Tóm tắt bài giảng Phương trình vi phân - Lê Văn Hiện

Chia sẻ: Cao Ngữ Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của tài liệu "Tóm tắt bài giảng Phương trình vi phân" được chia thành 4 chương: chương 1 giới thiệu khái quát về phương trình vi phân; chương 2 nghiên cứu một số lớp phương trình vi phân cấp 1; chương 3 giới thiệu các kết quả cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao; chương 4 giới thiệu về lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt bài giảng Phương trình vi phân - Lê Văn Hiện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ VĂN HIỆN TÓM TẮT BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Hà Nội-2021
MỞ ĐẦU Lịch sử lý thuyết phương trình vi phân khởi nguồn từ nửa cuối thế kỉ XVII trong các công trình của Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz hay nhà Bernoulli, Jakob và Johann. Các phương trình vi phân xuất hiện như một hệ quả tự nhiên khi các nhà toán học áp dụng các ý tưởng mới trong giải tích vào một số bài toán trong cơ học. Trải qua lịch sử hơn 300 năm, lý thuyết phương trình vi phân đã trở thành một công cụ đặc biệt trong việc mô tả và phân tích nhiều bài toán thực tiễn không chỉ trong khoa học kỹ thuật mà trong nhiều lĩnh vực khác nhau như trong y học, sinh thái học, kinh tế, môi trường v.v. Tầm quan trọng của chúng là động lực thúc đẩy các nhà khoa học và toán học phát triển các phương pháp trong nghiên cứu các tính chất nghiệm, từ các phương pháp tìm nghiệm chính xác qua các hàm sơ cấp đến các phương pháp hiện đại của giải tích và xấp xỉ số. Hơn nữa, lý thuyết này cũng đóng một vai trò trung tâm trong sự phát triển của toán học bởi những câu hỏi và vấn đề về phương trình vi phân là khởi nguồn của nhiều lĩnh vực toán học như topo, đại số, hình học và giải tích hiện đại [5]. Sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết phương trình vi phân và những ứng dụng của chúng trong nhiều ngành khoa học đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các chuyên gia và người học trong các lĩnh vực đa ngành. Điều này đã đặt lý thuyết phương trình vi phân ở vị trí đặc biệt trong toán học và khoa học ứng dụng. Ngày nay, lý thuyết này được dạy ở nhiều cấp độ khác nhau trong hầu hết các trường đại học và viện nghiên cứu trên thế giới [3]. Tập bài giảng này giới thiệu một cách cơ bản lý thuyết phương trình vi phân ở trình độ đại học. Nội dung được trình bày ở đây phù hợp với hầu hết người đọc đã được trang bị những kiến thức cơ sở về giải tích cổ điển và đại số tuyến tính. Với mức độ “nhập môn”, bài giảng hướng trọng tâm vào cấu trúc tuyến tính và các tính chất nghiệm của những lớp phương trình này. Nội dung của bài giảng được chia làm 4 chương. Chương 1 giới thiệu khái quát về phương trình vi phân. Một số khái niệm cơ bản được giới thiệu thông qua các mô hình thực tiễn để người đọc tiếp cận một cách tự nhiên. Phần giới thiệu tổng quát và chính xác sẽ được trình bày trong các chương sau. Chương 2 nghiên cứu một số lớp phương trình vi phân cấp 1. Trong chương này, ngoài phần lý thuyết tổng quát, chúng tôi trình bày phương pháp giải một số lớp phương trình vi phân cấp 1 dạng đặc biệt và ứng dụng trong nghiên cứu định tính một lớp phương trình vi phân trong sinh thái học. Chương 3 giới thiệu các kết quả cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao. Phần đầu chương là các kết quả tổng quát về cấu trúc và các tính chất nghiệm. Phần tiếp theo là bài thực hành giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Phần cuối chương trình bày một số kết quả về lý thuyết dao động nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2. Chương 4 giới thiệu về lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính bao gồm các tính chất và cấu trúc tập nghiệm của hệ tuyến tính tổng quát, công thức nghiệm và phương pháp giải hệ tuyến tính với ma trận hằng số. 2
Chương 1 GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1. Một số mô hình toán học Trong thực tiễn, các đại lượng đo như vị trí, nhiệt độ, dân số của quần thể, mức độ hấp thụ/chuyển hóa (trong các phản ứng hóa học) v.v thường được mô tả như những hàm của thời gian. Thông thường, các định luật khoa học về các đại lượng đó được diễn tả bằng các phương trình liên quan đến tốc độ biến đổi theo thời gian. Các định luật như vậy đều dẫn đến các phương trình vi phân. Dưới đây ta xét một số ví dụ. Ví dụ 1.1. (Newton’s cooling law) Một vật được đặt trong một môi trường được duy trì ở nhiệt độ Ta . Định luật Newton nói rằng tốc độ biến đổi của nhiệt độ T (t) của vật tỉ lệ với độ chênh nhiệt giữa vật đó với môi trường. Luật Newton được diễn tả bằng phương trình T ′ (t) = r (T (t) − Ta ) (1.1.1) ở đó r là hệ số tỉ lệ. Phương trình (1.1.1) chứa hàm ẩn T (t) và đạo hàm T ′ (t). Đây là một phương trình vi phân cấp 1. Giả sử r là một hằng số. Khi đó (1.1.1) là một phương trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, giả sử tại thời điểm ban đầu t0 = 0, nhiệt độ của vật là T0 . Khi đó, (1.1.1) cho nghiệm T (t) = Ta + (T0 − Ta )ert . (1.1.2) Từ (1.1.2) ta thấy hàm nhiệt độ T (t) giảm cấp mũ Ta khi T0 > Ta . Trong thực tế, hệ số tỉ lệ r phụ thuộc cả vào thời gian và độ chênh nhiệt độ T (t) − Ta . Tức là, r = r(t, T (t) − Ta ). Khi đó, phương trình (1.1.1) trở thành một phương trình vi phân phi tuyến cấp 1. Việc tìm nghiệm chính xác T (t) bây giờ trở nên khó khăn hơn, thậm chí “không thể”. Vì vậy, các phương pháp định tính (nghiên cứu tính chất nghiệm) được phát triển để phân tích dáng điệu của nghiệm các phương trình có cấu trúc phức tạp nảy sinh từ các mô hình thực tiễn. Ví dụ 1.2. (Mạch RC) Xét mô hình một mạch điện đơn giản gồm nguồn có hiệu điện thế V (t), một điện trở R và một tụ C. Hiệu điện thế vc (t) qua tụ thỏa mãn biểu thức dvc RC + vc = V (t). (1.1.3) dt Phương trình (1.1.3) được viết dưới dạng tuyến tính (chuẩn tắc) dvc V (t) − vc = . (1.1.4) dt RC Một số trường hợp đặc biệt: 3
a) Không có nguồn vào (zero-input) V (t) = 0: Nghiệm của (1.1.4) cho bởi vc (t) = v0 e−t/RC . Các nghiệm này hội tụ về 0 cấp mũ. b) Nguồn không đổi : Trong một số trường hợp (chẳng hạn nguồn cho bởi bộ pin trong khoảng thời gian ngắn), nguồn V (t) = K không đổi. Khi đó phương trình (1.1.4) có điểm cân bằng (nghiệm dừng) vc = K. Các nghiệm khác của (1.1.4) được cho bởi vc (t) = v0 e−t/RC + K 1 − e−t/RC . Các nghiệm này hội tụ về điểm cân bằng vc = K theo cấp mũ. c) Nguồn kiểu “bật-tắt” (on-off voltage): Chẳng hạn nguồn được duy trì là hằng số V (t) = K trong khoảng thời gian [0, tf ] rồi tắt (i.e. V (t) = 0). Khi đó nghiệm của (1.1.4) được cho bởi v0 e−t/RC + K 1 − e−t/RC , 0 ≤ t ≤ tf , vc (t) = t−tf vc (tf )e− RC , t ≥ tf . Các nghiệm này dần đến giá trị vc = K trong khoảng [0, tf ] rồi hội tụ đến 0 theo cấp mũ do không có “nguồn nuôi” V (t). d) Nguồn “bật-tắt” tuần hoàn: Giả sử V (t) = K và lại tắt V (t) = 0 một cách tuần hoàn sau những khoảng thời gian T > 0. Câu hỏi đặt ra là liệu các nghiệm tương ứng của (1.1.4) có tính tuần hoàn? Có hội tụ đến giá trị vc = K hay vc = 0? Những câu hỏi thú vị và quan trọng với các ứng dụng thực tiễn đặt ra những nghiên cứu định tính cho lớp phương trình (1.1.4). Ví dụ 1.3. (Mô hình dân số một loài) a) Mô hình Malthus: Mô hình tăng trưởng dân số (của quần thể), dạng đơn sơ nhất, dựa trên giả thiết rằng tốc độ tăng trưởng dân số của quần thể tỉ lệ thuận với dân số hiện tại. Các yếu tố khác như giới hạn sức chứa của môi trường, nguồn tài nguyên, dịch bệnh v.v không ảnh hưởng gì đến tốc độ này. Gọi P (t) là dân số tại thời điểm t. Khi đó P (t) thỏa mãn phương trình d P (t) = rP (t), (1.1.5) dt ở đó r là hệ số tỉ lệ. Nghiệm của (1.1.5) được cho bởi P (t) = P0 er(t−t0 ) , ở đó P0 là dân số tại thời điểm ban đầu t0 . Khi r > 0, P (t) → ∞ khi t → ∞ (“bùng nổ” dân số). Khi r < 0, P (t) → 0 theo cấp mũ (suy giảm dân số đến tuyệt chủng). b) Mô hình tăng trưởng Logistic: Ta hiệu chỉnh mô hình (1.1.5) có kể đến ảnh hưởng giới hạn của môi trường. Giả thiết rằng: - Khi dân số nhỏ (i.e. P (t) nhận giá trị bé), tốc độ tăng trưởng dân số tỉ lệ với số dân hiện tại. - Khi dân số quá lớn so với sức chứa của môi trường, dân số phải giảm (tăng trưởng âm). Giả sử môi trường có sức chứa (số dân giới hạn) là N. Khi P (t) rất bé so với N thì P (t)/N không đáng kể. Khi đó tốc độ tăng trưởng theo luật (1.1.5) và xấp xỉ dP = dt kP 1 − N , k > 0. Khi P > N thì kP 1 − N < 0, và do đó dân số suy giảm. Phương P P trình dP P = kP 1 − (1.1.6) dt N gọi là phương trình logistic về tăng trưởng của mô hình dân số. Đó là một phương trình vi phân cấp 1 phi tuyến dạng ô-tô-nôm (autonomous). 4
Ví dụ 1.4. (Mô hình thú-mồi) Trong ví dụ này ta xét mô hình một quần thể có hai loài kí hiệu bởi R (loài mồi, e.g. rabbits) và F (loài thú, e.g. foxes). Giả sử rằng - Khi không có thú, loài mồi phát triển theo luật tăng trưởng không giới hạn. - Thú ăn mồi và tốc độ mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú và mồi gặp nhau. - Không có loài mồi, loài thú suy giảm tỉ lệ với dân số hiện tại. - Tốc độ sinh trưởng loài thú tỉ lệ với lượng mồi bị ăn thịt. Ký hiệu α là hệ số tăng trưởng của mồi, β là hệ số tỉ lệ xác định lượng thú và mồi gặp nhau mà mồi bị ăn thịt, γ hệ số suy giảm (tử) của loài thú và δ là hệ số tỉ lệ xác định độ tăng trưởng của thú khi một con mồi bị ăn thịt. Các hệ số này được giả thiết là các hằng số dương. Khi đó, sự sinh trưởng của quần thể được đặc trưng bởi hệ sau R′ = (α − βF )R (1.1.7) F ′ = −(γ − δR)F. Hệ (1.1.7) chứa các hàm ẩn F, R và các đạo hàm cấp 1 của chúng. Đó là một hệ phương trình vi phân cấp 1 dạng ô-tô-nôm. Ví dụ 1.5. (Mô hình dao động cơ học Mass-spring-damper) Xét một cơ hệ như Hình 1.2 dưới đây. Một vật khối lượng m được gắn với một lò xo có độ cứng (stiffness) k và c là độ nén của bộ giảm xóc (damper). Gọi x(t) là độ lệch (displacement) của vật m tại thời điểm t. Hình 1.1: Mô hình dao động cơ học Theo định luật Hook, lực đàn hồi Fs = −kx. Lực giảm xóc (damping force) Fd = −c dx −cx′ . Do đó, lực tổng hợp tác động trên vật m tại thời điểm t là F = Fs + Fd = dt −cx′ − kx. Mặt khác, theo định luật Newton, F = ma = mx′′ . Từ đó ta có phương trình chuyển động của vật m c k x′′ + x′ + x = 0. m m k c Ký hiệu tần số ω = và tỉ số giảm xóc ζ0 = √ , phương trình chuyển động của m 2 km vật m được viết dạng x′′ + 2ζ0ωx′ + ω 2x = 0. (1.1.8) Phương trình (1.1.8) là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Nếu trong mô hình 1.2 có thêm ngoại lực u(t) đóng vai trò như lực điều khiển thì phương trình (1.1.8) trở thành phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất sau đây 1 x′′ + 2ζ0 ωx′ + ω 2 x = u(t). (1.1.9) m 5
x1 Ký hiệu x1 = x, x2 = x′ và x = ˆ . Khi đó, phương trình (1.1.9) được viết dạng x2 một hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 0 1 0 x′ (t) = ˆ 2 x(t) + 1 u(t). ˆ (1.1.10) −ω −2ζ0 ω m Ví dụ 1.6. (Mô hình phản ứng Brusselator) Xét một mô hình phản ứng hóa học dạng sau k 1 A −→ X (1.1.11a) k 2 B + X −→ Y + D (1.1.11b) k3 2X + Y −→ 3X (1.1.11c) k 4 X −→ E (1.1.11d) ở đó A, B, D, E, X và Y là các đơn chất, ki , i = 1, 2, 3, 4 là các hiệu suất phản ứng. Ký hiệu a, b, d, e, x và y lần lượt là nồng động (mole/l) các chất A, B, D, E, X và Y . Giả sử rằng, nguồn cung các chất phản ứng A và B không giới hạn. Khi đó, tốc độ phản ứng của X và Y được cho bởi hệ sau dx = k1 a − k2 b + k3 x2 y − k4 x, dt dy (1.1.12) dt = k2 bx − k3 x2 y. Nếu a và b là các hằng số thì (1.1.12) là một hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp 1 dạng ô-tô-nôm. Trong thực tiễn, nguồn phản ứng được cung cấp một cách tuần hoàn, chẳng hạn a = a0 + α sin(ω1 t), b = b0 + β cos(ω2 t), ở đó a0 , b0 , α, β là các hằng số và T1 = ω1 , T2 = ω2 là chu kì cung cấp chất phản ứng. Khi đó (1.1.12) là một hệ không dừng 2π 2π (không ô-tô-nôm). 1.2. Khái niệm về phương trình vi phân Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm ẩn x(t), các đạo hàm của x(t) và biến thời gian t. Một cách chính tắc, khi ta giải hiển đạo hàm bậc cao nhất, phương trình vi phân cấp 1 là phương trình dạng x′ (t) = f (t, x(t)), (1.2.1) phương trình vi phân cấp 2 x′′ (t) = f (t, x(t), x′ (t)), (1.2.2) hay phương trình vi phân cấp n là phương trình dạng x(n) (t) = f (t, x(t), x′ (t), . . . , x(n−1) (t)). (1.2.3) x1 (t) Trường hợp x(t) là hàm với giá trị vectơ, chẳng hạn x(t) = ∈ R2 , các phương x2 (t) trình (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là các hệ phương trình vi phân. Trong các phương trình vi phân của hàm ẩn x(t), biến t thường được ám chỉ là biến độc lập và x là biến hàm (x là một hàm của thời gian t). Khi viết, thay vì viết giá trị x(t), x′ (t) v.v ta có thể viết dạng hàm x, x′ v.v. Ví dụ T ′ = r(T − Ta ), P ′ = γP (κ − P ). 6
1.2.1. Nghiệm Phương trình vi phân thuộc một lớp phương trình hàm, ở đó đối tượng và ẩn của phương trình là các hàm (giá trị số hoặc vectơ) xác định trên một khoảng nào đó. Một nghiệm của phương trình vi phân là một hàm x(t) xác định trên khoảng I ⊆ R sao cho khi thay x(t) và các đạo hàm x′ (t), x′′ (t) v.v vào phương trình ta được một đồng nhất thức. Chẳng hạn, x(t) là nghiệm của phương trình x′ = f (t, x) trên khoảng I nếu (t, x(t)) ∈ Df (miền xác định của hàm f ) và x′ (t) = f (t, x(t)) với mọi t ∈ I. Ví dụ 1.7. Phương trình vi phân cấp 1 x′ = f (t), (1.2.4) ở đó f (t) là một hàm liên tục trên khoảng I ⊆ R, có nghiệm tổng quát x(t) = f (t)dt + c, với c ∈ R là một hằng số tùy ý. Phương trình x′ = λx, λ là hằng số, có nghiệm tổng quát x = eλt c trong khi phương trình x′ = λ(t)x có nghiệm tổng quát x = e λ(t)dt c. Để cho gọn, ta thường viết e λ(t)dt = exp( λ(t)dt). Ví dụ 1.8. Xét phương trình x x′ = . (1.2.5) 1 + x2 1 + x2 Ta tách phương trình về dạng dx = dt. Khi đó, lấy tích phân hai vế ta được x 1 ln |x| + x2 = t + c 2 là nghiệm tổng quát dạng ẩn của phương trình. 1.2.2. Bài toán giá trị ban đầu (IVPs) Mỗi phương trình vi phân thường có vô hạn nghiệm. Để xác định một nghiệm cụ thể, ta cần cho thêm các dữ kiện. Chẳng hạn, với phương trình tỏa nhiệt T ′ = r(T − Ta ), nghiệm tổng quát là T (t) = Ta + cert . Giả sử tại thời điểm t0 = 0, ta biết nhiệt độ của vật là T (0) = T0 . Khi đó nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu T (0) = T0 là T (t) = Ta + (T0 − Ta )ert . Giá trị t0 của biến độc lập gọi là thời điểm đầu và giá trị T0 của biến hàm gọi là giá trị ban đầu và điều kiện T (t0 ) = T0 gọi là điều kiện đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình T ′ = r(T − Ta ) thỏa mãn điều kiện đầu gọi là bài toán giá trị ban đầu (IVP). Một cách tổng quát, IVP của phương trình vi phân cấp 1 được cho bởi x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 . (1.2.6) Với phương trình vi phân cấp 2, IVP có dạng x′′ = f (t, x, x′ ), x(t0 ) = x0 , x′ (t0 ) = x1 , (1.2.7) ở đó x0 , x1 là các giá trị cho trước và IVP cho phương trình vi phân cấp n có dạng x(n) = f (t, x, x′ , . . . , x(n−1) ), (1.2.8) x(t0 ) = x0 , x′ (t0 ) = x1 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 . 7
Ví dụ 1.9. Hàm t 1 x(t) = f (s) sin ω(t − s)ds ω 0 là nghiệm duy nhất của IVP x′′ + ω 2 x = f (t), t ≥ 0, x(0) = x′ (0) = 0, (1.2.9) ở đó ω > 0 là hằng số (tần số dao động). 8
Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 2.1. Lý thuyết tổng quát Xét phương trình vi phân cấp 1 x′ = f (t, x), (2.1.1) ở đó f : D → R, D = (a, b) × (c, d), −∞ ≤ a < b ≤ ∞ và −∞ ≤ c < d ≤ ∞. Định nghĩa 2.1.1. Cho trước điểm (t0 , x0 ) ∈ D. Một hàm x là nghiệm của IVP x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 , (2.1.2) trên khoảng t0 ∈ I ⊂ (a, b) nếu x là nghiệm của (2.1.1) trên I và x(t0 ) = x0 . Mệnh đề 2.1.1. Giả sử hàm f liên tục trên miền D và (t0 , x0 ) ∈ D. Khi đó, một hàm x(t) là nghiệm của IVP (2.1.2) trên I khi và chỉ khi x(t) liên tục trên I và thỏa mãn phương trình tích phân t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t ∈ I. (2.1.3) 0 Định lí 2.1.2. Giả sử f : D → R là hàm liên tục và cho (t0 , x0 ) ∈ D. Khi đó, IVP (2.1.2) có ít nhất một nghiệm x(t) xác định trên một khoảng cực đại (α, ω) ⊂ (a, b), ở đó α < t0 < ω. Hơn nữa, nếu a < α thì lim x(t) = c hoặc lim x(t) = d t→α+ + t→α và nếu ω < b thì lim x(t) = c, hoặc lim x(t) = d. t→ω − − t→ω Ví dụ 2.1. (Không duy nhất nghiệm) Thả một vật từ một điểm (trên đỉnh tháp, toàn nhà, cây cầu) có độ cao h. Khi đó, độ cao của vật tại thời điểm t là nghiệm của IVP x′ = − 2g|h − x|, x(0) = h. (2.1.4) Rõ ràng hàm f (t, x) = − 2g|h − x| thỏa mãn Định lí 2.1.2. Do đó IVP (2.1.4) có ít nhất một nghiệm. Hơn nữa, dễ kiểm tra thấy IVP này có vô số nghiệm dạng x(t) = h và h, nếu t ≤ c, x(t) = h − 1 g(t − C)2 , nếu t > c 2 ở đó c > 0 là một hằng số tùy ý. Ví dụ này chứng tỏ tính liên tục của hàm f không đảm bảo IVP (2.1.1) có nghiệm duy nhất. 9
Định nghĩa 2.1.2. Hàm f : D = It ×Dx ⊂ R2 −→ R gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz (điều kiện (L)) đối với biến x trên tập D nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho |f (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ L|x1 − x2 | với mọi (t, x1 ) và (t, x2 ) ∈ D. Ví dụ f (t, x) = sin(at + bx), a, b là các hằng số, thỏa mãn điều kiện (L) trên mọi tập con D ⊂ R2 ; hàm f (t, x) = tx2 chỉ thỏa mãn điều kiện (L) trên những miền mà x bị chặn. Tổng quát hơn, một hàm f (t, x) có đạo hàm riêng theo x trên D thỏa mãn điều kiện (L) nếu đạo hàm ∂f (t, x)/∂x bị chặn trên tập D. Định lí 2.1.3. Giả sử D là một miền trong R2 và f : D → R là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện (L) trên D. Khi đó, với mọi (t0 , x0 ) ∈ D, IVP (2.1.2) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên khoảng cực đại t0 ∈ (α, ω). Hơn nữa, quỹ đạo (t, x(t)) dần tới biên của miền D khi t → α+ và t → ω − . Ví dụ 2.2. (Nghiệm địa phương) Cho hằng số k > 0. Hàm số f (t, x) = kx2 liên tục và có đạo hàm riền fx bị chặn. Do đó IVP ′ x′ = kx2 , x(0) = 1 (2.1.5) 1 có nghiệm duy nhất x(t) = xác định trên khoảng cực đại (−∞, 1/k). Trong trường 1 − kt hợp này, x(t) tiến ra vô hạn khi t → 1/k. Ta nói nghiệm của IVP trên bị “nổ” tại điểm 1/k. Rõ ràng, phương trình (2.1.5) xác định trên R2 nhưng nghiệm của IVP trên không 1 thể kéo dài trên toàn khoảng (−∞, ∞). Vì vậy, x(t) = được gọi là một nghiệm địa 1 − kt phương của (2.1.5). Định lí 2.1.4 (Global existence). Cho f : (a, b) × R −→ R là một hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện (L) trên D = (a, b) × R. Giả sử rằng với mội đoạn I ⊂ (a, b), tồn tại hằng số ρI > 0 sao cho |f (t, x)| ≤ ρI 1 + |x| , ∀(t, x) ∈ I × R. Khi đó, với mọi t0 ∈ (a, b), x0 ∈ R, IVP (2.1.2) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên toàn khoảng (a, b). 2.2. Giải một số lớp phương trình vi phân cấp 1 2.2.1. Phương trình tách biến Xét lớp phương trình dạng tách biến x′ = g(t)h(x). (2.2.1) Nói chung, các hàm số hai biến không thể viết dưới dạng tách biến. Tuy nhiên, trong nhiều mô hình ứng dụng, hàm mô tả trạng thái của mô hình viết được dưới dạng tách biến. Ví dụ, mô hình phân rã nguyên tử N ′ = −λN, luật Newton T ′ = r(T − Ta ) hay phương trình động lực học dân số dạng logistic P ′ = (a − bP )P . Giải phương trình tách biến 1. Xác định điểm cân bằng 10
2. Tách biến phương trình về dạng dx = g(t)dt h(x) 3. Tích phân hai vế của phương trình dx H(x) = = g(t)dt + c = G(t) + c. h(x) 4. Giải nghiệm tổng quát x = H −1 (G(t) + c). Trường hợp đặc biệt: • x′ = f (t): x = f (t)dt + c 1 • x′ = f (x): x = F −1 (t + c), where F (x) = dx f (x) • x′ = f (at + bx), ở đó a, b ∈ R là các hằng số, b = 0. Đặt z = at + bx. Khi đó, G−1 (t + c) − at phương trình trở thành z ′ = a + bf (z). Nghiệm tổng quát x = ,ở b 1 đó G(z) = dz. a + bf (z) 1 Ví dụ 2.3. Phương trình x′ = 2t(1 + x)2 có nghiệm tổng quát x = −1 + và −c t2 2t − 4 nghiệm cân bằng x = −1. Phương trình x′ = có nghiệm tổng quát dạng ẩn 3x2 − 4 x3 − 4x = t2 − 4t + c. 2.2.2. Phương trình thuần nhất Một hàm f (t, x) xác định trên miền D được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi số thực λ và (t, x) ∈ D, ta có f (λt, λx) = λk f (t, x). Ví dụ at2 +btx+cx2 , a, b, c ∈ R là hằng số; x3 exp(t2 /t2 −x2 ); t4 +2x4 )1/3 , f (at+bx/ct+dx) là các hàm thuần nhất bậc tương ứng là 2, 3, 4/3 và 0. Nếu f (t, x) là hàm thuần nhất bậc k thì với mọi t = 0 x f (t, x) = f t, t = tk f (1, z), t ở đó tz = x. Định nghĩa 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 M(t, x) + N(t, x)x′ = 0 (2.2.2) được gọi là phương trình thuần nhất nếu M(t, x) và N(t, x) là các hàm thuần nhất cùng bậc, ký hiệu là k. 11
Nếu (2.2.2) là phương trình thuần nhất thì ta có thể viết dưới dạng x x ′ tk M 1, + tk N 1, x = 0. (2.2.3) t t Sử dụng phép biến đổi x = tz ta được [M(1, z) + zN(1, z)] + tN(1, z)z ′ = 0 (2.2.4) là một phương trình tách biến. Nghiệm tổng quát dạng ẩn được cho bởi x t exp ϕ = c, t N(1, z) ở đó ϕ(z) = dz. M(1, z) + zN(1, z) t2 + tx + x2 Ví dụ 2.4. Phương trình x′ = , t = 0 là phương trình thuần nhất. Nghiệm t2 tổng quát ln |t| − arctan(x/t) = c. Áp dụng, giải phương trình dạng a1 t + b1 x + c1 x′ = f , (2.2.5) a2 t + b2 x + c2 ở đó a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 là các hằng số. Nếu c1 = c2 = 0 thì (2.2.5) là phương trình thuần nhất. Nếu c2 + c2 = 0 thì ta chọn các số α, β sao cho 1 2 a1 α + b1 β + c1 = 0 (2.2.6) a2 α + b2 β + c2 = 0. Khi đó (2.2.5) chuyển thành một phương trình thuần nhất bởi phép thế t = u + α, x = v + β. Ví dụ 2.5. Xét phương trình 2 1 t+x−2 x′ = . 2 t+2 Phép thế t = u − 2, x = v + 3 đưa phương trình trên về phương trình thuần nhất dv 1 (u + v)2 = . du 2 u2 Nghiệm tổng quát x−3 2 arctan = ln |t + 2| + c. t+2 12
2.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1 Dạng tổng quát x′ + p(t)x = q(t), (2.2.7) ở đó p, q : (a, b) → R là các hàm số liên tục. Ký hiệu X = C 1 (I, R) và Y = C(I, R). Khi đó X, Y là các không gian tuyến tính vô hạn chiều. Cho p, q ∈ Y. Ánh xạ L : X −→ Y xác định bởi L(x) = x′ + p(t)x là một ánh xạ tuyến tính và (2.2.7) có thể viết dưới dạng phương trình tuyến tính trong Y, L(x) = q. Đặc biệt, khi q = 0, phương trình L(x) = x′ + p(t)x = 0 gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. Tập nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất chính là tập ker L = {x ∈ X : L(x) = 0}. Đây là một không gian con của không gian tuyến tính X. Mệnh đề 2.2.1. Giả sử p : (a, b) → R là hàm liên tục. Khi đó, (i) x(t) = c exp − p(t)dt là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất x′ + p(t)x = 0. (2.2.8) (ii) Nghiệm duy nhất của IVP x′ + p(t)x = 0, x(t0 ) = x0 , (2.2.9) ở đó t0 ∈ (a, b), x0 ∈ R, được cho bởi t x(t) = exp − p(s)ds x0 . t0 Từ Mệnh đề 2.2.1, tập nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2.8) là một không gian con một chiều của không gian X. Bây giờ ta xét phương trình không thuần nhất (2.2.7). Giả sử x∗ ∈ X là một nghiệm của (2.2.7). Khi đó, L(x∗ ) = q. Ánh xạ x → z = x − x∗ là một song ánh từ X vào X. Với bất kì x ∈ X, ta có L(z) = L(x − x∗ ) = L(x) − q. Do đó, x ∈ X là nghiệm của (2.2.7) khi và chỉ khi z là nghiệm của (2.2.8). Tóm lại, nếu x∗ là một nghiệm của (2.2.7) thì nghiệm tổng quát của nó có dạng x = x∗ + c exp − p(t)dt . (2.2.10) Vấn đề còn lại là tìm một nghiệm x∗ của (2.2.7). Theo phương pháp biến thiên hằng số Largrange, ta tìm nghiệm x∗ dạng x∗ = c(t) exp − p(t)dt . Mệnh đề 2.2.2 (Constant variation formula). Cho p, q : (a, b) → R là các hàm liên tục. Khi đó, t t (i) x∗ = q(s) exp − p(u)du ds là một nghiệm của (2.2.7). t0 s 13
(ii) Nghiệm duy nhất của IVP x′ + p(t)x = q(t), x(t0 ) = x0 , (2.2.11) ở đó t0 ∈ (a, b), x0 ∈ R, được cho bởi t t s x(t) = exp − p(s)ds x0 + q(s) exp p(u)du ds . t0 t0 t0 Ví dụ 2.6. Nghiệm tổng quát của phương trình t2 x′ + tx = 1 trên khoảng (0, ∞) là 1 x = (c + ln t). t Ví dụ 2.7. (On-off voltage source) Ta xét lại mô hình RC. Giả sử V (t) = K (constant) với t ∈ [0, T ), T > 0 cố định, nhưng tại t = T nguồn bị tắt (V (t) = 0 for t ≥ T ). Khi đó, K−vc V (t) − vc , t ∈ [0, T ), ′ vc = = RC (2.2.12) RC −vc RC , t ≥ T. Nghiệm liên tục của (2.2.12) được ho bởi vc (0)e−t/RC + K(1 − e−t/RC ), t ∈ [0, T ), vc (t) = vc (T ) exp t−T , t ≥ T. RC Giải phương trình Bernoulli x′ + p(t)x = q(t)xα , (2.2.13) ở đó α ∈ R là một hằng số. Nếu α = 0 hoặc α = 1 thì (2.2.13) có dạng tuyến tính. Giả sử α = 0, α = 1. Chia (2.2.13) cho xα và dùng phép thế z = x1−α ta được z ′ + (1 − α)p(t)z = (1 − α)q(t) (2.2.14) là phương trình tuyến tính. Nghiệm tổng quát của (2.2.13) là x1−α = e(α−1) p(t)dt c + (1 − α) q(t)e(1−α) p(t)dt dt . Ví dụ 2.8. Phương trình x′ + x = 5x2 sin 2t có nghiệm x = 0 và nghiệm tổng quát 1 x= . sin 2t + 2 cos 2t + cet 2.2.4. Phương trình vi phân hoàn chỉnh Khi x(t) là một hàm ẩn xác định bởi phương trình U(t, x) = c, tức là U(t, x(t)) = c với mọi t ∈ I, ta có d ∂U ∂U 0= U(t, x(t)) = U(t, x(t)) + U(t, x(t)). dt ∂t ∂x 14
Do đó, x(t) là một nghiệm của phương trình ∂U ∂U ′ + x = 0. (2.2.15) ∂t ∂x Khi đó, U(t, x) = c là nghiệm tổng quát (dạng ẩn) của phương trình (2.2.15). Chẳng hạn, x2 − 2tx + et = c là nghiệm tổng quát của phương trình (et − 2x) + 2(x − t)x′ = 0. Bây giờ, ta xét phương trình phi tuyến sau M(t, x) + N(t, x)x′ = 0. (2.2.16) Nếu tồn tại một hàm U(t, x) sao cho ∂U ∂U M= , N= (2.2.17) ∂t ∂x thì mọi hàm ẩn xác định bởi U(t, x) = c, với c là hằng số tùy ý, là một nghiệm của (2.2.16). Hay U(t, x) = c là nghiệm tổng quát của (2.2.16). Trường hợp này ta nói phương trình (2.2.16) là một phương trình vi phân hoàn chỉnh. Nếu (2.2.16) là hoàn chỉnh thì theo định nghĩa, tồn tại một hàm U(t, x) thỏa mãn (2.2.17). Khi đó ∂M ∂ ∂U ∂ ∂U ∂N = = = . ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t Như vậy, điều kiện cần để phương trình M + Nx′ = 0 hoàn chỉnh là điều kiện ∂M ∂N = ∂x ∂t đúng với mọi (t, x) ∈ Ω. Chiều ngược lại vẫn đúng, tức là, điều kiện ∂M ∂x = ∂N ∂t cũng là điều kiện đủ để phương trình M + Nx′ = 0 là hoàn chỉnh. Định lí 2.2.3. Giả sử các hàm M(t, x), N(t, x) và các đạo hàm riêng Mx (t, x), Nt (t, x) liên tục trên miền Ω = {(t, x) : |t − t0 | < a, |x − x0 | < b, a, b > 0}. Khi đó, phương trình (2.2.16) là hoàn chỉnh khi và chỉ khi ∂M ∂N = (2.2.18) ∂x ∂t đúng với mọi (t, x) ∈ Ω. Một hàm U(t, x) được cho bởi t x U(t, x) = M(s, x)ds + N(t0 , u)du. (2.2.19) t0 x0 Ví dụ 2.9. Phương trình (x + 2tex ) + t(1 + tex )x′ = 0 có M = x + 2tex , N = t(1 + tex ) và Mx = 1 + 2tex , Nt = 1 + 2tex . Do đó, phương trình đã cho là hoàn chỉnh. Chọn (t0 , x0 ) = (0, 0), ta được t x x U(t, x) = (x + 2se )ds + 0du = tx + t2 ex . 0 0 Nghiệm tổng quát là tx + t2 ex = c. 15
Phương trình 3x2 + 8t + 2txx′ = 0 (2.2.20) không là phương trình hoàn chỉnh. Tuy nhiên, nếu ta nhân với t2 thì phương trình 3x2 t2 + 8t3 + 2t3 xx′ = 0 là phương trình hoàn chỉnh. Hàm số µ = t2 như thế gọi là một thừa số tích phân của (2.2.20). Điều này gợi ý rằng ta có thể tìm một hàm µ(t, x) sao cho nhân một phương trình không hoàn chỉnh M(t, x) + N(t, x)x′ = 0 (2.2.21) với µ ta được phương trình hoàn chỉnh µM + µNx′ = 0. (2.2.22) Hàm µ(t, x) gọi là thừa số tích phân của (2.2.21). Tìm thừa số tích phân từ điều kiện ∂(µM) ∂(µN) = ∂x ∂t dẫn đến ∂µ ∂µ ∂M ∂N N− M= − µ. (2.2.23) ∂t ∂x ∂x ∂t Một số trường hợp đặc biệt ∆ • Ký hiệu ∆ = Mx − Nt . Nếu = ϕ(t) thì µ = µ(t) = e ϕ(t)dt . N ∆ • Nếu = ϕ(x) thì µ = µ(x) = e ϕ(x)dx . −M • Thừa số tích phân dạng µ = µ(w), ở đó w = w(t, x) thì (2.2.23) cho dµ ∆ = µ. dw Nwt − Mwx ∆ Do đó, nếu = ϕ(w) thì µ = e ϕ(w)dw . Nwt − Mwx Một số trường hợp hay gặp của hàm w và thừa số tích phân ϕ(w) được cho bởi bảng sau. t w: t x t−x t+x tx x t2 + x2 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x2 ∆ ∆ ϕ(w): N −M N + M N − M xN − tM xN + tM 2(tN − xM) 2.2.5. Phương trình logistic suy rộng Giả sử p, q là các hàm liên tục trên khoảng I và x(t) là một nghiệm của phương trình x′ = (p(t) − q(t)x) x. (2.2.24) 16
Định lí 2.2.4. Nếu t s 1 x0 = 0, + q(s) exp p(u)du ds = 0, ∀t ∈ I x0 t0 t0 thì nghiệm duy nhất của IVP x′ = (p(t) − q(t)x)x, x(t0 ) = x0 (2.2.25) được cho bởi t exp t0 p(s)ds x(t) = . 1 t s x0 + t0 q(s) exp t0 p(u)du ds Trong các mô hình ứng dụng, ví dụ trong động lực học dân số, hàm các hàm p(t), q(t) thường xác định bởi p(t) = Nq(t), ở đó N > 0 là một hằng số. Khi đó, (2.2.24) trở thành 1 x′ = p(t) 1 − x. (2.2.26) N Hệ quả 2.2.5. Giả sử 1 1 1 t p(s)ds x0 = 0, − + e t0 = 0, ∀t ∈ I. x0 N N Khi đó, nghiệm duy nhất của IVP x x′ = p(t) 1 − x, x(t0 ) = x0 (2.2.27) N được cho bởi t Nx0 exp t0 p(s)ds x(t) = t . N + x0 exp t0 p(s)ds − 1 Định lí sau cho một điều kiện mà nghiệm của phương trình logistic suy rộng (2.2.24) với điều kiện đầu không âm có dáng điệu rất gần với nghiệm của phương trình logistic ô-tô-nôm. Định lí 2.2.6. Giả sử p : [t0 , ∞) −→ [0, ∞) là hàm liên tục và 0 p(t)dt = ∞. Cho x(t) ∞ là một nghiệm của IVP (2.2.27) với x0 > 0. Khi đó, x(t) xác định trên [t0 , ∞). Hơn nữa, nếu 0 < x0 < N thì x(t) là hàm không giảm và limt→∞ x(t) = N. Nếu x0 > N thì x(t) là hàm không tăng và limt→∞ x(t) = N. 2.3. Bài tập chương 2 1. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau 1. x′ = x2 (1 + x2 )2 4. x′ = (4t + x − 1)2 2 2. xx′ = et+x 5. 2t2 xx′ + x2 = 2 3. x′ = 1 − (t − x)2 6. t sin x + (t2 + 1)x′ cos x = 0. 17
2. Tìm nghiệm của các bài toán sau t t 1. x(t) = e−x(s) ds, t ≥ 0 2. x(t) = x(s)ds + 1 1 0 3. Giải các phương trình thuần nhất sau 1. (x2 − 2tx) + t2 x′ = 0 x−t 5. tx′ − x = t sin t 2. (t2 − x2 ) + 2txx′ = 0 2 x+2 3. (t2 + x2 )x′ = 2tx 6. x′ = 2 t+x−1 t 4. x′ = e− x + x t 7. (t − x − 1) + (x − t + 2)x′ = 0 4. Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi về dạng tuyến tính 1. (1 + t2 )x′ − 2tx = 0 7. 2(1 + x3 ) + 3tx2 x′ = 0 2. x2 + 2 [t − x(1 + x)2 ] x′ = 1 8. x + t(1 + tx4 )x′ = 0 3. (2ex − t)x′ = 1 3 2 4. (t + x2 )x′ = x 9. x′ + x = 3 , t > 0 t t 5. (1 + t2 )x′ − 2tx = (1 + t2 )2 t 6. t(ex − x′ ) = 2 10. x(t) = x(s)ds + t + 1 0 5. Giả sử p(t), q(t) là các hàm liên tục và x(t) là nghiệm của bài toán x′ + p(t)x = q(t), x(t0 ) = x0 , xác định trên [t0 , +∞). Cho z(t) là một hàm khả vi liên tục trên khoảng [t0 , ∞) thỏa mãn bất đẳng thức vi phân z ′ + p(t)z ≤ q(t). Chứng minh rằng, nếu z(t0 ) ≤ x0 thì z(t) ≤ x(t) với mọi t ≥ t0 . 6. Cho q(t) là một hàm liên tục bị chặn trên [0, ∞), lim q(t) = L. Xét phương trình t→∞ tuyến tính x′ + ax = q(t), ở đó a là một hằng số. Chứng minh rằng a) Nếu a > 0 thì mọi nghiệm x(t) của phương trình hội tụ đến L/a khi t → ∞. b) Nếu a < 0 thì chỉ có duy nhất một nghiệm hội tụ đến L/a khi t → ∞. Tìm nghiệm đó. 7. Xét phương trình x′ + ax = q(t), ở đó a = 0 và hàm q(t) liên tục ω-tuần hoàn. Chứng minh phương trình có duy nhất một nghiệm ω-tuần hoàn. 8. Giải các phương trình Bernoulli sau 1. x′ − 2tx = 3t3 x2 5. (2t2 x ln x − t)x′ = x √ 2. tx′ − 2t3 x = 4x 6. x′ + 2x = x2 et t √ 3. x′ + 2 x=t x 7. tx′ + x = x2 ln t, x(1) = 1 1−t 4. x + 2tx = 2t3 x3 ′ 8. x′ = x4 cos t + x tan t 9. Giải các phương trình hoàn chỉnh sau 1. 2txdt + (t2 − x2 )dx = 0 t t t 3. (1 + e x )dt + e x (1 − )dx = 0 x 2. e−x dt − (2x + te−x )dx = 0 4. (3t + 6tx ) + (6t x + 4x3 )x′ = 0 2 2 2 18
t3 tdt + xdx tdx − xdt 5. 3t2 (1 + ln x)dt = (2x − )dx 7. √ + 2 =0 x 1 + t2 + x2 t + x2 2t(1 − ex ) ex 6. (1 + x2 sin 2t) − 2xx′ cos2 t = 0 8. dt + dx = 0 (1 + t2 )2 1 + t2 10. Tìm thừa số tích phân và giải các phương trình sau 1. (t2 − x) + (t2 x2 + t)x′ = 0 5. (t2 + x2 + t) + xx′ = 0 2. (t + x2 ) − 2txx′ = 0 6. x + t(1 − 3t2 x2 )x′ = 0 3. (x2 + t)x′ = x 7. (t2 − x2 + x) + t(2x − 1)x′ = 0. 4. (2tx2 − x) + (x2 + x + t)x′ = 0 8. (3tx + x2 ) + (3tx + t2 )x′ = 0 11. Xét phương trình tăng trưởng logistic với số hạng thu hoạch λ sau P P ′ = kP 1− − λP. N Cho 0 < λ < k. Khảo sát dáng điệu tiệm cận của các điểm cân bằng của mô hình. 19
Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO 3.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n Trong chương 1 ta đã biết, phương trình chuyển động của hệ giảm xóc được mô tả bởi phương tuyến tính thuần nhất cấp 2 x′′ + 2ζ0ωx′ + ω 2x = 0. Cơ hệ giảm xóc có điều khiển được mô tả bởi phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất 1 x′′ + 2ζ0 ωx′ + ω 2 x = u(t). m Một cách tổng quát, ta xét phương trình vi phân cấp n sau đây x(n) + pn−1 (t)x(n−1) + pn−2 (t)x(n−2) + . . . + p0 (t)x = q(t), (3.1.1) ở đó pi , i = 0, 1, . . . , n − 1, và q là các hàm số liên tục trên khoảng (a, b) ⊂ R. Ký hiệu X = C n (a, b), Y = C(a, b) và xét ánh xạ Ln : X −→ Y cho bởi Ln x(t) = x(n) (t) + pn−1 (t)x(n−1) (t) + . . . + p0 (t)x(t), t ∈ (a, b). (3.1.2) Dễ dàng kiểm tra được Ln là một toán tử tuyến tính X vào Y. Phương trình (3.1.1) được viết dạng Ln x = q. Vì vậy, (3.1.1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp n. Nếu q không đồng nhất 0 trên khoảng (a, b) thì Ln x = q gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất. Phương trình Ln x = x(n) (t) + pn−1 (t)x(n−1) (t) + . . . + p0 (t)x(t) = 0 (3.1.3) gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n. Định lí 3.1.1 (Existence Uniqueness Theorem). Cho các hàm pi , q ∈ C(a, b). Với bất kì t0 ∈ (a, b), xi ∈ R, i = 0, 1, . . . , n − 1, bài toán Ln x = q(t), x(i) (t0 ) = xi , i = 0, 1, . . . , n − 1, (3.1.4) có nghiệm duy nhất xác định trên (a, b). Vì toán tử Ln : X → Y xác định ở (3.1.2) là toán tử tuyến tính và x ∈ X là nghiệm của phương trình thuần nhất (3.1.3) khi và chỉ khi Ln x = 0. Do đó, tập nghiệm của (3.1.3) là không gian con kerLn của không gian (vô hạn chiều) X. Để mô tả chi tiết hơn cấu trúc của không gian nghiệm của (3.1.3), ta cần một số khái niệm về tính độc lập và phụ thuộc tuyến tính của họ hàm số. Định nghĩa 3.1.1. Họ hàm số φ1 , φ2 , . . . , φm được gọi là 20