intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 2 - Nguyễn Vinh Quang

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST
Báo xấu
133
lượt xem 24
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(NB) Phần 2 Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt) trình bày về tích phân Lebesgue, trong đó sinh viên sẽ được học về hàm đo được, tích phân Lebesgue, định lý Radon - Nikodym. Tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết độ đo và tích phân (Bài giảng tóm tắt): Phần 2 - Nguyễn Vinh Quang

  1. MATHEDUCARE.COM Ch−¬ng 2 TÝch ph©n Lebesgue 2.1 Hµm ®o ®−îc §Þnh nghÜa 2.1.1. Cho (Ω, F), (Ω , F  ) lµ 2 kh«ng gian ®o ®−îc. Ta nãi hµm f : (Ω, F) → (Ω , F  ) lµ ®o ®−îc (cßn gäi f lµ F ®o ®−îc) nÕu: ∀B ∈ F  : f −1 (B) ∈ F ⇔ f −1 (F  ) ⊂ F. Trong tr−êng hîp (Ω, F) = (Ω , F  ) = (R, B) vµ f : (R, B) → (R, B) ®o ®−îc th× f cßn ®−îc gäi lµ hµm Borel. MÖnh ®Ò 2.1.1. f : Ω → R, (R, B) lµ kh«ng gian ®o ®−îc. Khi ®ã ta cã f −1 (B) = {f −1 (B) : B ∈ B} lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc. Chøng minh. 1. f −1 (B) lµ σ - ®¹i sè - Ta cã Ω = f −1 (R). Mµ R ∈ B ⇒ Ω ∈ f −1 (B). - ∀A ∈ f −1 (B), ∃ B ∈ B : f −1 (B) = A. L¹i cã A = Ω\A = f −1 (R)\f −1 (B) = f −1 (R\B). V× R\B ∈ B ⇒ A ∈ f −1 (B). ∞ -∀{An }n ⊂ f −1 (B), chøng minh An ∈ f −1 (B).  n=1 {An }n ⊂ f −1 (B) ⇒ ∃{Bn }n ⊂ B : An = f −1 (Bn ), ∀n ∞ ∞ ∞ ∞ ⇒ An = f −1 (Bn ) = f −1 ( Bn ) ∈ f −1 (B) (do Bn ∈ B).     n=1 n=1 n=1 n=1 2.f −1 (B) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc XÐt F bÊt kú lµm cho f ®o ®−îc. ⇔ ∀B ∈ B, f −1 (B) ∈ F. 24 matheducare.com
  2. MATHEDUCARE.COM L¹i cã ∀A ∈ f −1 (B), ∃B ∈ B : A = f −1 (B) ∈ F ⇒ f −1 (B) ⊂ F. VËy f −1 (B) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt ®Ó f ®o ®−îc. Chó ý: 1. - NghÞch ¶nh cña σ - ®¹i sè lµ mét σ - ®¹i sè. - NÕu f ®o ®−îc th× f −1 (¶nh ng−îc cña σ - ®¹i sè) lµ σ - ®¹i sè bÐ nhÊt lµm cho f ®o ®−îc. 2. - NÕu X : (Ω, F) → (R, B) lµ hµm ®o ®−îc. Khi ®ã X −1 (B) ®−îc ký hiÖu lµ σ(X). 3. - NÕu f : (Ω, F) → (R, B) lµ hµm ®o ®−îc th× khi ®ã ng−êi ta ký hiÖu f ∈ L0 (Ω, F) (líp c¸c hµm ®o ®−îc trªn (Ω, F)). - NÕu f ∈ L0 (Ω, F) vµ (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian cã ®é ®o ®Çy ®ñ. Khi ®ã f gäi lµ µ - ®o ®−îc. MÖnh ®Ò 2.1.2. Cho f : Ω → Ω . C lµ líp c¸c tËp con cña Ω . Khi ®ã: f −1 (σ(C)) = σ(f −1 (C)). Chøng minh. [⇐] Ta cã C ⊂ σ(C) ⇒ f −1 (C) ⊂ f −1 (σ(C)). MÆt kh¸c f −1 (σ(C)) lµ σ - ®¹i sè (do tÝnh chÊt trªn). ⇒ σ(f −1 (C)) ⊂ f −1 (σ(C)). [⇒] TiÕn hµnh ®Æt F = {B ⊂ Ω : f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)}. NhËn xÐt: Ta lu«n cã f −1 (C) ⊂ σ(f −1 (C)} ⇒ C ⊂ F. NÕu F lµ σ - ®¹i sè trªn Ω ⇒ σ(C) ⊂ F. Nh−ng theo c¸ch x©y dùng ⇒ f −1 (σ(C)) ⊂ σ(f −1 (C)). Giê ta chøng minh F lµ σ - ®¹i sè. - Ta cã Ω ⊂ Ω vµ f −1 (Ω ) = Ω ∈ σ(f −1 (C)). ⇒ Ω ∈ F. - ∀B ∈ F ⇒ f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)). H¬n n÷a, B = Ω \B ⇒ f −1 (B) = f −1 (Ω \B) = f −1 (Ω )\f −1 (B) = Ω\f −1 (B) Theo gi¶ thiÕt f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)). ⇒ Ω\f −1 (B) ∈ σ(f −1 (C)). VËy B ∈ F. - ∀{Bn }n ⊂ F ⇒ f −1 (Bn ) ∈ σ(f −1 (C)), ∀n. ∞ ∞ MÆt kh¸c f −1 ( Bn ) = f −1 (Bn ).   n=1 n=1 25 matheducare.com
  3. MATHEDUCARE.COM ∞ V× f −1 (Bn ) ∈ σ(f −1 (C)) ⇒ f −1 (Bn ) ∈ σ(f −1 (C))  n=1 ∞ ⇒ Bn ∈ F.  n=1 VËy F lµ σ - ®¹i sè. MÖnh ®Ò 2.1.3. Hîp 2 hµm ®o ®−îc lµ ®o ®−îc. Chøng minh. Gi¶ sö f : (Ω, F) → (R, B). g : (R, B) → (R, B). f lµ F ®o ®−îc vµ g lµ B ®o ®−îc. Ta chøng minh g ◦ f lµ F ®o ®−îc ®èi víi kh«ng gian ®Çu tiªn. ∀B ∈ B, (g ◦ f )−1 (B) = f −1 [g −1 (B)]. V× g lµ B ®o ®−îc ⇒ g −1 (B) ∈ B. Do ®ã f −1 [g −1 (B)] ∈ F v× f lµ F ®o ®−îc. MÖnh ®Ò 2.1.4. Cho f : (R, B) → (R, B). NÕu f liªn tôc th× f ®o ®−îc. Chøng minh. ∀B (®ãng) trong B vµ f liªn tôc ⇒ f −1 (B) lµ ®ãng. ⇒ f −1 (B) ∈ B (®Þnh nghÜa σ - ®¹i sè Borel). ⇒ f lµ B ®o ®−îc. MÖnh ®Ò 2.1.5. Cho f : (Ω, F) → (R, B). C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: 1.f ∈ L0 (Ω, F, µ) ∀x ∈ R, 2.{ω ∈ Ω : f (ω) < x} ∈ F 3.{ω ∈ Ω : f (ω)  x} ∈ F 4.{ω ∈ Ω : f (ω) > x} ∈ F 5.{ω ∈ Ω : f (ω)  x} ∈ F. Chøng minh. ChØ cÇn chøng minh (1) ⇔ (2). C¸c tr−êng hîp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù. [⇒] Gi¶ sö f ∈ L0 (Ω, F, µ) ta cã {ω ∈ Ω : f (ω) < x} = f −1 (−∞, x). Mµ (−∞, x) ∈ B suy ra f −1 (−∞, x) ∈ F. [⇐] Gäi C lµ líp c¸c tËp cã d¹ng (−∞, x) víi x ∈ R. ⇒ σ(C) = B (Bµi tËp). f ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ f −1 (B) ⊂ F. ThËt vËy, f −1 (B) = f −1 (σ(C)) = σ(f −1 (C)). Tõ gi¶ thiÕt f −1 (C) ⊂ F suy ra f −1 (B) ⊂ F (do tÝnh chÊt bÐ nhÊt cña σ - ®¹i sè σ(f −1 (C)). 26 matheducare.com
  4. MATHEDUCARE.COM MÖnh ®Ò 2.1.6. Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ). Khi ®ã ϕi ∈ L0 (Ω, F), ∀i = 1, 6. Trong ®ã: ϕ1 = maxi=1,∞ fi ϕ4 = inf i=1,∞ fi ϕ2 = mini=1,∞ fi ϕ5 = lim i=1,∞ fi ϕ3 = supi=1,∞ fi ϕ6 = lim i=1,∞ fi . Chøng minh. VËn dông mÖnh ®Ò f ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ {f < x} ∈ F, ∀x ∈ R. n {ϕ1 < x} = {fi < x} ∈ F (v× {fi < x} ∈ F)  i=1 ⇒ ϕ1 ∈ L0 (Ω, F, µ). T−¬ng tù ta cã: n {ϕ2 < x} = {fi < x} ∈ F.  i=1 ∞ {ϕ3 < x} = {fi < x} ∈ F.  i=1 ∞ {ϕ4 < x} = {fi < x} ∈ F.  i=1 ∞ ∞ {ϕ5 < x} = {fi < x} ∈ F.  n=1 i=n ∞  ∞ {ϕ6 < x} = {fi < x} ∈ F.  n=1 i=n MÖnh ®Ò 2.1.7. Céng, trõ, nh©n, chia (nÕu x¸c ®Þnh) cña 2 hµm ®o ®−îc lµ ®o ®−îc. Chøng minh. f, g ∈ L0 (Ω, F, µ). Chøng minh f + g ∈ L0 (Ω, F, µ). X©y dùng c¸c ¸nh x¹ sau: h : (Ω, F) → (R2 , B2 ) k : (R2 , B2 ) → (R, B) víi h(ω) = (f (ω), g(ω)) vµ k(f, g) = f + g. Ta chØ ra h lµ F ®o ®−îc. Thùc vËy, ∀B ∈ B2 , B = B1 × B2 , (B1 ∈ B, B2 ∈ B) h−1 (B) = h−1 (B1 × B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ g −1 (B2 ) ∈ F (v× f −1 (B1 ), g −1 (B2 ) ∈ F). V× thÕ h lµ F ®o ®−îc. L¹i cã k(f, g) = f + g nªn k liªn tôc ⇒ k lµ B2 ®o ®−îc. Theo mÖnh ®Ò 2.1.3 th× k ◦ h lµ F ®o ®−îc. Nh−ng k ◦ h = k(f, g) = f + g. VËy f + g lµ F ®o ®−îc. C¸c tr−êng hîp cßn l¹i chøng minh t−¬ng tù. 27 matheducare.com
  5. MATHEDUCARE.COM Chó ý: MÖnh ®Ò trªn ®óng hÇu kh¾p n¬i. §Þnh nghÜa 2.1.2. Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®ñ. Ta nãi P (ω) ®óng hÇu kh¾p n¬i nÕu µ{ω : P (ω) kh«ng ®óng} = 0 (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, P (ω) ®óng ∀ω ∈ N ). VÝ dô. fn → f, n → ∞ (h.k.n) ⇔ µ({ω : fn (ω)  f (ω)}) = 0 (⇔ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0, fn (ω) → f (ω), ∀ω ∈ N ). MÖnh ®Ò 2.1.8. Cho kh«ng gian (Ω, F, µ) ®Çy ®ñ. a) NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) vµ f = g (h.k.n) th× g ∈ L0 (Ω, F, µ). b) NÕu {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), vµ fn → f (h.k.n) th× f ∈ L0 (Ω, F, µ). Chøng minh. a) f = g (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0 vµ g = f trªn N nªn ∀a ∈ R ta cã: {g < a} = {g < a} ∩ N + {g < a} ∩ N = {f < a} ∩ N + {g < a} ∩ N . MÆt kh¸c {g < a} ∩ N ⊂ N nªn {g < a} ∩ N kh«ng ®¸ng kÓ ⇒ {g < a} ∩ N ∈ F (do (Ω, F, µ) lµ kh«ng gian ®Çy ®ñ). {f < a} ∩ N ∈ F (v× f ∈ L0 (Ω, F, µ)). VËy {g < a} ∈ F, ∀a ∈ R ⇒ g ∈ L0 (Ω, F, µ). b) Ta cã fn → f (h.k.n) ⇒ ∃ N ∈ F : µ(N ) = 0 sao cho: {f < a} = {f < a} ∩ N + {f < a} ∩ N vµ fn → f trªn N . ⇒ {f < a} ∈ F, ∀a ∈ R. VËy f ∈ L0 (Ω, F, µ). MÖnh ®Ò 2.1.9. Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), fn héi tô (h.k.n) th× ∃ f ∈ L0 (Ω, F, µ) sao cho fn → f (h.k.n). Chøng minh. §Æt A = {ω : fn (ω) héi tô}. Theo gi¶ thiÕt fn héi tô (h.k.n) suy ra µ(A) = 0. lim fn (ω) víi ω ∈ A §Æt f (ω) = 0 víi ω ∈ A. VËy fn → f (h.k.n) vµ theo mÖnh ®Ò 2.1.8 th× f ∈ L0 (Ω, F, µ). Hµm chØ tiªu (hµm ®Æc tr−ng) 1A : Ω → {0, 1}  1 nÕu ω ∈ A 1A (ω) = . 0 nÕu ω ∈ /A 28 matheducare.com
  6. MATHEDUCARE.COM Hµm bËc thang Cho f : Ω → R. Ta nãi f lµ hµm bËc thang nÕu f (Ω) chØ nhËn h÷u h¹n gi¸ trÞ thùc. Gi¶ sö f (Ω) = {a1 , a2 , . . . , an }. Khi ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn hµm bËc thang th«ng qua c¸c hµm sau: n f (ω) = ai .1Ai (ω), trong ®ã Ai = {ω ∈ Ω : f (ω) = ai }, i = 1, n.  i=1 NhËn xÐt: n 1. NÕu ai .1Ai ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇔ Ai ∈ F, ∀i = 1, n.  i=1 2. Ai ∩ Aj = ∅; i = j, i, j = 1, n vµ c¸c Ai , i = 1, n t¹o nªn mét ph©n ho¹ch trªn Ω. Bµi tËp: Cho f, g lµ 2 hµm bËc thang. Chøng minh f + g còng lµ hµm bËc thang. Ký hiÖu: L+ 0 lµ líp c¸c hµm kh«ng ©m ®o ®−îc. 0 (Ω, F, µ) lµ ∃ {fn }n∈N bËc thang kh«ng gi¶m, kh«ng §Þnh lý 2.1.1. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó f ∈ L+ ©m, ®o ®−îc fn ↑ f . Chøng minh. [⇐] fn → f vµ fn ®o ®−îc ⇒ f ®o ®−îc. [⇒] k k k+1  , n  f (ω)  §Æt fn (ω) = 2 n 2 2n , k = 1, n2n − 1. n , f (ω)  n n −1 n2 k fn = .1 k k+1 + n.1 {f n} k=1 2 n [ 2n f  2n ] fn lµ hµm bËc thang, kh«ng ©m, ®o ®−îc. Cho n → ∞ th× fn → f . VËy: Cho mét hµm kh«ng ©m ®o ®−îc th× lu«n tån t¹i dQy hµm bËc thang t¨ng vÒ tíi nã. 2.2 TÝch ph©n Lebesgue §Þnh nghÜa 2.2.1 (TÝch ph©n Lebesgue). Cho hµm f ∈ L0 (Ω, F, µ). Ta cãc¸c ®Þnh  nghÜa sau: 1. NÕu f = 1A , A ∈ F th× f dµ = 1A dµ := µ(A). Ω Ω n  n 2. NÕu f = ai .1Ai th×  f dµ := ai µ(Ai ).  i=1 Ω i=1   3. NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) th× + f dµ := sup{ hdµ : 0  h  f, h lµ hµm bËc thang}. Ω Ω 4. NÕu f ∈ L0 (Ω, F, µ) 29 matheducare.com
  7. MATHEDUCARE.COM §Æt f + = max(f, 0)  f = max(−f, −  0) ⇒ f =f −f + − f + dµ − fdµ := f − dµ Ω Ω  Ω  - NÕu f dµ = ∞, f dµ = ∞ th× + − fdµ kh«ng tån t¹i. Ω Ω Ω - NÕu chØ mét trong hai b»ng ∞ th× ta nãi f dµ tån t¹i nh−ng kh«ng kh¶ tÝch.   Ω - NÕu −∞ < f + dµ < ∞, −∞ < f − dµ < ∞ th× f kh¶ tÝch. Vµ ta sÏ ký hiÖu Ω Ω  f ∈ L1 (Ω, F, µ) líp c¸c hµm kh¶ tÝch Lebesgue (−∞ < fdµ < ∞). Ω TÝnh chÊt 2.2.1.     1. ∀a ∈ R vµ nÕu fdµ tån t¹i th× afdµ tån t¹i vµ afdµ = a fdµ. Ω  Ω Ω Ω 2. NÕu f  g th× f dµ  gdµ.   Ω Ω 3. | fdµ|  |f |dµ. Ω  Ω  4. NÕu fdµ tån t¹i th× fdµ tån t¹i ∀A ∈ F. Ω A 5. Cho f ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ f.1A ∈ L1 (Ω, F, µ), ∀A ∈ F. Chøng  minh.  1. af dµ = a f dµ. Ω Ω n n TH1: f = ai .1Ai ⇒ af = a ai .1Ai   i=1 i=1  n  ⇒ afdµ = a ai .µ(Ai ) = a. fdµ. Ω i=1 Ω TH2:  f∈ L+ 0 (Ω, F, µ),  a > 0 ⇒ af ∈ L+ 0 (Ω, F, µ) ah h  ⇒ afdµ := sup{ hdµ : 0  h  af, h BT } = sup{ dµ : 0   f, h BT }. Ω Ω Ω a  a h ah h §Æt h = ⇒ sup{ dµ : 0   f, h BT } = a. sup{ h dµ : 0  h  f, h BT } =   a Ω a a Ω a f dµ. Ω TH3: f ∈ L0 (Ω, F, µ)  TH a  >0      afdµ = (af ) dµ− + (af) dµ = − af dµ− + af dµ (v× a > 0) = a − f dµ−a + f − dµ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 30 matheducare.com
  8. MATHEDUCARE.COM     (theo cmt) = a f dµ − f dµ = a fdµ. + − Ω Ω Ω TH a < 0 (af) = −af −, (af )− = −af+ +      ⇒ afdµ = (af) dµ − + (af ) dµ = − −af dµ − − −af dµ = a + f dµ − f − dµ = +  Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω a f dµ. Ω  TH1: f, g ∈ L 2.  0 (Ω, F, µ). Ta cã, +  f dµ = sup{ hdµ : 0  h  f, h BT }  sup{ hdµ : 0  h  g, h BT } (v× f  g). Ω Ω Ω 
  9. gdµ Ω TH2: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), f  g, f = f + − f − , g = g + − g − . Do f  g ⇒ f+  g + , g −  f −    ⇒ fdµ = f dµ − f dµ  + − g dµ − g dµ = + − gdµ. Ω Ω Ω Ω Ω Ω    3. Ta cã −|f |  f  |f | ⇒ − |f |dµ  fdµ  |f |dµ (theo tÝnh chÊt 2).   Ω Ω Ω ⇒ | fdµ|  |f |dµ. Ω Ω   4. Gi¶ sö f dµ tån t¹i vµ f + dµ < ∞. Ω Ω L¹icã (f.1A )+ = 1A.f +  f + , ∀A ∈ F. ⇒ (f.1A )+ dµ  f + dµ < ∞. Ω  Ω VËy fdµ = (f.1A )dµ tån t¹i. A Ω    5. LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn ta lu«n cã (f.1A ) dµ  + f dµ < ∞ vµ + (f.1A )− dµ   Ω Ω Ω f − dµ < ∞. Ω  ⇒ −∞ < f.1A dµ < ∞. Ω VËy f.1A ∈ L1 (Ω, F, µ). §Þnh lý 2.2.1 (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu).   Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) tho¶ 0  fn , ∀n, fn ↑n f th× fn dµ → f dµ, n → ∞. Ω Ω Chøng minh. 31 matheducare.com
  10. MATHEDUCARE.COM   Ta cã fn  f ⇒ fn dµ  fdµ, ∀n  Ω Ω   ⇒ limn fn dµ  fdµ. SÏ chøng minh limn fn dµ  fdµ. Ω Ω Ω Ω ∀ε ∈ (0, 1), ®Æt Bn = {ω, fn (ω)  (1 − ε)h}, trong ®ã 0  hBT  f . V× fn ↑n f ⇒ Bn ↑n Ω.   L¹i cã fn dµ  fn dµ  (1 − ε) hdµ → (1 − ε) hdµ, n → ∞. Ω Bn Bn Ω k  k k k  (V× h =    ai .1Ai ⇒hdµ = ai .µ(Ai ∩ Bn ) → ai .µ(Ai ∩ Ω) = ai .µ(Ai ) = hdµ).  i=1 i=1Bn i=1 i=1 Ω   Tãm l¹i: ∀ε ∈ (0, 1) : (1 − ε) hdµ  fn dµ.   Ω Ω Cho ε ↓ 0 ⇒ hdµ  fn dµ  Ω Ω  ⇒ sup{ hdµ : 0  h  f, h BT }  limn fn dµ. Ω Ω 
  11. f dµ  Ω  VËy limn fn dµ = fdµ. Ω Ω §Þnh lý 2.2.2 (TÝnh céng tÝnh h÷u h¹ncña tÝch ph©n).   Cho f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), f + g x¸c ®Þnh. (f + g)dµ tån t¹i vµ fdµ + gdµ x¸c ®Þnh. Khi ®ã    Ω Ω Ω (f + g)dµ = fdµ + gdµ. Ω Ω Ω §Æc biÖt f, g ∈ L1 (Ω, F, µ) th× (f + g) ∈ L1 (Ω, F, µ). Chøng minh. TH1: f, g lµ hµm bËc thang. Víi n f= ai .1Ai  i=1 m g= bj .1Bj  j=1 n m ⇒f +g = ai .1Ai + bj .1Bj .   i=1 j=1 V× {Bj }, j = 1, m t¹o nªn mét ph©n ho¹ch cña Ω n m m n n  m ⇒f +g = ai 1Ai ∩Bj + bj 1Bj ∩Ai = (ai + bj ).1Ai ∩Bj .      i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1  n  m ⇒ (f + g)dµ = (ai + bj )µ(Ai ∩ Bj ) Ω i=1 j=1 32 matheducare.com
  12. MATHEDUCARE.COM n m  m n  = ai ( µ(Ai ∩ Bj ) + bj ( µ(Ai ∩ Bj )   i=1 j=1 j=1
  13. i=1
  14. µ(Ai ) µ(Bj ) n m   = ai µ(Ai ) + bj µ(Bj ) = fdµ + gdµ.   i=1 j=1 Ω Ω TH2: 0  f, g ∈ L0 (Ω, F, µ) ⇒ ∃{fn }n  0, {gn }n  0 lµ c¸c dQy hµm bËc thang, fn ↑n f, gn ↑n g ⇒(fn + gn ) ↑n (f + g)  ⇒ (fn + gn )dµ ↑n (f + g)dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu). Ω Ω     L¹i cã (fn + gn )dµ = fn dµ + gn dµ ↑n fdµ + gdµ (v× fn , gn lµ c¸c hµm bËc thang). Ω Ω  Ω Ω  Ω Do tinh duy nhÊt cña giíi h¹n nªn Ω (f + g)dµ = Ω fdµ + Ω gdµ. TH3: f, g ∈ L0 (Ω, F, µ), g  0, f  0, f + g  0 §Æt h = f + g ⇒ f = h + (−g)  0.    Sö dông kÕt qu¶ ë TH2 ⇒ fdµ = (h + (−g))dµ = hdµ − gdµ    Ω Ω Ω Ω ⇒ hdµ = fdµ + gdµ. Ω Ω Ω Nh÷ng tr−êng hîp kh¸c lµ t−¬ng tù. §Þnh lý 2.2.3 (TÝnh céng t×nh ®Õm ®−îc). Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ), 0  fn ∀n. Khi ®ã   ∞ ∞   ( fn )dµ = fn dµ. Ω n=1 n=1 Ω Chøng minh. k ∞ §Æt gk = fn th× 0  gk ↑k fn .   n=1 n=1   ∞ Theo ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu ta cã gk dµ ↑k ( fn )dµ. Ω Ω n=1  k  ∞  MÆt kh¸c fn dµ (do tÝnh h÷u h¹n céng tÝnh).   gk dµ = fn dµ ↑k Ω n=1 Ω n=1 Ω  ∞ ∞  Sö dông tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n ta ®−îc (  fn )dµ = fn dµ. Ω n=1 n=1 Ω §Þnh lý 2.2.4 (Héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ). 33 matheducare.com
  15. MATHEDUCARE.COM    a) NÕu g  fn ∀n, gdµ > −∞ vµ fn ↑n f th× fn dµ ↑n fdµ. Ω Ω Ω b) NÕu g  fn ∀n, gdµ < +∞ vµ fn ↓n f th× fn dµ ↓n fdµ. Ω Ω Ω Chøng minh.  a) TH1: gdµ = ∞. Ω   Ta cã g  fn , ∀n ⇒ gdµ  fn dµ  Ω Ω ⇒ lim fn dµ = ∞ (1). n Ω MÆt kh¸cg  fn , ∀n  ⇒ g  limn fn = f ⇒∞= gdµ  fdµ  Ω Ω ⇒ fdµ = ∞ (2). Ω   Tõ (1) , (2) ⇒ limn fn dµ = fdµ.  Ω Ω TH2: gdµ < ∞ ⇒ g < ∞ (h.k.n). Ω §Æt B = {ω ∈ Ω : g(ω) < ∞} ⇒ µ(B) = 0. VËy ta cã ∀ω ∈ B, ∀n : 0  fn − g ↑n f − g Tõ ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu: ⇒ (fn − g)dµ ↑n (f − g)dµ B  B   ⇒ fn dµ − gdµ ↑n f dµ − gdµ B B B B ⇒ fn dµ ↑n f dµ B B   ⇒ fn dµ + fn dµ ↑n fdµ + f dµ (v× µ(B) = 0)). B B B B ⇒ fn dµ ↑n fdµ. Ω Ω  b) Ta cã fn  g, ∀n ⇒ −g  −fn , −gdµ  −∞.  Ω    Chøng minh t−¬ng tù c©u a) −fn dµ ↑n −fdµ ⇒ fn dµ ↓ n fdµ. Ω Ω Ω Ω §Þnh lý 2.2.5 (B§T Fatou cho tÝch ph©n). 34 matheducare.com
  16. MATHEDUCARE.COM Cho {fn }n ⊂ L0 (Ω, F, µ) tho¶: a) g  fn , ∀n, gdµ > −∞. Khi ®ã ta cã:  Ω  lim n fn dµ  lim n fn dµ. Ω Ω b) g  fn , ∀n, gdµ < ∞. Khi ®ã ta cã:  Ω  lim n fn dµ  lim n fn dµ. Ω Ω Chøng minh. ∞  ∞ a) Ta cã: lim n fn = fk .  n=1 k=n   ∞ §Æt ϕn = fk ↑n lim n fn ⇒ ϕn dµ ↑ lim n fn dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu níi réng).  k=n  Ω  Ω MÆt kh¸c ϕn  fn , ∀n ⇒ ϕn dµ  fn dµ  Ω Ω ⇒lim n Ω ϕn dµ  lim n Ω fn dµ  ⇒ lim n fn dµ  lim n fn dµ. Ω Ω ∞ ∞  b) T−¬ng tù c©u a) ta cã: lim n fn = fk .  n=1 k=n ∞ §Æt φn = fk ↓n lim n fn   k=n φn  g, gdµ < ∞  Ω  ⇒ φn dµ ↓ lim n fn dµ (§Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu níi réng). Ω Ω   MÆt kh¸c φn  fn , ∀n ⇒ φn dµ  fn dµ Ω Ω ⇒ lim  n Ω φn dµ  lim n  Ω fn dµ   ⇒ lim n fn dµ  lim n fn dµ. Ω Ω §Þnh lý 2.2.6 (§Þnh lý héi tô bÞ chÆn). Cho {fn }n ®o ®−îc trªn (Ω, F, µ) vµ |fn |  g ∈ L1 (Ω, F, µ). NÕu fn → f, n → ∞ th×: a)  f ∈ L1 (Ω, F, µ). b) fn dµ → f dµ, n → ∞. Ω Ω Chøng minh. a) V× |fn | bÞ chÆn bëi g ∈ L1 (Ω, F, µ) 35 matheducare.com
  17. MATHEDUCARE.COM ⇒ limn |fn |  g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ |f |  g ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇒ |f | ∈ L1 (Ω, F, µ) ⇔ f ∈ L1 (Ω, F, µ).    b) Sö dông bæ ®Ò Fatou ta cã: fdµ = lim n fn dµ  lim n fn dµ  lim n fn dµ    Ω Ω Ω Ω lim n fn dµ = f dµ. Ω  Ω ⇒ fn dµ → f dµ, n → ∞. Ω Ω §Þnh lý 2.2.7. Cho f : [a, b] → R. NÕu f kh¶ tÝch Riemann trªn [a, b] th× f kh¶ tÝch theo nghÜa Lebesgue vµ h¬n n÷a, ∀a, b ∈ R   b f dµ = f (x)dx. [a,b] a 2.3 §Þnh lý Radon - Nikodym 2.3.1 TÝnh tuyÖt ®èi liªn tôc cña ®é ®o §Þnh nghÜa 2.3.1. Cho ®é ®o cã dÊu (suy réng) λ, vµ ®é ®o µ trªn (Ω, F). Ta nãi λ tuyÖt ®èi liªn tôc ®èi víi µ (λ  µ) nÕu: µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F. MÖnh ®Ò 2.3.1. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) λ  µ b) λ+  µ, λ−  µ c) |λ|  µ. Trong ®ã λ+ , λ− : F → [0, ∞] lµ ®é ®o x¸c ®Þnh bëi ∀A ∈ F : λ+ (A) = λ(A ∩ E), λ− (A) = λ(A ∩ E), víi (E, E) lµ ph©n ho¹ch Hahn trªn Ω. Chøng minh. [a ⇒ b] Ta cã: λ  µ ⇔ µ(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0, ∀A ∈ F ⇒ λ(A ∩ E) = 0 ⇒ λ+  µ. T−¬ng tù, λ−  µ. [b ⇒ c] Tõ (b) ta cã: ∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ λ+ (A) = 0, λ− (A) = 0 ⇒ |λ|(A) = λ+ (A) + λ− (A) = 0. Do vËy |λ|  µ. [c ⇒ a] 36 matheducare.com
  18. MATHEDUCARE.COM Tõ (c) cho ta: ∀A ∈ F, µ(A) = 0 ⇒ |λ|(A) = 0. L¹i cã λ  |λ| ⇒ λ(A)  |λ|(A) = 0 ⇒ λ(A) = 0 ⇒ λ  µ. MÖnh ®Ò 2.3.2. Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu vµ µ lµ ®é ®o trªn kh«ng gian ®o ®−îc (Ω, F), λ < ∞. Khi ®ã hai mÖnh ®Ò sau lµ t−¬ng ®−¬ng: a) λ  µ. b) µ(An ) → 0, n → ∞ th× λ(An ) → 0, n → ∞. Chøng minh. [b ⇒ a] λ lµ ®é ®o, ∀A ∈ F : µ(A) = 0, ®Æt An = A, ∀n. MÆt kh¸c do (b) suy ra λ(An ) → 0, n → ∞ nghÜa lµ λ(A) = 0. VËy λ  µ. [a ⇒ b] - Víi λ lµ ®é ®o. Gi¶ sö λ  µ vµ (b) sai, tøc 1 ∃ ε > 0, ∃ n0 : ∀n  n0 ⇒ µ(An ) < n , λ(An ) > ε. ∞ ∞ 2 §Æt A = lim n An = Ak .  n=1 k=n ∞ µ(A) = µ(lim n An )  µ( Ak ).  k=n ∞ ∞ ∞ 1 Theo B§T Boole µ( Ak )  µ(Ak ) < < ∞.    k=n 2 k k=n k=n ∞ 1 Cho n ↑ ∞ ⇒ → 0 (chuçi héi tô).  k=n 2 k ⇒ µ(A) = 0 vµ v× λ  µ ⇒ λ(A) = 0 (*). Tuy nhiªn, víi ε > 0 ë trªn ta l¹i cã λ(A) = λ(lim n An )  lim n λ(An ) > ε (B§T Fatou). M©u thuÉn víi (*). VËy [a ⇒ b] ®óng. - Víi λ lµ ®é ®o cã dÊu ⇒ λ = λ+ − λ− , |λ| = λ+ + λ− . Theo chøng minh th× |λ|(A) = 0, |λ|(A) > ε, ∀ε > 0 (m©u thuÉn). Suy ra kÕt qu¶. 2.3.2 §Þnh lý Radon - Nikodym §Þnh lý 2.3.1 (§Þnh lý Radon - Nikodym). Cho λ lµ ®é ®o cã dÊu, µ lµ ®é ®o trªn (Ω, F). Gi¶ sö λ, µ < ∞, λ  µ. Khi ®ã tån t¹i hµm f ∈ L1 (Ω, F, µ) sao cho  λ(A) = f dµ, ∀A ∈ F. A dλ Lóc nµy f ®−îc gäi lµ ®¹o hµm Radon - Nicodym cña λ ®èi víi µ vµ viÕt f = . dµ 37 matheducare.com
  19. MATHEDUCARE.COM Chøng minh. Tr−íc hÕt ta nh¾c l¹i bæ ®Ò Zorn. Cho tËp (S, ) vµ S = ∅. NÕu mäi xÝch C ⊂ S ®Òu cã mét chÆn trªn trong S th× S cã phÇn tö cùc ®¹i f (nghÜa lµ  g ∈ S : g > f ). TH: λ lµ ®é ®o.  §Æt M = {g  0 ®o ®−îc, kh¶ tÝch: gdµ  λ(A), ∀A ∈ F}. A Trªn M ta ®Þnh nghÜa quan hÖ thø tù f  g. NÕu mäi xÝch C ⊂ M ®Òu cã chÆn trªn th× M cã phÇn tö cùc ®¹i. XÐt xÝch C ⊂ M bÊt kú, ®Æt s = sup{ gdµ, g ∈ C}  Ω ⇒ ∃ {gn }n ⊂ C : gn dµ ↑n s (1). Ω MÆt kh¸c ta cã gn ↑ n (v× nÕu kh«ng  sÏ tån t¹i n0 : gn0 +1  gn0 ). V× gn dµ ↑n s ⇒ gn0 dµ  gn0 +1 dµ ⇒ gn0  gn0 +1 . Ω Ω Ω VËy gn0 = gn0 +1 (h.k.n). ⇒ ∃ g0 : gn ↑n g0 .   Theo ®Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu th× gn dµ ↑n g0 dµ (2).  Ω Ω Tõ (1), (2) ⇒ s = g0 dµ. Ω Ta chøng minh g0 lµ mét chÆn trªn. ThËt  vËy,   gn dµ  λ(A), ∀n vµ gn dµ ↑n g0 dµ A A A ⇒ g0 dµ  λ(A), ∀A ∈ F ⇒ g0 ∈ M . A H¬n n÷a,  n g n = g0 . ∀g ∈ C, ∃ n0 : g  gn0 ⇒ g  sup  Gi¶ sö gn  g, ∀n ⇒ g0 dµ  gdµ  s = g0 dµ.   Ω Ω Ω VËy gdµ = g0 dµ ⇒ g = g0 (h.k.n). Ω Ω KÕt luËn:Víi mäi xÝch C ⊂ M ®Òu cã chÆn trªn trong M . Do ®ã M ph¶i cã phÇn tö cùc ®¹i gäi lµ f .  Cuèi cïng ta chØ ra λ(A) = fdµ, ∀A ∈ F.  A §Æt λ1 (A) = λ(A) − fdµ. A Víi c¸ch ®Æt trªn th× λ1 (A)  0 vµ λ1  µ. 38 matheducare.com
  20. MATHEDUCARE.COM Ta chøng minh λ1 (Ω) = 0 (λ1 (A) = 0, ∀A ∈ F). Gi¶ sö ng−îc l¹i λ1 (Ω) > 0, µ(Ω) < ∞ (v× µ h÷u h¹n). ⇒ ∃ K > 0 : µ(Ω) − K.λ1 (Ω) < 0 (**). µ − K.λ1 lµ ®é ®o cã dÊu. Gäi S lµ tËp kh«ng d−¬ng trong ph©n ho¹ch Hahn cña Ω ®èi víi µ − K.λ1 . ∀A ∈ F, µ(A ∩ S) − K.λ1 (A ∩ S)  0 (a) µ(A ∩ S) − K.λ1 (A ∩ S) > 0 (b). §Æc biÖt víi A = Ω th× tõ (b) ⇒ µ(S) − K.λ1 (S) > 0. L¹i cã µ(S) > 0 v× nÕu kh«ng th× µ(S) = 0, lóc ®ã µ(Ω ∩ S) − K.λ1 (Ω ∩ S) = 0 (v× λ1  µ) ⇒ µ(S) − K.λ1 (S) = µ(Ω) − K.λ1 (Ω) > 0 (m©u thuÉn víi (**)). 1 §Æt h = .1S > 0 trªn S K 1 1   ⇒ ∀A ∈ F, hdµ = .1S dµ = µ(A ∩ S)  λ1 (A ∩ S) (do (a))  λ1 (A) = λ(A) − fdµ.  A A K  K A VËy hdµ  λ(A) − f dµ ⇒ (h + f )dµ  λ(A) A A A ⇒ h + f ∈ M, h + f > f trªn S, µ(S) > 0(m©u thuÉn v× f lµ phÇn tö cùc ®¹i cña M ). V× thÕ λ1 (Ω) = 0 ⇒ 0 = λ1 (A) = λ(A) − fdµ, ∀A ∈ F  A ⇒ λ(A) = f dµ, ∀A ∈ F. A Tr−êng hîp tæng qu¸t λ lµ ®é ®o cã dÊu. Ph©n tÝch Jordan λ : λ = λ+ − λ− .  Víi λ ⇒ cã f1 kh¶ tÝch d−¬ng: λ (A) = + + f1 dµ, ∀A ∈ F. A Víi λ− ⇒ cã f2 kh¶ tÝch d−¬ng: λ− (A) = f2 dµ, ∀A ∈ F.  A ⇒ λ(A) = λ+ (A) − λ− (A) = (f1 − f2 )dµ A  ⇒ ∃ f = f1 − f2 kh¶ tÝch: λ(A) = fdµ, ∀A ∈ F. A §Þnh lý 2.3.2 (§Þnh lý Fubini). Cho kh«ng  gian tÝch (Ω, F, µ) = (Ω1 × Ω2 , F1 ⊗ F2 , µ1 ⊗ µ2 ) vµ f lµ F ®o ®−îc. NÕu |f |dµ < ∞ th× Ω        f dµ = f dµ2 dµ1 = fdµ1 dµ2 . Ω Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 Bµi tËp ch−¬ng II 39 matheducare.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2