Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 2

MATHEDUCARE.COM

Ch−¬ng 2

TÝch ph©n Lebesgue

2.1 Hµm ®o ®−îc

§Þnh nghÜa 2.1.1. Cho (Ω, F), (Ω(cid:6), F(cid:6)) lµ 2 kh«ng gian ®o ®−îc. Ta nãi hµm f : (Ω, F) → (Ω(cid:6), F(cid:6)) lµ ®o ®−îc (cßn gäi f lµ F ®o ®−îc) nÕu:

∀B ∈ F(cid:6) : f −1(B) ∈ F ⇔ f −1(F(cid:6)) ⊂ F.

Trong tr−êng hîp (Ω, F) = (Ω(cid:6), F(cid:6)) = (R, B) vµ f : (R, B) → (R, B) ®o ®−îc th× f cßn ®−îc gäi lµ hµm Borel.

∞

MÖnh ®Ò 2.1.1. f : Ω → R, (R, B) lµ kh«ng gian ®o ®−îc. Khi ®ã ta cã f −1(B) = {f −1(B) : B ∈ B} lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc.

n=1

∞

An ∈ f −1(B).

n=1

n=1 (cid:1)

f −1(Bn) = f −1( An = Chøng minh. 1. f −1(B) lµ σ - ®¹i sè - Ta cã Ω = f −1(R). Mµ R ∈ B ⇒ Ω ∈ f −1(B). - ∀A ∈ f −1(B), ∃ B ∈ B : f −1(B) = A. L¹i cã A = Ω\A = f −1(R)\f −1(B) = f −1(R\B). V× R\B ∈ B ⇒ A ∈ f −1(B). -∀{An}n ⊂ f −1(B), chøng minh {An}n ⊂ f −1(B) ⇒ ∃{Bn}n ⊂ B : An = f −1(Bn), ∀n Bn) ∈ f −1(B) (do Bn ∈ B).

⇒ 2.f −1(B) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc XÐt F bÊt kú lµm cho f ®o ®−îc. ⇔ ∀B ∈ B, f −1(B) ∈ F. (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

L¹i cã ∀A ∈ f −1(B), ∃B ∈ B : A = f −1(B) ∈ F ⇒ f −1(B) ⊂ F. VËy f −1(B) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc.

Chó ý: 1. - NghÞch ¶nh cña σ - ®¹i sè lµ mét σ - ®¹i sè. - NÕu f ®o ®−îc th× f −1 (¶nh ng−îc cña σ - ®¹i sè) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm cho f ®o ®−îc.

2. - NÕu X : (Ω, F) → (R, B) lµ hµm ®o ®−îc. Khi ®ã X −1(B) ®−îc ký hiÖu lµ σ(X). 3. - NÕu f : (Ω, F) → (R, B) lµ hµm ®o ®−îc th× khi ®ã ng−êi ta ký hiÖu f ∈ L0(Ω, F) (líp c¸c hµm ®o ®−îc trªn (Ω, F)). - NÕu f ∈ L0(Ω, F) vµ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®Çy ®ñ. Khi ®ã f gäi lµ µ - ®o ®−îc.

∞

MÖnh ®Ò 2.1.2. Cho f : Ω → Ω(cid:6). C lµ líp c¸c tËp con cña Ω(cid:6). Khi ®ã: f −1(σ(C)) = σ(f −1(C)).

n=1

Chøng minh. [⇐] Ta cã C ⊂ σ(C) ⇒ f −1(C) ⊂ f −1(σ(C)). MÆt kh¸c f −1(σ(C)) lµ σ - ®¹i sè (do tÝnh chÊt trªn). ⇒ σ(f −1(C)) ⊂ f −1(σ(C)). [⇒] TiÕn hµnh ®Æt F = {B ⊂ Ω(cid:6) : f −1(B) ∈ σ(f −1(C)}. NhËn xÐt: Ta lu«n cã f −1(C) ⊂ σ(f −1(C)} ⇒ C ⊂ F. NÕu F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω(cid:6) ⇒ σ(C) ⊂ F. Nh−ng theo c¸ch x©y dùng ⇒ f −1(σ(C)) ⊂ σ(f −1(C)). Giê ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè. - Ta cã Ω(cid:6) ⊂ Ω(cid:6) vµ f −1(Ω(cid:6)) = Ω ∈ σ(f −1(C)). ⇒ Ω(cid:6) ∈ F. - ∀B ∈ F ⇒ f −1(B) ∈ σ(f −1(C)). H¬n n÷a, B = Ω(cid:6)\B ⇒ f −1(B) = f −1(Ω(cid:6)\B) = f −1(Ω(cid:6))\f −1(B) = Ω\f −1(B) Theo gi¶ thiÕt f −1(B) ∈ σ(f −1(C)). ⇒ Ω\f −1(B) ∈ σ(f −1(C)). VËy B ∈ F. - ∀{Bn}n ⊂ F ⇒ f −1(Bn) ∈ σ(f −1(C)), ∀n. MÆt kh¸c f −1( f −1(Bn). Bn) =

(cid:1) (cid:1)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

∞

n=1

∞

n=1

V× f −1(Bn) ∈ σ(f −1(C)) ⇒ f −1(Bn) ∈ σ(f −1(C))

Bn ∈ F. ⇒ VËy F lµ σ - ®¹i sè. (cid:1) MÖnh ®Ò 2.1.3. Hîp 2 hµm ®o ®−îc lµ ®o ®−îc.

(cid:1)

Chøng minh. Gi¶ sö f : (Ω, F) → (R, B). g : (R, B) → (R, B).

f lµ F ®o ®−îc vµ g lµ B ®o ®−îc. Ta chøng minh g ◦ f lµ F ®o ®−îc ®èi víi kh«ng gian ®Çu tiªn. ∀B ∈ B, (g ◦ f )−1(B) = f −1[g−1(B)]. V× g lµ B ®o ®−îc ⇒ g−1(B) ∈ B. Do ®ã f −1[g−1(B)] ∈ F v× f lµ F ®o ®−îc.

MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho f : (R, B) → (R, B). NÕu f liªn tôc th× f ®o ®−îc. Chøng minh. ∀B (®ãng) trong B vµ f liªn tôc ⇒ f −1(B) lµ ®ãng. ⇒ f −1(B) ∈ B (®Þnh nghÜa σ - ®¹i sè Borel). ⇒ f lµ B ®o ®−îc.

MÖnh ®Ò 2.1.5. Cho f : (Ω, F) → (R, B). C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: 1.f ∈ L0(Ω, F, µ) ∀x ∈ R,

2.{ω ∈ Ω : f (ω) < x} ∈ F 3.{ω ∈ Ω : f (ω) (cid:1) x} ∈ F 4.{ω ∈ Ω : f (ω) > x} ∈ F 5.{ω ∈ Ω : f (ω) (cid:2) x} ∈ F.

Chøng minh. ChØ cÇn chøng minh (1) ⇔ (2). C¸c tr−êng hîp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù. [⇒] Gi¶ sö f ∈ L0(Ω, F, µ) ta cã {ω ∈ Ω : f (ω) < x} = f −1(−∞, x). Mµ (−∞, x) ∈ B suy ra f −1(−∞, x) ∈ F. [⇐] Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng (−∞, x) víi x ∈ R. ⇒ σ(C) = B (Bµi tËp). f ∈ L0(Ω, F, µ) ⇔ f −1(B) ⊂ F. ThËt vËy, f −1(B) = f −1(σ(C)) = σ(f −1(C)). Tõ gi¶ thiÕt f −1(C) ⊂ F suy ra f −1(B) ⊂ F (do tÝnh chÊt bÐ nhÊt cña σ - ®¹i sè σ(f −1(C)).

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

MÖnh ®Ò 2.1.6. Cho {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ). Khi ®ã ϕi ∈ L0(Ω, F), ∀i = 1, 6. Trong ®ã:

ϕ1 = maxi=1,∞ fi ϕ2 = mini=1,∞ fi ϕ3 = supi=1,∞ fi ϕ4 = infi=1,∞ fi ϕ5 = lim i=1,∞fi ϕ6 = lim i=1,∞fi.

i=1

Chøng minh. VËn dông mÖnh ®Ò f ∈ L0(Ω, F, µ) ⇔ {f < x} ∈ F, ∀x ∈ R. {fi < x} ∈ F (v× {fi < x} ∈ F)

{ϕ2 < x} = {fi < x} ∈ F.

{ϕ1 < x} = ⇒ ϕ1 ∈ L0(Ω, F, µ). T−¬ng tù ta cã: n (cid:2) i=1 ∞ {ϕ3 < x} = {fi < x} ∈ F.

{ϕ4 < x} =

i=n ∞

{fi < x} ∈ F. ∞ {ϕ5 < x} = {fi < x} ∈ F.

i=1 ∞ (cid:1) i=1 ∞ (cid:2) n=1 ∞ (cid:1) n=1

i=n

{fi < x} ∈ F. {ϕ6 < x} =

(cid:1)

(cid:2) MÖnh ®Ò 2.1.7. Céng, trõ, nh©n, chia (nÕu x¸c ®Þnh) cña 2 hµm ®o ®−îc lµ ®o ®−îc. (cid:1) (cid:2)

Chøng minh. f, g ∈ L0(Ω, F, µ). Chøng minh f + g ∈ L0(Ω, F, µ). X©y dùng c¸c ¸nh x¹ sau:

h : (Ω, F) → (R2, B2) k : (R2, B2) → (R, B)

víi h(ω) = (f (ω), g(ω)) vµ k(f, g) = f + g. Ta chØ ra h lµ F ®o ®−îc. Thùc vËy, ∀B ∈ B2, B = B1 × B2, (B1 ∈ B, B2 ∈ B) h−1(B) = h−1(B1 × B2) = f −1(B1) ∩ g−1(B2) ∈ F (v× f −1(B1), g−1(B2) ∈ F). V× thÕ h lµ F ®o ®−îc. L¹i cã k(f, g) = f + g nªn k liªn tôc ⇒ k lµ B2 ®o ®−îc. Theo mÖnh ®Ò 2.1.3 th× k ◦ h lµ F ®o ®−îc. Nh−ng k ◦ h = k(f, g) = f + g. VËy f + g lµ F ®o ®−îc. C¸c tr−êng hîp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù.

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Chó ý: MÖnh ®Ò trªn ®óng hÇu kh¾p n¬i.

§Þnh nghÜa 2.1.2. Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®ñ. Ta nãi P (ω) ®óng hÇu kh¾p n¬i nÕu µ{ω : P (ω) kh«ng ®óng} = 0 (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, P (ω) ®óng ∀ω ∈ N ).

VÝ dô. fn → f, n → ∞ (h.k.n) ⇔ µ({ω : fn(ω) (cid:3) f (ω)}) = 0 (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, fn(ω) → f (ω), ∀ω ∈ N ).

MÖnh ®Ò 2.1.8. Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®ñ.

a) NÕu f ∈ L0(Ω, F, µ) vµ f = g (h.k.n) th× g ∈ L0(Ω, F, µ). b) NÕu {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ), vµ fn → f (h.k.n) th× f ∈ L0(Ω, F, µ).

Chøng minh. a) f = g (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0 vµ g = f trªn N nªn ∀a ∈ R ta cã: {g < a} = {g < a} ∩ N + {g < a} ∩ N = {f < a} ∩ N + {g < a} ∩ N . MÆt kh¸c {g < a} ∩ N ⊂ N nªn {g < a} ∩ N kh«ng ®¸ng kÓ ⇒ {g < a} ∩ N ∈ F (do (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®Çy ®ñ). {f < a} ∩ N ∈ F (v× f ∈ L0(Ω, F, µ)). VËy {g < a} ∈ F, ∀a ∈ R ⇒ g ∈ L0(Ω, F, µ). b) Ta cã fn → f (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0 sao cho: {f < a} = {f < a} ∩ N + {f < a} ∩ N vµ fn → f trªn N . ⇒ {f < a} ∈ F, ∀a ∈ R. VËy f ∈ L0(Ω, F, µ).

MÖnh ®Ò 2.1.9. Cho {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ), fn héi tô (h.k.n) th× ∃ f ∈ L0(Ω, F, µ) sao cho fn → f (h.k.n).

Chøng minh. §Æt A = {ω : fn(ω) héi tô}. Theo gi¶ thiÕt fn héi tô (h.k.n) suy ra µ(A) = 0.

§Æt f (ω) = lim fn(ω) 0

víi ω ∈ A víi ω ∈ A. VËy fn → f (h.k.n) vµ theo mÖnh ®Ò 2.1.8 th× f ∈ L0(Ω, F, µ).

(cid:19)

Hµm chØ tiªu (hµm ®Æc tr−ng) 1A : Ω → {0, 1}

. 1A(ω) = 1 0 nÕu ω ∈ A nÕu ω /∈ A

28 (cid:19)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Hµm bËc thang Cho f : Ω → R. Ta nãi f lµ hµm bËc thang nÕu f (Ω) chØ nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ thùc. Gi¶ sö f (Ω) = {a1, a2, . . . , an}. Khi ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn hµm bËc thang th«ng qua c¸c hµm sau:

i=1

f (ω) = ai.1Ai (ω), trong ®ã Ai = {ω ∈ Ω : f (ω) = ai}, i = 1, n.

NhËn xÐt:

i=1

1. NÕu ai.1Ai ∈ L0(Ω, F, µ) ⇔ Ai ∈ F, ∀i = 1, n. (cid:3)

2. Ai ∩ Aj = ∅; i (cid:1)= j, i, j = 1, n vµ c¸c Ai, i = 1, n t¹o nªn mét ph©n ho¹ch trªn Ω.

0 lµ líp c¸c hµm kh«ng ©m ®o ®−îc.

N bËc thang kh«ng gi¶m, kh«ng

0 (Ω, F, µ) lµ ∃ {fn}n∈

Bµi tËp: Cho f, g lµ 2 hµm bËc thang. Chøng minh f + g còng lµ hµm bËc thang. Ký hiÖu: L+ (cid:3)

§Þnh lý 2.1.1. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f ∈ L+ ©m, ®o ®−îc fn ↑ f .

Chøng minh. [⇐] fn → f vµ fn ®o ®−îc ⇒ f ®o ®−îc. [⇒]

n2n−1

§Æt fn(ω) = , k = 1, n2n − 1. (cid:1) f (ω) (cid:1) k + 1 2n k 2n n k , 2n , f (ω) (cid:2) n

2n ] + n.1{f (cid:1)n}

k=1

fn =

k 2n .1[  

2n (cid:2)f (cid:2) k+1 fn lµ hµm bËc thang, kh«ng ©m, ®o ®−îc. Cho n → ∞ th× fn → f . VËy: Cho mét hµm kh«ng ©m ®o ®−îc th× lu«n tån t¹i dQy hµm bËc thang t¨ng vÒ tíi nã.



(cid:3)

2.2 TÝch ph©n Lebesgue

§Þnh nghÜa 2.2.1 (TÝch ph©n Lebesgue). Cho hµm f ∈ L0(Ω, F, µ). Ta cã c¸c ®Þnh nghÜa sau:

Ω

Ω n

f dµ = 1Adµ := µ(A). 1. NÕu f = 1A, A ∈ F th×

i=1

i=1 (cid:20) f dµ := sup{

2. NÕu f = ai.1Ai th× f dµ := aiµ(Ai).

Ω

Ω (cid:20) 0 (Ω, F, µ) th× (cid:20)

hdµ : 0 (cid:1) h (cid:1) f, h lµ hµm bËc thang}.

3. NÕu f ∈ L+ 4. NÕu f ∈ L0(Ω, F, µ) (cid:14) (cid:3)

(cid:20) (cid:20) 29

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

§Æt f + = max(f, 0) f − = max(−f, 0) ⇒ f = f + − f −

Ω

f −dµ fdµ := f +dµ −

Ω f +dµ = ∞,

Ω f −dµ = ∞ th×

Ω

Ω (cid:20)

- NÕu fdµ kh«ng tån t¹i.

(cid:20) (cid:20) f dµ tån t¹i nh−ng kh«ng kh¶ tÝch. - NÕu chØ mét trong hai b»ng ∞ th× ta nãi

Ω f −dµ < ∞ th× f kh¶ tÝch. Vµ ta sÏ ký hiÖu

Ω

Ω (cid:20)

(cid:20) (cid:20) (cid:20) - NÕu −∞ < f +dµ < ∞, −∞ <

Ω

f ∈ L1(Ω, F, µ) líp c¸c hµm kh¶ tÝch Lebesgue (−∞ < fdµ < ∞).

(cid:20) (cid:20)

Ω

Ω f dµ (cid:1)

fdµ tån t¹i th× afdµ tån t¹i vµ fdµ. afdµ = a TÝnh chÊt 2.2.1. 1. ∀a ∈ R vµ nÕu (cid:20) Ω

Ω

gdµ. 2. NÕu f (cid:1) g th×

Ω (cid:20) |f |dµ.

Ω (cid:20) fdµ tån t¹i th×

Ω

Ω (cid:20) fdµ tån t¹i ∀A ∈ F. 4. NÕu A 5. Cho f ∈ L1(Ω, F, µ) ⇒ f.1A ∈ L1(Ω, F, µ), ∀A ∈ F.

(cid:20) (cid:20) (cid:20) 3. | fdµ| (cid:1)

(cid:20) (cid:20)

Ω

i=1

Chøng minh. (cid:20) (cid:20) f dµ. 1. af dµ = a n TH1: f = ai.1Ai ai.1Ai ⇒ af = a

Ω

i=1

(cid:20) (cid:20) fdµ. afdµ = a ai.µ(Ai) = a. ⇒

0 (Ω, F, µ), a > 0 ⇒ af ∈ L+ TH2: f ∈ L+ (cid:3)

0 (Ω, F, µ)

(cid:3)

Ω

⇒ hdµ : 0 (cid:1) h (cid:1) af, h BT } = sup{ (cid:1) f, h BT }. ah a dµ : 0 (cid:1) h a afdµ := sup{ (cid:14)

Ω

(cid:20) Ω §Æt h(cid:6) = ⇒ sup{ (cid:1) f, h BT } = a. sup{ h(cid:6)dµ : 0 (cid:1) h(cid:6) (cid:1) f, h(cid:6) BT } = h a (cid:20) dµ : 0 (cid:1) h a ah a (cid:20) (cid:20) (cid:20) f dµ.

(cid:20) a TH3: f ∈ L0(Ω, F, µ) (cid:20) TH a > 0

Ω

f −dµ afdµ = (af)−dµ = af −dµ (v× a > 0) = a (af )+dµ− af +dµ− f +dµ−a (cid:20) Ω

(cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Ω

f −dµ fdµ. (theo cmt) = a = a f +dµ −

TH a < 0

Ω

f −dµ afdµ = (cid:20) (af )−dµ = (cid:22) = (cid:20) (af)+dµ − ⇒ −af −dµ − −af +dµ = a f +dµ − (af )+ = −af −, (af )− = −af + (cid:21)(cid:20) Ω

Ω (cid:20)

a f dµ.

0 (Ω, F, µ). Ta cã,

(cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:22) 2. TH1: f, g ∈ L+

Ω

(v× f (cid:1) g). f dµ = sup{ hdµ : 0 (cid:1) h (cid:1) f, h BT } (cid:1) sup{ hdµ : 0 (cid:1) h (cid:1) g, h BT } (cid:20) Ω

Ω

gdµ (cid:20) (cid:20)

Ω

(cid:20) TH2: f, g ∈ L0(Ω, F, µ), f (cid:1) g, f = f + − f −, g = g+ − g−. Do f (cid:1) g ⇒ f + (cid:1) g+, g− (cid:1) f − (cid:11)(cid:12) (cid:13) f −dµ (cid:1) gdµ. fdµ = (cid:20) g−dµ = ⇒ f +dµ − (cid:10) g+dµ −

Ω

|f |dµ (theo tÝnh chÊt 2).

Ω

(cid:20) |f |dµ (cid:1) (cid:20) fdµ (cid:1) (cid:20) (cid:20) 3. Ta cã −|f | (cid:1) f (cid:1) |f | ⇒ − (cid:20) fdµ| (cid:1) (cid:20) ⇒ | |f |dµ.

Ω

(cid:20) (cid:20) (cid:20) f +dµ < ∞.

(cid:20) (cid:20) 4. Gi¶ sö f dµ tån t¹i vµ L¹i cã (f.1A)+ = 1A.f + (cid:1) f +, ∀A ∈ F.

Ω

(f.1A)+dµ (cid:1) ⇒ (cid:20) f +dµ < ∞. (cid:20)

Ω

VËy fdµ = (f.1A)dµ tån t¹i.

Ω

(cid:20) (cid:20) 5. LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn ta lu«n cã (f.1A)+dµ (cid:1) (f.1A)−dµ (cid:1) f +dµ < ∞ vµ

Ω

(cid:20) (cid:20) f −dµ < ∞.

(cid:20) (cid:20) (cid:20) f.1Adµ < ∞.

⇒ −∞ < Ω VËy f.1A ∈ L1(Ω, F, µ). (cid:20)

Ω

(cid:20) fndµ → f dµ, n → ∞. §Þnh lý 2.2.1 (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu). Cho {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ) tho¶ 0 (cid:1) fn, ∀n, fn ↑n f th×

Chøng minh.

(cid:20) (cid:20) 31

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Ω

Ω fndµ (cid:1)

fndµ (cid:1) Ta cã fn (cid:1) f ⇒ fdµ, ∀n

Ω

fdµ. fndµ (cid:2)

(cid:20) (cid:20) fdµ. SÏ chøng minh limn ⇒ limn ∀ε ∈ (0, 1), ®Æt Bn = {ω, fn(ω) (cid:2) (1 − ε)h}, trong ®ã 0 (cid:1) hBT (cid:1) f . V× fn ↑n f ⇒ Bn ↑n Ω.

L¹i cã fndµ (cid:2) fndµ (cid:2) (1 − ε) (cid:20) hdµ → (1 − ε) (cid:20) Bn (cid:20) hdµ, n → ∞. Ω (cid:20) Ω

i=1

Ω

i=1

hdµ). hdµ = ai.µ(Ai) = ai.µ(Ai ∩ Bn) →

i=1 (cid:20) hdµ (cid:1)

ai.µ(Ai ∩ Ω) = (cid:20) (V× h = (cid:20) ai.1Ai ⇒ (cid:20)

Ω

fndµ. Tãm l¹i: ∀ε ∈ (0, 1) : (1 − ε)

Ω

(cid:20) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:3) (cid:20) hdµ (cid:1) fndµ Cho ε ↓ 0 ⇒

Ω

(cid:20) fndµ. (cid:20) (cid:1) limn ⇒ sup{ hdµ : 0 (cid:1) h (cid:1) f, h BT }

Ω

(cid:20) (cid:20) f dµ (cid:20)

Ω

fdµ.

fndµ = (cid:11)(cid:12) (cid:13) (cid:20)

Ω

Ω gdµ.

gdµ x¸c ®Þnh. Khi ®ã (f + g)dµ tån t¹i vµ fdµ + (cid:20) VËy limn (cid:10) §Þnh lý 2.2.2 (TÝnh céng tÝnh h÷u h¹n cña tÝch ph©n). Cho f, g ∈ L0(Ω, F, µ), f + g x¸c ®Þnh. (cid:20) (cid:20)

Ω

Ω (cid:20)

(f + g)dµ = fdµ +

(cid:20) (cid:20)

i=1 m

(cid:20) (cid:20) §Æc biÖt f, g ∈ L1(Ω, F, µ) th× (f + g) ∈ L1(Ω, F, µ). Chøng minh. (cid:20) TH1: f, g lµ hµm bËc thang. Víi n f = ai.1Ai

j=1 n (cid:3)

g = bj.1Bj

i=1

j=1 V× {Bj}, j = 1, m t¹o nªn mét ph©n ho¹ch cña Ω

ai.1Ai + bj.1Bj . ⇒ f + g =

j=1

i=1

j=1

i=1 (cid:3)

(cid:3) n ai bj 1Bj ∩Ai = (ai + bj).1Ai∩Bj . ⇒ f + g =

1Ai∩Bj + (cid:3) m

Ω

i=1

j=1

(f + g)dµ = ⇒ (ai + bj)µ(Ai ∩ Bj)

(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3)

(cid:3) 32 (cid:20) (cid:14) (cid:14)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

i=1

j=1

i=1

µ(Bj)

µ(Ai) m

= ai ( + bj ( µ(Ai ∩ Bj ) µ(Ai ∩ Bj)

j=1

Ω

gdµ. = aiµ(Ai) + (cid:14) bjµ(Bj) = (cid:3) (cid:3) i=1 fdµ + (cid:14) Ω

(cid:13) (cid:10) (cid:10) (cid:11)(cid:12) (cid:13)

(cid:11)(cid:12) (cid:20) (cid:20) (cid:3) (cid:3) TH2: 0 (cid:1) f, g ∈ L0(Ω, F, µ) ⇒ ∃{fn}n (cid:2) 0, {gn}n (cid:2) 0 lµ c¸c dQy hµm bËc thang, fn ↑n f, gn ↑n g ⇒ (fn + gn) ↑n (f + g)

Ω

(f + g)dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu). ⇒ (fn + gn)dµ ↑n

Ω

L¹i cã gdµ (v× fn, gn lµ c¸c hµm bËc thang). (fn + gn)dµ = fndµ + fdµ + gndµ ↑n

Ω Ω Ω(f + g)dµ =

Ω Ω fdµ +

Ω gdµ.

Do tinh duy nhÊt cña giíi h¹n nªn (cid:20) (cid:20)

(cid:20) (cid:20)

Ω

(cid:23) gdµ TH3: f, g ∈ L0(Ω, F, µ), g (cid:1) 0, f (cid:2) 0, f + g (cid:2) 0 (cid:20) (cid:20) (cid:20) §Æt h = f + g ⇒ f = h + (−g) (cid:2) 0. (cid:23) fdµ = Sö dông kÕt qu¶ ë TH2 ⇒ (cid:23) hdµ − (h + (−g))dµ =

Ω

gdµ. hdµ = fdµ + ⇒

(cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) Nh÷ng tr−êng hîp kh¸c lµ t−¬ng tù.

(cid:20) (cid:20) (cid:20)

∞

§Þnh lý 2.2.3 (TÝnh céng t×nh ®Õm ®−îc). Cho {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ), 0 (cid:1) fn∀n. Khi ®ã ∞

Ω

n=1

fndµ. ( fn)dµ =

∞

n=1

∞

Chøng minh. k (cid:20) (cid:20) §Æt gk = fn th× 0 (cid:1) gk ↑k (cid:14) fn. (cid:14)

Ω

n=1

∞

Theo ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu ta cã ( fn)dµ. gkdµ ↑k

Ω

n=1

∞

(cid:3) MÆt kh¸c fndµ (do tÝnh h÷u h¹n céng tÝnh). gkdµ = (cid:20) (cid:3) fndµ ↑k (cid:20)

Ω

n=1

fndµ. ( (cid:14) fn)dµ = (cid:20) (cid:20) (cid:14) (cid:14)

Sö dông tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n ta ®−îc (cid:20) §Þnh lý 2.2.4 (Héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). Cho {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ). (cid:20) (cid:20) (cid:14) (cid:14)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Ω

fdµ. a) NÕu g (cid:1) fn ∀n, gdµ > −∞ vµ fn ↑n f th× fndµ ↑n

Ω (cid:20)

fdµ. b) NÕu g (cid:2) fn ∀n, gdµ < +∞ vµ fn ↓n f th× fndµ ↓n

Chøng minh. (cid:20) (cid:20) a) TH1: (cid:20) gdµ = ∞.

Ω Ta cã g (cid:1) fn, ∀n ⇒

Ω

gdµ (cid:1) fndµ

Ω

(cid:20) fndµ = ∞ (1).

(cid:20)

Ω

gdµ (cid:1) fdµ

Ω

⇒ ⇒ lim n MÆt kh¸c g (cid:1) fn, ∀n ⇒ g (cid:1) limn fn = f (cid:20) ⇒ ∞ = (cid:20) fdµ = ∞ (2).

Ω

fdµ. fndµ = (cid:20) (cid:20) Tõ (1) , (2) ⇒ limn

Ω

(cid:20) TH2: gdµ < ∞ ⇒ g < ∞ (h.k.n).

(cid:20) (cid:20)

§Æt B = {ω ∈ Ω : g(ω) < ∞} ⇒ µ(B) = 0. VËy ta cã ∀ω ∈ B, ∀n : 0 (cid:1) fn − g ↑n f − g (cid:20) Tõ ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu:

⇒ (fn − g)dµ ↑n (f − g)dµ

gdµ fndµ − gdµ ↑n f dµ − ⇒

(cid:20) (cid:20) f dµ fndµ ↑n ⇒

(cid:20) (cid:20) fndµ + (cid:20) fdµ + f dµ (v× µ(B) = 0)). ⇒ (cid:20) fndµ ↑n

B (cid:20)

Ω (cid:20)

(cid:20) fdµ. ⇒ fndµ ↑n

Ω b) Ta cã fn (cid:1) g, ∀n ⇒ −g (cid:1) −fn,

Ω

(cid:20) (cid:20) (cid:20) −gdµ (cid:2) −∞.

Ω

(cid:20) (cid:20) Chøng minh t−¬ng tù c©u a) fdµ. −fndµ ↑n −fdµ ⇒ fndµ ↓n

(cid:20)

§Þnh lý 2.2.5 (B§T Fatou cho tÝch ph©n). (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Cho {fn}n ⊂ L0(Ω, F, µ) tho¶: a) g (cid:1) fn, ∀n, gdµ > −∞. Khi ®ã ta cã:

Ω lim nfndµ (cid:1) lim n

Ω

fndµ.

Ω b) g (cid:2) fn, ∀n,

(cid:20) gdµ < ∞. Khi ®ã ta cã:

Ω lim nfndµ (cid:2) lim n

Ω

(cid:20) (cid:20) fndµ.

∞

(cid:20) Chøng minh.

n=1

k=n

Ω

fk. a) Ta cã: lim nfn = (cid:20) (cid:20) ∞ §Æt ϕn = lim nfndµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). fk ↑n lim nfn ⇒ ϕndµ ↑

Ω ϕndµ (cid:1)

Ω

(cid:1) fndµ

Ω (cid:20) Ω fndµ fndµ.

k=n MÆt kh¸c ϕn (cid:1) fn, ∀n ⇒ (cid:2) Ω ϕndµ (cid:1) lim n (cid:2) lim nfndµ (cid:1) lim n

(cid:20) ⇒ lim n

Ω

∞

n=1

k=n

∞

k=n

(cid:20) §Æt φn = (cid:23) (cid:20) fk ↓n lim nfn

Ω

(cid:2) (cid:1) φn (cid:1) g, gdµ < ∞

Ω

lim nfndµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). ⇒ φndµ ↓ (cid:1)

Ω

(cid:20) φndµ (cid:2) fndµ

Ω Ω fndµ fndµ.

(cid:20) ⇒ lim n

Ω

MÆt kh¸c φn (cid:2) fn, ∀n ⇒ Ω φndµ (cid:2) lim n (cid:20) lim nfndµ (cid:2) lim n ⇒ (cid:20) (cid:20) Ω

(cid:23) (cid:20)

Ω

Ω Chøng minh. a) V× |fn| bÞ chÆn bëi g ∈ L1(Ω, F, µ)

§Þnh lý 2.2.6 (§Þnh lý héi tô bÞ chÆn). (cid:23) Cho {fn}n ®o ®−îc trªn (Ω, F, µ) vµ |fn| (cid:1) g ∈ L1(Ω, F, µ). (cid:20) NÕu fn → f, n → ∞ th×: a) f ∈ L1(Ω, F, µ). b) f dµ, n → ∞. fndµ →

(cid:20) (cid:20)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

⇒ limn |fn| (cid:1) g ∈ L1(Ω, F, µ) ⇒ |f | (cid:1) g ∈ L1(Ω, F, µ) ⇒ |f | ∈ L1(Ω, F, µ) ⇔ f ∈ L1(Ω, F, µ).

Ω

b) Sö dông bæ ®Ò Fatou ta cã: fndµ (cid:1) lim nfndµ (cid:1) lim n fndµ (cid:1) lim n fdµ =

Ω

f dµ. lim nfndµ =

Ω

Ω (cid:20)

(cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:20) fndµ → f dµ, n → ∞. ⇒

(cid:20) (cid:20) (cid:20) §Þnh lý 2.2.7. Cho f : [a, b] → R. NÕu f kh¶ tÝch Riemann trªn [a, b] th× f kh¶ tÝch theo nghÜa Lebesgue vµ h¬n n÷a, ∀a, b ∈ R

[a,b]

f dµ = f (x)dx.

2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym

2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o

(cid:20) (cid:20)

§Þnh nghÜa 2.3.1. Cho ®é ®o cã dÊu (suy réng) λ, vµ ®é ®o µ trªn (Ω, F). Ta nãi λ tuyÖt ®èi liªn tôc ®èi víi µ (λ (cid:29) µ) nÕu: µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F.

MÖnh ®Ò 2.3.1. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng:

a) λ (cid:29) µ b) λ+ (cid:29) µ, λ− (cid:29) µ c) |λ| (cid:29) µ. Trong ®ã λ+, λ− : F → [0, ∞] lµ ®é ®o x¸c ®Þnh bëi ∀A ∈ F : λ+(A) = λ(A ∩ E), λ−(A) = λ(A ∩ E), víi (E, E) lµ ph©n ho¹ch Hahn trªn Ω.

Chøng minh. [a ⇒ b] Ta cã: λ (cid:29) µ ⇔ µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F ⇒ λ(A ∩ E) = 0 ⇒ λ+ (cid:29) µ. T−¬ng tù, λ− (cid:29) µ. [b ⇒ c] Tõ (b) ta cã: ∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ λ+(A) = 0, λ−(A) = 0 ⇒ |λ|(A) = λ+(A) + λ−(A) = 0. Do vËy |λ| (cid:29) µ. [c ⇒ a]

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Tõ (c) cho ta: ∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ |λ|(A) = 0. L¹i cã λ (cid:1) |λ| ⇒ λ(A) (cid:1) |λ|(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0 ⇒ λ (cid:29) µ. MÖnh ®Ò 2.3.2. Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu vµ µ lµ ®é ®o trªn kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F), λ < ∞. Khi ®ã hai mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng:

a) λ (cid:29) µ. b) µ(An) → 0, n → ∞ th× λ(An) → 0, n → ∞.

∞

Chøng minh. [b ⇒ a] λ lµ ®é ®o, ∀A ∈ F : µ(A) = 0, ®Æt An = A, ∀n. MÆt kh¸c do (b) suy ra λ(An) → 0, n → ∞ nghÜa lµ λ(A) = 0. VËy λ (cid:29) µ. [a ⇒ b] - Víi λ lµ ®é ®o. Gi¶ sö λ (cid:29) µ vµ (b) sai, tøc ∃ ε > 0, ∃ n0 : ∀n (cid:2) n0 ⇒ µ(An) < 1 2n , λ(An) > ε.

k=n ∞

n=1 µ(A) = µ(lim nAn) (cid:1) µ(

Ak. §Æt A = lim nAn =

∞

Ak).

k=n Ak) (cid:1) (cid:1)

k=n

∞

µ(Ak) < Theo B§T Boole µ( 1 2k < ∞.

k=n

(cid:1) Cho n ↑ ∞ ⇒

∞ (cid:2) k=n 1 2k → 0 (chuçi héi tô). ⇒ µ(A) = 0 vµ v× λ (cid:29) µ ⇒ λ(A) = 0 (*). (cid:1) (cid:3) Tuy nhiªn, víi ε > 0 ë trªn ta l¹i cã λ(A) = λ(lim nAn) (cid:2) lim nλ(An) > ε (B§T Fatou). M©u thuÉn víi (*). (cid:3) VËy [a ⇒ b] ®óng. - Víi λ lµ ®é ®o cã dÊu ⇒ λ = λ+ − λ−, |λ| = λ+ + λ−. Theo chøng minh th× |λ|(A) = 0, |λ|(A) > ε, ∀ε > 0 (m©u thuÉn). Suy ra kÕt qu¶.

2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym

(cid:3)

§Þnh lý 2.3.1 (§Þnh lý Radon - Nikodym). Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu, µ lµ ®é ®o trªn (Ω, F). Gi¶ sö λ, µ < ∞, λ (cid:29) µ. Khi ®ã tån t¹i hµm f ∈ L1(Ω, F, µ) sao cho

λ(A) = f dµ, ∀A ∈ F.

. Lóc nµy f ®−îc gäi lµ ®¹o hµm Radon - Nicodym cña λ ®èi víi µ vµ viÕt f = dλ dµ (cid:20) 37

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Chøng minh. Tr−íc hÕt ta nh¾c l¹i bæ ®Ò Zorn. Cho tËp (S, (cid:1)) vµ S (cid:1)= ∅. NÕu mäi xÝch C ⊂ S ®Òu cã mét chÆn trªn trong S th× S cã phÇn tö cùc ®¹i f (nghÜa lµ (cid:4) g ∈ S : g > f ).

gdµ (cid:1) λ(A), ∀A ∈ F}.

TH: λ lµ ®é ®o. §Æt M = {g (cid:2) 0 ®o ®−îc, kh¶ tÝch: Trªn M ta ®Þnh nghÜa quan hÖ thø tù f (cid:1) g. NÕu mäi xÝch C ⊂ M ®Òu cã chÆn trªn th× M cã phÇn tö cùc ®¹i.

Ω

(cid:20) XÐt xÝch C ⊂ M bÊt kú, ®Æt s = sup{ gdµ, g ∈ C}

Ω

gndµ ↑n s (1).

(cid:20)

Ω

⇒ ∃ {gn}n ⊂ C : MÆt kh¸c ta cã gn ↑n (v× nÕu kh«ng sÏ tån t¹i n0 : gn0+1 (cid:1) gn0). V× gn0dµ (cid:1) gn0+1dµ ⇒ gn0 (cid:1) gn0+1. gndµ ↑n s ⇒ (cid:20)

VËy gn0 = gn0+1 (h.k.n). ⇒ ∃ g0 : gn ↑n g0.

Ω

(cid:20) (cid:20) (cid:20) Theo ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu th× g0dµ (2). gndµ ↑n

Ω

g0dµ. Tõ (1), (2) ⇒ s =

(cid:20) Ta chøng minh g0 lµ mét chÆn trªn. (cid:20) ThËt vËy,

(cid:20) g0dµ gndµ (cid:1) λ(A), ∀n vµ gndµ ↑n

⇒ g0dµ (cid:1) λ(A), ∀A ∈ F ⇒ g0 ∈ M .

(cid:20) (cid:20)

A H¬n n÷a, (cid:20) ∀g ∈ C, ∃ n0 : g (cid:1) gn0 ⇒ g (cid:1) supn gn = g0. Gi¶ sö gn (cid:1) g, ∀n ⇒

Ω

(cid:20) g0dµ (cid:1) g0dµ. gdµ (cid:1) s =

Ω

VËy gdµ = g0dµ ⇒ g = g0 (h.k.n).

KÕt luËn:Víi mäi xÝch C ⊂ M ®Òu cã chÆn trªn trong M . Do ®ã M ph¶i cã phÇn tö cùc ®¹i gäi lµ f . (cid:20) (cid:20) (cid:20)

(cid:20) (cid:20) Cuèi cïng ta chØ ra λ(A) = fdµ, ∀A ∈ F.

fdµ.

§Æt λ1(A) = λ(A) − A Víi c¸ch ®Æt trªn th× λ1(A) (cid:2) 0 vµ λ1 (cid:29) µ. (cid:20)

(cid:20) 38

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

Ta chøng minh λ1(Ω) = 0 (λ1(A) = 0, ∀A ∈ F). Gi¶ sö ng−îc l¹i λ1(Ω) > 0, µ(Ω) < ∞ (v× µ h÷u h¹n). ⇒ ∃ K > 0 : µ(Ω) − K.λ1(Ω) < 0 (**). µ − K.λ1 lµ ®é ®o cã dÊu. Gäi S lµ tËp kh«ng d−¬ng trong ph©n ho¹ch Hahn cña Ω ®èi víi µ − K.λ1. ∀A ∈ F,

µ(A ∩ S) − K.λ1(A ∩ S) (cid:1) 0 (a) µ(A ∩ S) − K.λ1(A ∩ S) > 0 (b).

§Æc biÖt víi A = Ω th× tõ (b) ⇒ µ(S) − K.λ1(S) > 0. L¹i cã µ(S) > 0 v× nÕu kh«ng th× µ(S) = 0, lóc ®ã µ(Ω ∩ S) − K.λ1(Ω ∩ S) = 0 (v× λ1 (cid:29) µ) ⇒ µ(S) − K.λ1(S) = µ(Ω) − K.λ1(Ω) > 0 (m©u thuÉn víi (**)).

§Æt h = .1S > 0 trªn S

fdµ. .1Sdµ = hdµ = µ(A ∩ S) (cid:1) λ1(A ∩ S) (do (a)) (cid:1) λ1(A) = λ(A) − 1 K ⇒ ∀A ∈ F, 1 K

A hdµ (cid:1) λ(A) −

VËy 1 K (h + f )dµ (cid:1) λ(A) f dµ ⇒

V× thÕ λ1(Ω) = 0 ⇒ 0 = λ1(A) = λ(A) − fdµ, ∀A ∈ F (cid:20) (cid:20) (cid:20)

⇒ λ(A) = f dµ, ∀A ∈ F.

(cid:20)

(cid:20) Tr−êng hîp tæng qu¸t λ lµ ®é ®o cã dÊu. Ph©n tÝch Jordan λ : λ = λ+ − λ−. Víi λ+ ⇒ cã f1 kh¶ tÝch d−¬ng: λ+(A) = f1dµ, ∀A ∈ F.

Víi λ− ⇒ cã f2 kh¶ tÝch d−¬ng: λ−(A) = f2dµ, ∀A ∈ F.

A (cid:20) (f1 − f2)dµ

⇒ λ(A) = λ+(A) − λ−(A) =

(cid:20) ⇒ ∃ f = f1 − f2 kh¶ tÝch: λ(A) = fdµ, ∀A ∈ F.

Ω

(cid:20) (cid:20) §Þnh lý 2.3.2 (§Þnh lý Fubini). Cho kh«ng gian tÝch (Ω, F, µ) = (Ω1 × Ω2, F1 ⊗ F2, µ1 ⊗ µ2) vµ f lµ F ®o ®−îc. NÕu |f |dµ < ∞ th×

Ω

Ω1

Ω2

Ω1

dµ2. f dµ2 fdµ1 f dµ = dµ1 =

Bµi tËp ch−¬ng II

(cid:20)

(cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:4)(cid:20) (cid:6) (cid:4)(cid:20) (cid:6)

matheducare.com

MATHEDUCARE.COM

1) Cho 2 kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F), (Ω(cid:6), F(cid:6)). Gi¶ sö F0 lµ ®¹i sè trªn Ω(cid:6) vµ σ(F0) = F(cid:6). f : Ω → Ω(cid:6). Chøng minh f ∈ L0(Ω, F, µ) ⇔ f −1(F0) ⊂ F.

|f |(cid:1)n

2) Chøng minh f ∈ L1(Ω, F, µ) ⇔ limn |f |dµ = 0.

∞

3) Cho f ∈ L1(Ω, F, µ). Chøng minh limn nµ[{ω : |f (ω)| > n|}] = 0.

n=1

(cid:20) fn. Gi¶ sö µ({ω : |fn(ω)| > εn}) < ∞.

∞

n=1

4) Cho chuçi sè thùc ®o ®−îc trªn (Ω, F, µ), ∞ Trong ®ã chuçi d−¬ng εn < ∞. Chøng minh fn < ∞ (h.k.n).

(cid:3) 5) Cho biÕt dx = 1. 1 − → e−x, n → ∞. Chøng minh limn (cid:3) 1 − x n x n

(cid:3) (cid:3) 6) Chøng minh f ∈ L1(Ω, F, µ) ⇔ |f | ∈ L1(Ω, F, µ).

(cid:20) (cid:4) (cid:6) (cid:4) (cid:6) 7) |f | (cid:1) g ∈ L1(Ω, F, µ) ⇒ f ∈ L1(Ω, F, µ).