Thu Trang - Bích Thìn
loptoan141@gmail.com
Sai Gon University
ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG
——————– ∞∞∞——————–
LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO
VÀ
TÍCH PHÂN
BÀI GIẢNG TÓM TẮT
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Bích Thìn
Trần Thị Thu Trang
Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Minh Tuấn
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015
1
Thu Trang - Bích Thìn
loptoan141@gmail.com
Sai Gon University
CHƯƠNG I
ĐỘ ĐO DƯƠNG - HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
∗Nhắc lại về cơ sở
B⊂P(X)
Ta nói Blà một cơ sở tôpô trên X
S
B∈B
B=X
Nếu B1,B2∈B,B1∩B26=∅
∀x∈B1∩B2,∃B3∈B
x∈B3⊂B1∩B2
∗Ví dụ: Cho X={a,b,c,d}
Cơ sở B=n{a},{b},{c,d}o
Xây dựng tôpô T=n{a,b,c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},{a},{b},{c,d},∅o
∗Ví dụ:Cho X={a,b,c,d}
Cơ sở con C=n{a,b},{b,c,d}o
Cơ sở B=n{b},{a,b},{b,c,d}o
Tôpô T=n∅,{b},{a,b},{b,c,d},{a,b,c,d}o
∗Ví dụ:Giao của 2 tập đếm được là quá lắm đếm được.
Giao 2 tập hữu hạn là hữu hạn.
Giao 2 tập quá lắm đếm được là quá lắm đếm được.
Hợp của các tập vô hạn đếm được là tập vô hạn đếm được.
Hai tập vô hạn đếm được nhân với nhau là tập vô hạn đếm được.
Q,Z,Nlà tập đếm được.
Rlà tập không đếm được.
Tập hợp các số từ 1 đến 10 là tập không đếm được.
Tập hợp các số hữu tỉ từ 1 đến 10 là tập đếm được.
⋆ĐỊNH NGHĨA:
[-∞,∞]=R∪{-∞,∞}
(-∞,∞]=R∪{∞}
[-∞,∞)=R∪{-∞}
a+∞=∞+a=∞ ∀a∈(-∞,∞)
a-∞=-∞+a=-∞ ∀a∈(-∞,∞)
a.(-∞)=-∞ ∀a∈(0,∞)
a.(∞)=∞ ∀a∈(0,∞)
a.(-∞)=∞ ∀a∈(-∞,0)
a.(∞)=-∞ ∀a∈(-∞,0)
⋆ĐỊNH NGHĨA:Cho M⊂P(X),với X6=0,ta nói Mlà một σ- đại số trong X nếu: i)X∈M
ii)XA∈M∀A∈M(với XA=Ac:phần bù của M)
iii) ∞
S
n=1
An∈M∀{An}n∈N⊂M
∗Ví dụ:X={a,b,c,d}
M=n∅,X,{a},{b,c,d}o
2
Thu Trang - Bích Thìn
loptoan141@gmail.com
Sai Gon University
♣BÀI TẬP:
1.Cho 1 họ M,kiểm tra xem có phải là σ- đại số không ?
cm: 3 điều kiện
2Cho Mlà σ- đại số,hãy chứng minh một số tính chất liên quan.
cm:{An}n∈N⊂M
→
∞
S
n=1
An∈M
X
∞
S
n=1
An∈M
∞
T
n=1
Acn∈M
B1,...,Bn,...∈M
Bc1,Bc2,...,Bcn,...∈M
∞
T
n=1
(Bcn)c∈M
∞
T
n=1
Bn∈M
⋆ĐỊNH NGHĨA: Cho X là một tập hợp.Nếu tồn tại một σ- đại số Mtrên X ta nói X là
một không gian đo được.Với mọi A ∈M,A được gọi là các tập đo được.
⋆ĐỊNH NGHĨA: Cho Mlà một σ- đại số trên X và µlà một ánh xạ đi từ M→[0,∞].Ta
nói µlà một độ đo dương nếu:
∗∀{An}n∈N⊂M, Ai∩Aj=∅∀i,j Ta có µ(∞
S
n=1
An)=Σµ(A n)
∗∃B∈M,µ(B)<∞
⋆ĐỊNH NGHĨA: Cho Mlà một σ- đại số trên X và ánh xạ µ:M→C.Ta nói µlà một độ đo
phức nếu:∀{An}n∈N⊂Msao cho Ai∩Aj=∅∀i6=j
Ta có µ(∞
S
n=1
An)=Σµ(An)
Cho X là một không gian đo được với σ- đại số Mvà µlà một độ đo trên M,ta nói (X,M,µ) là
một không gian đo được với độ đo µ
♣BÀI TẬP:
2.1
Cho X6=∅.CM:{X,∅}và P(X) là các σ- đại số trong X,còn có các σđại số khác trong X hay không?
Giải:
∗M={∅,X}là σ- đại số trong X ta kiểm tra 3 tính chất:
i) X∈{∅,X}hiển nhiên
ii) A∈{∅,X}
=⇒A=∅=⇒XA=X∈ {∅, X}
A=X=⇒XA=∅∈ {∅, X}
⇒XA∈{∅,X}
iii)∀{An}⊂M={∅,X}
Ta chứng minh: ∞
S
n=1
An∈M={∅,X}
TH1:∃i0∈N:Ai0=X
∞
S
n=1
An=X∈{∅,X}
TH2:An=∅∀n∈N
3
Thu Trang - Bích Thìn
loptoan141@gmail.com
Sai Gon University
=⇒
∞
S
n=1
An=∅∈{∅,X}
∗M=P(X)={A:A⊂X}là σ- đại số trong X
i)X∈P(X)(Vì X⊂X)
ii)A∈P(X) Ta chứng minh XA∈P(X)
A∈P(X)=⇒A⊂X=⇒XA⊂X=⇒XA∈P(X)
iii)∀{An}⊂P(X) Ta chứng minh ∞
S
n=1
An∈P(X)
Ta có:An⊂X , ∀n∈N
=⇒
∞
S
n=1
An⊂X=⇒
∞
S
n=1
An∈P(X)
∗X6=∅=⇒∃a∈X
Xét M=n∅,{a},X{a},Xo
i)X∈M(hiển nhiên)
ii)A∈M
=⇒
A=∅⇒XA=X∈M
A={a}=⇒XA=X{a} ∈ M
A=X{a}=⇒XA={a} ∈ M
A=X=⇒XA=∅∈M
Vậy XA∈M
iii)∀{An}n∈N⊂M
∞
S
n=1
An=Xnếu ∃Ai0=Xhay A1={a}
A2=X={a}
∞
S
n=1
An=∅nếu An=∅∀n∈N
∞
S
n=1
An=∅nếu An6=X∀Ai0={a}
An6=X{an}
∞
S
n=1
An=X{a}nếu An6=X
An6={a}
∃Ai0=X{a}
2.2
Cho Blà một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng .Tìm một σ-đại số nhỏ nhất M
trong X sao cho B ⊂ M.
Gọi Flà họ tất cả các σ- đại số trên X chứa B
Đặt T=T
F∈F
F⊂P(X)
Cần chứng minh Tlà σđại số.
∗Kiểm tra X ∈ T :
Ta có: X∈F ,∀F∈ F
=⇒X∈T
F∈F
F=T
∗Kiểm tra ∀A∈ T ,Ac∈ T
Lấy A ∈ T tùy ý
Ta có A ∈F,∀F∈ F
Vì F là một σ- đại số nên Ac∈F,∀F∈ F
=⇒Ac∈T
F∈F
F=T
∗Kiểm tra ý thứ 3:
∀{An} ⊂ T
F∈F
F (F là σđại số chứa B)
=⇒ {An} ⊂ F, ∀F∈ F
4
Thu Trang - Bích Thìn
loptoan141@gmail.com
Sai Gon University
=⇒
∞
S
n=1
An∈F(vì F là σđại số trong X) ∀F∈ F
∗Tìm một σ- đại số nhỏ nhất .
Lấy G là σ- đại số bất kì chứa B
=⇒G∈ F
=⇒T
F∈F
F⊂G
Vậy T ∈ G
Vậy Tlà σ- đại số nhỏ nhất.
2.3
giống câu 2.2 chỉ thay X bằng R
2.4
Xác định các σ- đại số Mtrong tập hợp các số nguyên dương Nsao cho {n} ∈ Mvới mọi n∈N.
Giải:
Ta chứng minh : M=P(N) = 2N
∗M⊂P(N),∀B∈M=⇒B⊂N=⇒B∈P(N)
∗lấy A∈P(N) =⇒A⊂N
TH1:A={n1, n2, ..., nk}
A=
k
S
i=1{ni} ∈ M(Mlà σ- đại số và {ni} ∈ M,∀i=1, k)
TH2:A={n1, n2, ..., nk, ..}
A=
∞
S
k=1{nk} ∈ M(vì Mlà σ- đại số và {nk} ∈ M,∀k∈N)
2.5
Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M,và cho {Bi}i∈Ilà một họ quá lắm đếm
được trong M.Chứng minh ∩i∈IBivà ∪i∈IBiđều thuộc về M.
Giải:
{B1}i∈I⊂M
CM: ∞
S
i=1
Bi∈M
∞
T
i∈I
Bi∈M
Giải:TH1:I hữu hạn
Giả sử :I={x1, ..., xn}
Đặt Bxk=∅∈M,∀k≥n+ 1
∗S
i∈I
Bi=
n
S
k=1
Bxk=
∞
S
k=1
Bxk∈M(tính chất iii),Bxk∈M,∀k∈N
∗Bi∈M=⇒XBi∈M,∀i∈I
=⇒S
i∈I
(XBi)∈M(cmt)
=⇒XT
i∈I
Bi∈M
=⇒T
i∈I
Bi∈M
TH2:I đếm được
∗I={x1, x2, ..., xk, ...}
S
i∈I
=
∞
S
k=1
Bxk∈M(Vì Mlàσđại số và Bxk∈M,∀k∈N
∗Bi∈M=⇒XBi∈M,∀i∈I
=⇒S
i∈I
(XBi)∈M(cmt)
5