Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 2 - Nguyễn Vinh Quang
lượt xem 24
download
(NB) Phần 2 Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt) trình bày về tích phân Lebesgue, trong đó sinh viên sẽ được học về hàm đo được, tích phân Lebesgue, định lý Radon - Nikodym. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 2 - Nguyễn Vinh Quang
- MATHEDUCARE.COM Ch−¬ng 2 TÝch ph©n Lebesgue 2.1 Hµm ®o ®−îc §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho (Ω, F), (Ω , F ) lµ 2 kh«ng gian ®o ®−îc. Ta nãi hµm f : (Ω, F) → (Ω , F ) lµ ®o ®−îc (cßn gäi f lµ F ®o ®−îc) nÕu: ∀B ∈ F : f −1 (B) ∈ F ⇔ f −1 (F ) ⊂ F. Trong tr−êng hîp (Ω, F) = (Ω , F ) = (R, B) vµ f : (R, B) → (R, B) ®o ®−îc th× f cßn ®−îc gäi lµ hµm Borel. MÖnh ®Ò 2.1.1. f : Ω → R, (R, B) lµ kh«ng gian ®o ®−îc. Khi ®ã ta cã f −1 (B) = {f −1 (B) : B ∈ B} lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc. Chøng minh. 1. f −1 (B) lµ σ - ®¹i sè - Ta cã Ω = f −1 (R). Mµ R ∈ B ⇒ Ω ∈ f −1 (B). - ∀A ∈ f −1 (B), ∃ B ∈ B : f −1 (B) = A. L¹i cã A = Ω\A = f −1 (R)\f −1 (B) = f −1 (R\B). V× R\B ∈ B ⇒ A ∈ f −1 (B). ∞ -∀{An }n ⊂ f −1 (B), chøng minh An ∈ f −1 (B). n=1 {An }n ⊂ f −1 (B) ⇒ ∃{Bn }n ⊂ B : An = f −1 (Bn ), ∀n ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ An = f −1 (Bn ) = f −1 ( Bn ) ∈ f −1 (B) (do Bn ∈ B). n=1 n=1 n=1 n=1 2.f −1 (B) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc XÐt F bÊt kú lµm cho f ®o ®−îc. ⇔ ∀B ∈ B, f −1 (B) ∈ F. 24 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM L¹i cã ∀A ∈ f −1 (B), ∃B ∈ B : A = f −1 (B) ∈ F ⇒ f −1 (B) ⊂ F. VËy f −1 (B) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc. Chó ý: 1. - NghÞch ¶nh cña σ - ®¹i sè lµ mét σ - ®¹i sè. - NÕu f ®o ®−îc th× f −1 (¶nh ng−îc cña σ - ®¹i sè) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm cho f ®o ®−îc. 2. - NÕu X : (Ω, F) → (R, B) lµ hµm ®o ®−îc. Khi ®ã X −1 (B) ®−îc ký hiÖu lµ σ(X). 3. - NÕu f : (Ω, F) → (R, B) lµ hµm ®o ®−îc th× khi ®ã ng−êi ta ký hiÖu f ∈ L0 (Ω, F) (líp c¸c hµm ®o ®−îc trªn (Ω, F)). - NÕu f ∈ L0 (Ω, F) vµ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®Çy ®ñ. Khi ®ã f gäi lµ µ - ®o ®−îc. MÖnh ®Ò 2.1.2. Cho f : Ω → Ω . C lµ líp c¸c tËp con cña Ω . Khi ®ã: f −1 (σ(C)) = σ(f −1 (C)). Chøng minh. [⇐] Ta cã C ⊂ σ(C) ⇒ f −1 (C) ⊂ f −1 (σ(C)). MÆt kh¸c f −1 (σ(C)) lµ σ - ®¹i sè (do tÝnh chÊt trªn). ⇒ σ(f −1 (C)) ⊂ f −1 (σ(C)). [⇒] TiÕn hµnh ®Æt F = {B ⊂ Ω : f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)}. NhËn xÐt: Ta lu«n cã f −1 (C) ⊂ σ(f −1 (C)} ⇒ C ⊂ F. NÕu F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇒ σ(C) ⊂ F. Nh−ng theo c¸ch x©y dùng ⇒ f −1 (σ(C)) ⊂ σ(f −1 (C)). Giê ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè. - Ta cã Ω ⊂ Ω vµ f −1 (Ω ) = Ω ∈ σ(f −1 (C)). ⇒ Ω ∈ F. - ∀B ∈ F ⇒ f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)). H¬n n÷a, B = Ω \B ⇒ f −1 (B) = f −1 (Ω \B) = f −1 (Ω )\f −1 (B) = Ω\f −1 (B) Theo gi¶ thiÕt f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)). ⇒ Ω\f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)). VËy B ∈ F. - ∀{Bn }n ⊂ F ⇒ f −1 (Bn ) ∈ σ(f −1 (C)), ∀n. ∞ ∞ MÆt kh¸c f −1 ( Bn ) = f −1 (Bn ). n=1 n=1 25 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM ∞ V× f −1 (Bn ) ∈ σ(f −1 (C)) ⇒ f −1 (Bn ) ∈ σ(f −1 (C)) n=1 ∞ ⇒ Bn ∈ F. n=1 VËy F lµ σ - ®¹i sè. MÖnh ®Ò 2.1.3. Hîp 2 hµm ®o ®−îc lµ ®o ®−îc. Chøng minh. Gi¶ sö f : (Ω, F) → (R, B). g : (R, B) → (R, B). f lµ F ®o ®−îc vµ g lµ B ®o ®−îc. Ta chøng minh g ◦ f lµ F ®o ®−îc ®èi víi kh«ng gian ®Çu tiªn. ∀B ∈ B, (g ◦ f )−1 (B) = f −1 [g −1 (B)]. V× g lµ B ®o ®−îc ⇒ g −1 (B) ∈ B. Do ®ã f −1 [g −1 (B)] ∈ F v× f lµ F ®o ®−îc. MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho f : (R, B) → (R, B). NÕu f liªn tôc th× f ®o ®−îc. Chøng minh. ∀B (®ãng) trong B vµ f liªn tôc ⇒ f −1 (B) lµ ®ãng. ⇒ f −1 (B) ∈ B (®Þnh nghÜa σ - ®¹i sè Borel). ⇒ f lµ B ®o ®−îc. MÖnh ®Ò 2.1.5. Cho f : (Ω, F) → (R, B). C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: 1.f ∈ L0 (Ω, F, µ) ∀x ∈ R, 2.{ω ∈ Ω : f (ω) < x} ∈ F 3.{ω ∈ Ω : f (ω) x} ∈ F 4.{ω ∈ Ω : f (ω) > x} ∈ F 5.{ω ∈ Ω : f (ω) x} ∈ F. Chøng minh. ChØ cÇn chøng minh (1) ⇔ (2). C¸c tr−êng hîp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù. [⇒] Gi¶ sö f ∈ L0 (Ω, F, µ) ta cã {ω ∈ Ω : f (ω) < x} = f −1 (−∞, x). Mµ (−∞, x) ∈ B suy ra f −1 (−∞, x) ∈ F. [⇐] Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng (−∞, x) víi x ∈ R. ⇒ σ(C) = B (Bµi tËp). f ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ f −1 (B) ⊂ F. ThËt vËy, f −1 (B) = f −1 (σ(C)) = σ(f −1 (C)). Tõ gi¶ thiÕt f −1 (C) ⊂ F suy ra f −1 (B) ⊂ F (do tÝnh chÊt bÐ nhÊt cña σ - ®¹i sè σ(f −1 (C)). 26 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM MÖnh ®Ò 2.1.6. Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ). Khi ®ã ϕi ∈ L0 (Ω, F), ∀i = 1, 6. Trong ®ã: ϕ1 = maxi=1,∞ fi ϕ4 = inf i=1,∞ fi ϕ2 = mini=1,∞ fi ϕ5 = lim i=1,∞ fi ϕ3 = supi=1,∞ fi ϕ6 = lim i=1,∞ fi . Chøng minh. VËn dông mÖnh ®Ò f ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ {f < x} ∈ F, ∀x ∈ R. n {ϕ1 < x} = {fi < x} ∈ F (v× {fi < x} ∈ F) i=1 ⇒ ϕ1 ∈ L0 (Ω, F, µ). T−¬ng tù ta cã: n {ϕ2 < x} = {fi < x} ∈ F. i=1 ∞ {ϕ3 < x} = {fi < x} ∈ F. i=1 ∞ {ϕ4 < x} = {fi < x} ∈ F. i=1 ∞ ∞ {ϕ5 < x} = {fi < x} ∈ F. n=1 i=n ∞ ∞ {ϕ6 < x} = {fi < x} ∈ F. n=1 i=n MÖnh ®Ò 2.1.7. Céng, trõ, nh©n, chia (nÕu x¸c ®Þnh) cña 2 hµm ®o ®−îc lµ ®o ®−îc. Chøng minh. f, g ∈ L0 (Ω, F, µ). Chøng minh f + g ∈ L0 (Ω, F, µ). X©y dùng c¸c ¸nh x¹ sau: h : (Ω, F) → (R2 , B2 ) k : (R2 , B2 ) → (R, B) víi h(ω) = (f (ω), g(ω)) vµ k(f, g) = f + g. Ta chØ ra h lµ F ®o ®−îc. Thùc vËy, ∀B ∈ B2 , B = B1 × B2 , (B1 ∈ B, B2 ∈ B) h−1 (B) = h−1 (B1 × B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ g −1 (B2 ) ∈ F (v× f −1 (B1 ), g −1 (B2 ) ∈ F). V× thÕ h lµ F ®o ®−îc. L¹i cã k(f, g) = f + g nªn k liªn tôc ⇒ k lµ B2 ®o ®−îc. Theo mÖnh ®Ò 2.1.3 th× k ◦ h lµ F ®o ®−îc. Nh−ng k ◦ h = k(f, g) = f + g. VËy f + g lµ F ®o ®−îc. C¸c tr−êng hîp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù. 27 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Chó ý: MÖnh ®Ò trªn ®óng hÇu kh¾p n¬i. §Þnh nghÜa 2.1.2. Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®ñ. Ta nãi P (ω) ®óng hÇu kh¾p n¬i nÕu µ{ω : P (ω) kh«ng ®óng} = 0 (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, P (ω) ®óng ∀ω ∈ N ). VÝ dô. fn → f, n → ∞ (h.k.n) ⇔ µ({ω : fn (ω) f (ω)}) = 0 (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, fn (ω) → f (ω), ∀ω ∈ N ). MÖnh ®Ò 2.1.8. Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®ñ. a) NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) vµ f = g (h.k.n) th× g ∈ L0 (Ω, F, µ). b) NÕu {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), vµ fn → f (h.k.n) th× f ∈ L0 (Ω, F, µ). Chøng minh. a) f = g (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0 vµ g = f trªn N nªn ∀a ∈ R ta cã: {g < a} = {g < a} ∩ N + {g < a} ∩ N = {f < a} ∩ N + {g < a} ∩ N . MÆt kh¸c {g < a} ∩ N ⊂ N nªn {g < a} ∩ N kh«ng ®¸ng kÓ ⇒ {g < a} ∩ N ∈ F (do (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®Çy ®ñ). {f < a} ∩ N ∈ F (v× f ∈ L0 (Ω, F, µ)). VËy {g < a} ∈ F, ∀a ∈ R ⇒ g ∈ L0 (Ω, F, µ). b) Ta cã fn → f (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0 sao cho: {f < a} = {f < a} ∩ N + {f < a} ∩ N vµ fn → f trªn N . ⇒ {f < a} ∈ F, ∀a ∈ R. VËy f ∈ L0 (Ω, F, µ). MÖnh ®Ò 2.1.9. Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), fn héi tô (h.k.n) th× ∃ f ∈ L0 (Ω, F, µ) sao cho fn → f (h.k.n). Chøng minh. §Æt A = {ω : fn (ω) héi tô}. Theo gi¶ thiÕt fn héi tô (h.k.n) suy ra µ(A) = 0. lim fn (ω) víi ω ∈ A §Æt f (ω) = 0 víi ω ∈ A. VËy fn → f (h.k.n) vµ theo mÖnh ®Ò 2.1.8 th× f ∈ L0 (Ω, F, µ). Hµm chØ tiªu (hµm ®Æc tr−ng) 1A : Ω → {0, 1} 1 nÕu ω ∈ A 1A (ω) = . 0 nÕu ω ∈ /A 28 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Hµm bËc thang Cho f : Ω → R. Ta nãi f lµ hµm bËc thang nÕu f (Ω) chØ nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ thùc. Gi¶ sö f (Ω) = {a1 , a2 , . . . , an }. Khi ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn hµm bËc thang th«ng qua c¸c hµm sau: n f (ω) = ai .1Ai (ω), trong ®ã Ai = {ω ∈ Ω : f (ω) = ai }, i = 1, n. i=1 NhËn xÐt: n 1. NÕu ai .1Ai ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ Ai ∈ F, ∀i = 1, n. i=1 2. Ai ∩ Aj = ∅; i = j, i, j = 1, n vµ c¸c Ai , i = 1, n t¹o nªn mét ph©n ho¹ch trªn Ω. Bµi tËp: Cho f, g lµ 2 hµm bËc thang. Chøng minh f + g còng lµ hµm bËc thang. Ký hiÖu: L+ 0 lµ líp c¸c hµm kh«ng ©m ®o ®−îc. 0 (Ω, F, µ) lµ ∃ {fn }n∈N bËc thang kh«ng gi¶m, kh«ng §Þnh lý 2.1.1. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f ∈ L+ ©m, ®o ®−îc fn ↑ f . Chøng minh. [⇐] fn → f vµ fn ®o ®−îc ⇒ f ®o ®−îc. [⇒] k k k+1 , n f (ω) §Æt fn (ω) = 2 n 2 2n , k = 1, n2n − 1. n , f (ω) n n −1 n2 k fn = .1 k k+1 + n.1 {f n} k=1 2 n [ 2n f 2n ] fn lµ hµm bËc thang, kh«ng ©m, ®o ®−îc. Cho n → ∞ th× fn → f . VËy: Cho mét hµm kh«ng ©m ®o ®−îc th× lu«n tån t¹i dQy hµm bËc thang t¨ng vÒ tíi nã. 2.2 TÝch ph©n Lebesgue §Þnh nghÜa 2.2.1 (TÝch ph©n Lebesgue). Cho hµm f ∈ L0 (Ω, F, µ). Ta cãc¸c ®Þnh nghÜa sau: 1. NÕu f = 1A , A ∈ F th× f dµ = 1A dµ := µ(A). Ω Ω n n 2. NÕu f = ai .1Ai th× f dµ := ai µ(Ai ). i=1 Ω i=1 3. NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) th× + f dµ := sup{ hdµ : 0 h f, h lµ hµm bËc thang}. Ω Ω 4. NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) 29 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM §Æt f + = max(f, 0) f = max(−f, − 0) ⇒ f =f −f + − f + dµ − fdµ := f − dµ Ω Ω Ω - NÕu f dµ = ∞, f dµ = ∞ th× + − fdµ kh«ng tån t¹i. Ω Ω Ω - NÕu chØ mét trong hai b»ng ∞ th× ta nãi f dµ tån t¹i nh−ng kh«ng kh¶ tÝch. Ω - NÕu −∞ < f + dµ < ∞, −∞ < f − dµ < ∞ th× f kh¶ tÝch. Vµ ta sÏ ký hiÖu Ω Ω f ∈ L1 (Ω, F, µ) líp c¸c hµm kh¶ tÝch Lebesgue (−∞ < fdµ < ∞). Ω TÝnh chÊt 2.2.1. 1. ∀a ∈ R vµ nÕu fdµ tån t¹i th× afdµ tån t¹i vµ afdµ = a fdµ. Ω Ω Ω Ω 2. NÕu f g th× f dµ gdµ. Ω Ω 3. | fdµ| |f |dµ. Ω Ω 4. NÕu fdµ tån t¹i th× fdµ tån t¹i ∀A ∈ F. Ω A 5. Cho f ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ f.1A ∈ L1 (Ω, F, µ), ∀A ∈ F. Chøng minh. 1. af dµ = a f dµ. Ω Ω n n TH1: f = ai .1Ai ⇒ af = a ai .1Ai i=1 i=1 n ⇒ afdµ = a ai .µ(Ai ) = a. fdµ. Ω i=1 Ω TH2: f∈ L+ 0 (Ω, F, µ), a > 0 ⇒ af ∈ L+ 0 (Ω, F, µ) ah h ⇒ afdµ := sup{ hdµ : 0 h af, h BT } = sup{ dµ : 0 f, h BT }. Ω Ω Ω a a h ah h §Æt h = ⇒ sup{ dµ : 0 f, h BT } = a. sup{ h dµ : 0 h f, h BT } = a Ω a a Ω a f dµ. Ω TH3: f ∈ L0 (Ω, F, µ) TH a >0 afdµ = (af ) dµ− + (af) dµ = − af dµ− + af dµ (v× a > 0) = a − f dµ−a + f − dµ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 30 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM (theo cmt) = a f dµ − f dµ = a fdµ. + − Ω Ω Ω TH a < 0 (af) = −af −, (af )− = −af+ + ⇒ afdµ = (af) dµ − + (af ) dµ = − −af dµ − − −af dµ = a + f dµ − f − dµ = + Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω a f dµ. Ω TH1: f, g ∈ L 2. 0 (Ω, F, µ). Ta cã, + f dµ = sup{ hdµ : 0 h f, h BT } sup{ hdµ : 0 h g, h BT } (v× f g). Ω Ω Ω
- gdµ Ω TH2: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), f g, f = f + − f − , g = g + − g − . Do f g ⇒ f+ g + , g − f − ⇒ fdµ = f dµ − f dµ + − g dµ − g dµ = + − gdµ. Ω Ω Ω Ω Ω Ω 3. Ta cã −|f | f |f | ⇒ − |f |dµ fdµ |f |dµ (theo tÝnh chÊt 2). Ω Ω Ω ⇒ | fdµ| |f |dµ. Ω Ω 4. Gi¶ sö f dµ tån t¹i vµ f + dµ < ∞. Ω Ω L¹icã (f.1A )+ = 1A.f + f + , ∀A ∈ F. ⇒ (f.1A )+ dµ f + dµ < ∞. Ω Ω VËy fdµ = (f.1A )dµ tån t¹i. A Ω 5. LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn ta lu«n cã (f.1A ) dµ + f dµ < ∞ vµ + (f.1A )− dµ Ω Ω Ω f − dµ < ∞. Ω ⇒ −∞ < f.1A dµ < ∞. Ω VËy f.1A ∈ L1 (Ω, F, µ). §Þnh lý 2.2.1 (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu). Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) tho¶ 0 fn , ∀n, fn ↑n f th× fn dµ → f dµ, n → ∞. Ω Ω Chøng minh. 31 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Ta cã fn f ⇒ fn dµ fdµ, ∀n Ω Ω ⇒ limn fn dµ fdµ. SÏ chøng minh limn fn dµ fdµ. Ω Ω Ω Ω ∀ε ∈ (0, 1), ®Æt Bn = {ω, fn (ω) (1 − ε)h}, trong ®ã 0 hBT f . V× fn ↑n f ⇒ Bn ↑n Ω. L¹i cã fn dµ fn dµ (1 − ε) hdµ → (1 − ε) hdµ, n → ∞. Ω Bn Bn Ω k k k k (V× h = ai .1Ai ⇒hdµ = ai .µ(Ai ∩ Bn ) → ai .µ(Ai ∩ Ω) = ai .µ(Ai ) = hdµ). i=1 i=1Bn i=1 i=1 Ω Tãm l¹i: ∀ε ∈ (0, 1) : (1 − ε) hdµ fn dµ. Ω Ω Cho ε ↓ 0 ⇒ hdµ fn dµ Ω Ω ⇒ sup{ hdµ : 0 h f, h BT } limn fn dµ. Ω Ω
- f dµ Ω VËy limn fn dµ = fdµ. Ω Ω §Þnh lý 2.2.2 (TÝnh céng tÝnh h÷u h¹ncña tÝch ph©n). Cho f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), f + g x¸c ®Þnh. (f + g)dµ tån t¹i vµ fdµ + gdµ x¸c ®Þnh. Khi ®ã Ω Ω Ω (f + g)dµ = fdµ + gdµ. Ω Ω Ω §Æc biÖt f, g ∈ L1 (Ω, F, µ) th× (f + g) ∈ L1 (Ω, F, µ). Chøng minh. TH1: f, g lµ hµm bËc thang. Víi n f= ai .1Ai i=1 m g= bj .1Bj j=1 n m ⇒f +g = ai .1Ai + bj .1Bj . i=1 j=1 V× {Bj }, j = 1, m t¹o nªn mét ph©n ho¹ch cña Ω n m m n n m ⇒f +g = ai 1Ai ∩Bj + bj 1Bj ∩Ai = (ai + bj ).1Ai ∩Bj . i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 n m ⇒ (f + g)dµ = (ai + bj )µ(Ai ∩ Bj ) Ω i=1 j=1 32 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM n m m n = ai ( µ(Ai ∩ Bj ) + bj ( µ(Ai ∩ Bj ) i=1 j=1 j=1
- i=1
- µ(Ai ) µ(Bj ) n m = ai µ(Ai ) + bj µ(Bj ) = fdµ + gdµ. i=1 j=1 Ω Ω TH2: 0 f, g ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇒ ∃{fn }n 0, {gn }n 0 lµ c¸c dQy hµm bËc thang, fn ↑n f, gn ↑n g ⇒(fn + gn ) ↑n (f + g) ⇒ (fn + gn )dµ ↑n (f + g)dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu). Ω Ω L¹i cã (fn + gn )dµ = fn dµ + gn dµ ↑n fdµ + gdµ (v× fn , gn lµ c¸c hµm bËc thang). Ω Ω Ω Ω Ω Do tinh duy nhÊt cña giíi h¹n nªn Ω (f + g)dµ = Ω fdµ + Ω gdµ. TH3: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), g 0, f 0, f + g 0 §Æt h = f + g ⇒ f = h + (−g) 0. Sö dông kÕt qu¶ ë TH2 ⇒ fdµ = (h + (−g))dµ = hdµ − gdµ Ω Ω Ω Ω ⇒ hdµ = fdµ + gdµ. Ω Ω Ω Nh÷ng tr−êng hîp kh¸c lµ t−¬ng tù. §Þnh lý 2.2.3 (TÝnh céng t×nh ®Õm ®−îc). Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), 0 fn ∀n. Khi ®ã ∞ ∞ ( fn )dµ = fn dµ. Ω n=1 n=1 Ω Chøng minh. k ∞ §Æt gk = fn th× 0 gk ↑k fn . n=1 n=1 ∞ Theo ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu ta cã gk dµ ↑k ( fn )dµ. Ω Ω n=1 k ∞ MÆt kh¸c fn dµ (do tÝnh h÷u h¹n céng tÝnh). gk dµ = fn dµ ↑k Ω n=1 Ω n=1 Ω ∞ ∞ Sö dông tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n ta ®−îc ( fn )dµ = fn dµ. Ω n=1 n=1 Ω §Þnh lý 2.2.4 (Héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ). 33 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM a) NÕu g fn ∀n, gdµ > −∞ vµ fn ↑n f th× fn dµ ↑n fdµ. Ω Ω Ω b) NÕu g fn ∀n, gdµ < +∞ vµ fn ↓n f th× fn dµ ↓n fdµ. Ω Ω Ω Chøng minh. a) TH1: gdµ = ∞. Ω Ta cã g fn , ∀n ⇒ gdµ fn dµ Ω Ω ⇒ lim fn dµ = ∞ (1). n Ω MÆt kh¸cg fn , ∀n ⇒ g limn fn = f ⇒∞= gdµ fdµ Ω Ω ⇒ fdµ = ∞ (2). Ω Tõ (1) , (2) ⇒ limn fn dµ = fdµ. Ω Ω TH2: gdµ < ∞ ⇒ g < ∞ (h.k.n). Ω §Æt B = {ω ∈ Ω : g(ω) < ∞} ⇒ µ(B) = 0. VËy ta cã ∀ω ∈ B, ∀n : 0 fn − g ↑n f − g Tõ ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu: ⇒ (fn − g)dµ ↑n (f − g)dµ B B ⇒ fn dµ − gdµ ↑n f dµ − gdµ B B B B ⇒ fn dµ ↑n f dµ B B ⇒ fn dµ + fn dµ ↑n fdµ + f dµ (v× µ(B) = 0)). B B B B ⇒ fn dµ ↑n fdµ. Ω Ω b) Ta cã fn g, ∀n ⇒ −g −fn , −gdµ −∞. Ω Chøng minh t−¬ng tù c©u a) −fn dµ ↑n −fdµ ⇒ fn dµ ↓ n fdµ. Ω Ω Ω Ω §Þnh lý 2.2.5 (B§T Fatou cho tÝch ph©n). 34 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) tho¶: a) g fn , ∀n, gdµ > −∞. Khi ®ã ta cã: Ω lim n fn dµ lim n fn dµ. Ω Ω b) g fn , ∀n, gdµ < ∞. Khi ®ã ta cã: Ω lim n fn dµ lim n fn dµ. Ω Ω Chøng minh. ∞ ∞ a) Ta cã: lim n fn = fk . n=1 k=n ∞ §Æt ϕn = fk ↑n lim n fn ⇒ ϕn dµ ↑ lim n fn dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). k=n Ω Ω MÆt kh¸c ϕn fn , ∀n ⇒ ϕn dµ fn dµ Ω Ω ⇒lim n Ω ϕn dµ lim n Ω fn dµ ⇒ lim n fn dµ lim n fn dµ. Ω Ω ∞ ∞ b) T−¬ng tù c©u a) ta cã: lim n fn = fk . n=1 k=n ∞ §Æt φn = fk ↓n lim n fn k=n φn g, gdµ < ∞ Ω ⇒ φn dµ ↓ lim n fn dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). Ω Ω MÆt kh¸c φn fn , ∀n ⇒ φn dµ fn dµ Ω Ω ⇒ lim n Ω φn dµ lim n Ω fn dµ ⇒ lim n fn dµ lim n fn dµ. Ω Ω §Þnh lý 2.2.6 (§Þnh lý héi tô bÞ chÆn). Cho {fn }n ®o ®−îc trªn (Ω, F, µ) vµ |fn | g ∈ L1 (Ω, F, µ). NÕu fn → f, n → ∞ th×: a) f ∈ L1 (Ω, F, µ). b) fn dµ → f dµ, n → ∞. Ω Ω Chøng minh. a) V× |fn | bÞ chÆn bëi g ∈ L1 (Ω, F, µ) 35 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM ⇒ limn |fn | g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ |f | g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ |f | ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇔ f ∈ L1 (Ω, F, µ). b) Sö dông bæ ®Ò Fatou ta cã: fdµ = lim n fn dµ lim n fn dµ lim n fn dµ Ω Ω Ω Ω lim n fn dµ = f dµ. Ω Ω ⇒ fn dµ → f dµ, n → ∞. Ω Ω §Þnh lý 2.2.7. Cho f : [a, b] → R. NÕu f kh¶ tÝch Riemann trªn [a, b] th× f kh¶ tÝch theo nghÜa Lebesgue vµ h¬n n÷a, ∀a, b ∈ R b f dµ = f (x)dx. [a,b] a 2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym 2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o §Þnh nghÜa 2.3.1. Cho ®é ®o cã dÊu (suy réng) λ, vµ ®é ®o µ trªn (Ω, F). Ta nãi λ tuyÖt ®èi liªn tôc ®èi víi µ (λ µ) nÕu: µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F. MÖnh ®Ò 2.3.1. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) λ µ b) λ+ µ, λ− µ c) |λ| µ. Trong ®ã λ+ , λ− : F → [0, ∞] lµ ®é ®o x¸c ®Þnh bëi ∀A ∈ F : λ+ (A) = λ(A ∩ E), λ− (A) = λ(A ∩ E), víi (E, E) lµ ph©n ho¹ch Hahn trªn Ω. Chøng minh. [a ⇒ b] Ta cã: λ µ ⇔ µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F ⇒ λ(A ∩ E) = 0 ⇒ λ+ µ. T−¬ng tù, λ− µ. [b ⇒ c] Tõ (b) ta cã: ∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ λ+ (A) = 0, λ− (A) = 0 ⇒ |λ|(A) = λ+ (A) + λ− (A) = 0. Do vËy |λ| µ. [c ⇒ a] 36 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Tõ (c) cho ta: ∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ |λ|(A) = 0. L¹i cã λ |λ| ⇒ λ(A) |λ|(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0 ⇒ λ µ. MÖnh ®Ò 2.3.2. Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu vµ µ lµ ®é ®o trªn kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F), λ < ∞. Khi ®ã hai mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) λ µ. b) µ(An ) → 0, n → ∞ th× λ(An ) → 0, n → ∞. Chøng minh. [b ⇒ a] λ lµ ®é ®o, ∀A ∈ F : µ(A) = 0, ®Æt An = A, ∀n. MÆt kh¸c do (b) suy ra λ(An ) → 0, n → ∞ nghÜa lµ λ(A) = 0. VËy λ µ. [a ⇒ b] - Víi λ lµ ®é ®o. Gi¶ sö λ µ vµ (b) sai, tøc 1 ∃ ε > 0, ∃ n0 : ∀n n0 ⇒ µ(An ) < n , λ(An ) > ε. ∞ ∞ 2 §Æt A = lim n An = Ak . n=1 k=n ∞ µ(A) = µ(lim n An ) µ( Ak ). k=n ∞ ∞ ∞ 1 Theo B§T Boole µ( Ak ) µ(Ak ) < < ∞. k=n 2 k k=n k=n ∞ 1 Cho n ↑ ∞ ⇒ → 0 (chuçi héi tô). k=n 2 k ⇒ µ(A) = 0 vµ v× λ µ ⇒ λ(A) = 0 (*). Tuy nhiªn, víi ε > 0 ë trªn ta l¹i cã λ(A) = λ(lim n An ) lim n λ(An ) > ε (B§T Fatou). M©u thuÉn víi (*). VËy [a ⇒ b] ®óng. - Víi λ lµ ®é ®o cã dÊu ⇒ λ = λ+ − λ− , |λ| = λ+ + λ− . Theo chøng minh th× |λ|(A) = 0, |λ|(A) > ε, ∀ε > 0 (m©u thuÉn). Suy ra kÕt qu¶. 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym §Þnh lý 2.3.1 (§Þnh lý Radon - Nikodym). Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu, µ lµ ®é ®o trªn (Ω, F). Gi¶ sö λ, µ < ∞, λ µ. Khi ®ã tån t¹i hµm f ∈ L1 (Ω, F, µ) sao cho λ(A) = f dµ, ∀A ∈ F. A dλ Lóc nµy f ®−îc gäi lµ ®¹o hµm Radon - Nicodym cña λ ®èi víi µ vµ viÕt f = . dµ 37 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Chøng minh. Tr−íc hÕt ta nh¾c l¹i bæ ®Ò Zorn. Cho tËp (S, ) vµ S = ∅. NÕu mäi xÝch C ⊂ S ®Òu cã mét chÆn trªn trong S th× S cã phÇn tö cùc ®¹i f (nghÜa lµ g ∈ S : g > f ). TH: λ lµ ®é ®o. §Æt M = {g 0 ®o ®−îc, kh¶ tÝch: gdµ λ(A), ∀A ∈ F}. A Trªn M ta ®Þnh nghÜa quan hÖ thø tù f g. NÕu mäi xÝch C ⊂ M ®Òu cã chÆn trªn th× M cã phÇn tö cùc ®¹i. XÐt xÝch C ⊂ M bÊt kú, ®Æt s = sup{ gdµ, g ∈ C} Ω ⇒ ∃ {gn }n ⊂ C : gn dµ ↑n s (1). Ω MÆt kh¸c ta cã gn ↑ n (v× nÕu kh«ng sÏ tån t¹i n0 : gn0 +1 gn0 ). V× gn dµ ↑n s ⇒ gn0 dµ gn0 +1 dµ ⇒ gn0 gn0 +1 . Ω Ω Ω VËy gn0 = gn0 +1 (h.k.n). ⇒ ∃ g0 : gn ↑n g0 . Theo ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu th× gn dµ ↑n g0 dµ (2). Ω Ω Tõ (1), (2) ⇒ s = g0 dµ. Ω Ta chøng minh g0 lµ mét chÆn trªn. ThËt vËy, gn dµ λ(A), ∀n vµ gn dµ ↑n g0 dµ A A A ⇒ g0 dµ λ(A), ∀A ∈ F ⇒ g0 ∈ M . A H¬n n÷a, n g n = g0 . ∀g ∈ C, ∃ n0 : g gn0 ⇒ g sup Gi¶ sö gn g, ∀n ⇒ g0 dµ gdµ s = g0 dµ. Ω Ω Ω VËy gdµ = g0 dµ ⇒ g = g0 (h.k.n). Ω Ω KÕt luËn:Víi mäi xÝch C ⊂ M ®Òu cã chÆn trªn trong M . Do ®ã M ph¶i cã phÇn tö cùc ®¹i gäi lµ f . Cuèi cïng ta chØ ra λ(A) = fdµ, ∀A ∈ F. A §Æt λ1 (A) = λ(A) − fdµ. A Víi c¸ch ®Æt trªn th× λ1 (A) 0 vµ λ1 µ. 38 matheducare.com
- MATHEDUCARE.COM Ta chøng minh λ1 (Ω) = 0 (λ1 (A) = 0, ∀A ∈ F). Gi¶ sö ng−îc l¹i λ1 (Ω) > 0, µ(Ω) < ∞ (v× µ h÷u h¹n). ⇒ ∃ K > 0 : µ(Ω) − K.λ1 (Ω) < 0 (**). µ − K.λ1 lµ ®é ®o cã dÊu. Gäi S lµ tËp kh«ng d−¬ng trong ph©n ho¹ch Hahn cña Ω ®èi víi µ − K.λ1 . ∀A ∈ F, µ(A ∩ S) − K.λ1 (A ∩ S) 0 (a) µ(A ∩ S) − K.λ1 (A ∩ S) > 0 (b). §Æc biÖt víi A = Ω th× tõ (b) ⇒ µ(S) − K.λ1 (S) > 0. L¹i cã µ(S) > 0 v× nÕu kh«ng th× µ(S) = 0, lóc ®ã µ(Ω ∩ S) − K.λ1 (Ω ∩ S) = 0 (v× λ1 µ) ⇒ µ(S) − K.λ1 (S) = µ(Ω) − K.λ1 (Ω) > 0 (m©u thuÉn víi (**)). 1 §Æt h = .1S > 0 trªn S K 1 1 ⇒ ∀A ∈ F, hdµ = .1S dµ = µ(A ∩ S) λ1 (A ∩ S) (do (a)) λ1 (A) = λ(A) − fdµ. A A K K A VËy hdµ λ(A) − f dµ ⇒ (h + f )dµ λ(A) A A A ⇒ h + f ∈ M, h + f > f trªn S, µ(S) > 0(m©u thuÉn v× f lµ phÇn tö cùc ®¹i cña M ). V× thÕ λ1 (Ω) = 0 ⇒ 0 = λ1 (A) = λ(A) − fdµ, ∀A ∈ F A ⇒ λ(A) = f dµ, ∀A ∈ F. A Tr−êng hîp tæng qu¸t λ lµ ®é ®o cã dÊu. Ph©n tÝch Jordan λ : λ = λ+ − λ− . Víi λ ⇒ cã f1 kh¶ tÝch d−¬ng: λ (A) = + + f1 dµ, ∀A ∈ F. A Víi λ− ⇒ cã f2 kh¶ tÝch d−¬ng: λ− (A) = f2 dµ, ∀A ∈ F. A ⇒ λ(A) = λ+ (A) − λ− (A) = (f1 − f2 )dµ A ⇒ ∃ f = f1 − f2 kh¶ tÝch: λ(A) = fdµ, ∀A ∈ F. A §Þnh lý 2.3.2 (§Þnh lý Fubini). Cho kh«ng gian tÝch (Ω, F, µ) = (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 , µ1 ⊗ µ2 ) vµ f lµ F ®o ®−îc. NÕu |f |dµ < ∞ th× Ω f dµ = f dµ2 dµ1 = fdµ1 dµ2 . Ω Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Bµi tËp ch−¬ng II 39 matheducare.com
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình Tôpô đại cương
163 p | 1214 | 256
-
Giáo trình Lý thuyết thống kê và phân tích dự báo: Phần 1 - Chu Văn Tuấn
194 p | 672 | 124
-
Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 1
87 p | 681 | 112
-
Bài giảng Độ đo và tích phân (dành cho sinh viên khoa Toán) - Thái Thuần Quang
65 p | 635 | 91
-
Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 2
47 p | 372 | 79
-
Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 1
58 p | 941 | 71
-
Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 2
105 p | 195 | 65
-
Giáo trình Hàm số biến số thực: Phần 1 - Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng
137 p | 155 | 44
-
Học phần Độ đo và Tích phân
58 p | 256 | 42
-
Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân
15 p | 308 | 38
-
Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 1 - Lương Hà
64 p | 207 | 37
-
Giáo trình Hàm số biến số thực: Phần 2 - Nguyễn Định, Nguyễn Hoàng
121 p | 164 | 33
-
Giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân: Phần 2 - Lương Hà
57 p | 194 | 30
-
Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 1 - Nguyễn Vinh Quang
24 p | 138 | 22
-
Đề thi giữa kỳ I năm học 2020-2021 môn Lý thuyết đo và tích phân - ĐH Khoa học Tự nhiên
1 p | 43 | 3
-
Đề thi kết thúc học phần học kì 1 môn Cơ sở lý thuyết Hóa học phân tích năm 2019-2020 có đáp án - Trường ĐH Đồng Tháp
2 p | 13 | 3
-
Xác định độ tin cậy yêu cầu khi nâng cấp sửa chữa hệ thống đầu mối hồ chứa nước theo lý thuyết độ tin cậy và phân tích rủi ro
10 p | 29 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn