Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

309
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân trình bày độ đo dương - hàm số đo được, trong đó có phần ôn tập lý thuyết và bài tập áp dụng giúp người học hiểu rõ hơn về nội dung bài giảng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng tóm tắt: Lý thuyết độ đo và tích phân

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ——————– ∞ ∞ ∞ ——————– LÝ THUYẾT ĐỘ ĐOsit l ìn VÀ om er ai h iv gm T y .c Un 1@ ích TÍCH PHÂN on n14 - B i G oa ng Sa pt Tra BÀI GIẢNG TÓM TẮT lo u Th Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Bích Thìn Trần Thị Thu Trang Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Minh Tuấn Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015 1
CHƯƠNG I ĐỘ ĐO DƯƠNG - HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC ∗Nhắc lại về cơ sở B⊂P(X) S nói B là một cơ sở tôpô trên X Ta B=X B∈B Nếu B1 , B2 ∈B , B1 ∩ B2 6=∅ ∀x∈ B1 ∩ B2 , ∃ B3 ∈ B x∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 ∗Ví dụ:nCho X={a,b,c,d} o Cơ sở B= {a},{b},{c,d} n o Xây dựng tôpô T = {a,b,c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},{a},{b},{c,d},∅ ∗Ví dụ:Cho X={a,b,c,d} n o Cơ sở con C= {a,b},{b,c,d} n o Cơ sở B= {b},{a,b},{b,c,d} sit l ìn n om Tôpô T = ∅,{b},{a,b},{b,c,d},{a,b,c,d} o er ai h iv gm T y .c ∗Ví dụ:Giao của 2 tập đếm được là quá lắm đếm được. Un 1@ ích Giao 2 tập hữu hạn là hữu hạn. Giao 2 tập quá lắm đếm được là quá lắm đếm được. on n14 - B Hợp của các tập vô hạn đếm được là tập vô hạn đếm được. Hai tập vô hạn đếm được nhân với nhau là tập vô hạn đếm được. Q,Z,N là tập đếm được. i G oa ng R là tập không đếm được. Tập hợp các số từ 1 đến 10 là tập không đếm được. Sa pt Tra Tập hợp các số hữu tỉ từ 1 đến 10 là tập đếm được. FĐỊNH NGHĨA: lo u [-∞,∞]=R∪{-∞,∞} Th (-∞,∞]=R∪{∞} [-∞,∞)=R∪{-∞} a+∞=∞+a=∞ ∀a∈(-∞,∞) a-∞=-∞+a=-∞ ∀a∈(-∞,∞) a.(-∞)=-∞ ∀a∈(0,∞) a.(∞)=∞ ∀a∈(0,∞) a.(-∞)=∞ ∀a∈(-∞,0) a.(∞)=-∞ ∀a∈(-∞,0) FĐỊNH NGHĨA:Cho M⊂P(X),với X6=0,ta nói M là một σ- đại số trong X nếu: i)X∈M ii)XA∈M ∀A∈M(với XA=Ac :phần bù của M) ∞ S iii) An ∈M ∀{An }n∈N ⊂M n=1 ∗Ví n dụ:X={a,b,c,d} o M= ∅,X,{a},{b,c,d} 2
♣BÀI TẬP: 1.Cho 1 họ M,kiểm tra xem có phải là σ- đại số không ? cm: 3 điều kiện 2Cho M là σ- đại số,hãy chứng minh một số tính chất liên quan. cm:{An }n∈N ⊂M ∞ S → An ∈M n=1 ∞ S X An ∈M n=1 ∞ Ac n ∈M T n=1 B1 ,...,Bn ,...∈M Bc 1 ,Bc 2 ,...,Bc n ,...∈M ∞ (Bc n )c ∈M T n=1 ∞ T Bn ∈M n=1 FĐỊNH NGHĨA: Cho X là một tập hợp.Nếu tồn tại một σ- đại số M trên X ta nói X là một không gian đo được.Với mọi A ∈M,A được gọi là các tập đo được. sit l ìn om FĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và µ là một ánh xạ đi từ M→[0,∞].Ta er ai h nói µ là một độ đo dương nếu: iv gm T y .c ∞ S ∗∀{An }n∈N ⊂M, Ai ∩Aj =∅ ∀i,j Ta có µ( An )=Σµ(A n ) Un 1@ ích n=1 ∗∃B∈M, µ(B)
∞ S =⇒ An =∅∈{∅,X} n=1 ∗M=P(X)={A:A⊂X} là σ- đại số trong X i)X∈P(X)(Vì X⊂X) ii)A∈P(X) Ta chứng minh XA∈ P(X) A∈P(X)=⇒A⊂X=⇒XA⊂X=⇒XA∈P(X) ∞ S iii)∀{An }⊂P(X) Ta chứng minh An ∈P(X) n=1 Ta có:An ⊂X , ∀n ∈N ∞ S ∞ S =⇒ An ⊂X=⇒ An ∈P(X) n=1 n=1 ∗X6=∅=⇒∃a∈X n o Xét M= ∅,{a},X{a},X i)X∈M(hiển nhiên) ii)A∈M  A = ∅ ⇒ XA = X ∈ M A = {a} =⇒ XA = X{a} ∈ M =⇒ A = X{a} =⇒ XA = {a} ∈ M A = X =⇒ XA = ∅ ∈ M Vậy XA∈ M sit l ìn iii)∀{An }n∈N ⊂ M om er ai h ∞ A1 = {a} iv gm T S y .c An = X nếu ∃Ai0 = X hay n=1 A2 = X = {a} ∞ Un 1@ ích S An = ∅ nếu An = ∅ ∀n ∈ N n=1 ∞ An 6= X∀Ai0 = {a} on n14 - B S An = ∅ nếu n=1 An6= X{an } ∞ S An 6= X An = X{a} nếu i G oa ng n=1 An 6= {a} ∃Ai0 = X{a} Sa pt Tra 2.2 Cho B là một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng .Tìm một σ-đại số nhỏ nhất M lo u trong X sao cho B ⊂ M. Th Gọi F là họ T tất cả các σ- đại số trên X chứa B Đặt T = F ⊂ P (X) F ∈F Cần chứng minh T là σ đại số. ∗ Kiểm tra X ∈ T : T ,∀F ∈ F Ta có: X∈F =⇒X ∈ F=T F ∈F ∗ Kiểm tra ∀A ∈ T ,Ac ∈ T Lấy A ∈ T tùy ý Ta có A ∈ F,∀F ∈ F Vì F là một σ- đại số nên Ac ∈ F ,∀F ∈ F =⇒ Ac ∈ T F= T F ∈F ∗ Kiểm traTý thứ 3: ∀{An } ⊂ F (F là σ đại số chứa B) F ∈F =⇒ {An } ⊂ F, ∀F ∈ F 4
∞ S =⇒ An ∈ F (vì F là σ đại số trong X) ∀F ∈ F n=1 ∗ Tìm một σ- đại số nhỏ nhất . Lấy G là σ- đại số bất kì chứa B =⇒ GT∈ F =⇒ F ⊂G F ∈F Vậy T ∈ G Vậy T là σ- đại số nhỏ nhất. 2.3 giống câu 2.2 chỉ thay X bằng R 2.4 Xác định các σ- đại số M trong tập hợp các số nguyên dương N sao cho {n} ∈ M với mọi n∈ N. Giải: Ta chứng minh : M = P (N) = 2N ∗M ⊂ P (N), ∀B ∈ M =⇒ B ⊂ N =⇒ B ∈ P (N) ∗ lấy A∈ P (N) =⇒ A ⊂ N TH1 :A= {n1 , n2 , ..., nk } sit l ìn k S om A= {ni } ∈ M(Mlà σ- đại số và {ni } ∈ M, ∀i = 1, k) er ai h i=1 TH2 : A = {n1 , n2 , ..., nk , ..} iv gm T y .c ∞ S A= {nk } ∈ M (vì M là σ- đại số và {nk } ∈ M, ∀k ∈ N) Un 1@ ích k=1 2.5 on n14 - B Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M,và cho {Bi }i∈I là một họ quá lắm đếm được trong M.Chứng minh ∩i∈I Bi và ∪i∈I Bi đều thuộc về M. Giải: i G oa ng {B1 }i∈I ⊂ M ∞ Sa pt Tra S CM: Bi ∈ M i=1 ∞ T Bi ∈ M lo u i∈I Th Giải:TH1 :I hữu hạn Giả sử :I={x1 , ..., xn } Đặt Bxk = ∅ ∈ M,∀k ≥ n + 1 S n S ∞ S ∗ Bi = Bxk = Bxk ∈ M(tính chất iii),Bxk ∈ M, ∀k ∈ N i∈I k=1 k=1 ∗Bi ∈SM =⇒ XBi ∈ M, ∀i ∈ I =⇒ (XBi ) ∈ M(cmt) i∈I T =⇒ X Bi ∈ M T i∈I =⇒ Bi ∈ M i∈I TH2 :I đếm được ∗I = {x1 , x2 , ..., xk , ...} S S∞ = Bxk ∈ M(Vì Mlàσđại số và Bxk ∈ M, ∀k ∈ N i∈I k=1 ∗Bi ∈SM =⇒ XBi ∈ M, ∀i ∈ I =⇒ (XBi ) ∈ M(cmt) i∈I 5
T =⇒ X Bi ∈ M T i∈I =⇒ Bi ∈ M i∈I Thí dụ2.1.1 tchsccphnttrongA, A 6= ∅ iv) ∅ (A)= 1, A = ∅ Cho A={1},B={2} ∅(A ∪ B) = 2 ∅(A) + ∅(B) = 3 =⇒ ∅(A ∪ B) 6= ∅(A) + ∅(B) nên ∅(A)không là độ đo Định nghĩa 2.1.6: Cho (X,M, µ) là một không gian đo được .Cho M∗ là tập tất cả các tập con E của X sao cho có hai tập A và B trong M sao cho A⊂ E ⊂ B và µ(BA) = 0.Lúc đó ta đặt µ∗ (E) = µ(A). Định lý 2.1.1: (X,M∗ , µ∗ ) là một không gian đo được . Chứng minh:gồm 2 ý ? ý 1:chứng minh M∗ là σ-đại số. i)Vì M ⊂ M∗ nên X ∈ M =⇒ X ∈ M∗ sit l ìn ii)Lấy E ∈ M∗ tùy ý om er ai h =⇒ ∃ A,B ∈ M, A ⊂ E ⊂ B, µ(BA)=0 iv gm T y .c Ac , B c ∈ M : B c ⊂ E c ⊂ Ac Un 1@ ích µ(Ac B c ) = µ(BA) = 0 =⇒ E c ∈ M∗ ∞ on n14 - B En ∈ M∗ (En ∈ M∗ ) S iii) n=1 Với mỗi En ∈ M∗ , ∃An , Bn ∈ M i G oa ng An ⊂ En ⊂ Bn và µ(Bn An ) = 0 ∞ S ∞ S ∞ S S∞ ∞ S An ⊂ En ⊂ Bn , An ∈ M, Bn ∈ M Sa pt Tra n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ S ∞ S Ta cần chứng minh:µ( Bn An ) = 0 n=1 n=1 lo u ∞ S ∞ S ∞ S ∞ S ∞ S An ) ⊂ Th Ta có : Bn An = (Bn (Bn An ) n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ S ∞ S ∞ S =⇒ 0 ≤ µ( Bn An ) ≤ µ( (Bn An )) n=1 n=1 n=1 ∞ S Mà µ (Bn An ) ≤ Σ∞ n=1 µ(Bn An ) = 0 n=1 ∞ S ∞ S do đó µ( Bn An ) = 0 n=1 n=1 ∞ En ∈ M∗ S =⇒ n=1 Vậy M∗ là σ-đại số ? ý 2: chứng minh µ∗ là độ đo dương {En } là dãy các phần tử rời nhau trong M∗ Với mỗi En ∈ M∗ Tồn tại An , Bn ∈ M , sao cho An ⊂ En ⊂ Bn và µ − ∗98(Bn An ) = 0 =⇒ µ∗ (En ) = µ(An ) ∞ S ∞ S ∞ S Ta có : An ⊂ En ⊂ Bn n=1 n=1 n=1 6
∞ S ∞ S µ( Bn An ) = 0 n=1 n=1 ∞ ∞ µ∗ ( An ) = Σ∞ ∞ ∗ S S En ) = µ( n=1 µ(An ) = Σn=1 µ (En ) n=1 n=1 Chứng minh :∃B ∈ M∗ sao cho µ∗ (B) < ∞ vì µ là độ đo dương B ∈ M =⇒ B ∈ M∗ (M ⊂ M∗ ) nên µ∗ (B) = µ(B) < ∞ TÍNH CHẤT: Cho (X, M, µ là một không gian đo được ,µ là độ đo dương • Nếu A,B ∈ M, A ⊂ B µ(B) = µ(A) + µ(BA) > µ(A) • A,B ∈ M µ(A ∪ B) = µ(AB) + µ(BA) + µ(A ∩ B) µ(A) − µ(B) = µ(A ∩ B) ĐỊNH NGHĨA 2.1.7: (X, M∗ , µ∗ ) được gọi là đầy đủ hóa của (X, M, µ).Nếu M∗ = M ta nói µ là một độ đo đầy đủ. TÍNH CHẤT SUY RA TỪ ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 : Cho (X, M là một không gian đo được và f:X→Y với (Y, T ) là một không gian tô pô ta nói f là một ánh xạ đo được trên (X,M) nếu và chỉ nếu f −1 (B) ∈ M với mọi B ∈ T sit l ìn om THEO ĐỊNH LÍ 2.1.4 ,CM TÍNH CHẤT: er ai h i)M(∅) = 0 iv gm T y .c ii)M(A ∪ C) = M(A) + M(C), A ∩ C 6= ∅ Chứng minh:i) chọn A1 = B, Ak = ∅, ∀k > 2 ta được Un 1@ ích ∞ An ) = Σ∞ S µ( n=1 µ(An ) on n14 - B n=1 =⇒ Σ∞ n=1 µ(An ) do µ(B) < ∞ i G oa ng =⇒ µ(An ) = 0, ∀n ∈ N{1} =⇒ µ(∅) = 0 Sa pt Tra ii)Cho A1 = A, A2 = C, Ak = ∅∀k > 3 ∞ An ) = Σ∞ S µ( n=1 µ(An ) n=1 lo u ⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C) + Σ∞ n=3 µ(An ) Th ⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C) BÀI TẬP: 2.6 Cho X là một tập khác trống , cho M là P(X).Đặt µ(A) =| A |(bản số của A,cardinal of A ).Lúc đó µ có là một độ đo dương trên M hay không? Chứng minh: i)Lấy {An } ⊂ M, Ai ∩ Aj = ∅∀i 6= j ∞ An ) = Σ ∞ S M( n=1 M(An ) n=1 ∞ An |= Σ∞ S | n=1 | An | n=1 ∞ S ∞ S TH1 :Nếu | An |< ∞ =⇒ µ( An ) < +∞ n=1 n=1 ∞ S ∞ P ∞ P ?∃Ai :| Ai |= ∞ =⇒ µ( An ) = µ(Ai ) + µ(An ) = µ(An ) n=1 n=1 n=1 ? | Ai |< ∞, ∀i ∈ N P∞ ∞ P =⇒ | An |= ∞ vì nếu | An |< ∞ n=1 n=1 7
∞ P ∞ P =⇒ | Ak |< | Ak |< ∞ k=1 k=1 Sn =⇒| Ak |< ∞, ∀n k=1 →∞ cho n ∞ ∞ S P =⇒| Ak |≤ | Ak |< ∞ k=1 k=1 ∞ S TH2 :Nếu | An |< ∞ → ∃n1 , n2 , ..., nk n=1 | Ai |= 0, ∀i ∈ N{n1 , ..., nk } ∞ S k S k P ∞ P =⇒ M( An ) =| Ani |= | Ani |= | An | n=1 i=1 n=1 n=1 ii) ∅ ∈ M µ(∅) =| ∅ |= 0 < ∞ T không gian đo được với một σ- đại số M , cho µ là một độ đo trên M, và 2.7: Cho X là một A ∈ M.Đặt N = {A E : E ∈ M} và η(D) = µ(D), ∀D ∈ N.Chứng minh (A, N, η) là một không gian đo được. T i) Lấy {An } ⊂ N, Ai Aj 6= ∅, ∀i 6= j ∞ S ∞ P Ta chứng minh :η( An ) = η(An ) sit l ìn n=1 n=1 ∞ S om ∞ S er ai h VT =η( An ) = µ( An ) iv gm T y .c n=1 n=1 ∞ P ∞ P = µ(An ) = η(An ) Un 1@ ích n=1 n=1 ∞ S P∞ Vậy η( An ) = η(An ) on n14 - B n=1 n=1 ii) Ta chứng minh :∃B ∈ N η(B) < ∞ i G oa ng Ta có :µ là độ đo dương(gt) =⇒ ∃B T ∈ M : µ(B) < ∞ Sa pt Tra T T =⇒ (B E) ∈ N : η(B E) = µ(B E) 6 µ(B) < ∞ Chứng minhT N là σ đại số trên E i)E = E E ∈ N vì T (E ∈ M lo u ii)A ∈ N =⇒ A T = B E, B ∈ M Th S EA = E(B E) T = (EB) (EE) = (EB) = EB E (Vì EB ⊂ E) =⇒ EA ∈ N iii) Lấy {An } ⊂ N ∞ S Ta chứng minh: An ∈ N n=1 T Ta có:{An } ⊂ N =⇒ An = Bn E, Bn ∈ M, ∀n ∈ N ∞ S ∞ S T ∞ S T An = (Bn E) = ( Bn ) E n=1 n=1 n=1 ∞ S Bn ∈ M vì M là σ-đại số n=1 Vậy (A, N, η) là một không gian đo được . 2.8 Cho X là một không gian đo được với một σ-đại số M, µ là một độ đo trên M, và f là một song ánh từ X vào một tập hợp Y .Đặt N = {f (E) : E ∈ M} và ν(D) = µ(f −1 (D)), ∀D ∈ N Chứng minh:(Y, N, ν) là một không gian đo được . F Chứng minh N là σ-đại số trên Y 8
i)Y=f(X) ∈ N(do f là song ánh)X ∈ M ii) A ∈ N =⇒ A = f (B), B ∈ M Y A = Y f (B) = f (XB)doXB ∈ M =⇒ Y A ∈ N ∞ S iii) Lấy {An } ⊂ N ta chứng minh An ∈ N n=1 {An } ⊂ N =⇒ ∃B ∈ M: An = f(Bn ), ∀n ∈ N ∞ S ∞ S ∞ S An = f (Bn ) = f Bn ∈ N n=1 n=1 n=1 ∞ S do Bn ∈ M n=1 Vậy N là σ-đại số. F Cứng minh ν T là độ đo trên N i)∀{Ai } ⊂ N, Ai Aj 6= ∅, ∀i 6= j ∞ S P∞ Ta chứng minh:ν( An ) = ν(An ) n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ −1 −1 µ (f −1 (An )) = S S P P VT=µ f ( An ) = µ f (An ) = ν(An ) n=1 n=1 n=1 n=1 ii)µ là độ đo =⇒ ∃B ∈ M, µ(B) < ∞ sit l ìn do f song ánh =⇒ ∃A ∈ N om er ai h A=f(B) iv gm T y .c =⇒ B = f −1 (A) =⇒ ν(A) = µ (f −1 (A)) = µ(B) < ∞ Un 1@ ích 2.13 Cho X là một không gian đo được với một σ đại số M và cho µ là độ đo dương trên M on n14 - B ∞ S .Cho {Bm } là dãy tăng các phần tử trong M.Chứng minh µ( Bk ) = limm→∞ µ(Bm ) k=1 Đặt A 1 , A2 = B2 B1 , ..., Ak+1 = Bk+1 Bk , ∀k ∈ N{0} 1 = BT i G oa ng  Ai Aj = ∅, ∀i 6= j n n Sa pt Tra Ta có: S T  Ak = Bk = Bn k=1 k=1 S∞ P∞ Ta có :µ( An ) = µ(An ) lo u n=1 n=1 Th Đặt sn = µ(A1 ) + µ(A2 ) + ... + µ(An ) = µ(B + µ(B2 ) − µ(B1 ) + ... + µ(Bn ) − µ(Bn−1) = µ(Bn ) 1) ∞ S P∞ =⇒ µ An = µ(An ) = limn→∞ sn = limn→∞ µ(Bn ) n=1 n=1 2.16 ∀a ∈ R, f −1 ((a, +∞)) ∈ M =⇒ Xf −1 ((a, +∞)) ∈ M f −1 (R(a, +∞)) ∈ M f −1 ((−∞, a]) ∈ M, ∀a ∈ R ∞ S 1 Ta có:(−∞, a) = −∞, a − n=1 ∞ n −1 −1 S 1 =⇒ f ((−∞, a)) = f −∞, a − n=1 n ∞ 1 f −1 S = −∞, a − ∈M n=1 n 9
2.17 f(X) hữu hạn trong R f(X)={a1 , a2 , ..., an } f (A1 ) = {a1 } f (A2 ) = {a2 } ... f(AnT) = {an } Ai Aj = ∅, ∀i 6= j ∞ S  Ak = X k=1 f (x) = a1 XA1 (x) + a2 f A2 (x) ĐỊNH NGHĨA 3.1.1 trang 42 ĐỊNH NGHĨA 3.1.2 trang 42 (X, M, µ) , E ∈ M , f đo được F(f ) = {S:hàm đơn/0 ≤ S ≤ f } R R f dµ := sup Sdµ/S ∈ F(f ) F E ĐỊNH LÝ 3.1.1 trang 43 BÀI TẬP 3.1 trang 47 sit l ìn f : N → [0, ∞] ; M = P(N) f:đo được ;µ(A) =| A | om er ai h ∞ iv gm T y .c R P f dµ = N n=1 Un 1@ ích R BÀI TẬPR 3.2 trang 47 i) f dµ = (f.XE )dµ on n14 - B E X R VT=sup Sdµ/S hàm đơn : 0 6 S 6 f } i G oa ng nE n P T P = sup Ckµ (Ak E/S = Ck .XAK , 0 6 S 6 f Sa pt Tra R k=1 R k=1 (S.XE )dµ = (S.XE dµ sao cho 0 6 s.XE 6 XE .f X E n lo u R P T = Ck X (Ak E) Th E k=1 R VP=sup tdµ/tlahamdon; 0 6 t 6 XE .f mX m P P = sup dl µ(Bl )/t = dl .XBl ; 0 6 t 6 XE .f l=1 m l=1 m P T P = sup dl µ(Bl E)/t = dl .XBl ; 0 6 t 6 XE .f l=1 m l=1 R P = sup t.dµ/t = dl .XBl ; 0 6 t 6 XE .f E l=1 ĐỊNH LÍ 3.1.1 Chứng minh định lí 3.1.1 R R iv) (Cf )dµ = sup Sdµ/shamdon; 0 6 S 6 cf E n E P T P n = sup Ck .µ(Ak E)/Shamdon; S = Ck .X (Ak ); 0 6 S 6 C.f k=1 k=1 n C S n C s P k P k = sup C. µ(Ak )/ = .X (Ak ); 0 6 6 f k=1 c c k=1 c c 10
R = sup C tdµ/thamdon; 0 6 t 6 f E R =c.sup tdµ/thamdon; 0 6 t 6 f E ĐỊNH LÍ 3.1.2 ĐỊNH LÍ 3.1.3 BÀI TẬP 3.3 TRANG 47 Ta có:∀n ∈ N, R fn (X) 6Rf (x)∀X =⇒ ∀n ∈ N, fn dµ 6 f dµ X X ∀m, n R ∈ N, m >R n : fm > fn =⇒ fm dµ > fn dµ X RX Đặt a= lim fn dµ n−→∞ X R R Ta chứng minh:a > f dµ , đặt b = f dµ X X Nếu a > r.b, ∀r ∈ (0, 1) thì a > b S hàmRđơn:0 6 S 6 f a > r. Sdµ X sit l ìn n S= P Ck .X (Ak ) om er ai h k=1 iv gm T y .c ∀m ∈ N đặt Em = {x ∈ X/fm (X) > r.S} ∞ S E1 ⊂ E2 ⊂ ... ⊂ En , Un 1@ ích En = X R R m=1 R R R a = lim fn dµ > fn dµ > fn dµ > X Sdµ = r. Sdµ on n14 - B X R X R En En En a > lim r. sdµ > r. sdµ n−→∞ En X i G oa ng ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 trang 44 Sa pt Tra BÀI TẬP: 1)Cho hàm f đo được ,cm | f |là hàm đo được 2)Cho f là hàm phức đo được cmr:|| f || đo được lo u Th BÀI TẬP CÓ THI: Cho fn (x) = xn , X = [0, 1] .Hỏi fn (x) hội tụ điểm về đâu ? giải: Lấy x1 = 0 =⇒ fn (0) = 0, fn (0) → 0 1 1 1 1 x2 = =⇒ fn ( ) = n , fn ( ) → 0khin → ∞ 2 2 2 2 x3 = r, 0 < r < 1 =⇒ fn (r) = rn ;fn (r) → 0 khi n → ∞ 0, voix = 1 x4 = 1 =⇒ fn (1) = 1 f(x)= 1, voi0 6 x 6 1 LÝ THUYẾT: 1)f∼ g ⇐⇒ µ ({x/f (x) 6= g(x)}) = 0 2)f=u+i.v u = u+ − u− u+ (x) = sup {u(x), 0} u(x) = sup {0, −u(x)} 3){x/f (x) 6= h(x)} ⊂ {x/f (x) 6= g(x)} ∪ {x/g(x) 6= h(x)} 4)f, R g≥0 R R (f + g)dµ = f dµ + gdµ A=B+C 11
B+C ⊂ A sup B + C ≤ sup A sup B + sup C ≤ sup A BÀI 3.8 TRANG 49 i)h=f+g + R − h h−R = (f + R− f − ) + (g + − g − ) + + + R h− = R f − + R g − h = f + g ii)α ∈ C, α 6= 0 ∀c ∈ C :| c |= 1 c.α =| α | α =| α | .eiarg(α) c = e−iarg(α) BÀI R 3.9 TRANG 49 α = f dµ ∈ C R R R∃c ∈ C, | c R|= 1 : c f dµ =| f dµ | cf dµ =| f dµ | cf=u+iv sit l ìn R R (cf )dµ = udµ + √ √ R om i vdµ er ai h | cf |= u2 + v 2 > u2 =| u | iv gm T y .c | f |=| cf R |>| u | R R R R Ta có:| f dµ |= cf dµ = udµ 6 | u | dµ 6 | f | dµ Un 1@ ích X X X X X BÀI 3.10 TRANG 49 on n14 - B fm −→ f | fm |6 g i G oa ng gm = 2g− | fm − f ∗ R| f |6 g R Sa pt Tra | f dµ |6 | f | dµ | fn − f |6| fn | + | f |6 2g gRn = 2g− | fn − f | R lo u 2gdµ 6 lim inf (2g− | fn − f |)dµ Th R n−→∞ R = 2gdµ + lim inf (− | fn − f | dµ) R X R X 2gdµ − lim sup | fn − f | dµ R n−→∞ R R 2gdµ − lim sup | fn − f | dµ. lim sup | fn − f | dµ 6 0 R n−→∞ n−→∞ lim | fn − f | dµ = 0 n−→∞ ĐỊNH NGHĨA 4.2.1 ĐỊNH LÍ 4.2.1 BÀI TẬP 2.20 TRANG 39 x−2 , x ∈ R{0} f(x)= ∞, x = 0 Ánh xạ f có đo được trên (R, B) Giải: ∀a ∈ R Xét f(x) < a ? Nếu a 6 0 thì f −1 ((a, ∞]) = ∅ ∈ B ? Nếu a > 0 12
·x 6= 0 f (x) < a(x 6= 0) 1 ⇐⇒ 2 < a x  1 x> √ ⇐⇒   a −1 x< √ a ·x = 0 ∞ < a( vô lí ) −1 −1 1 Vậy f ((−∞, a)) = −∞, √ ∪ √ , +∞ ∈ B a a Vậy f đo được trên (R, B) BÀI 2.21 TRANG 39 −1 x , x ∈ R{0} f (x) = −∞, x = 0 ∀a ∈ R Xét f (x) < a ·x = 0 −∞ < a luôn đúng ·x 6= 0 sit l ìn 1 f (x) < a ⇒ < a ⇐⇒ om 1 − ax < a(1) er ai h x x iv gm T y .c Với a=0 (1) ⇐⇒ x < a Un 1@ ích f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∈ B Với a > 0 on n14 - B W 1 (1) ⇐⇒ x < 0 x > a −1 1 f ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪ , +∞ ∈ B i G oa ng a Với a < 0 Sa pt Tra 1W (1) ⇐⇒ x < x>0 a 1 f −1 ((−∞, a)) = −∞, ∪ (0, +∞) ∈ B lo u a Th Vậy f đo được BÀI2.22 TRANG 39 x−1 , x ∈ R{0} f (x) = 0, x = 0 ánh xạ f có là một ánh xạ đo được trên (R, B) không? Giải: ∀a ∈ R +a > 0 Nếu x=0 f(x)< a ⇐⇒ 0 < a (luôn đúng) Nếu x 6= 0 1 W 1 f (x) < a ⇐⇒ < a ⇐⇒ x < 0 x > x a 1 f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪ , +∞ ∈ B a + a=0 13
Nếu x=0 f (x) < a ⇐⇒ 0 < 0 (vô lí) Nếu x 6= 0 1 f (x) < a ⇐⇒ < 0 ⇐⇒ x < 0 x f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∈ B +a < 0 −1 1 f ((−∞, a)) = −∞, ∪ (0, +∞) ∈ B a Vậy f đo được trên (R, B BÀI 2.23 TRANG 39 fn đo được ∀n ∈ N i)g(x)=sup fn (x) m>1 CM g đo được ∀a ∈ R ta chứng minh ∞ g −1 ((a, +∞]) = S fm ((a, +∞]) ∈ M m=1 ∞ S Lấy x ∈ fm ((a; +∞)) n=1 sit l ìn −1 ⇒ ∃mo ∈ N : x ∈ fm ((a, +∞)] om er ai h → fmo (x) < a iv gm T y .c sup fm (x) > fm0 (x) > a m>1 → sup f (x) < a ⇒ a ∈ g −1 ((a, +∞)) Un 1@ ích m>1 Lấy x ∈ g −1 ((a, +∞)) on n14 - B ⇐⇒ g(x) > a =⇒ ∃no ∈ N : fn0 (x) > a =⇒ x ∈ fn−1 ((a, +∞)) i G oa ng 0 ∞ fn−1 (a, +∞) S =⇒ x ∈ Sa pt Tra n=1 ii)h(x) = inf fm (x), ∀x ∈ X m>1 CM: g đo được lo u ∀a ∈ R Ta chứng minh: Th ∞ h−1 ((a, +∞]) = f −1 ((a, +∞]) T m=1 +Lấy x ∈ h−1 ((a, +∞)) =⇒ h(x) > a mà fn (x) > h(x), ∀x ∈ N =⇒ fn (x) > a, ∀a ∈ N =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) , ∀n ∈ N ∞ f −1 ((a, +∞)) T =⇒ x ∈ n=1 +Lấy x ∈ f −1 ((a, +∞)) T =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) , ∀n ∈ N =⇒ fn (x) > a, ∀n ∈ N =⇒ inf fm (x) > a =⇒ h(x) > a =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) m>1 ĐỊNH LÍ 3:Nếu F là một họ các tập con của X thì tồn tại σ-đại số nhỏ nhất M∗ trong X sao cho F ⊂ M∗ Nhận xét:σ-đại số M∗ này còn được gọi là σ đại số sinh bởi F Chứng minh: Gọi ΩTlà tập hợp tất cả σ-đại số M trên X sao cho F ⊂ M∗ .Vì P(X) ∈ Ω nên Ω 6= 0 .Đặt M∗ := M Ta sẽ cm:M∗ là một σ-đại số nhỏ nhất chứa F M∈Ω 14
Th lo u Sa pt Tra i G oa ng on n14 - B Un 1@ ích iv gm T 15 er ai h sit l ìn y .c om