Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ——————– ∞ ∞ ∞ ——————–

BÀI GIẢNG TÓM TẮT

T hu

LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO T hìn loptoan141@gmail.com VÀ Trang- Bích TÍCH PHÂN U niversity Sai G on

Sinh viên thực hiện:

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Bích Thìn Trần Thị Thu Trang TS. Lê Minh Tuấn

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015

CHƯƠNG I ĐỘ ĐO DƯƠNG - HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC

∗Nhắc lại về cơ sở

B=X

B⊂P(X) Ta nói B là một cơ sở tôpô trên X (cid:83) B∈B Nếu B1, B2 ∈B , B1 ∩ B2 (cid:54)=∅ ∀x∈ B1 ∩ B2, ∃ B3 ∈ B x∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2

∗Ví dụ: Cho X={a,b,c,d} (cid:110) (cid:111) Cơ sở B= {a},{b},{c,d} (cid:110) (cid:111) Xây dựng tôpô T = {a,b,c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},{a},{b},{c,d},∅

(cid:110) (cid:111) ∗Ví dụ:Cho X={a,b,c,d} Cơ sở con C= {a,b},{b,c,d} (cid:111) (cid:110) {b},{a,b},{b,c,d} (cid:111) Cơ sở B= (cid:110) Tôpô T = ∅,{b},{a,b},{b,c,d},{a,b,c,d}

∗Ví dụ:Giao của 2 tập đếm được là quá lắm đếm được.

Giao 2 tập hữu hạn là hữu hạn. Giao 2 tập quá lắm đếm được là quá lắm đếm được. Hợp của các tập vô hạn đếm được là tập vô hạn đếm được. Hai tập vô hạn đếm được nhân với nhau là tập vô hạn đếm được. Q,Z,N là tập đếm được. R là tập không đếm được. Tập hợp các số từ 1 đến 10 là tập không đếm được. Tập hợp các số hữu tỉ từ 1 đến 10 là tập đếm được.

(cid:70)ĐỊNH NGHĨA:

T hu

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

[-∞,∞]=R∪{-∞,∞} (-∞,∞]=R∪{∞} [-∞,∞)=R∪{-∞} a+∞=∞+a=∞ ∀a∈(-∞,∞) a-∞=-∞+a=-∞ ∀a∈(-∞,∞) a.(-∞)=-∞ ∀a∈(0,∞) a.(∞)=∞ ∀a∈(0,∞) a.(-∞)=∞ ∀a∈(-∞,0) a.(∞)=-∞ ∀a∈(-∞,0)

(cid:70)ĐỊNH NGHĨA:Cho M⊂P(X),với X(cid:54)=0,ta nói M là một σ- đại số trong X nếu: i)X∈M ii)X(cid:31)A∈M ∀A∈M(với X(cid:31)A=Ac:phần bù của M)

∞ (cid:83) n=1

iii) An∈M ∀{An}n∈N⊂M

∗Ví dụ:X={a,b,c,d} (cid:111) (cid:110) ∅,X,{a},{b,c,d} M=

♣BÀI TẬP:

1.Cho 1 họ M,kiểm tra xem có phải là σ- đại số không ? cm: 3 điều kiện 2Cho M là σ- đại số,hãy chứng minh một số tính chất liên quan. cm:{An}n∈N⊂M

→ An∈M

∞ (cid:83) n=1 ∞ (cid:83) n=1 Ac

n ∈M

n,...∈M

1,Bc (Bc

2,...,Bc n)c∈M

X(cid:31) An∈M

∞ (cid:84) n=1 B1,...,Bn,...∈M Bc ∞ (cid:84) n=1 ∞ (cid:84) n=1

Bn∈M

(cid:70)ĐỊNH NGHĨA: Cho X là một tập hợp.Nếu tồn tại một σ- đại số M trên X ta nói X là một không gian đo được.Với mọi A ∈M,A được gọi là các tập đo được.

(cid:70)ĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và µ là một ánh xạ đi từ M→[0,∞].Ta

∞ (cid:83) n=1

nói µ là một độ đo dương nếu: ∗∀{An}n∈N⊂M, Ai∩Aj=∅ ∀i,j Ta có µ( An)=Σµ(A n)

∗∃B∈M, µ(B)<∞

(cid:70)ĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và ánh xạ µ:M→C.Ta nói µ là một độ đo

∞ (cid:83) n=1

phức nếu:∀{An}n∈N⊂M sao cho Ai∩Aj=∅ ∀i(cid:54)=j Ta có µ( An)=Σµ(An)

Cho X là một không gian đo được với σ- đại số M và µ là một độ đo trên M,ta nói (X,M,µ) là một không gian đo được với độ đo µ

♣BÀI TẬP:

2.1 Cho X(cid:54)=∅.CM:{X,∅} và P(X) là các σ- đại số trong X,còn có các σ đại số khác trong X hay không?

T hu

Giải:

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

∗ M={∅,X} là σ- đại số trong X ta kiểm tra 3 tính chất: i) X∈{∅,X} hiển nhiên ii) A∈{∅,X}

=⇒ (cid:20)A = ∅ =⇒ X(cid:31)A = X ∈ {∅, X} A = X =⇒ X(cid:31)A = ∅ ∈ {∅, X}

An∈M={∅,X}

⇒X(cid:31)A∈{∅,X} iii)∀{An}⊂M={∅,X} ∞ (cid:83) Ta chứng minh: n=1 TH1:∃i0∈N:Ai0=X ∞ (cid:83) An=X∈{∅,X} n=1 TH2:An=∅ ∀n∈N

∞ (cid:83) n=1

=⇒ An=∅∈{∅,X}

∗M=P(X)={A:A⊂X} là σ- đại số trong X i)X∈P(X)(Vì X⊂X) ii)A∈P(X) Ta chứng minh X(cid:31)A∈ P(X) A∈P(X)=⇒A⊂X=⇒X(cid:31)A⊂X=⇒X(cid:31)A∈P(X)

∞ (cid:83) n=1

An∈P(X)

∞ (cid:83) n=1

An∈P(X)

(cid:110) (cid:111) iii)∀{An}⊂P(X) Ta chứng minh Ta có:An⊂X , ∀n∈N ∞ (cid:83) =⇒ An⊂X=⇒ n=1 ∗X(cid:54)=∅=⇒∃a∈X Xét M= ∅,{a},X(cid:31){a},X

i)X∈M(hiển nhiên) ii)A∈M 

=⇒    A = ∅ ⇒ X(cid:31)A = X ∈ M A = {a} =⇒ X(cid:31)A = X(cid:31){a} ∈ M A = X(cid:31){a} =⇒ X(cid:31)A = {a} ∈ M A = X =⇒ X(cid:31)A = ∅ ∈ M

(cid:26) A1 = {a} An = X nếu ∃Ai0 = X hay A2 = X = {a}

An = ∅ nếu An = ∅ ∀n ∈ N

An = ∅ nếu

An = X(cid:31){a} nếu (cid:26)An (cid:54)= X∀Ai0 = {a} An (cid:54)= X(cid:31){an} (cid:26) An (cid:54)= X An (cid:54)= {a} Vậy X(cid:31)A∈ M iii)∀{An}n∈N ⊂ M ∞ (cid:83) n=1 ∞ (cid:83) n=1 ∞ (cid:83) n=1 ∞ (cid:83) n=1 ∃Ai0 = X(cid:31){a}

2.2

T hu

F ∈F

Cho B là một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng .Tìm một σ-đại số nhỏ nhất M trong X sao cho B ⊂ M. Gọi F là họ tất cả các σ- đại số trên X chứa B Đặt T = (cid:84) F ⊂ P (X)

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

F ∈F

Cần chứng minh T là σ đại số. ∗ Kiểm tra X ∈ T : Ta có: X∈F ,∀F ∈ F =⇒X ∈ (cid:84) F=T

F ∈F

∗ Kiểm tra ∀A ∈ T ,Ac ∈ T Lấy A ∈ T tùy ý Ta có A ∈ F,∀F ∈ F Vì F là một σ- đại số nên Ac ∈ F ,∀F ∈ F =⇒ Ac ∈ (cid:84) F= T

F ∈F =⇒ {An} ⊂ F, ∀F ∈ F

F (F là σ đại số chứa B) ∗ Kiểm tra ý thứ 3: ∀{An} ⊂ (cid:84)

∞ (cid:83) n=1

=⇒ An ∈ F (vì F là σ đại số trong X) ∀F ∈ F

F ∈F Vậy T ∈ G Vậy T là σ- đại số nhỏ nhất.

∗ Tìm một σ- đại số nhỏ nhất . Lấy G là σ- đại số bất kì chứa B =⇒ G ∈ F =⇒ (cid:84) F ⊂ G

2.3 giống câu 2.2 chỉ thay X bằng R

2.4

Xác định các σ- đại số M trong tập hợp các số nguyên dương N sao cho {n} ∈ M với mọi n∈ N. Giải: Ta chứng minh : M = P (N) = 2N ∗M ⊂ P (N), ∀B ∈ M =⇒ B ⊂ N =⇒ B ∈ P (N) ∗ lấy A∈ P (N) =⇒ A ⊂ N TH1:A= {n1, n2, ..., nk}

k (cid:83) i=1

A= {ni} ∈ M(Mlà σ- đại số và {ni} ∈ M, ∀i = 1, k)

TH2 : A = {n1, n2, ..., nk, ..}

∞ (cid:83) k=1

A= {nk} ∈ M (vì M là σ- đại số và {nk} ∈ M, ∀k ∈ N)

2.5

CM: Bi ∈ M Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M,và cho {Bi}i∈I là một họ quá lắm đếm được trong M.Chứng minh ∩i∈IBi và ∪i∈IBi đều thuộc về M. Giải: {B1}i∈I ⊂ M ∞ (cid:83) i=1

Bi ∈ M

T hu

i∈I

∞ (cid:83) k=1

n (cid:83) k=1

Bi = Bxk ∈ M(tính chất iii),Bxk ∈ M, ∀k ∈ N

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

i∈I

∞ (cid:84) i∈I Giải:TH1:I hữu hạn Giả sử :I={x1, ..., xn} Đặt Bxk = ∅ ∈ M,∀k ≥ n + 1 ∗ (cid:83) Bxk = ∗Bi ∈ M =⇒ X(cid:31)Bi ∈ M, ∀i ∈ I =⇒ (cid:83) (X(cid:31)Bi) ∈ M(cmt) =⇒ X(cid:31) (cid:84) =⇒ (cid:84)

i∈I Bi ∈ M

i∈I

Bi ∈ M

∞ (cid:83) k=1

= Bxk ∈ M(Vì Mlàσđại số và Bxk ∈ M, ∀k ∈ N

i∈I

TH2:I đếm được ∗I = {x1, x2, ..., xk, ...} (cid:83) i∈I ∗Bi ∈ M =⇒ X(cid:31)Bi ∈ M, ∀i ∈ I =⇒ (cid:83) (X(cid:31)Bi) ∈ M(cmt)

Bi ∈ M

i∈I Bi ∈ M

i∈I

=⇒ X(cid:31) (cid:84) =⇒ (cid:84)

Thí dụ 2.1.1

iv) ∅ (A)= (cid:26)tchsccphnttrongA, A (cid:54)= ∅ 1, A = ∅

Cho A={1},B={2} ∅(A ∪ B) = 2 ∅(A) + ∅(B) = 3 =⇒ ∅(A ∪ B) (cid:54)= ∅(A) + ∅(B) nên ∅(A)không là độ đo

Định nghĩa 2.1.6: Cho (X,M, µ) là một không gian đo được .Cho M∗là tập tất cả các tập con E của X sao cho có hai tập A và B trong M sao cho A⊂ E ⊂ B và µ(B(cid:31)A) = 0.Lúc đó ta đặt µ∗(E) = µ(A).

Định lý 2.1.1: (X,M∗, µ∗) là một không gian đo được .

∞ (cid:83) n=1

Chứng minh:gồm 2 ý (cid:63) ý 1:chứng minh M∗ là σ-đại số. i)Vì M ⊂ M∗ nên X ∈ M =⇒ X ∈ M∗ ii)Lấy E ∈ M∗ tùy ý =⇒ ∃ A,B ∈ M, A ⊂ E ⊂ B, µ(B(cid:31)A)=0 Ac, Bc ∈ M : Bc ⊂ Ec ⊂ Ac µ(Ac(cid:31)Bc) = µ(B(cid:31)A) = 0 =⇒ Ec ∈ M∗ iii) En ∈ M∗(En ∈ M∗)

∞ (cid:83) n=1

An ∈ M, Bn ∈ M An ⊂ Bn, Với mỗi En ∈ M∗, ∃An, Bn ∈ M An ⊂ En ⊂ Bn và µ(Bn(cid:31)An) = 0 ∞ (cid:83) En ⊂ n=1

∞ (cid:83) n=1

Ta cần chứng minh:µ( An) = 0

∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:83) n=1 Bn(cid:31) ∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:83) n=1

Ta có : An = An) ⊂ (Bn(cid:31)An)

T hu

∞ (cid:83) n=1 (Bn(cid:31)An))

∞ (cid:83) n=1 Bn(cid:31)

∞ (cid:83) n=1 (Bn(cid:31) ∞ (cid:83) n=1

=⇒ 0 ≤ µ( An) ≤ µ(

n=1µ(Bn(cid:31)An) = 0

≤ Σ∞ Mà µ

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

do đó µ( An) = 0 Bn(cid:31)

∞ (cid:83) n=1

=⇒ Bn(cid:31) ∞ ∞ (cid:83) (cid:83) n=1 n=1 (cid:17) (cid:16) ∞ (cid:83) (Bn(cid:31)An) n=1 ∞ ∞ (cid:83) (cid:83) n=1 n=1 En ∈ M∗

∞ (cid:83) n=1

Vậy M∗ là σ-đại số (cid:63) ý 2: chứng minh µ∗ là độ đo dương {En} là dãy các phần tử rời nhau trong M∗ Với mỗi En ∈ M∗ Tồn tại An, Bn ∈ M , sao cho An ⊂ En ⊂ Bn và µ − ∗98(Bn(cid:31)An) = 0 =⇒ µ∗(En) = µ(An) Ta có : Bn An ⊂ En ⊂

∞ (cid:83) n=1

µ( Bn(cid:31) An) = 0

n=1µ(An) = Σ∞

n=1µ∗(En)

∞ (cid:83) n=1 ∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:83) n=1

µ∗( En) = µ( An) = Σ∞

Chứng minh :∃B ∈ M∗ sao cho µ∗(B) < ∞ vì µ là độ đo dương B ∈ M =⇒ B ∈ M∗(M ⊂ M∗) nên µ∗(B) = µ(B) < ∞

TÍNH CHẤT: Cho (X, M, µ là một không gian đo được ,µ là độ đo dương

• Nếu A,B ∈ M, A ⊂ B µ(B) = µ(A) + µ(B(cid:31)A) (cid:62) µ(A) • A,B ∈ M µ(A ∪ B) = µ(A(cid:31)B) + µ(B(cid:31)A) + µ(A ∩ B) µ(A) − µ(B) = µ(A ∩ B) ĐỊNH NGHĨA 2.1.7: (X, M∗, µ∗) được gọi là đầy đủ hóa của (X, M, µ).Nếu M∗ = M ta nói µ là một độ đo đầy đủ. TÍNH CHẤT SUY RA TỪ ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 : Cho (X, M là một không gian đo được và f:X→Y với (Y, T ) là một không gian tô pô ta nói f là một ánh xạ đo được trên (X,M) nếu và chỉ nếu f −1(B) ∈ M với mọi B ∈ T

THEO ĐỊNH LÍ 2.1.4 ,CM TÍNH CHẤT:

n=1µ(An)

i)M(∅) = 0 ii)M(A ∪ C) = M(A) + M(C), A ∩ C (cid:54)= ∅ Chứng minh:i) chọn A1 = B, Ak = ∅, ∀k (cid:62) 2 ta được µ( An) = Σ∞

∞ (cid:83) n=1

n=3µ(An)

∞ (cid:83) n=1 =⇒ Σ∞ do µ(B) < ∞ =⇒ µ(An) = 0, ∀n ∈ N(cid:31){1} =⇒ µ(∅) = 0 ii)Cho A1 = A, A2 = C, Ak = ∅∀k > 3 n=1µ(An) µ( ⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C) + Σ∞ ⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C)

An) = Σ∞

T hu

BÀI TẬP:

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

n=1M(An)

∞ (cid:83) n=1

2.6 Cho X là một tập khác trống , cho M là P(X).Đặt µ(A) =| A |(bản số của A,cardinal of A ).Lúc đó µ có là một độ đo dương trên M hay không? Chứng minh: i)Lấy {An} ⊂ M, Ai ∩ Aj = ∅∀i (cid:54)= j M( An) = Σ∞

∞ (cid:83) n=1

| An |= Σ∞

n=1 | An | ∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:83) n=1

TH1:Nếu | An |< ∞ =⇒ µ( An) < +∞

∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:80) n=1

An) = µ(Ai) + µ(An) = µ(An)

∞ (cid:80) n=1

(cid:63)∃Ai :| Ai |= ∞ =⇒ µ( (cid:63) | Ai |< ∞, ∀i ∈ N =⇒ | An |= ∞ vì nếu | An |< ∞

∞ (cid:80) k=1

=⇒ | Ak |< | Ak |< ∞

=⇒| Ak |< ∞, ∀n

∞ (cid:80) k=1 n (cid:83) k=1 cho n → ∞ ∞ (cid:83) =⇒| k=1

∞ (cid:80) k=1

Ak |≤ | Ak |< ∞

∞ (cid:83) n=1

An |< ∞ → ∃n1, n2, ..., nk

TH2:Nếu | | Ai |= 0, ∀i ∈ N(cid:31){n1, ..., nk}

k (cid:80) n=1

∞ (cid:80) n=1

k (cid:83) i=1

∞ (cid:83) =⇒ M( n=1 ii) ∅ ∈ M µ(∅) =| ∅ |= 0 < ∞

An) =| | An | Ani |= | Ani |=

Ta chứng minh :η( 2.7: Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M , cho µ là một độ đo trên M, và A ∈ M.Đặt N = {A (cid:84) E : E ∈ M} và η(D) = µ(D), ∀D ∈ N.Chứng minh (A, N, η) là một không gian đo được. (cid:84) Aj (cid:54)= ∅, ∀i (cid:54)= j i) Lấy {An} ⊂ N, Ai ∞ ∞ (cid:80) (cid:83) η(An) An) = n=1 n=1

∞ (cid:83) n=1

VT =η( An) = µ( An)

∞ (cid:80) n=1

= η(An) µ(An) =

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:83) n=1

Vậy η( η(An) An) =

T hu

Ta chứng minh: An ∈ N ii) Ta chứng minh :∃B ∈ N η(B) < ∞ Ta có :µ là độ đo dương(gt) =⇒ ∃B ∈ M : µ(B) < ∞ =⇒ (B (cid:84) E) ∈ N : η(B (cid:84) E) = µ(B (cid:84) E) (cid:54) µ(B) < ∞ Chứng minh N là σ đại số trên E i)E = E (cid:84) E ∈ N vì (E ∈ M ii)A ∈ N =⇒ A = B (cid:84) E, B ∈ M E(cid:31)A = E(cid:31)(B (cid:84) E) = (E(cid:31)B) (cid:83)(E(cid:31)E) = (E(cid:31)B) = E(cid:31)B (cid:84) E (Vì E(cid:31)B ⊂ E) =⇒ E(cid:31)A ∈ N iii) Lấy {An} ⊂ N ∞ (cid:83) n=1

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

∞ (cid:83) n=1

(cid:84) E) = ( (cid:84) E, Bn ∈ M, ∀n ∈ N Bn) (cid:84) E (Bn An =

Bn ∈ M vì M là σ-đại số

Ta có:{An} ⊂ N =⇒ An = Bn ∞ (cid:83) n=1 ∞ (cid:83) n=1 Vậy (A, N, η) là một không gian đo được .

2.8 Cho X là một không gian đo được với một σ-đại số M, µ là một độ đo trên M, và f là một

song ánh từ X vào một tập hợp Y .Đặt N = {f (E) : E ∈ M} và ν(D) = µ(f −1(D)), ∀D ∈ N Chứng minh:(Y, N, ν) là một không gian đo được . (cid:70) Chứng minh N là σ-đại số trên Y

i)Y=f(X) ∈ N(do f là song ánh)X ∈ M ii) A ∈ N =⇒ A = f (B), B ∈ M Y (cid:31)A = Y (cid:31)f (B) = f (X(cid:31)B)doX(cid:31)B ∈ M =⇒ Y (cid:31)A ∈ N

∞ (cid:83) n=1

iii) Lấy {An} ⊂ N ta chứng minh An ∈ N

∞ (cid:83) n=1

(cid:19) ∈ N f (Bn) = f An = Bn {An} ⊂ N =⇒ ∃B ∈ M : An = f (Bn), ∀n ∈ N ∞ (cid:83) n=1 (cid:18) ∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:83) n=1

do Bn ∈ M

Ta chứng minh:ν( ν(An)

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) n=1 (cid:18) ∞ (cid:83) n=1

∞ (cid:83) n=1

(cid:19) Vậy N là σ-đại số. (cid:70) Cứng minh ν là độ đo trên N (cid:84) Aj (cid:54)= ∅, ∀i (cid:54)= j i)∀{Ai} ⊂ N, Ai ∞ (cid:83) An) = n=1 (cid:19) (cid:18) = VT=µ f −1( = µ f −1(An) µ (f −1(An)) = ν(An) An)

ii)µ là độ đo =⇒ ∃B ∈ M, µ(B) < ∞ do f song ánh =⇒ ∃A ∈ N A=f(B) =⇒ B = f −1(A) =⇒ ν(A) = µ (f −1(A)) = µ(B) < ∞

2.13 Cho X là một không gian đo được với một σ đại số M và cho µ là độ đo dương trên M

∞ (cid:83) k=1

.Cho {Bm} là dãy tăng các phần tử trong M.Chứng minh µ( Bk) = limm→∞µ(Bm)

Đặt A1 = B1, A2 = B2(cid:31)B1, ..., Ak+1 = Bk+1(cid:31)Bk, ∀k ∈ N(cid:31){0}

  Ta có:  (cid:84) Aj = ∅, ∀i (cid:54)= j n (cid:84) Bk = Bn Ak = k=1

∞ (cid:80) n=1

Ta có :µ( An) = µ(An) Ai n (cid:83) k=1 ∞ (cid:83) n=1

Đặt sn = µ(A1) + µ(A2) + ... + µ(An) = µ(B1) + µ(B2) − µ(B1) + ... + µ(Bn) − µ(Bn−1) = µ(Bn)

T hu

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:83) n=1

(cid:19) (cid:18) = µ =⇒ µ(An) = limn→∞sn = limn→∞µ(Bn) An

2.16

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

∞ (cid:83) n=1

∀a ∈ R, f −1 ((a, +∞)) ∈ M =⇒ X(cid:31)f −1 ((a, +∞)) ∈ M f −1(R(cid:31)(a, +∞)) ∈ M f −1((−∞, a]) ∈ M, ∀a ∈ R (cid:21) (cid:18) Ta có:(−∞, a) = 1 n (cid:21)(cid:19) −∞, a − 1 n −∞, a − (cid:18) (cid:18) ∞ (cid:83) n=1 (cid:21)(cid:19) =⇒ f −1((−∞, a)) = f −1 (cid:18)(cid:18) ∈ M f −1 −∞, a − = 1 n

2.17 f(X) hữu hạn trong R

Ai f(X)={a1, a2, ..., an} f (A1) = {a1} f (A2) = {a2} ... f (An) = {an}  

∞ (cid:83) k=1

(cid:84) Aj = ∅, ∀i (cid:54)= j Ak = X

 f (x) = a1XA1(x) + a2f A2(x)

ĐỊNH NGHĨA 3.1.1 trang 42

ĐỊNH NGHĨA 3.1.2 trang 42 (X, M, µ) , E ∈ M , f đo được F(f ) = {S:hàm đơn/0 ≤ S ≤ f } (cid:27) (cid:26) (cid:82) (cid:82) Sdµ/S ∈ F(f ) f dµ := sup

F ĐỊNH LÝ 3.1.1 trang 43 BÀI TẬP 3.1 trang 47 f : N → [0, ∞] ; M = P(N) f:đo được ;µ(A) =| A | ∞ (cid:82) (cid:80) N n=1

f dµ =

i)(cid:82)

BÀI TẬP 3.2 trang 47 f dµ = (cid:82) (f.XE)dµ X (cid:26) (cid:82) VT=sup Sdµ/S hàm đơn : 0 (cid:54) S (cid:54) f }

n (cid:80) k=1

(cid:27) (cid:84) E/S = Ckµ(Ak (cid:26) n (cid:80) k=1 = sup (cid:82) (S.XE)dµ = (cid:82) Ck.XAK, 0 (cid:54) S (cid:54) f (S.XEdµ sao cho 0 (cid:54) s.XE (cid:54) XE.f

n (cid:80) k=1

= (cid:82) (cid:84) E) CkX (Ak

(cid:27) (cid:26) (cid:82) VP=sup tdµ/tlahamdon; 0 (cid:54) t (cid:54) XE.f

T hu

m (cid:80) l=1

(cid:27) = sup dlµ(Bl)/t = dl.XBl; 0 (cid:54) t (cid:54) XE.f

(cid:27) = sup (cid:84) E)/t = dlµ(Bl dl.XBl; 0 (cid:54) t (cid:54) XE.f

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

m (cid:80) l=1

(cid:27) (cid:26) m (cid:80) l=1 (cid:26) m (cid:80) l=1 (cid:26) (cid:82) t.dµ/t = = sup dl.XBl; 0 (cid:54) t (cid:54) XE.f

ĐỊNH LÍ 3.1.1

(cid:27) (cid:26) (cid:82) Chứng minh định lí 3.1.1 iv)(cid:82) (Cf )dµ = sup Sdµ/shamdon; 0 (cid:54) S (cid:54) cf

n (cid:80) k=1

(cid:27) = sup (cid:84) E)/Shamdon; S = Ck.µ(Ak (cid:26) n (cid:80) k=1 Ck.X (Ak); 0 (cid:54) S (cid:54) C.f (cid:27) (cid:26) = (cid:54) f = sup C. µ(Ak)/ Ck c S c Ck c .X (Ak); 0 (cid:54) s c

(cid:26) (cid:27) = sup

tdµ/thamdon; 0 (cid:54) t (cid:54) f (cid:27) C (cid:82) E (cid:26) (cid:82) tdµ/thamdon; 0 (cid:54) t (cid:54) f =c.sup

ĐỊNH LÍ 3.1.2

fndµ (cid:54) (cid:82)

ĐỊNH LÍ 3.1.3 BÀI TẬP 3.3 TRANG 47 Ta có:∀n ∈ N, fn(X) (cid:54) f (x)∀X =⇒ ∀n ∈ N, (cid:82) f dµ X ∀m, n ∈ N, m (cid:62) n : fm (cid:62) fn =⇒ (cid:82) fndµ

X X Đặt a= lim fndµ n−→∞ Ta chứng minh:a (cid:62) (cid:82)

fmdµ (cid:62) (cid:82) (cid:82)

f dµ , đặt b = (cid:82) f dµ

Nếu a (cid:62) r.b, ∀r ∈ (0, 1) thì a (cid:62) b S hàm đơn:0 (cid:54) S (cid:54) f a (cid:62) r. (cid:82) Sdµ

X n (cid:80) k=1

S = Ck.X (Ak)

En = X

En sdµ

X a (cid:62) lim n−→∞

Sdµ fndµ (cid:62) (cid:82) fndµ (cid:62) (cid:82) X Sdµ = r. (cid:82) En sdµ (cid:62) r. (cid:82) ∀m ∈ N đặt Em = {x ∈ X/fm(X) (cid:62) r.S} ∞ (cid:83) E1 ⊂ E2 ⊂ ... ⊂ En, m=1 fndµ (cid:62) (cid:82) a = lim (cid:82) r. (cid:82) En

ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 trang 44

BÀI TẬP:

1)Cho hàm f đo được ,cm | f |là hàm đo được 2)Cho f là hàm phức đo được cmr:|| f || đo được

T hu

) = ) → 0khin → ∞ =⇒ fn( x2 = 1 2 1 2 BÀI TẬP CÓ THI: Cho fn(x) = xn, X = [0, 1] .Hỏi fn(x) hội tụ điểm về đâu ? giải: Lấy x1 = 0 =⇒ fn(0) = 0, fn(0) → 0 1 2n , fn( x3 = r, 0 < r < 1 =⇒ fn(r) = rn; fn(r) → 0 khi n → ∞ 1 2 (cid:26) 0, voix = 1

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

x4 = 1 =⇒ fn(1) = 1 f(x)= 1, voi0 (cid:54) x (cid:54) 1

LÝ THUYẾT:

1)f∼ g ⇐⇒ µ ({x/f (x) (cid:54)= g(x)}) = 0 2)f=u+i.v u = u+ − u− u+(x) = sup {u(x), 0} u(x) = sup {0, −u(x)} 3){x/f (x) (cid:54)= h(x)} ⊂ {x/f (x) (cid:54)= g(x)} ∪ {x/g(x) (cid:54)= h(x)} 4)f, g ≥ 0 (cid:82) (f + g)dµ = (cid:82) f dµ + (cid:82) gdµ A=B+C

B+C ⊂ A sup B + C ≤ sup A sup B + sup C ≤ sup A

BÀI 3.8 TRANG 49

i)h=f+g h+ − h− = (f + − f −) + (g+ − g−) (cid:82) h+ = (cid:82) f + + (cid:82) g+ (cid:82) h− = (cid:82) f − + (cid:82) g− ii)α ∈ C, α (cid:54)= 0 ∀c ∈ C :| c |= 1 c.α =| α | α =| α | .eiarg(α) c = e−iarg(α)

BÀI 3.9 TRANG 49

√ √ u2 =| u |

| f | dµ udµ (cid:54) (cid:82) f dµ |= (cid:82) cf dµ = (cid:82) | u | dµ (cid:54) (cid:82) α = (cid:82) f dµ ∈ C ∃c ∈ C, | c |= 1 : c (cid:82) f dµ =| (cid:82) f dµ | (cid:82) cf dµ =| (cid:82) f dµ | cf=u+iv (cid:82) (cf )dµ = (cid:82) udµ + i (cid:82) vdµ u2 + v2 (cid:62) | cf |= | f |=| cf |(cid:62)| u | Ta có:| (cid:82)

n−→∞

BÀI 3.10 TRANG 49

2gdµ + lim inf (− (cid:82) inf (cid:82) (2g− | fn − f |)dµ | fn − f | dµ)

T hu

n−→∞

sup (cid:82) | fn − f | dµ sup (cid:82) | fn − f | dµ. sup (cid:82) | fn − f | dµ (cid:54) 0 lim n−→∞ (cid:82) | fn − f | dµ = 0 fm −→ f | fm |(cid:54) g gm = 2g− | fm − f ∗ | f |(cid:54) g | (cid:82) f dµ |(cid:54) (cid:82) | f | dµ | fn − f |(cid:54)| fn | + | f |(cid:54) 2g gn = 2g− | fn − f | (cid:82) 2gdµ (cid:54) lim = (cid:82) (cid:82) 2gdµ − lim (cid:82) 2gdµ − lim lim n−→∞

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

ĐỊNH NGHĨA 4.2.1

f(x)=

ĐỊNH LÍ 4.2.1 BÀI TẬP 2.20 TRANG 39 (cid:26)x−2, x ∈ R(cid:31){0} ∞, x = 0 Ánh xạ f có đo được trên (R, B) Giải: ∀a ∈ R Xét f(x) < a (cid:63) Nếu a (cid:54) 0 thì f −1 ((a, ∞]) = ∅ ∈ B (cid:63) Nếu a > 0

⇐⇒

⇐⇒   x < ·x (cid:54)= 0 f (x) < a(x (cid:54)= 0) 1 x2 < a  1 √ x > a −1 √ a

·x = 0 ∞ < a( vô lí ) (cid:19) (cid:18) (cid:19) ∪ Vậy f −1 ((−∞, a)) = −∞, , +∞ ∈ B −1 √ a (cid:18) 1 √ a

Vậy f đo được trên (R, B) BÀI 2.21 TRANG 39 (cid:26)x−1, x ∈ R(cid:31){0} −∞, x = 0

f (x) = ∀a ∈ R Xét f (x) < a ·x = 0 −∞ < a luôn đúng ·x (cid:54)= 0

< a(1) < a ⇐⇒ f (x) < a ⇒ 1 x 1 − ax x

Với a=0 (1) ⇐⇒ x < a f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∈ B Với a > 0 (1) ⇐⇒ x < 0 (cid:87) x > 1 a (cid:19) f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪ , +∞ ∈ B (cid:18) 1 a

Với a < 0 (1) ⇐⇒ x < 1 a (cid:87) x (cid:62) 0 (cid:18) (cid:21) −∞, f −1 ((−∞, a)) = ∪ (0, +∞) ∈ B 1 a Vậy f đo được

T hu

f (x) = BÀI 2.22 TRANG 39 (cid:26)x−1, x ∈ R(cid:31){0} 0, x = 0

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

ánh xạ f có là một ánh xạ đo được trên (R, B) không? Giải: ∀a ∈ R +a > 0 Nếu x=0 f(x)< a ⇐⇒ 0 < a (luôn đúng) Nếu x (cid:54)= 0

f (x) < a ⇐⇒ 1 x 1 a < a ⇐⇒ x < 0 (cid:87) x > (cid:19) f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪ , +∞ ∈ B (cid:18) 1 a + a=0

Nếu x=0 f (x) < a ⇐⇒ 0 < 0 (vô lí) Nếu x (cid:54)= 0

< 0 ⇐⇒ x < 0

(cid:21) (cid:18) ∪ (0, +∞) ∈ B 1 f (x) < a ⇐⇒ x f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∈ B +a < 0 f −1 ((−∞, a)) = −∞,

1 a Vậy f đo được trên (R, B

BÀI 2.23 TRANG 39

fn(x) fn đo được ∀n ∈ N i)g(x)=sup m(cid:62)1

∞ (cid:83) m=1

CM g đo được ∀a ∈ R ta chứng minh g−1 ((a, +∞]) = fm ((a, +∞]) ∈ M

m ((a, +∞)]

fm ((a; +∞))

fm(x) > fm0(x) > a

∞ (cid:83) Lấy x ∈ n=1 ⇒ ∃mo ∈ N : x ∈ f −1 → fmo(x) < a sup m(cid:62)1 → sup m(cid:62)1

f (x) < a ⇒ a ∈ g−1 ((a, +∞))

=⇒ x ∈ f −1 n (a, +∞)

fm(x), ∀x ∈ X Lấy x ∈ g−1 ((a, +∞)) ⇐⇒ g(x) > a =⇒ ∃no ∈ N : fn0(x) > a =⇒ x ∈ f −1 n0 ((a, +∞)) ∞ (cid:83) n=1 ii)h(x) = inf m(cid:62)1

∞ (cid:84) m=1

CM: g đo được ∀a ∈ R Ta chứng minh: h−1 ((a, +∞]) = f −1 ((a, +∞])

T hu

+Lấy x ∈ h−1 ((a, +∞)) =⇒ h(x) > a mà fn(x) (cid:62) h(x), ∀x ∈ N =⇒ fn(x) > a, ∀a ∈ N =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) , ∀n ∈ N

T hìn loptoan141@gmail.com Trang- Bích U niversity Sai G on

∞ (cid:84) n=1

fm(x) > a =⇒ h(x) > a =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) f −1 ((a, +∞)) =⇒ x ∈ +Lấy x ∈ (cid:84) f −1 ((a, +∞)) =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) , ∀n ∈ N =⇒ fn(x) > a, ∀n ∈ N =⇒ inf m(cid:62)1

M∈Ω

ĐỊNH LÍ 3:Nếu F là một họ các tập con của X thì tồn tại σ-đại số nhỏ nhất M∗ trong X sao cho F ⊂ M∗ Nhận xét:σ-đại số M∗ này còn được gọi là σ đại số sinh bởi F Chứng minh: Gọi Ω là tập hợp tất cả σ-đại số M trên X sao cho F ⊂ M∗ .Vì P(X) ∈ Ω nên Ω (cid:54)= 0 .Đặt M∗ := (cid:84) M Ta sẽ cm:M∗ là một σ-đại số nhỏ nhất chứa F