan

trọng [13, tr.87].

thông qua đại lượng biến thiên như:

Trải qua giai đoạn phát triển của nó, hàm số trong chương trình Toán THPT

được định nghĩa thông qua tập hợp nhưng vẫn không tránh khỏi yếu tố trực giác

như sau:

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của

thì ta có một hàm số. y thuộc tập số thực

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

[5, tr.32].

Yếu tố trực giác được nhắc đến ở đây chính là qui tắc ương ứng mỗi giá trị của

x ta được một và chỉ một giá trị của y đòi hỏi học sinh phải hình dung. Khái niệm

tập hợp được sử dụng trong định nghĩa này là tập hợp D được gọi là tập xác định

của hàm số. SGK đưa ra qui ước khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ

là tập hợp tất cả các số thực x tập xác định thì: Tập xác định của hàm số

có nghĩa. sao cho biểu thức

Liên quan đến khái niệm này, ta có kiểu nhiệm vụ sau:

T3: Tìm tập xác định của hàm số cho bằng công thức

Nhiệm vụ ở bài 2, SBT Đại số 10 cơ bản là minh họa cụ thể cho kiểu nhiệm vụ

này:

Bài 2

Tìm tập xác định của các hàm số sau

b) a)

Giải

Hai hàm số trên đều được cho bằng công thức. Theo qui ước ta có

là một phân thức nên mẫu thức , tức là a)

hay và . Vậy tập xác định của hàm số đã cho

. là

b) Hàm số chỉ xác định với những giá trị của x thõa mãn điều kiện

hay

Do đó tập xác định của hàm số đã cho là

Từ lời giải của nhiệm vụ trên, chúng tôi rút ra kĩ thuật để giải quyết kiểu

nhiệm vụ này là:

xác định. Bước 1: Tìm tất cả điều kiện của x để

Bước 2: Tìm x từ các điều kiện ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các phép toán tập hợp để tìm tập hợp các giá trị x ở bước 2.

Bước 4: Kết luận tập xác định của hàm số là tập hợp tìm được ở bước 3.

Công nghệ biện minh cho kĩ thuật trên là:

- Điều kiện xác định của các biểu thức đại số.

- Các phép biến đổi tương đương của phương trình và bất phương trình.

. - Các phép toán tập hợp và các tập hợp con của

Như vậy, tập hợp và các phép toán của nó là một công cụ dùng để giải quyết

kiểu nhiệm vụ này.

Đồ thị của hàm số được SGK định nghĩa như sau: “ Đồ thị của hàm số

xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng

. tọa độ với mọi

Trong chương trình toán THPT học sinh được làm quen với các loại đồ thị của

những hàm số sau:

là một đường thẳng song song hoặc trùng - Hàm hằng: Đồ thị hàm số

với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0;b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng

y=b.

là một đường thẳng - Hàm bậc nhất: Đồ thi hàm số

không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn

(nếu và đi qua hai điểm song song với đường thẳng

đồ thị hàm số - Hàm giá trị tuyệt đối: Trong nữa khoảng

trùng với đồ thị của hàm số . Trong nữa khoảng đồ thị của hàm số

trùng với đồ thị của hàm số .

là một đường - Hàm bậc hai: Đồ thị của hàm số

parabol có đỉnh là điểm có trục đối xứng là đường thẳng .

xuống dưới nếu Parabol này quay bề lõm lên trên nếu

, - Đối với các hàm số

và được SGK minh

họa bằng hình biểu diễn của đồ thị mà không được định nghĩa như các hàm số trước

đó.

Các kiểu nhiệm vụ được trình bày trong SGK:

T4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

T5 : Xác định tham số để đồ thị hàm số thõa mãn yêu cầu đề bài.

. T6 : Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

Trong các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đồ thị hàm số, chúng tôi không thấy sự

can thiệp của kiến thức tập hợp đề giả quyết kiểu nhiệm vụ này. Điều này chứng tỏ

rằng trong lĩnh vực đồ thị thì ngôn ngữ tập hợp chỉ có vai trò trình bày các kiến thức

toán học.

2.2.2. Phương trình và bất phương trình_hệ phương trình và hệ bất

phương trình

Đối với chủ đề này, vai trò của tập hợp được thể hiện trên hai khía cạnh:

Thứ nhất, tập hợp có vai trò là ngôn ngữ trình bày các kiến thức toán. Vai trò

này của tập hợp xuất hiện trong các phát biểu về tập nghiệm của SGK. Thông qua

ngôn ngữ tập hợp SGK làm rõ các thuật ngữ giải PT (BPT, HPT, HBPT) là đi tìm

tất cả các nghiệm của nó hay còn gọi là tập nghiệm. Nếu PT (BPT, HPT, HBPT) vô

nghiệm thì ta nói PT vô nghiệm (hoặc tập nghiệm của nó là rỗng). Trên cơ sở tập

nghiệm này, SGK định nghĩa hai PT (BPT, HPT, HBPT) được gọi là tương đương

khi chúng có cùng tập nghiệm.

Thứ hai, tập hợp và các phép toán của nó được sử dụng để giải quyết các kiểu

nhiệm vụ liên quan chủ đề này. SGK đã ghi nhận:

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của

các tập nghiệm [5, tr.81].

Đó là kiểu nhiệm vụ:

T7: Giải hệ bất phương trình.

Chúng tôi chọn nhiệm vụ ở ví dụ 1 SGK trang 82 minh họa cho kiểu nhiệm vụ

này.

Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình

Giải. Giải từng bất phương trình ta có

Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình này ta được

Tập nghiệm của

Giao của hai tập hợp trên là đoạn

hay còn có thể viết là Vậy tập nghiệm của hệ là

Từ lời giải của SGK giúp chúng tôi đưa ra kĩ thuật để giải quyết kiêu nhiệm vụ

này là:

Bước 1: Giải từng bất phương trình trong hệ ta được các tập nghiệm tương

ứng.

Bước 2: Biểu diễn các tập nghiệm trên trục số.

Bước 3: Lấy giao các tập nghiệm ở bước 2 ta được tập nghiệm của hệ.

Công nghệ biện minh cho kĩ thuật này là:

- Các phép biến đổi tương đương của BPT, kiến thức về hệ bất phương trình.

- Các phép toán tập hợp.

Nhận xét: Đối với chủ đề này thì tập hợp có vai trò trình bày các kiến thức về

phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. Bên cạnh

đó, các phép toán của tập hợp cũng là một công cụ trong kiểu nhiệm vụ này.

2.2.3. Đại số tổ hợp

Trong chủ đề này, tập hợp có mặt trong các định nghĩa với vai trò là ngôn ngữ

cấu thành nên các định nghĩa:

Định nghĩa hoán vị:

. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một

hoán vị của n phần tử đó.

Định nghĩa chỉnh hợp:

. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp

xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

đã cho.

Định nghĩa tổ hợp:

. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi Giả sử tập A có n phần tử (n

là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho [7, tr.47, 49, 51].

Các kiểu nhiệm vụ liên quan chủ đề này là:

T8: Xác định số cách chọn k phần tử từ n phần tử đã cho thõa yêu cầu bài

toán.

T9: Xác định số các số có n chữ số được lập từ k chữ số thõa yêu cầu bài toán.

Đối với kiểu nhiệm vụ T1, chúng tôi chọn nhiệm vụ ví dụ 4 trang 65 SBT Đại

số và giải tích 11 cơ bản:

Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu

cách phân công khác nhau.

Giải

Kết quả của sự phân công là một nhóm gồm ba bạn, tức là một tổ hợp chập 3

của 10 bạn. Vậy số cách phân công là:

Lời giải trên giúp chúng tôi xác định kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

Bước 1: Xác định công thức dựa vào định nghĩa.

Bước 2: Áp dụng công thức tìm đáp số.

Nhiệm vụ tiêu biểu cho T2 là: ví dụ 2 trang 65 SBT ĐS và GT 11.

Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác không và khác nhau

(đôi một) ?

Giải.

, trong đó với và Mỗi số cần tìm có dạng

Như vậy, có thể coi mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập 5 của 9 (chữ số).

Do đó, số các số cần tìm là

Chúng tôi xác định kĩ thuật của kiểu nhiệm vụ này như sau:

Bước 1: Gọi số cần tìm có dạng và tìm điều kiện ràng buộc với

. mỗi

Bước 2: Xác định công thức được áp dụng dựa vào định nghĩa.

Bảng 2.3. Thống kê bài tập của hai kiểu nhiệm vụ T8 và T9

Kiểu nhệm vụ Kỹ thuật ưu tiên

T8 T9 Trong SGK 9 5 Số lượng bài tập Trong Trong SGV SBT 0 24 2 2

Cộng Tổng 33 9 42

Trong tổng số 42 bài tập có 33 bài (tỉ lệ 78,57%) thuộc kiểu nhiệm vụ T: Xác

định số cách chọn k phần tử từ n phần tử đã cho thõa yêu cầu bài toán. Tuy nhiên kĩ

thuật của kiểu nhiệm vụ này lại không sử dụng công cụ tập hợp. Điều này cho

chúng tôi nhận xét rằng: Trong chủ đề này, tập hợp đóng vai trò là ngôn ngữ cấu

thành các khái niệm. Tập hợp và các phép toán của nó không được dùng giải quyết

các kiểu nhiệm vụ này. Nhận xét này hoàn toàn phù hợp với kết luận ở chương 1 mà

chúng tôi đã đưa ra: Lý thuyết tập hợp là một hệ thống biểu đạt giúp thể hiện các

đối tượng cơ bản và các mệnh đề toán học thành một khối nhất quán theo quan điểm

cấu trúc.

2.2.4. Xác suất và thống kê

Đối với chủ đề này chúng tôi tìm thấy khái niệm có sử dụng tập hợp như sau:

Không gian mẫu:

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian

mẫu của phép thử.

. Ví dụ 1. Gieo một đồng tiền. Đó là phép thử với không gian mẫu

Ở đây, S kí hiệu cho kết quả “Mặt sấp xuất hiện” và N kí hiệu cho kết quả “Mặt

ngửa xuất hiện” [7, tr.60].

Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập Tập

được gọi là biến cố chắc chắn.

Tập được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là (h.31).

Tập được gọi là hợp của các biến cố A và B.

Tập được gọi là giao của các biến cố A và B.

thì ta nói A và B xung khắc. Tập

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu chỉ có

một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của

biến cố A, kí hiệu P(A).

n(A) là số phần tử của A hay cũng là số kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn

là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Đây là bảng ngôn ngữ biến cố được trình bày trong SGK Đại số và giải

tích 11.

Bảng 2.4. Ngôn ngữ biến cố

Kí hiệu

Ngôn ngữ biến cố A là biến cố

A là biến cố không

A là biến cố chắc chắn

C là biến cố: “A hoặc B”

C là biến cố: “A và B”

A và B xung khắc

A và B đối nhau.

Bảng được chia thành hai cột. Cột 1 là các kí hiệu được sử dụng trong tập hợp.

Cột 2 là ngôn ngữ biến cố. Điều này cho thấy SGK đã ngầm thực hiện bước chuyển

đổi ngôn ngữ từ kí hiệu tập hợp sang ngôn ngữ biến cố. Ngôn ngữ tập hợp có vai trò

ngôn ngữ cấu thành và hình thành ngôn ngữ biến cố.

Kiểu nhiệm vụ trong chủ đề này là:

T10: Tính xác suất của biến cố.

Nhiệm vụ tiêu biểu cho kiểu nhiệm vụ này là nhiệm vụ ở ví dụ 6 SGK Đại số

và Giải tích 11 cơ bản trang 70.

Ví dụ 6. Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một

quả. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A: “Nhận được quả cầu ghi số chẵn”;

b) B: “Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3;

d) C: “Nhận được quẩ cầu ghi số chia hết cho 3;

gồm 20 kết quả đồng Giải. Không gian mẫu được mô tả là

. khả năng,

nên a)

Từ đó

nên c) Vì

, nên là biến cố: “Nhận được quả cầu ghi số d) Vì

, ta có và chia hết cho 6”. Do đó, C là biến cố đối của biến cố

Từ lời giải trên chúng tôi rút ra kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này là:

. Bước 1: Tìm số phần tử của không gian mẫu

. Bước 2: Tìm số phần tử của biến cố

. Bước 3: Áp dụng công thức xác suất

Sau khi SGK ngầm chuyển đổi từ kí hiệu tập hợp sang ngôn ngữ biến cố thì

việc sử dụng các kí hiệu này giúp ngôn ngữ biến cố rõ ràng hơn. Điều này cho thấy

trong chủ đề này, tập hợp có vai trò biểu đạt giúp thể hiện các đối tượng cơ bản của

toán học như trong chủ đề này là ngôn ngữ biến cố.

2.2.5. Hình học

Trong chủ đề này, chúng tôi chú trọng các kiểu nhiệm vụ có sự xuất hiện tập

hợp hay ngôn ngữ tập hợp. Đó là hai kiểu nhiệm vụ sau:

T11: Tìm tập hợp (quĩ tích) các điểm thõa yêu cầu bài toán.

T12: Chứng minh tập hợp (quĩ tích) các điểm thõa yêu cầu bài toán là một

đường hoặc hình trong hình học.

Bài 3 trang 93 SGK Hình học 10 cơ bản là một nhiệm vụ tiêu biểu cho kiểu

nhiệm vụ T1.

3. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng

và

Giải

Theo đề bài

Ta có: cách đều và

Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng và là đường thẳng

có phương trình:

Nhiêm vụ bài 7 trang 93 SGK Hình học 10 cơ bản tiêu biểu cho T2:

có tâm và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng 7. Cho đường tròn

tạo với nhau một góc tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ được hai tiếp tuyến với

là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm , bán kính và có

phương trình:

Chúng tôi chỉ ra hai kiểu nhiệm vụ này trong chủ đề hình học nhằm cho thấy

sự xuất hiện của ngôn ngữ mệnh đề trong bài toán tìm quĩ tích và chứng minh quĩ

tích. Do đó, chúng tôi sẽ không đưa ra kĩ thuật dùng để giải quyết hai kiểu nhiệm vụ

này. Bên cạnh đó, tập hợp và các phép toán của tập hợp không dùng để giải quyết

các kiểu nhiệm vụ này.

Nhận xét về chương trình Toán THPT.

Ngôn ngữ tập hợp xuất hiện trong năm chủ đề của chương trình Toán THPT.

Đó là:

- Hàm số và đồ thị.

- Phương trình và hệ phương trình.

- Đại số tổ hợp.

- Xác suất và thống kê.

- Hình học.

Với mỗi chủ đề, tập hợp và các phép toán của tập hợp có vai trò nhất định.

Trong đó, ngôn ngữ tập hợp là ngôn ngữ cấu thành các định nghĩa và khái niệm

toán học. Bên cạnh đó, các phép toán của tập hợp giúp giải quyết các kiểu nhiệm vụ

liên quan phương trình và hệ phương trình.

Kết luận chương 2

Từ những phân tích của chương giúp chúng tôi trả lời hai nhóm câu hỏi đặt ra

ngay từ đầu chương:

- Khái niệm tập hợp được đưa vào SGK với mục đích: ôn tập và hệ thống lại

các kiến thức về tập hợp HS đã biết trước đây. Mặc dù ngôn ngữ mệnh đề được

SGV xem là một điểm mới so với chương trình Toán lớp 6, công cụ khảo sát các

bao hàm thức trong SGK và SBT chỉ dừng lại ở biểu đồ Ven (với một số quy ước

ngầm ẩn) thay vì sử dụng các chứng minh chặt chẽ bằng mệnh đề có huy động

lượng tử phổ dụng (∀) và lượng tử tồn tại (∃).

- Nhằm tránh các nghịch lý có thể phát sinh như đã phân tích ở chương 1,

chúng tôi đề xuất bổ sung những qui ước sau khi giảng dạy khái niệm tập hợp:

Không có tập hợp của tất cả các tập hợp.

Không có tập hợp nào là phần tử của chính nó.

Một tập hợp E hoàn toàn xác định nếu với mỗi phần tử x bất kỳ, ta có thể kiểm

tra một cách khách quan x ∈ E hoặc x ∉ E.

Khi định nghĩa khái niệm phần bù của một tập, các tập được xét trong SGK

đều được quy ước là tập con của một tập E nào đó. Điều này không vi phạm quy

ước “Không có tập hợp của tất cả các tập hợp”. Thật vậy, với mọi tập A1, A2, …,

chứa tất cả các tập Ai. An, luôn tồn tại E = 

- Hai kiểu nhiệm vụ liên quan khái niệm tập hợp có mặt trong sách Đại số 10

cơ bản là:

T1. Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến

bao hàm thức.

T2. Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số.

Chúng tôi đưa ra qui tắc hợp đồng sau và sẽ kiểm chứng trong chương 3 là:

Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề

liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường

hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề.

- Trong chương trình Toán THPT, ngôn ngữ tập hợp được dùng để diễn đạt

các kiến thức Toán trong năm chủ đề:

Hàm số và đồ thị.

Phương trình và hệ phương trình.

Đại số tổ hợp.

Xác suất và thống kê.

Hình học.

Chương 3. ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG

Chương này chúng tôi đối chiếu các kết quả đã phân tích trong chương 1 và

chương 2. Từ đó, chúng tôi xác định độ lêch của chuyển hóa sư phạm đối với khái

niệm tập hợp và sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp.

Cùng với việc kiểm chứng qui tắc hợp đồng giúp chúng tôi trả lời câu hỏi nghiên

cứu đã đặt ra:

Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau

như thế nào?

Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, SGK đã cung cấp

đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?

3.1. Độ lệch của chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp.

Chúng tôi trình bày lại các kết quả đã được phân tích trong chương 1 và

chương 2.

3.1.1. Kết quả chương 1.

Các kết quả nghiên cứu được trong chương 1 như sau:

- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo

sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần

quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Vì khái niệm tập hợp không được định nghĩa, quá trình hình thành và phát

triển lý thuyết tập hợp làm nảy sinh hai nhóm nghịch lý: các nghịch lý liên quan đến

ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc

trưng của một tập.

- Việc giải quyết các nghịch lý khiến các nhà toán học phải tiên đề hóa khái

niệm tập hợp. Trong số các hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-

Bernays-Gödel và hệ tiên đề Russell, hệ tiên đề ZF được công nhận là sự tiên đề

hóa phù hợp nhất với lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Ngày nay, lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của

các ngành toán học.

3.1.2 Kết quả chương 2.

Các kết quả phân tích trong chương 2 là:

- Khái niệm tập hợp được đưa vào SGK với mục đích: ôn tập và hệ thống lại

các kiến thức về tập hợp HS đã biết trước đây. Mặc dù ngôn ngữ mệnh đề được

SGV xem là một điểm mới so với chương trình Toán lớp 6, công cụ khảo sát các

bao hàm thức trong SGK và SBT chỉ dừng lại ở biểu đồ Ven (với một số quy ước

ngầm ẩn) thay vì sử dụng các chứng minh chặt chẽ bằng mệnh đề có huy động

lượng tử phổ dụng (∀) và lượng tử tồn tại (∃).

- Nhằm tránh các nghịch lý có thể phát sinh như đã phân tích ở chương 1,

chúng tôi đề xuất bổ sung những qui ước sau khi giảng dạy khái niệm tập hợp:

Không có tập hợp của tất cả các tập hợp.

Không có tập hợp nào là phần tử của chính nó.

Một tập hợp E hoàn toàn xác định nếu với mỗi phần tử x bất kỳ, ta có thể kiểm

tra một cách khách quan x ∈ E hoặc x ∉ E.

Khi định nghĩa khái niệm phần bù của một tập, các tập được xét trong SGK

đều được quy ước là tập con của một tập E nào đó. Điều này không vi phạm quy

ước “Không có tập hợp của tất cả các tập hợp”. Thật vậy, với mọi tập A1, A2, …,

chứa tất cả các tập Ai. An, luôn tồn tại E = 

- Trong chương trình Toán THPT, ngôn ngữ tập hợp được dùng để diễn đạt

các kiến thức Toán trong năm chủ đề:

Hàm số và đồ thị.

Phương trình và hệ phương trình.

Đại số tổ hợp.

Xác suất và thống kê.

Hình học.

3.1.3. Chuyển hóa sư phạm đối với khái niệm tập hợp và sự nối khớp giữa

hai vai trò đối tượng và công cụ của tập hợp.

Kết quả nghiên cứu trong hai chương cho thấy: Tập hợp là khái niệm cơ bản

của Toán học và không được định nghĩa từ giai đoạn hình thành trong lịch sử (lý

thuyết tập hợp của Cantor) đến cách giới thiệu trong SGK. Việc không định nghĩa

này đã dẫn đến sự xuất hiện các nghịch lý trong quá trình hình thành và phát triển

của lí thuyết tập hợp. Mặc dù vậy, SGK không đưa ra tường minh hoặc ngầm ẩn

những qui ước giúp HS tránh các nghịch lý. Do đó, chúng tôi đề xuất những qui ước

bổ sung trong quá trình giảng dạy tập hợp.

Lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của các ngành

toán học. Trong phạm vi chương trình Toán THPT, khái niệm tập hợp và các phép

toán của nó xuất hiện trong năm chủ đề: Hàm số và đồ thị, Phương trình và hệ

phương trình, Đại số tổ hợp, Xác suất và thống kê, Hình học và 12 kiểu nhiệm vụ:

T1. Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến

bao hàm thức.

T2. Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số.

. T3: Tìm tập xác định của hàm số cho bằng công thức

T4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

T5 : Xác định tham số để đồ thị hàm số thõa mãn yêu cầu đề bài.

. T6 : Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình

T7: Giải hệ bất phương trình.

T8: Xác định số cách chọn k phần tử từ n phần tử đã cho thõa yêu cầu bài

toán.

T9: Xác định số các số có n chữ số được lập từ k chữ số thõa yêu cầu bài toán.

T10: Tính xác suất của biến cố.

T11: Tìm tập hợp (quĩ tích) các điểm thõa yêu cầu bài toán.

T12: Chứng minh tập hợp (quĩ tích) các điểm thõa yêu cầu bài toán là một

đường hoặc hình trong hình học.

Công cụ khảo sát các bao hàm thức trong SGK và SBT chỉ dừng lại ở biểu đồ

Ven (với một số quy ước ngầm ẩn) thay vì sử dụng các chứng minh chặt chẽ bằng

mệnh đề có huy động lượng tử phổ dụng (∀) và lượng tử tồn tại (∃). Điều này dẫn

đến hệ lụy khi giải quyết các nhiệm vụ mà chúng tôi phát biểu trong qui tắc hợp

đồng sau:

Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề

liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường

hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề.

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm kiểm chứng qui tắc trên nhằm cho thấy việc

SGK chưa cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis.

3.2. Nghiên cứu thực nghiệm

3.2.1 Đối tượng thực nghiệm

Chúng tôi chọn đối tượng tham gia thực nghiệm là HS khối 10 đã học xong

chương I :Mệnh đề - Tập hợp trong SGK Đại số 10 cơ bản. Sở dĩ chúng tôi chọn đối

tượng này là vì các kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi nghiên cứu trong luận văn có liên

quan trực tiếp đến học sinh lớp 10. Hơn nữa, các kiến thức đã học ở các lớp dưới và

các kiến thức vừa mới học xong trong chương I này sẽ giúp học sinh có thể giải

quyết các câu hỏi của thực nghiệm một cách đầy đủ và trung thực nhất nhằm kiểm

chứng được qui tắc hợp đồng :

Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề

liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường

hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề.

3.2.2 Hình thức thực nghiệm

- Học sinh được phát phiếu thực nghiệm trên đó có in đề bài toán, sau đó sẽ

được thu lại để phân tích.

- Học sinh sẽ phải làm việc cá nhân. Tổng thời gian thực nghiệm là 20 phút

gồm 3 bài toán nhằm đảm bảo cho học sinh có thể trả lời hết các câu hỏi. Các lớp

được chọn thực nghiệm đa số là những học sinh có lực học khá trong một trường.

3.2.3 Phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các bài toán thực

nghiệm

3.2.3.1. Xây dựng các bài toán thực nghiệm

Các biến dạy học (biến didactic) và sự lựa chọn giá trị của biến.

Nhằm mục đích kiểm chứng qui tắc: Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để

minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức, học sinh không

có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã

cho trong mệnh đề. Chúng tôi chọn các bài toán thực nghiệm trên cơ sở lựa chọn

các giá trị của biến didactic (biến dạy học) sau đây:

V1. Tính Đúng – Sai của mệnh đề được minh họa.

Hai giá trị của biến là:

V1a. Mệnh đề đúng.

V1b. Mệnh đề sai.

Chúng tôi thực nghiệm đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính

đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức. Do đó, việc chọn lựa hai giá trị

của biến giúp chúng tôi khảo sát tất cả các khả năng đối với mệnh đề. Tùy theo bài

toán thực nghiệm mà chúng tôi chọn giá trị V1a hay V1b nhằm kiểm chứng giả

thuyết nghiên cứu đã nêu.

V2. Minh hoạ bằng biểu đồ Ven trong bài làm cho trước.

Hai giá trị của biến là :

V2a. Minh hoạ các tập hợp có giao khác rỗng.

V2b. Minh họa các tập hợp có giao là rỗng.

Với hai giá trị này, chúng tôi mong muốn thấy được ứng xử của HS trong

đánh giá mệnh đề Đúng hay Sai. Đối với giá trị biến V2a, chúng tôi xây dựng bài

toán thực nghiệm với bài làm cho trước đúng. Đối với giá trị biến V2b, bài làm cho

trước sai. Trên cơ sở trả lời của HS, chúng tôi phân tích và rút ra nhận xét.

V3. Sự chênh lệch giữa số lượng minh họa được cho trong đề bài với số

lượng tập hợp.

Chúng tôi chọn ba giá trị của biến sau:

V3a. Nhiều hơn.

V3b. Ít hơn.

V3c. Bằng nhau.

V4. Số lượng các phép toán tập hợp có mặt trong bao hàm thức tập hợp

Chúng tôi chọn ba giá trị của biến sau:

V4a. Một phép toán.

V4b. Hai phép toán.

V5c. Trên hai phép toán.

3.2.3.2. Nội dung các bài toán thực nghiệm

Bài toán thực nghiệm gồm 3 bài được chia làm 2 phiếu như sau:

PHIẾU SỐ 1

Bài 1: Cho các hình minh họa sau:

Hình 1 Hình 2 Hình 3

Hình 4 Hình 5 Hình 6

Câu hỏi dành cho các em :

Hãy chọn các hình minh họa tương ứng với các tập hợp được cho bên dưới

bằng cách điền số thích hợp vào dấu “…”:

minh họa bởi hình …

PHIẾU SỐ 2 Bài 2: Dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề:

Sau đây là bài làm của hai bạn A và B.

Bài làm của bạn A Bài làm của bạn B

Xét minh họa: Xét minh họa:

C

Ta có:

và

. Nên Ta thấy rằng : nên mệnh

là mệnh đề Vậy đề này sai.

đúng.

Câu hỏi dành cho các em :

Em hãy nêu ý kiến của mình (bằng cách đánh dấu X vào cột Chọn hoặc cột

Không chọn ở bảng sau). Sau đó giải thích vì sao em chọn như vậy.

Nếu được, em có thể đề xuất cách giải khác của mình.

Bài làm của hai bạn Chọn Không chọn

Giải thích:

Cách giải khác:

Bài 3: Hãy dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề

3.2.3.3. Phân tích tiên nghiệm và hậu nghiệm

Phân tích tiên nghiệm Bài 1

Mục đích bài này nhằm chuẩn bị cho bài 2 và 3. Bên cạnh đó, dựa trên câu trả

lời của HS chúng tôi đánh giá mức độ HS có thể tham gia thực nghiệm bài 2 và 3.

Hình thức

Phiếu thực nghiệm được đánh số 1 và phát cho HS làm việc cá nhân.

Tổ chức thực nghiệm

Phát phiếu số 1cho từng học sinh làm bài trong khoảng thời gian 5 phút và sẽ

thu lại để phân tích.

Bài toán như sau

Bài 1: Cho các hình minh họa sau:

Hình 1 Hình 2 Hình 3

Hình 4 Hình 5 Hình 6

Câu hỏi dành cho các em :

Hãy chọn các hình minh họa tương ứng với các tập hợp được cho bên dưới

bằng cách điền số thích hợp vào dấu “…”:

minh họa bởi hình …

Bảng 3.1. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 1

V3 V4 Các biến

V3a V4a Giá trị được chọn

CÁC CHIẾN LƯỢC CÓ THỂ

SSL. Chiến lược “suy luận”

HS suy luận từ định nghĩa của các phép toán đã học để chọn các minh họa

tương ứng. Đó là các phép toán sau:

Tập hợp con.

Giao của hai tập hợp.

Hợp của hai tập hợp.

Hiệu của hai tập hợp.

Skhác. Chiến lược « khác »

Chúng tôi đưa ra chiến lược khác đối với những bài làm HS làm sai. Vì những

minh họa này đều được SGK chuẩn bị khi giới thiệu tập hợp trong chương trình.

NHỮNG CÁI CÓ THỂ QUAN SÁT ĐƯỢC

Đối với chiến lược SSL

HS có thể điền đúng tất cả các chỗ trống trong bài.

Đối với chiến lược Skhác

HS điền sai hoặc thiếu các chỗ trống trong bài.

Phân tích hậu nghiệm bài 1

Thực nghiệm này được tiến hành ở 3 lớp 10 gồm 123 học sinh gồm 3 lớp 10

trường THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Thời

điểm chúng tôi thực nghiệm là học sinh lớp 10 đã học xong chương I Mệnh đề -

Tâp hợp. Lúc này theo chúng tôi học sinh đã trang bị đầy đủ các kiến thức liên quan

để làm bài tập thực nghiệm.

Kết quả thực nghiệm

Bảng 3.2. Kết quả về số lượng học sinh chọn chiến lược giải

Chiến lược Số lượng HS

Tỉ lệ 83,74%

16,26% Skhác. Chiến lược khác

SSL. Chiến lược “suy luận” 103 HS dùng SSL đều đưa ra đáp án Đúng 20 HS dùng và đưa ra đáp án sai hoặc thiếu (có 4 bài để trống). 123 100% Tổng

Từ bảng trên ta thấy học sinh sử dụng chiến lược “suy luận” và đưa ra đáp án

Đúng chiếm tỉ lệ rất lớn 83,74%, chiến lược “khác” và đáp án sai hoặc thiếu rất thấp

(20/123 khoảng 16,26% trong đó 4 bài để trống). Điều này chứng tỏ đối với bài toán

minh họa tập hợp bằng biểu đồ Ven, HS đủ kiến thức để giải quyết bài toán này và

tiếp tục tham gia thực nghiệm phiếu số 2.

Một số câu trả lời đặc trưng của học sinh:

HS1:

HS2:

HS3:

Phân tích tiên nghiệm Bài 2

Mục đích:

Mục đích của thực nghiệm này là: Thăm dò ý kiến của HS về nhận định một

bao hàm thức tập hợp có thể có nhiều minh họa khác nhau. Nếu dựa trên một minh

họa cụ thể nào đó mà kết luận bao hàm thức Đúng thì có được chấp nhận hay

không?

Đối tượng:

Cũng như thực nghiệm trên đối tượng mà chúng tôi chọn là học sinh lớp 10 đã

tham gia thực nghiệm phiếu số 1.

Hình thức:

Phiếu thực nghiệm được cho dưới dạng câu hỏi gồm 2 bài.

Tổ chức thực nghiệm

Phát phiếu số 2 cho từng học sinh làm bài trong khoảng thời gian 15 phút và

sẽ thu lại để phân tích.

Bài toán như sau

Bài 2: Dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề:

Sau đây là bài làm của hai bạn A và B.

Bài làm của bạn A Bài làm của bạn B

Xét minh họa:

Ta có:

và

. Nên Xét minh họa: Ta thấy rằng : nên mệnh là mệnh đề đề này sai. Vậy đúng.

Câu hỏi dành cho các em :

Em hãy nêu ý kiến của mình (bằng cách đánh dấu X vào cột Chọn hoặc cột

Không chọn ở bảng sau). Sau đó giải thích vì sao em chọn như vậy.

Nếu được, em có thể đề xuất cách giải khác của mình.

Bài làm của hai bạn Chọn Không chọn

A B

Giải thích:

Cách giải khác:

Bài 3: Hãy dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề

Các giá trị của biến trong bài 2:

Bảng 3.3. Bảng lựa chọn các giá trị của các biến dạy học trong bài 2.

Biến dạy học V2 V4 V1

Giá trị được chọn V4b V1b V2a V2b

CÁC CHIẾN LƯỢC CÓ THỂ

Srỗng. Chiến lược minh họa các tập có giao là rỗng (chọn theo bạn A).

, nghĩa là HS minh họa tập hợp C sao cho

Dẫn đến mệnh đề này đúng trong trường hợp

Skhác rỗng. Chiến lược minh họa các tập có giao khác rỗng (chọn theo bạn B).

, nghĩa là HS minh họa tập hợp C sao cho

là một tập hợp khác tập C và . Dẫn đến mệnh đề này sai

. trong trường hợp

Skhác1. Chiến lược khác 1 (chọn cả hai bạn)

Học sinh sẽ không dùng một trong 2 chiến lược trên mà chọn một cách lý luận

khác. Chẳng hạn, học sinh có thể cho rằng cả hai bạn đều có minh họa đúng. Do đó,

HS đưa ra kết luận cả hai bạn đều đúng hoặc chưa thể kết luận tính Đúng/ Sai của

mệnh đề.

Skhác2. Chiến lược khác 2 (không chọn cả hai bạn)

Những bài làm thuộc nhóm chiến lược này là những bài làm không chọn cả

hai bạn hoặc bỏ trống.

NHỮNG CÁI CÓ THỂ QUAN SÁT ĐƯỢC

Đối với chiến lược Srỗng

Bạn A đúng vì đề không ràng buộc nào với ba tập hợp A, B, C nên một cách

tổng quát ta minh họa tập A và C, B và C là những tập rời nhau nên

, nghĩa là Dẫn đến mệnh đề này

đúng.

Đối với chiến lược Skhác rỗng

Bạn B đúng vì mệnh đề này sai khi ta minh họa bao hàm thức

sai thì ta được phép kết luận mệnh đề này sai.

Bạn B minh họa một trường hợp cụ thể khi mệnh đề này sai nên ta kết luận

mệnh đề sai.

Đối với chiến lược Skhác1

HS cho rằng minh họa của hai bạn đều đúng và chọn cả hai bạn.

Đối với chiến lược Skhác2

Hs không nhận định được bài làm nào Đúng hoặc Sai nên không chọn bài nào

cả. Trường hợp HS bỏ trống cũng được chúng tôi xếp và nhóm chiến lược này.

Phân tích hậu nghiệm bài 2

Thực nghiệm này được tiến hành ở 3 lớp 10 gồm 123 học sinh gồm 3 lớp 10

trường THCS – THPT Lương Thế Vinh, quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Thời

điểm chúng tôi thực nghiệm là học sinh lớp 10 đã học xong chương I Mệnh đề -

Tâp hợp. Lúc này theo chúng tôi học sinh đã trang bị đầy đủ các kiến thức liên quan

để làm bài tập thực nghiệm. HS đã làm phiếu số 1.

Kết quả thực nghiệm

Bảng 3.4. Số lượng học sinh chọn theo 2 bạn và các giải thích thường gặp

Ý kiến của Số HS chọn Các giải thích thường gặp ở học sinh

các bạn

A 27 - Vì bạn A giải thích đúng, bạn B giải thích sai.

(21,95%) nên A đúng -

B 31 ra tập lớn còn ra tập nhỏ nên B đúng. -

(25,2%) - Bạn B đúng vì có minh họa sai nên mệnh đề sai

- Bạn B làm đúng

- Vì \không phải trong mọi trường hợp A đều

đúng. Cụ thể B đã chỉ ra cái sai của A nên B đúng.

nên B đúng -

Cả hai - Vì đề không nêu rõ mối quan hệ giữa các tập A, 53

(43,09%) B, C nên cả hai đều đúng.

- Cả hai bạn đều đúng.

Tổng 123 Trong đó có 12 bài (9,76%) không chọn bài làm

(100%) của bạn nào.

Qua bảng trên ta thấy :

Có 53/123 (43,09%) học sinh đồng ý bài làm của hai bạn. Điều này cho thấy,

HS nhận định được một bao hàm thức tập hợp có thể có nhiều minh họa khác nhau.

Nhưng nếu dựa trên một minh họa cụ thể thì vẫn có thể kết luận tính Đúng/ Sai của

bao hàm thức này.

Một số bài làm đặc trưng của HS

HS4:

HS5:

HS6:

HS7:

HS8:

HS9:

HS10:

HS11:

HS12:

HS13:

HS14:

Phân tích tiên nghiệm Bài 3

Mục đích:

Mục đích của thực nghiệm này là kiểm chứng qui tắc hợp đồng: Đối với bài

toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao

hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường hợp có thể xảy ra

đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề.

Đối tượng:

Cũng như thực nghiệm trên đối tượng mà chúng tôi chọn là học sinh lớp 10 đã

tham gia thực nghiệm phiếu số 1.

Hình thức:

Phát phiếu thực nghiệm số 2 gồm 2 bài. HS đã làm xong bài 2 mới bắt đầu làm

bài 3.

Tổ chức thực nghiệm

Phát phiếu số 2 cho từng học sinh làm bài trong khoảng thời gian 15 phút và

sẽ thu lại để phân tích.

Bài toán như sau

Bài 3: Hãy dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề

Bảng 3.5. Bảng chọn các giá trị của các biến ở Bài 3

V1 V4 Các biến

V1a V4b Giá trị được chọn

CÁC CHIẾN LƯỢC CÓ THỂ

Srỗng. Chiến lược minh họa các tập có giao là rỗng

). Từ đó, minh họa HS minh họa hai tập A và B rời nhau (nghĩa là

các tập hợp và đánh giá mệnh đề đúng.

Skhác rỗng. Chiến lược minh họa các tập có giao khác rỗng

HS minh họa hai tập A và B có giao khác rỗng. Từ đó, minh họa các tập hợp

và đánh giá mệnh đề đúng.

HS có thể minh họa tập A và B có quan hệ con với nhau (nghĩa là

STH. Chiến lược minh họa “tổng hợp”

HS sử dụng nhiều minh họa khác nhau đối với bao hàm thức để đánh giá tính

Đúng/ Sai của bao hàm thức.

Skhác. Chiến lược khác

HS có minh họa sai hoặc không minh họa được chúng tôi xếp vào chiến lược

này.

NHỮNG CÁI CÓ THỂ QUAN SÁT ĐƯỢC

Đối với chiến lược Srỗng

HS minh họa như sau:

Kết luận: Mệnh đề đúng.

Đối với chiến lược Skhác rỗng

HS minh họa như sau:

Hoặc

Kết luận: Mệnh đề đúng.

Đối với chiến lược minh họa “tổng hợp”

HS sử dụng nhiều minh họa khác nhau đối với bao hàm thức để đánh giá tính

Đúng/ Sai của bao hàm thức. Bao gồm cả ba minh họa trong hai chiến lược Srỗng và

Skhác rỗng.

Skhác. Chiến lược khác

HS có minh họa sai hoặc không minh họa được chúng tôi xếp vào chiến lược

này.

Phân tích hậu nghiệm bài 3

Sau khi HS làm xong bài 2 thì bắt đầu làm bài 3.

Kết quả thực nghiệm

Bảng 3.6. Thống kê số lượng học sinh chọn các chiến lược giải.

Tổng Srỗng Skhác rỗng STH Skhác

Chiến lược Kết quả

Số lượng Đ S Đ S Đ S Không xác 111 định Đ/ S

69 7 68,47% 5 1 5,41% 15 13,51% 100%

9 5 12,61% Tỉ lệ Qua bảng trên ta thấy :

Với 76/111 (68,47%) học sinh dùng chiến lược Skhác rỗng , trong đó có 69/76 bài

làm đưa ra nhận định mệnh đề này Đúng. Bên cạnh đó, kết quả thực nghiệm chỉ có

6/111 HS sử dụng chiến lược STH giải quyết bài toán này. Kết quả này đã giúp

chúng tôi kiểm chúng qui tắc: Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính

đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ

minh họa tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh

đề.

Một số câu trả lời đặc trưng của học sinh:

HS15:

HS16:

HS17:

HS18:

HS19:

HS20:

HS21:

HS22:

HS23:

Kết luận chương 3

Kết quả đối chiếu giữa chương 1 và chương 2 cho thấy: Tập hợp là khái niệm

cơ bản của Toán học và không được định nghĩa từ giai đoạn hình thành trong lịch

sử (lý thuyết tập hợp của Cantor) đến cách giới thiệu trong SGK. Việc không định

nghĩa này đã dẫn đến sự xuất hiện các nghịch lý trong quá trình hình thành và phát

triển của lí thuyết tập hợp. Mặc dù vậy, SGK không đưa ra tường minh hoặc ngầm

ẩn những qui ước giúp HS tránh các nghịch lý. Do đó, chúng tôi đề xuất những qui

ước bổ sung trong quá trình giảng dạy tập hợp.

Lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của các ngành

toán học. Trong phạm vi chương trình Toán THPT, khái niệm tập hợp và các phép

toán của nó xuất hiện trong năm chủ đề và 12 kiểu nhiệm vụ.

Công cụ khảo sát các bao hàm thức trong SGK và SBT chỉ dừng lại ở biểu đồ

Ven (với một số quy ước ngầm ẩn) thay vì sử dụng các chứng minh chặt chẽ bằng

mệnh đề có huy động lượng tử phổ dụng (∀) và lượng tử tồn tại (∃). Điều này dẫn

đến hệ lụy khi giải quyết các nhiệm vụ mà chúng tôi phát biểu trong qui tắc hợp

đồng sau:

Đối với bài toán dùng biểu đồ Ven để minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề

liên quan đến bao hàm thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường

hợp có thể xảy ra đối với các tập hợp đã cho trong mệnh đề.

Sau khi tiến hành thực nghiệm trên 123 HS với thời gian làm bài 20 phút được

chia thành hai phiếu, chúng tôi đã kiểm chứng được tính hợp thức của qui tắc trên

cho thấy SGK chưa cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis trong bài

toán “Dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề liên quan bao hàm

thức tập hợp”.

KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu, luận văn đã trả lời được hai câu hỏi:

Q1: Đối với khái niệm tập hợp, tri thức bác học và tri thức cần dạy lệch nhau

như thế nào?

Q2: Đối với các kiểu nhiệm vụ có sự can thiệp của tập hợp, sách giáo khoa đã

cung cấp đủ khối logos để phục vụ cho khối praxis chưa?

- Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi lượng giác đưa Cantor đến bài toán khảo

sát, so sánh và phân loại lực lượng các tập vô hạn mà lời giải trở thành một phần

quan trọng trong lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Vì khái niệm tập hợp không được định nghĩa, quá trình hình thành và phát

triển lý thuyết tập hợp làm nảy sinh hai nhóm nghịch lý: các nghịch lý liên quan đến

ngôn ngữ chưa được hình thức hóa và các nghịch lý liên quan đến tính chất đặc

trưng của một tập.

- Việc giải quyết các nghịch lý khiến các nhà toán học phải tiên đề hóa khái

niệm tập hợp. Trong số các hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, hệ tiên đề von Neumann-

Bernays-Gödel và hệ tiên đề Russell, hệ tiên đề ZF được công nhận là sự tiên đề

hóa phù hợp nhất với lý thuyết tập hợp của Cantor.

- Khái niệm tập hợp được đưa vào SGK với mục đích: ôn tập và hệ thống lại

các kiến thức về tập hợp HS đã biết trước đây. Mặc dù ngôn ngữ mệnh đề được

SGV xem là một điểm mới so với chương trình Toán lớp 6, công cụ khảo sát các

bao hàm thức trong SGK và SBT chỉ dừng lại ở biểu đồ Ven (với một số quy ước

ngầm ẩn) thay vì sử dụng các chứng minh chặt chẽ bằng mệnh đề có huy động

lượng tử phổ dụng (∀) và lượng tử tồn tại (∃).

- Tập hợp là khái niệm cơ bản của Toán học và không được định nghĩa từ giai

đoạn hình thành trong lịch sử (lý thuyết tập hợp của Cantor) đến cách giới thiệu

trong SGK. Việc không định nghĩa này đã dẫn đến sự xuất hiện các nghịch lý trong

quá trình hình thành và phát triển của lí thuyết tập hợp. Mặc dù vậy, SGK không

đưa ra tường minh hoặc ngầm ẩn những qui ước giúp HS tránh các nghịch lý. Do

đó, chúng tôi đề xuất những qui ước bổ sung trong quá trình giảng dạy tập hợp:

Không có tập hợp của tất cả các tập hợp.

Không có tập hợp nào là phần tử của chính nó.

Một tập hợp E hoàn toàn xác định nếu với mỗi phần tử x bất kỳ, ta có thể kiểm

tra một cách khách quan x ∈ E hoặc x ∉ E.

Khi định nghĩa khái niệm phần bù của một tập, các tập được xét trong SGK

đều được quy ước là tập con của một tập E nào đó. Điều này không vi phạm quy

ước “Không có tập hợp của tất cả các tập hợp”. Thật vậy, với mọi tập A1, A2, …,

chứa tất cả các tập Ai. An, luôn tồn tại E = 

- Ngày nay, lý thuyết tập hợp vừa là nền tảng, vừa là ngôn ngữ biểu đạt của

các ngành toán học. Trong chương trình Toán THPT, ngôn ngữ tập hợp được dùng

để diễn đạt các kiến thức Toán trong năm chủ đề và 12 kiểu nhiệm vụ:

Hàm số và đồ thị.

Phương trình và hệ phương trình.

Đại số tổ hợp.

Xác suất và thống kê.

Hình học.

- Hai kiểu nhiệm vụ liên quan khái niệm tập hợp có mặt trong sách Đại số 10

cơ bản là:

T1. Dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến

bao hàm thức.

T2. Thực hiện các phép toán tập hợp trên các tập hợp số.

- Qua thực nghiệm chúng tôi kiểm chứng qui tắc hợp đồng: “Đối với bài toán

dùng biểu đồ Ven để minh họa tính đúng, sai của mệnh đề liên quan đến bao hàm

thức, học sinh không có nhiệm vụ minh họa tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối

với các tập hợp đã cho trong mệnh đề”.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Đậu Thế Cấp (2004), Lý thuyết tập hợp và logic, Nhà xuất bản giáo dục.

2. Phan Hữu Chân, Trần Lâm Hách (1997), Nhập môn lý thuyết tập hợp và logic,

Nhà xuất bản giáo dục.

3. Phan Đức Chính (1972), Từ điển Toán học Anh – Việt, Nxb Khoa học và kỹ

thuật.

4. Phan Đình Diệu (2006), Logich toán & cơ sở toán học, Nxb ĐH Quốc gia Hà

Nội.

5. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài

(2009), SGK Đại số 10 (cơ bản), Nxb Giáo dục.

6. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài

(2009), SGV Đại số 10 (cơ bản), Nxb Giáo dục.

7. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007),

SGK Đại số và Giải tích 11 (cơ bản),. Nxb Giáo dục.

8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007),

SBT Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục.

9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007),

SGV Đại số và Giải tích 11 (cơ bản), Nxb Giáo dục.

10. Trần Lương Công Khanh (2013), Lịch sử lý thuyết tập hợp, bài giảng dành cho

học viên cao học ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán,

Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, tài liệu lưu hành nội bộ.

11. Lê Duy Ninh (11/1997), Các yếu tố lý thuyết Tập hợp và Logic toán với giáo

dục khái niệm tập hợp ở THPT, Tạp chí NCGD (T2023).

12. Nguyễn Nhật Phương (2012), Thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt trong giải

và biện luận phương trình chứa tham số ở THPT, Luận văn thạc sĩ, Trường

Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.

13. TS. Chu Trọng Thanh, TS. Trần Hưng, Cơ sở toán học hiện đại của kiến thức

môn toán phổ thông, 2011, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.

14. Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu,

Nguyễn Tiến Tài (2009), SBT Đại số 10 (cơ bản), Nxb Giáo dục.

15. Hoàng Tụy (1964), Lý thuyết tập hợp là gì?, Nxb Giáo dục.

16. Nguyễn Thanh Sơn (1999), Lý thuyết tập hợp, Giáo trình cho Trường ĐHKT

TP.HCM.

Tiếng Anh

17. Muller F. A. (2011), Cantor-Von Neumann Set-Theory, Logique et Analyse,

volume 54, no 213, pp 31-48, Belgian National Centre for Logical

Investigation.

Tiếng Pháp

18. Borel E. (1908), Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, série 3,

tome 25, Les paradoxes de la théories des ensembles, p. 443-448, .Gauthier-

Villars.

19. Bourbaki N. (1970), Éléments de mathématiques, Livre I, Théorie des

ensembles, Éditions Hermann, nouvelle édition, Paris.

20. Dahan-Dalmendico A., Peiffer J. (1986), Une histoire des mathématiques,

routes et dédales, Éditions du Seuil.

21. Richard J. A. (1905), Les principes des mathématiques et le problème des ensembles, Revue générale des sciences pures et appliquées, no 12,

30/6/1905, p. 541-543.

22. Vidal C. (2003), Georg Cantor et la découverte des infinis, mémoire de maîtrise

de philosophie, université Paris 1 Panthéon-Sorbonne.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1.

Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel

1. Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel

Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel (hệ tiên đề ZF) gồm 9 tiên đề sau:

1. Tiên đề về đẳng thức: Hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi chúng có

những phần tử như nhau.

A = B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x, x ∈ B ⇒ x ∈ A)

2. Tiên đề về tập rỗng: Tồn tại tập hợp không có phần tử nào (tập rỗng), ký

hiệu ∅.

Bản số của tập rỗng được ký hiệu là 0.

Thật ra, tiên đề về tập rỗng có thể suy ra từ các tiên đề còn lại.

3. Tiên đề về bộ đôi: Cho hai tập hợp, tồn tại một tập thứ ba có đúng hai phần

tử là hai tập này.

∀A, ∀B, ∃C (A ∈ C ∧ B ∈ C)

Ký hiệu C = {A, B}. Lưu ý rằng A, B không nhất thiết phải là hai tập phân biệt.

Tiên đề này cho phép chứng minh sự tồn tại của tập có đúng một phần tử

(singleton) bằng cách đặt A = B.

4. Tiên đề về phép hợp: Với một tập bất kỳ, tồn tại một tập mà các phần tử

của nó chỉ chứa các phần tử của tập ban đầu.

∀A, ∃B (∀C, C ∈ B ⇔ ∃D (D ∈ A ∧ D ∈ C))

x  ∈ ax

Ký hiệu B = ∪A hoặc B =

Ví dụ: A = {x1, x2, x3}

D x C

  DD { , x x  1  2  C

  D }{,} x    C

    D D }{,}{,}{ x x   1 2      C C

D x

B = ∪A = hoặc B = ∪A = hoặc B = ∪A =

    D D ,{ } xx   1 2 3    C

  D D xx ,{  1  3  C

  D }{,} x    C

    D D ,{,}{ x } x   1 2 3     C C

hoặc B = ∪A = hoặc B = ∪A = .

5. Tiên đề về tập các tập con: Với một tập bất kỳ, tồn tại một tập chỉ chứa

các tập con của tập ban đầu.

∀A, ∃B (∀C (C ∈ B ⇔ C ⊂ A))

Chú ý: C ⊂ A là cách viết tắt của ∀D, D ∈ C ⇒ D ∈ A

Ký hiệu B = ℘(A)

6. Tiên đề về vô hạn: Tồn tại tập hợp X thỏa ∅ ∈ X và với bất kỳ x ∈ X,

x ∪ {x} ∈ X.

Ý nghĩa của tiên đề này là tồn tại tập vô hạn. Thật vậy, có thể xây dựng tập N

từ tiên đề này bằng cách đặt ∅ = 0, {0} = 1, {0, 1} = 2…

7. Tiên đề về cách hiểu: Với bất kỳ tập hợp E, với bất kỳ tính chất18 P được

diễn đạt bằng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, tồn tại một tập F chứa các phần tử

của E thỏa mãn tính chất P. Có thể phát biểu một cách hình thức tiên đề này như

∀E, ∀P, ∃F, ∀x [x ∈ F ⇔ (x ∈ E ∧ P(x)]

8. Tiên đề về thay thế: Một quan hệ hàm với n tham số a1, a2, ..., an là một

công thức của phép tính vị từ n + 2 biến x, y, a1, a2, ..., an gắn một phần tử x với ít

nhất một phần tử y. Khi đó:

∀ a1, a2, ..., an, ∀x, ∀y, ∀y' {[F(x, y, a1, a2, ..., an) ∧ F(x, y', a1, a2, ..., an)] ⇒

y = y'} ⇒ ∀a, ∃b, ∀y (y ∈ b ⇔ [∃x, x ∈ a ∧ F(x, y, a1, a2, ..., an)]

9. Tiên đề về hợp thức: Với bất kỳ tập không rỗng A, tồn tại một tập B là

phần tử của A sao cho không có phần tử nào của A là phần tử của B.

A ≠ ∅ ⇒ (∃B (B ∈ A ∧ A ∩ B = ∅))

2. Chứng minh không tồn tại tập tất cả các tập hợp

Giả sử tồn tại S là tập tất cả các tập hợp. Theo tiên đề về cách hiểu, A =

{E ∈ S| E ∉ E} là một tập và A ∈ S theo định nghĩa của S. Vì A ∈ S nên theo định

nghĩa của A, có thể đặt vấn đề A ∈ A hay A ∉ A. Nếu A ∈ A thì theo định nghĩa của

18 Tính chất ở đây được hiểu là một công thức của phép tính vị từ một biến.

A, ta có A ∉ A. Nếu A ∉ A thì thì theo định nghĩa của A, ta có A ∈ A. Mâu thuẫn này

chứng tỏ không tồn tại tập tất cả các tập hợp.

3. Chứng minh không tồn tại tập hợp là phần tử của chính nó

Giả sử ∃A, A ∈ A. Theo tiên đề về bộ đôi, tồn tại {A}. Theo tiên đề về hợp

thức, tồn tại B ∈ {A}, B ∩ {A} = ∅. Vì {A} chỉ có một phần tử và B ∈ {A} nên B =

A, tức A ∩ {A} = ∅. Mặt khác A ∈ A (giả sử phản chứng) và A ∈ {A} (do B ∈ {A})

nên A ∈ A ∩ {A}. Điều này mâu thuẫn với A ∩ {A} = ∅. Vậy ∀A, A ∉ A.

4. Mối liên hệ giữa tập tất cả các tập hợp và tập hợp là phần tử của chính

nó

Kết quả trong 3 cho thấy mọi tập hợp thỏa hệ tiên đề ZF đều không là phần tử

của chính nó. Do đó, “tập” các tập hợp không là phần tử của chính nó là một cách

diễn đạt khác của “tập” tất cả các tập hợp và cả hai “tập” này đều không tồn tại

trong lý thuyết ZF.

Phụ lục 2.

Hệ tiên đề von Neumann-Bernays-Gödel

Trong hệ tiên đề này, ta dùng các chữ cái thường a, b, c… để chỉ các tập hợp và

các chữ cái in hoa A, B, C để chỉ các lớp. Lưu ý rằng ∀a, ∃A (a ∈ A) và cách viết {{x},

{x,y}} được thay bằng .

Tiên đề đối với tập hợp gồm:

1. Tiên đề về đẳng thức:

a = b ⇔ (∀x, x ∈ a ⇒ x ∈ b) ∧ (∀x, x ∈ b ⇒ x ∈ a)

2. Tiên đề về tập rỗng

∃ x, ∀y (y ∉ x)

3. Tiên đề về bộ đôi

∀a, ∀b, ∃c (a ∈ c ∧ b ∈ c)

4. Tiên đề về phép hợp

∀a, ∃b (∀c, c ∈ b ⇔ ∃d (d ∈ a ∧ d ∈ c))

5. Tiên đề về tập các tập con

∀a, ∃b (∀c (c ∈ b ⇔ (∀d, d ∈ c ⇒ d ∈ a) ) )

6. Tiên đề về vô hạn

∃x (∅ ∈ x ∧ ∀y (y ∈ x ⇒ y ∪ {y} ∈ x) )

7. Tiên đề về thay thế

∀X ( (∀u ∃!v ∈ X) ⇒ ∀u, ∃v, ∀t ( t ∈v ⇔ ∃w ( w ∈ u ∧ ∈ X) ) )

Các tiên đề lập lớp gồm:

8. Tiên đề về đẳng thức

A = B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B)

Hai lớp bằng nhau khi chúng có các phần tử như nhau

9. Tiên đề tách lớp

∀X, ∀Y, ∃Z, ∀u ( u ∈ Z ⇔ u ∈ X ∧ u ∈ Y )

Giao của hai lớp là một lớp: với bất kỳ hai lớp X, Y, tồn tại lớp Z gồm các phần tử

thuộc X và thuộc Y.

10. Tiên đề về lớp đầy đủ

∀X, ∃Y, ∀v ( u ∈ Y ⇔ u ∉ X )

11.

∀X, ∀Y, ∃u ( u ∈ Y ⇔ ∃v ( < v,u > ∈ X ) )

12.

∀X, ∃Y, ∀u ( u ∈ Y ⇔ ∃r, ∃s ( u = < r,s > ∧ s ∈ X ) )

13.

∀X, ∃Y, ∀a ( a ∈ Y ⇔ ∃b, ∃c ( < b,c > = a ∧ < c,b > ∈ X ) )

14.

∀X, ∃Y, ∀u ( u ∈ Y ⇔ ∃a, ∃b, ∃c ( < a,b,c > ∈ X ∧ < b,c,a > ∈ Y ∧ < b,c,a > = u ) )

15.

∀X, ∃Y, ∀u ( u ∈ Y ⇔ ∃a, ∃b, ∃c ( < a,b,c > ∈ X ∧ < a,c,b > ∈ Y ∧ < a,c,b > = u ) )

16. Tiên đề chọn

∃X, ∀a ( a ≠ ∅ ⇒ ∃!u ( u ∈ a ∧ < a,u > ∈ X ) )

17. Tiên đề về hợp thức

∀X ( X ≠ ∅ ⇒ ∃u ( u ∈ X ∧ u ∩ X = ∅)

Một lớp không rỗng bất kỳ đều chứa ít nhất một tập không có phần tử chung với

lớp đã cho.

Phụ lục 3.

Các qui tắc định kiểu

Gồm bốn qui tắc:

1. Qui tắc khởi tạo:

Để giải thích kiểu R trong đó p và q là các đối tượng của kiểu ta dùng giản đồ:

p q

p R q

2. Qui tắc giới thiệu:

Để giới thiệu các phần tử A và B của kiểu R ta dùng giản đồ:

p: A q: B

(p, q): A R B

3. Qui tắc giản ước:

Qui tắc này dùng để giản ước các phần tử của kiểu từ các giả thiết ban đầu. Một

kiểu có thể có nhiều cách giản ước. Do đó, đối với một kiểu có thể có nhiều giản đồ để

giản ước các phần tử.

4. Qui tắc tính toán:

Qui tắc này qui định cách thức tính toán trên các biểu thức của kiểu trở nên đơn

giản hơn.

Phụ lục 4.

Phiếu thực nghiệm HS

PHIẾU SỐ 1

Các em học sinh thân mến!

Bài làm này không nhằm mục đích đánh giá năng lực học sinh mà giúp chúng tôi

tiến hành một nghiên cứu: “Khái niệm tập hợp ở Trung học phổ thông: sự nối khớp

giữa hai vai trò đối tượng và công cụ”. Vì vậy, các em hãy cho chúng tôi biết một số ý

kiến của mình.

 Lưu ý khi làm bài: Không được dùng bút xóa.

Bài 1: Cho các hình minh họa sau:

Hình 1 Hình 2 Hình 3

Hình 4 Hình 5 Hình 6

Câu hỏi dành cho các em :

Hãy chọn các hình minh họa tương ứng với các tập hợp được cho bên dưới bằng

cách điền số thích hợp vào dấu “…”:

minh họa bởi hình …

PHIẾU SỐ 2

Bài 2: Dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề:

Sau đây là bài làm của hai bạn A và B.

Bài làm của bạn A Bài làm của bạn B

Xét minh họa: Xét minh họa:

Ta có:

và

Nên .

nên mệnh đề Ta thấy rằng : là mệnh đề Vậy

này sai. đúng.

Câu hỏi dành cho các em :

Em hãy nêu ý kiến của mình (bằng cách đánh dấu X vào cột Chọn hoặc cột

Không chọn ở bảng sau). Sau đó giải thích vì sao em chọn như vậy.

Nếu được, em có thể đề xuất cách giải khác của mình.

Bài làm của hai bạn Chọn Không chọn

Giải thích:

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Cách giải khác

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

Bài 3: Hãy dùng biểu đồ Ven minh họa tính Đúng/ Sai của mệnh đề

………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông - Sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI

VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Văn Ngọc Thảo Quyên

KHÁI NIỆM TẬP HỢP Ở TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG: SỰ NỐI KHỚP GIỮA HAI

VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

MỞ ĐẦU

Chương 1. KHẢO SÁT KHOA HỌC LUẬN VỀ VAI TRÒ

ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

Kết luận chương 1

Chương 2. VAI TRÒ ĐỐI TƯỢNG VÀ CÔNG CỤ CỦA TẬP HỢP

TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Kết luận chương 2

Chương 3. ĐỐI CHIẾU VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG

C

Bạn A đúng vì đề không ràng buộc nào với ba tập hợp A, B, C nên một cách

Kết luận chương 3

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

Phụ lục 4.

Phiếu thực nghiệm HS

Có thể bạn quan tâm

Bài tập Đúng Sai môn Toán 10 – Vấn đề 2: Tập hợp - các phép toán tập hợp

Bài giảng môn Toán rời rạc - Chương 2: Tập hợp và ánh xạ

Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Hình biểu diễn của một hình: Sự nối khớp trong dạy học hình học không gian và bản vẽ kỹ thuật lớp 11

Bài giảng Cấu trúc dữ liệu giải thuật: Các kiểu dữ liệu trừu tượng cơ bản - Tập hợp

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm tập hợp ở trung học phổ thông - Sự nối khớp giữa hai vai trò đối tượng và công cụ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Vấn đề so sánh các mẫu dữ liệu thống kê - Sự nối khớp giữa dạy học xác suất thống kê với đào tạo cử nhân kinh tế

Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 1 - Nguyễn Vinh Quang

Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 2 - Nguyễn Vinh Quang

Bài giảng Cấu trúc dữ liệu: Chương 4 - TS. Trần Cao Đệ

Bài giảng Cấu trúc dữ liệu: Chương 6 - Nguyễn Xuân Vinh

Khái niệm tập hợp

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền