TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
LÊ VĂN HIỆN TÓM TẮT BÀI GIẢNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Hà Nội-2021
MỞ ĐẦU
Lịch sử lý thuyết phương trình vi phân khởi nguồn từ nửa cuối thế kỉ XVII trong các công trình của Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz hay nhà Bernoulli, Jakob và Johann. Các phương trình vi phân xuất hiện như một hệ quả tự nhiên khi các nhà toán học áp dụng các ý tưởng mới trong giải tích vào một số bài toán trong cơ học. Trải qua lịch sử hơn 300 năm, lý thuyết phương trình vi phân đã trở thành một công cụ đặc biệt trong việc mô tả và phân tích nhiều bài toán thực tiễn không chỉ trong khoa học kỹ thuật mà trong nhiều lĩnh vực khác nhau như trong y học, sinh thái học, kinh tế, môi trường v.v. Tầm quan trọng của chúng là động lực thúc đẩy các nhà khoa học và toán học phát triển các phương pháp trong nghiên cứu các tính chất nghiệm, từ các phương pháp tìm nghiệm chính xác qua các hàm sơ cấp đến các phương pháp hiện đại của giải tích và xấp xỉ số. Hơn nữa, lý thuyết này cũng đóng một vai trò trung tâm trong sự phát triển của toán học bởi những câu hỏi và vấn đề về phương trình vi phân là khởi nguồn của nhiều lĩnh vực toán học như topo, đại số, hình học và giải tích hiện đại [5].
Sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết phương trình vi phân và những ứng dụng của chúng trong nhiều ngành khoa học đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các chuyên gia và người học trong các lĩnh vực đa ngành. Điều này đã đặt lý thuyết phương trình vi phân ở vị trí đặc biệt trong toán học và khoa học ứng dụng. Ngày nay, lý thuyết này được dạy ở nhiều cấp độ khác nhau trong hầu hết các trường đại học và viện nghiên cứu trên thế giới [3].
Tập bài giảng này giới thiệu một cách cơ bản lý thuyết phương trình vi phân ở trình độ đại học. Nội dung được trình bày ở đây phù hợp với hầu hết người đọc đã được trang bị những kiến thức cơ sở về giải tích cổ điển và đại số tuyến tính. Với mức độ “nhập môn”, bài giảng hướng trọng tâm vào cấu trúc tuyến tính và các tính chất nghiệm của những lớp phương trình này.
Nội dung của bài giảng được chia làm 4 chương. Chương 1 giới thiệu khái quát về phương trình vi phân. Một số khái niệm cơ bản được giới thiệu thông qua các mô hình thực tiễn để người đọc tiếp cận một cách tự nhiên. Phần giới thiệu tổng quát và chính xác sẽ được trình bày trong các chương sau.
Chương 2 nghiên cứu một số lớp phương trình vi phân cấp 1. Trong chương này, ngoài phần lý thuyết tổng quát, chúng tôi trình bày phương pháp giải một số lớp phương trình vi phân cấp 1 dạng đặc biệt và ứng dụng trong nghiên cứu định tính một lớp phương trình vi phân trong sinh thái học.
Chương 3 giới thiệu các kết quả cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao. Phần đầu chương là các kết quả tổng quát về cấu trúc và các tính chất nghiệm. Phần tiếp theo là bài thực hành giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Phần cuối chương trình bày một số kết quả về lý thuyết dao động nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Chương 4 giới thiệu về lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính bao gồm các tính chất và cấu trúc tập nghiệm của hệ tuyến tính tổng quát, công thức nghiệm và phương pháp giải hệ tuyến tính với ma trận hằng số.
2
Chương 1
GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Một số mô hình toán học
Trong thực tiễn, các đại lượng đo như vị trí, nhiệt độ, dân số của quần thể, mức độ hấp thụ/chuyển hóa (trong các phản ứng hóa học) v.v thường được mô tả như những hàm của thời gian. Thông thường, các định luật khoa học về các đại lượng đó được diễn tả bằng các phương trình liên quan đến tốc độ biến đổi theo thời gian. Các định luật như vậy đều dẫn đến các phương trình vi phân. Dưới đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 1.1. (Newton’s cooling law)
Một vật được đặt trong một môi trường được duy trì ở nhiệt độ Ta. Định luật Newton nói rằng tốc độ biến đổi của nhiệt độ T (t) của vật tỉ lệ với độ chênh nhiệt giữa vật đó với môi trường. Luật Newton được diễn tả bằng phương trình
T ′(t) = r (T (t) (1.1.1) Ta) −
ở đó r là hệ số tỉ lệ. Phương trình (1.1.1) chứa hàm ẩn T (t) và đạo hàm T ′(t). Đây là một phương trình vi phân cấp 1.
Giả sử r là một hằng số. Khi đó (1.1.1) là một phương trình vi phân tuyến tính. Hơn nữa, giả sử tại thời điểm ban đầu t0 = 0, nhiệt độ của vật là T0. Khi đó, (1.1.1) cho nghiệm
(1.1.2) Ta)ert. T (t) = Ta + (T0 − Từ (1.1.2) ta thấy hàm nhiệt độ T (t) giảm cấp mũ Ta khi T0 > Ta.
Trong thực tế, hệ số tỉ lệ r phụ thuộc cả vào thời gian và độ chênh nhiệt độ T (t) − −
Ta. Ta). Khi đó, phương trình (1.1.1) trở thành một phương trình vi Tức là, r = r(t, T (t) phân phi tuyến cấp 1. Việc tìm nghiệm chính xác T (t) bây giờ trở nên khó khăn hơn, thậm chí “không thể”. Vì vậy, các phương pháp định tính (nghiên cứu tính chất nghiệm) được phát triển để phân tích dáng điệu của nghiệm các phương trình có cấu trúc phức tạp nảy sinh từ các mô hình thực tiễn.
Ví dụ 1.2. (Mạch RC) Xét mô hình một mạch điện đơn giản gồm nguồn có hiệu điện thế V (t), một điện trở R và một tụ C. Hiệu điện thế vc(t) qua tụ thỏa mãn biểu thức
RC (1.1.3) + vc = V (t). dvc dt
Phương trình (1.1.3) được viết dưới dạng tuyến tính (chuẩn tắc)
V (t) vc . = (1.1.4) dvc dt − RC
Một số trường hợp đặc biệt:
3
a) Không có nguồn vào (zero-input) V (t) = 0: Nghiệm của (1.1.4) cho bởi vc(t) = v0e−t/RC. Các nghiệm này hội tụ về 0 cấp mũ.
b) Nguồn không đổi : Trong một số trường hợp (chẳng hạn nguồn cho bởi bộ pin trong khoảng thời gian ngắn), nguồn V (t) = K không đổi. Khi đó phương trình (1.1.4) có điểm cân bằng (nghiệm dừng) vc = K. Các nghiệm khác của (1.1.4) được cho bởi
e−t/RC . 1 vc(t) = v0e−t/RC + K − (cid:0) (cid:1) Các nghiệm này hội tụ về điểm cân bằng vc = K theo cấp mũ.
c) Nguồn kiểu “bật-tắt” (on-off voltage): Chẳng hạn nguồn được duy trì là hằng số V (t) = K trong khoảng thời gian [0, tf ] rồi tắt (i.e. V (t) = 0). Khi đó nghiệm của (1.1.4) được cho bởi
e−t/RC t , 0 1 tf , ≤ ≤ vc(t) = − tf . (cid:1)
v0e−t/RC + K vc(tf )e− t−tf RC , t ( (cid:0) ≥ Các nghiệm này dần đến giá trị vc = K trong khoảng [0, tf ] rồi hội tụ đến 0 theo cấp mũ do không có “nguồn nuôi” V (t).
d) Nguồn “bật-tắt” tuần hoàn: Giả sử V (t) = K và lại tắt V (t) = 0 một cách tuần hoàn sau những khoảng thời gian T > 0. Câu hỏi đặt ra là liệu các nghiệm tương ứng của (1.1.4) có tính tuần hoàn? Có hội tụ đến giá trị vc = K hay vc = 0? Những câu hỏi thú vị và quan trọng với các ứng dụng thực tiễn đặt ra những nghiên cứu định tính cho lớp phương trình (1.1.4).
Ví dụ 1.3. (Mô hình dân số một loài)
a) Mô hình Malthus: Mô hình tăng trưởng dân số (của quần thể), dạng đơn sơ nhất, dựa trên giả thiết rằng tốc độ tăng trưởng dân số của quần thể tỉ lệ thuận với dân số hiện tại. Các yếu tố khác như giới hạn sức chứa của môi trường, nguồn tài nguyên, dịch bệnh v.v không ảnh hưởng gì đến tốc độ này. Gọi P (t) là dân số tại thời điểm t. Khi đó P (t) thỏa mãn phương trình
P (t) = rP (t), (1.1.5) d dt
khi t → ∞ → ∞ ở đó r là hệ số tỉ lệ. Nghiệm của (1.1.5) được cho bởi P (t) = P0er(t−t0), ở đó P0 là dân số tại thời điểm ban đầu t0. Khi r > 0, P (t) (“bùng nổ” dân số). Khi r < 0, P (t) 0 theo cấp mũ (suy giảm dân số đến tuyệt chủng). → b) Mô hình tăng trưởng Logistic: Ta hiệu chỉnh mô hình (1.1.5) có kể đến ảnh hưởng giới hạn của môi trường. Giả thiết rằng:
- Khi dân số nhỏ (i.e. P (t) nhận giá trị bé), tốc độ tăng trưởng dân số tỉ lệ với số dân hiện tại.
- Khi dân số quá lớn so với sức chứa của môi trường, dân số phải giảm (tăng trưởng âm).
P N
P N
, k > 0. Khi P > N thì kP Giả sử môi trường có sức chứa (số dân giới hạn) là N. Khi P (t) rất bé so với N dt = < 0, và do đó dân số suy giảm. Phương 1 − − thì P (t)/N không đáng kể. Khi đó tốc độ tăng trưởng theo luật (1.1.5) và xấp xỉ dP kP 1 trình (cid:0) (cid:1) (1.1.6) (cid:0) = kP dP dt P N − (cid:19)
(cid:1) 1 (cid:18) gọi là phương trình logistic về tăng trưởng của mô hình dân số. Đó là một phương trình vi phân cấp 1 phi tuyến dạng ô-tô-nôm (autonomous).
4
Ví dụ 1.4. (Mô hình thú-mồi) Trong ví dụ này ta xét mô hình một quần thể có hai loài kí hiệu bởi R (loài mồi, e.g. rabbits) và F (loài thú, e.g. foxes). Giả sử rằng
- Khi không có thú, loài mồi phát triển theo luật tăng trưởng không giới hạn. - Thú ăn mồi và tốc độ mồi bị ăn thịt tỉ lệ với tốc độ thú và mồi gặp nhau. - Không có loài mồi, loài thú suy giảm tỉ lệ với dân số hiện tại. - Tốc độ sinh trưởng loài thú tỉ lệ với lượng mồi bị ăn thịt. Ký hiệu α là hệ số tăng trưởng của mồi, β là hệ số tỉ lệ xác định lượng thú và mồi gặp nhau mà mồi bị ăn thịt, γ hệ số suy giảm (tử) của loài thú và δ là hệ số tỉ lệ xác định độ tăng trưởng của thú khi một con mồi bị ăn thịt. Các hệ số này được giả thiết là các hằng số dương.
Khi đó, sự sinh trưởng của quần thể được đặc trưng bởi hệ sau
βF )R (1.1.7) R′ = (α F ′ = − (γ δR)F. ( − −
Hệ (1.1.7) chứa các hàm ẩn F, R và các đạo hàm cấp 1 của chúng. Đó là một hệ phương trình vi phân cấp 1 dạng ô-tô-nôm.
Ví dụ 1.5. (Mô hình dao động cơ học Mass-spring-damper)
Xét một cơ hệ như Hình 1.2 dưới đây. Một vật khối lượng m được gắn với một lò xo có độ cứng (stiffness) k và c là độ nén của bộ giảm xóc (damper). Gọi x(t) là độ lệch (displacement) của vật m tại thời điểm t.
Hình 1.1: Mô hình dao động cơ học
Theo định luật Hook, lực đàn hồi Fs = − ,
c dx dt cx′ kx. Lực giảm xóc (damping force) Fd = cx′. Do đó, lực tổng hợp tác động trên vật m tại thời điểm t là F = Fs + Fd = − kx. Mặt khác, theo định luật Newton, F = ma = mx′′. Từ đó ta có phương trình − − − chuyển động của vật m
x′′ + x′ + x = 0. c m k m
Ký hiệu tần số ω = , phương trình chuyển động của và tỉ số giảm xóc ζ0 = k m c 2√km r vật m được viết dạng (1.1.8) x′′ + 2ζ0ωx′ + ω2x = 0.
Phương trình (1.1.8) là một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Nếu trong mô hình 1.2 có thêm ngoại lực u(t) đóng vai trò như lực điều khiển thì phương trình (1.1.8) trở thành phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất sau đây
u(t). (1.1.9) x′′ + 2ζ0ωx′ + ω2x = 1 m
5
. Khi đó, phương trình (1.1.9) được viết dạng Ký hiệu x1 = x, x2 = x′ và ˆx = x1 x2(cid:21) (cid:20) một hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
ˆx(t) + ˆx′(t) = u(t). (1.1.10) 0 ω2 1 2ζ0ω (cid:21) (cid:20) (cid:20) 0 1 m(cid:21) − −
Ví dụ 1.6. (Mô hình phản ứng Brusselator)
Xét một mô hình phản ứng hóa học dạng sau
X (1.1.11a)
Y + D (1.1.11b)
(1.1.11c) 3X
E (1.1.11d)
A k1 −→ B + X k2 −→ 2X + Y k3 −→ X k4 −→ ở đó A, B, D, E, X và Y là các đơn chất, ki, i = 1, 2, 3, 4 là các hiệu suất phản ứng. Ký hiệu a, b, d, e, x và y lần lượt là nồng động (mole/l) các chất A, B, D, E, X và Y . Giả sử rằng, nguồn cung các chất phản ứng A và B không giới hạn. Khi đó, tốc độ phản ứng của X và Y được cho bởi hệ sau
dx dt = k1a − dy dt = k2bx −
k4x, (1.1.12) − k2b + k3x2y k3x2y. (
, T2 = 2π ω2 Nếu a và b là các hằng số thì (1.1.12) là một hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp 1 dạng ô-tô-nôm. Trong thực tiễn, nguồn phản ứng được cung cấp một cách tuần hoàn, chẳng hạn a = a0 + α sin(ω1t), b = b0 + β cos(ω2t), ở đó a0, b0, α, β là các hằng số và T1 = 2π là chu kì cung cấp chất phản ứng. Khi đó (1.1.12) là một hệ không dừng ω1 (không ô-tô-nôm).
1.2. Khái niệm về phương trình vi phân
Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm ẩn x(t), các đạo hàm của x(t) và biến thời gian t. Một cách chính tắc, khi ta giải hiển đạo hàm bậc cao nhất, phương trình vi phân cấp 1 là phương trình dạng
x′(t) = f (t, x(t)), (1.2.1)
phương trình vi phân cấp 2 x′′(t) = f (t, x(t), x′(t)), (1.2.2)
hay phương trình vi phân cấp n là phương trình dạng
x(n)(t) = f (t, x(t), x′(t), . . . , x(n−1)(t)). (1.2.3)
Trường hợp x(t) là hàm với giá trị vectơ, chẳng hạn x(t) = R2, các phương ∈ x1(t) x2(t) (cid:20) (cid:21) trình (1.2.1)-(1.2.3) được gọi là các hệ phương trình vi phân.
Trong các phương trình vi phân của hàm ẩn x(t), biến t thường được ám chỉ là biến độc lập và x là biến hàm (x là một hàm của thời gian t). Khi viết, thay vì viết giá trị x(t), x′(t) v.v ta có thể viết dạng hàm x, x′ v.v. Ví dụ T ′ = r(T P ). Ta), P ′ = γP (κ − −
6
1.2.1. Nghiệm
⊆
∈ Phương trình vi phân thuộc một lớp phương trình hàm, ở đó đối tượng và ẩn của phương trình là các hàm (giá trị số hoặc vectơ) xác định trên một khoảng nào đó. Một R sao cho khi nghiệm của phương trình vi phân là một hàm x(t) xác định trên khoảng I thay x(t) và các đạo hàm x′(t), x′′(t) v.v vào phương trình ta được một đồng nhất thức. Chẳng hạn, x(t) là nghiệm của phương trình x′ = f (t, x) trên khoảng I nếu (t, x(t)) Df (miền xác định của hàm f ) và x′(t) = f (t, x(t)) với mọi t I. ∈ Ví dụ 1.7. Phương trình vi phân cấp 1
x′ = f (t), (1.2.4)
ở đó f (t) là một hàm liên tục trên khoảng I R, có nghiệm tổng quát ⊆
x(t) = f (t)dt + c,
Z
∈
λ(t)dt). R là một hằng số tùy ý. Phương trình x′ = λx, λ là hằng số, có nghiệm tổng quát với c x = eλtc trong khi phương trình x′ = λ(t)x có nghiệm tổng quát x = eR λ(t)dtc. Để cho gọn, ta thường viết eR λ(t)dt = exp(
R Ví dụ 1.8. Xét phương trình
x′ = (1.2.5) x 1 + x2 .
Ta tách phương trình về dạng dx = dt. Khi đó, lấy tích phân hai vế ta được 1 + x2 x
x2 = t + c ln + 1 2 x | |
1.2.2. Bài toán giá trị ban đầu (IVPs)
là nghiệm tổng quát dạng ẩn của phương trình.
−
− Mỗi phương trình vi phân thường có vô hạn nghiệm. Để xác định một nghiệm cụ thể, ta cần cho thêm các dữ kiện. Chẳng hạn, với phương trình tỏa nhiệt T ′ = r(T Ta), nghiệm tổng quát là T (t) = Ta + cert. Giả sử tại thời điểm t0 = 0, ta biết nhiệt độ của vật là T (0) = T0. Khi đó nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu T (0) = T0 là Ta)ert. Giá trị t0 của biến độc lập gọi là thời điểm đầu và giá trị T0 của T (t) = Ta + (T0 − biến hàm gọi là giá trị ban đầu và điều kiện T (t0) = T0 gọi là điều kiện đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình T ′ = r(T Ta) thỏa mãn điều kiện đầu gọi là bài toán giá trị ban đầu (IVP).
Một cách tổng quát, IVP của phương trình vi phân cấp 1 được cho bởi
x′ = f (t, x), (1.2.6) x(t0) = x0.
Với phương trình vi phân cấp 2, IVP có dạng
x′′ = f (t, x, x′), (1.2.7) x(t0) = x0, x′(t0) = x1,
ở đó x0, x1 là các giá trị cho trước và IVP cho phương trình vi phân cấp n có dạng
(1.2.8) x(n) = f (t, x, x′, . . . , x(n−1)), x(t0) = x0, x′(t0) = x1, . . . , x(n−1)(t0) = xn−1.
7
t
Ví dụ 1.9. Hàm
0
f (s) sin ω(t s)ds x(t) = 1 ω − Z là nghiệm duy nhất của IVP
x′′ + ω2x = f (t), t x(0) = x′(0) = 0, 0, (1.2.9) ≥
ở đó ω > 0 là hằng số (tần số dao động).
8
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
2.1. Lý thuyết tổng quát
Xét phương trình vi phân cấp 1
x′ = f (t, x), (2.1.1)
a < b c < d ở đó f : D R, D = (a, b) (c, d), và . → × ≤ ∞ −∞ ≤ ≤ ∞ D. Một hàm x là nghiệm của IVP −∞ ≤ Định nghĩa 2.1.1. Cho trước điểm (t0, x0) ∈
(2.1.2) x′ = f (t, x), x(t0) = x0,
I (a, b) nếu x là nghiệm của (2.1.1) trên I và x(t0) = x0. ⊂
∈
t
trên khoảng t0 ∈ Mệnh đề 2.1.1. Giả sử hàm f liên tục trên miền D và (t0, x0) D. Khi đó, một hàm x(t) là nghiệm của IVP (2.1.2) trên I khi và chỉ khi x(t) liên tục trên I và thỏa mãn phương trình tích phân
0 Z
t I. f (s, x(s))ds, (2.1.3) x(t) = x0 + ∈
R là hàm liên tục và cho (t0, x0) → ∈ D. Khi đó, IVP (a, b), ở đó ⊂ Định lí 2.1.2. Giả sử f : D (2.1.2) có ít nhất một nghiệm x(t) xác định trên một khoảng cực đại (α, ω) α < t0 < ω. Hơn nữa, nếu a < α thì
x(t) = d x(t) = c hoặc lim t→α+ lim t→α+
t→ω− x(t) = d.
t→ω− x(t) = c, hoặc lim lim
và nếu ω < b thì
Ví dụ 2.1. (Không duy nhất nghiệm) Thả một vật từ một điểm (trên đỉnh tháp, toàn nhà, cây cầu) có độ cao h. Khi đó, độ cao của vật tại thời điểm t là nghiệm của IVP
h , x′ = 2g x(0) = h. (2.1.4) − | − x |
h Rõ ràng hàm f (t, x) = 2g − x | | p − thỏa mãn Định lí 2.1.2. Do đó IVP (2.1.4) có ít nhất một nghiệm. Hơn nữa, dễ kiểm tra thấy IVP này có vô số nghiệm dạng x(t) = h và p
x(t) = c, C)2, nếu t > c ( h, nếu t 1 2g(t h − ≤ −
ở đó c > 0 là một hằng số tùy ý.
Ví dụ này chứng tỏ tính liên tục của hàm f không đảm bảo IVP (2.1.1) có nghiệm duy nhất.
9
R2 R gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz Dx ⊂ −→ Định nghĩa 2.1.2. Hàm f : D = It × (điều kiện (L)) đối với biến x trên tập D nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
f (t, x1) f (t, x2) − L | x1 − x2| | ≤
| D. với mọi (t, x1) và (t, x2) ∈
⊂
Ví dụ f (t, x) = sin(at + bx), a, b là các hằng số, thỏa mãn điều kiện (L) trên mọi tập R2; hàm f (t, x) = tx2 chỉ thỏa mãn điều kiện (L) trên những miền mà x bị chặn. con D Tổng quát hơn, một hàm f (t, x) có đạo hàm riêng theo x trên D thỏa mãn điều kiện (L) nếu đạo hàm ∂f (t, x)/∂x bị chặn trên tập D.
→ ∈ R là hàm liên tục, thỏa mãn D, IVP (2.1.2) có nghiệm duy nhất x(t) (α, ω). Hơn nữa, quỹ đạo (t, x(t)) dần tới biên của miền Định lí 2.1.3. Giả sử D là một miền trong R2 và f : D điều kiện (L) trên D. Khi đó, với mọi (t0, x0) xác định trên khoảng cực đại t0 ∈ α+ và t D khi t ω−. → →
x bị chặn. Do đó IVP
Ví dụ 2.2. (Nghiệm địa phương) Cho hằng số k > 0. Hàm số f (t, x) = kx2 liên tục và có đạo hàm riền f ′
x′ = kx2, x(0) = 1 (2.1.5)
1 xác định trên khoảng cực đại ( , 1/k). Trong trường có nghiệm duy nhất x(t) = 1 −∞ − → kt hợp này, x(t) tiến ra vô hạn khi t 1/k. Ta nói nghiệm của IVP trên bị “nổ” tại điểm 1/k. Rõ ràng, phương trình (2.1.5) xác định trên R2 nhưng nghiệm của IVP trên không 1 , thể kéo dài trên toàn khoảng ( ). Vì vậy, x(t) = được gọi là một nghiệm địa kt 1 −∞ ∞ − phương của (2.1.5).
R −→ × R. Giả sử rằng với mội đoạn I R là một hàm liên tục, thỏa (a, b), tồn tại hằng × ⊂ Định lí 2.1.4 (Global existence). Cho f : (a, b) mãn điều kiện (L) trên D = (a, b) số ρI > 0 sao cho , I R. 1 + (t, x) | x | ∈ ∀ | ρI × R, IVP (2.1.2) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên (cid:1) (cid:0) f (t, x) | ≤ (a, b), x0 ∈ Khi đó, với mọi t0 ∈ toàn khoảng (a, b).
2.2. Giải một số lớp phương trình vi phân cấp 1
2.2.1. Phương trình tách biến
Xét lớp phương trình dạng tách biến
x′ = g(t)h(x). (2.2.1)
λN, luật Newton T ′ = r(T − − bP )P . − Nói chung, các hàm số hai biến không thể viết dưới dạng tách biến. Tuy nhiên, trong nhiều mô hình ứng dụng, hàm mô tả trạng thái của mô hình viết được dưới dạng tách biến. Ví dụ, mô hình phân rã nguyên tử N ′ = Ta) hay phương trình động lực học dân số dạng logistic P ′ = (a Giải phương trình tách biến
1. Xác định điểm cân bằng
10
2. Tách biến phương trình về dạng
= g(t)dt dx h(x)
3. Tích phân hai vế của phương trình
H(x) = = g(t)dt + c = G(t) + c. dx h(x) Z Z
4. Giải nghiệm tổng quát x = H −1(G(t) + c).
Trường hợp đặc biệt:
x′ = f (t): x = f (t)dt + c • Z
dx x′ = f (x): x = F −1(t + c), where F (x) = 1 f (x) • Z
R là các hằng số, b = 0. Đặt z = at + bx. Khi đó, • ∈ 6 at G−1(t + c) x′ = f (at + bx), ở đó a, b phương trình trở thành z′ = a + bf (z). Nghiệm tổng quát x = , ở − b
đó G(z) = dz. 1 a + bf (z) Z
2.2.2. Phương trình thuần nhất
1 và Ví dụ 2.3. Phương trình x′ = 2t(1 + x)2 có nghiệm tổng quát x = 1 + c t2 − 1. Phương trình x′ = − có nghiệm tổng quát dạng ẩn 2t 3x2 4 4 − − − nghiệm cân bằng x = x3 4x = t2 4t + c. − −
Một hàm f (t, x) xác định trên miền D được gọi là thuần nhất bậc k nếu với mọi số thực λ và (t, x) D, ta có ∈ f (λt, λx) = λkf (t, x).
x2); t4+2x4)1/3, f (at+bx/ct+dx)
R là hằng số; x3 exp(t2/t2 Ví dụ at2 +btx+cx2, a, b, c − ∈ là các hàm thuần nhất bậc tương ứng là 2, 3, 4/3 và 0. Nếu f (t, x) là hàm thuần nhất bậc k thì với mọi t = 0 6
t, t = tkf (1, z), f (t, x) = f x t (cid:17) (cid:16) ở đó tz = x.
Định nghĩa 2.2.1. Phương trình vi phân cấp 1
M(t, x) + N(t, x)x′ = 0 (2.2.2)
được gọi là phương trình thuần nhất nếu M(t, x) và N(t, x) là các hàm thuần nhất cùng bậc, ký hiệu là k.
11
Nếu (2.2.2) là phương trình thuần nhất thì ta có thể viết dưới dạng
tkM + tkN 1, x′ = 0. (2.2.3) 1, x t x t (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16)
Sử dụng phép biến đổi x = tz ta được
[M(1, z) + zN(1, z)] + tN(1, z)z′ = 0 (2.2.4)
là một phương trình tách biến. Nghiệm tổng quát dạng ẩn được cho bởi
ϕ t exp = c, x t (cid:16) (cid:16) (cid:17)(cid:17)
dz. ở đó ϕ(z) = N(1, z) M(1, z) + zN(1, z) Z
, t = 0 là phương trình thuần nhất. Nghiệm Ví dụ 2.4. Phương trình x′ = t2 + tx + x2 t2 6 tổng quát ln arctan(x/t) = c. t | − |
Áp dụng, giải phương trình dạng
, (2.2.5) x′ = f
a1t + b1x + c1 a2t + b2x + c2 (cid:19) (cid:18)
1 + c2 2 6
ở đó a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các hằng số. Nếu c1 = c2 = 0 thì (2.2.5) là phương trình thuần nhất. Nếu c2 = 0 thì ta chọn các số α, β sao cho
(2.2.6) a1α + b1β + c1 = 0 a2α + b2β + c2 = 0. (
Khi đó (2.2.5) chuyển thành một phương trình thuần nhất bởi phép thế
t = u + α, x = v + β.
2
Ví dụ 2.5. Xét phương trình
t + x 2 . x′ = − t + 2 1 2 (cid:18) (cid:19)
Phép thế t = u 2, x = v + 3 đưa phương trình trên về phương trình thuần nhất −
. = dv du (u + v)2 u2 1 2
Nghiệm tổng quát
= ln t + 2 + c. 2 arctan x 3 − t + 2 | |
12
2.2.3. Phương trình tuyến tính cấp 1
Dạng tổng quát
x′ + p(t)x = q(t), (2.2.7)
ở đó p, q : (a, b) R là các hàm số liên tục. →
Y. Ánh xạ L : X −→ ∈
x Ký hiệu X = C 1(I, R) và Y = C(I, R). Khi đó X, Y là các không gian tuyến tính Y xác định bởi L(x) = x′ + p(t)x là vô hạn chiều. Cho p, q một ánh xạ tuyến tính và (2.2.7) có thể viết dưới dạng phương trình tuyến tính trong Y, L(x) = q. Đặc biệt, khi q = 0, phương trình L(x) = x′ + p(t)x = 0 gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất. Tập nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất chính là tập ker L = . Đây là một không gian con của không gian tuyến tính X. X : L(x) = 0 { ∈ }
Mệnh đề 2.2.1. Giả sử p : (a, b) R là hàm liên tục. Khi đó, →
(i) x(t) = c exp p(t)dt là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất − (cid:0) R (cid:1) (2.2.8) x′ + p(t)x = 0.
(ii) Nghiệm duy nhất của IVP
(2.2.9) x′ + p(t)x = 0, x(t0) = x0,
t
R, được cho bởi ở đó t0 ∈ (a, b), x0 ∈
t0
x(t) = exp p(s)ds x0. − (cid:18) (cid:19) Z
Từ Mệnh đề 2.2.1, tập nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2.8) là một không gian con một chiều của không gian X.
Bây giờ ta xét phương trình không thuần nhất (2.2.7). Giả sử x∗
z = x − 7→ x∗) = L(x) q. Do đó, x − − ∈ ∈
X là một nghiệm ∈ x∗ là một song ánh từ X vào X. Với của (2.2.7). Khi đó, L(x∗) = q. Ánh xạ x X là nghiệm của (2.2.7) khi X, ta có L(z) = L(x bất kì x và chỉ khi z là nghiệm của (2.2.8). Tóm lại, nếu x∗ là một nghiệm của (2.2.7) thì nghiệm tổng quát của nó có dạng
. x = x∗ + c exp p(t)dt (2.2.10) − (cid:18) (cid:19) Z
Vấn đề còn lại là tìm một nghiệm x∗ của (2.2.7). Theo phương pháp biến thiên hằng số Largrange, ta tìm nghiệm x∗ dạng
. x∗ = c(t) exp p(t)dt − (cid:18) (cid:19) Z
t
t
R là các hàm liên tục. → Mệnh đề 2.2.2 (Constant variation formula). Cho p, q : (a, b) Khi đó,
t0
s Z
(i) x∗ = q(s) exp p(u)du ds là một nghiệm của (2.2.7). − (cid:18) (cid:19) Z
13
(ii) Nghiệm duy nhất của IVP
x′ + p(t)x = q(t), (2.2.11) x(t0) = x0,
t
t
s
R, được cho bởi ở đó t0 ∈ (a, b), x0 ∈
t0
t0
t0
ds . x(t) = exp p(s)ds q(s) exp p(u)du x0 + − (cid:18) (cid:19) (cid:21) Z Z (cid:18)Z
(cid:19) (cid:20) Ví dụ 2.6. Nghiệm tổng quát của phương trình t2x′ + tx = 1 trên khoảng (0, ) là ∞ (c + ln t). x = 1 t
Ví dụ 2.7. (On-off voltage source) Ta xét lại mô hình RC. Giả sử V (t) = K (constant) T ). Khi đó, với t [0, T ), T > 0 cố định, nhưng tại t = T nguồn bị tắt (V (t) = 0 for t ∈ ≥
K−vc RC , t −vc RC , t
[0, T ), V (t) vc (2.2.12) = v′ c = − RC ∈ T. ( ≥
Nghiệm liên tục của (2.2.12) được ho bởi
t−T RC
[0, T ), ∈ vc(t) = e−t/RC ), t T. vc(0)e−t/RC + K(1 vc(T ) exp , t ( − ≥ (cid:0) (cid:1) Giải phương trình Bernoulli
x′ + p(t)x = q(t)xα, (2.2.13)
ở đó α R là một hằng số. ∈ Nếu α = 0 hoặc α = 1 thì (2.2.13) có dạng tuyến tính. Giả sử α = 0, α = 1. Chia 6 6 (2.2.13) cho xα và dùng phép thế z = x1−α ta được
z′ + (1 α)p(t)z = (1 α)q(t) (2.2.14) − −
là phương trình tuyến tính. Nghiệm tổng quát của (2.2.13) là
. q(t)e(1−α) R p(t)dtdt c + (1 α) x1−α = e(α−1) R p(t)dt − (cid:18) (cid:19) Z
Ví dụ 2.8. Phương trình x′ + x = 5x2 sin 2t có nghiệm x = 0 và nghiệm tổng quát
2.2.4. Phương trình vi phân hoàn chỉnh
x = 1 sin 2t + 2 cos 2t + cet .
Khi x(t) là một hàm ẩn xác định bởi phương trình
U(t, x) = c,
tức là U(t, x(t)) = c với mọi t I, ta có ∈
0 = U(t, x(t)) = U(t, x(t)) + U(t, x(t)). d dt ∂U ∂t ∂U ∂x
14
Do đó, x(t) là một nghiệm của phương trình
+ x′ = 0. (2.2.15) ∂U ∂t ∂U ∂x
Khi đó, U(t, x) = c là nghiệm tổng quát (dạng ẩn) của phương trình (2.2.15). Chẳng hạn, x2 − 2tx + et = c là nghiệm tổng quát của phương trình t)x′ = 0. 2x) + 2(x (et − −
Bây giờ, ta xét phương trình phi tuyến sau
M(t, x) + N(t, x)x′ = 0. (2.2.16)
Nếu tồn tại một hàm U(t, x) sao cho
M = , N = (2.2.17) ∂U ∂t ∂U ∂x
thì mọi hàm ẩn xác định bởi U(t, x) = c, với c là hằng số tùy ý, là một nghiệm của (2.2.16). Hay U(t, x) = c là nghiệm tổng quát của (2.2.16). Trường hợp này ta nói phương trình (2.2.16) là một phương trình vi phân hoàn chỉnh.
Nếu (2.2.16) là hoàn chỉnh thì theo định nghĩa, tồn tại một hàm U(t, x) thỏa mãn (2.2.17). Khi đó
. = = = ∂M ∂x ∂N ∂t ∂U ∂x ∂ ∂x ∂ ∂t (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) ∂U ∂t Như vậy, điều kiện cần để phương trình M + Nx′ = 0 hoàn chỉnh là điều kiện
= ∂M ∂x
∂x = ∂N
∂t cũng là
∂N ∂t Ω. Chiều ngược lại vẫn đúng, tức là, điều kiện ∂M ∈ đúng với mọi (t, x) điều kiện đủ để phương trình M + Nx′ = 0 là hoàn chỉnh.
< a, t < b, a, b > 0 (t, x) : x0| t0| − } { | | Định lí 2.2.3. Giả sử các hàm M(t, x), N(t, x) và các đạo hàm riêng Mx(t, x), Nt(t, x) x liên tục trên miền Ω = . Khi đó, phương trình − (2.2.16) là hoàn chỉnh khi và chỉ khi
= (2.2.18) ∂M ∂x ∂N ∂t
x
t
đúng với mọi (t, x) Ω. ∈ Một hàm U(t, x) được cho bởi
x0
t0
(2.2.19) M(s, x)ds + U(t, x) = N(t0, u)du.
Z Z
Ví dụ 2.9. Phương trình
(x + 2tex) + t(1 + tex)x′ = 0
t
x
có M = x + 2tex, N = t(1 + tex) và Mx = 1 + 2tex, Nt = 1 + 2tex. Do đó, phương trình đã cho là hoàn chỉnh. Chọn (t0, x0) = (0, 0), ta được
0
0
U(t, x) = (x + 2sex)ds + 0du = tx + t2ex.
Z Z Nghiệm tổng quát là tx + t2ex = c.
15
Phương trình
3x2 + 8t + 2txx′ = 0 (2.2.20)
không là phương trình hoàn chỉnh. Tuy nhiên, nếu ta nhân với t2 thì phương trình
3x2t2 + 8t3 + 2t3xx′ = 0
là phương trình hoàn chỉnh. Hàm số µ = t2 như thế gọi là một thừa số tích phân của (2.2.20). Điều này gợi ý rằng ta có thể tìm một hàm µ(t, x) sao cho nhân một phương trình không hoàn chỉnh
M(t, x) + N(t, x)x′ = 0 (2.2.21)
với µ ta được phương trình hoàn chỉnh
µM + µNx′ = 0. (2.2.22)
Hàm µ(t, x) gọi là thừa số tích phân của (2.2.21).
Tìm thừa số tích phân từ điều kiện
= ∂(µM) ∂x ∂(µN) ∂t
dẫn đến
µ. N (2.2.23) M = ∂µ ∂t ∂µ ∂x ∂N ∂t − ∂M ∂x − (cid:19) (cid:18)
Một số trường hợp đặc biệt
= ϕ(t) thì µ = µ(t) = eR ϕ(t)dt. Nt. Nếu ∆ N • Ký hiệu ∆ = Mx −
Nếu = ϕ(x) thì µ = µ(x) = eR ϕ(x)dx. ∆ M • −
Thừa số tích phân dạng µ = µ(w), ở đó w = w(t, x) thì (2.2.23) cho •
µ. = dµ dw Mwx ∆ Nwt −
Do đó, nếu = ϕ(w) thì µ = eR ϕ(w)dw. Mwx ∆ Nwt −
t x
2.2.5. Phương trình logistic suy rộng
Một số trường hợp hay gặp của hàm w và thừa số tích phân ϕ(w) được cho bởi bảng sau. x t tx w: − t + x ∆ ∆ t2 + x2 ∆ ϕ(w): t ∆ N ∆ M N M xN tM x ∆ N + M x2∆ xN + tM 2(tN xM) − − − −
Giả sử p, q là các hàm liên tục trên khoảng I và x(t) là một nghiệm của phương trình
x′ = (p(t) q(t)x) x. (2.2.24) −
16
t
s
Định lí 2.2.4. Nếu
t0
t0
ds I q(s) exp p(u)du = 0, + = 0, t ∀ ∈ 6 x0 6 1 x0 (cid:19) Z (cid:18)Z
thì nghiệm duy nhất của IVP
x′ = (p(t) q(t)x)x, (2.2.25) x(t0) = x0 −
được cho bởi
t t0 (cid:16)R q(s) exp
1 x0
t t0
exp p(s)ds . x(t) = ds + (cid:17) p(u)du
s t0 (cid:16)R
(cid:17) R
Trong các mô hình ứng dụng, ví dụ trong động lực học dân số, hàm các hàm p(t), q(t) thường xác định bởi p(t) = Nq(t), ở đó N > 0 là một hằng số. Khi đó, (2.2.24) trở thành
x. (2.2.26) x′ = p(t) 1 N − (cid:19) 1 (cid:18)
p(s)ds
t t0
Hệ quả 2.2.5. Giả sử
I. eR = 0, = 0, + 1 N 1 N x0 6 t ∀ ∈ 6 1 x0 −
Khi đó, nghiệm duy nhất của IVP
x, x′ = p(t) 1 (2.2.27) x(t0) = x0 x N − (cid:16) (cid:17) được cho bởi
t t0 (cid:16)R t t0 (cid:16)R Định lí sau cho một điều kiện mà nghiệm của phương trình logistic suy rộng (2.2.24) với điều kiện đầu không âm có dáng điệu rất gần với nghiệm của phương trình logistic ô-tô-nôm.
p(s)ds Nx0 exp . x(t) = (cid:17) exp p(s)ds 1 N + x0 − h (cid:17) i
∞ Định lí 2.2.6. Giả sử p : [t0, . Cho x(t) 0 p(t)dt = ∞ là một nghiệm của IVP (2.2.27) với x0 > 0. Khi đó, x(t) xác định trên [t0, ). Hơn nữa, nếu 0 < x0 < N thì x(t) là hàm không giảm và limt→∞ x(t) = N. Nếu x0 > N thì x(t) là hàm không tăng và limt→∞ x(t) = N.
) là hàm liên tục và [0, ) −→ ∞ ∞ R ∞
2.3. Bài tập chương 2
1. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau
1)2
4. x′ = (4t + x − 5. 2t2xx′ + x2 = 2 6. t sin x + (t2 + 1)x′ cos x = 0. 1. x′ = x2(1 + x2)2 2. xx′ = et+x2 3. x′ = 1 (t x)2 − −
17
t
t
2. Tìm nghiệm của các bài toán sau
1
0 Z
e−x(s)ds, t 1. x(t) = 0 2. x(t) = x(s)ds + 1 ≥ Z
3. Giải các phương trình thuần nhất sau
2
x + x t
x t 1. (x2 5. tx′ x = t sin − − t − 2tx) + t2x′ = 0 x2) + 2txx′ = 0 x + 2 − 6. x′ = 2 1 t + x (cid:18) x 7. (t − 1) + (x (cid:19) t + 2)x′ = 0 2. (t2 3. (t2 + x2)x′ = 2tx 4. x′ = e− t − − −
4. Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi về dạng tuyến tính
2tx = 0 − x(1 + x)2] x′ = 1 7. 2(1 + x3) + 3tx2x′ = 0 8. x + t(1 + tx4)x′ = 0
t
0 Z
9. x′ + x = 3 t 2 t3 , t > 0 2tx = (1 + t2)2 10. x(t) = x(s)ds + t + 1 1. (1 + t2)x′ 2. x2 + 2 [t − t)x′ = 1 3. (2ex − 4. (t + x2)x′ = x 5. (1 + t2)x′ 6. t(ex − x′) = 2 −
∞ 5. Giả sử p(t), q(t) là các hàm liên tục và x(t) là nghiệm của bài toán x′ + p(t)x = q(t), ). Cho z(t) là một hàm khả vi liên tục trên khoảng q(t). Chứng minh rằng, nếu ≤ ) thỏa mãn bất đẳng thức vi phân z′ + p(t)z x(t) với mọi t x(t0) = x0, xác định trên [t0, + [t0, ∞ z(t0) x0 thì z(t) t0. ≤ ≤ ≥
6. Cho q(t) là một hàm liên tục bị chặn trên [0, q(t) = L. Xét phương trình ), lim t→∞ ∞
tuyến tính x′ + ax = q(t), ở đó a là một hằng số. Chứng minh rằng a) Nếu a > 0 thì mọi nghiệm x(t) của phương trình hội tụ đến L/a khi t . → ∞ . Tìm → ∞ b) Nếu a < 0 thì chỉ có duy nhất một nghiệm hội tụ đến L/a khi t nghiệm đó.
7. Xét phương trình x′ + ax = q(t), ở đó a = 0 và hàm q(t) liên tục ω-tuần hoàn. 6 Chứng minh phương trình có duy nhất một nghiệm ω-tuần hoàn.
8. Giải các phương trình Bernoulli sau
t)x′ = x − 2tx = 3t3x2 2t3√x = 4x t 1. x′ − 2. tx′ − 3. x′ + t2 x = t√x 5. (2t2x ln x 6. x′ + 2x = x2et 7. tx′ + x = x2 ln t, x(1) = 1 8. x′ = x4 cos t + x tan t 1 − 4. x′ + 2tx = 2t3x3
t
t
9. Giải các phương trình hoàn chỉnh sau
x )dt + e
x (1
1. 2txdt + (t2 x2)dx = 0 )dx = 0 3. (1 + e − t x −
4. (3t2 + 6tx2) + (6t2x + 4x3)x′ = 0 2. e−xdt (2x + te−x)dx = 0 −
18
7. + − 5. 3t2(1 + ln x)dt = (2x )dx t3 x −
8. − 6. (1 + x2 sin 2t) 2xx′ cos2 t = 0 tdt + xdx √1 + t2 + x2 ex) 2t(1 (1 + t2)2 dt + tdx xdt t2 + x2 = 0 ex 1 + t2 dx = 0 −
10. Tìm thừa số tích phân và giải các phương trình sau
− x) + (t2x2 + t)x′ = 0 2txx′ = 0 − − 1)x′ = 0. − − 5. (t2 + x2 + t) + xx′ = 0 3t2x2)x′ = 0 6. x + t(1 x2 + x) + t(2x 7. (t2 8. (3tx + x2) + (3tx + t2)x′ = 0 1. (t2 2. (t + x2) 3. (x2 + t)x′ = x 4. (2tx2 x) + (x2 + x + t)x′ = 0 −
11. Xét phương trình tăng trưởng logistic với số hạng thu hoạch λ sau
λP. P ′ = kP 1 P N − − (cid:18) (cid:19)
Cho 0 < λ < k. Khảo sát dáng điệu tiệm cận của các điểm cân bằng của mô hình.
19
Chương 3
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO
3.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n
Trong chương 1 ta đã biết, phương trình chuyển động của hệ giảm xóc được mô tả bởi phương tuyến tính thuần nhất cấp 2
x′′ + 2ζ0ωx′ + ω2x = 0.
Cơ hệ giảm xóc có điều khiển được mô tả bởi phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
u(t). x′′ + 2ζ0ωx′ + ω2x = 1 m
Một cách tổng quát, ta xét phương trình vi phân cấp n sau đây
(3.1.1) x(n) + pn−1(t)x(n−1) + pn−2(t)x(n−2) + . . . + p0(t)x = q(t),
1, và q là các hàm số liên tục trên khoảng (a, b) R. Ký hiệu ⊂ Y cho bởi ở đó pi, i = 0, 1, . . . , n − X = C n(a, b), Y = C(a, b) và xét ánh xạ Ln : X −→
t (a, b). (3.1.2) Lnx(t) = x(n)(t) + pn−1(t)x(n−1)(t) + . . . + p0(t)x(t), ∈
Dễ dàng kiểm tra được Ln là một toán tử tuyến tính X vào Y. Phương trình (3.1.1) được viết dạng Lnx = q. Vì vậy, (3.1.1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp n. Nếu q không đồng nhất 0 trên khoảng (a, b) thì Lnx = q gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất. Phương trình
(3.1.3) Lnx = x(n)(t) + pn−1(t)x(n−1)(t) + . . . + p0(t)x(t) = 0
gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n.
C(a, b). Với bất kì ∈ R, i = 0, 1, . . . , n 1, bài toán Định lí 3.1.1 (Existence Uniqueness Theorem). Cho các hàm pi, q t0 ∈ (a, b), xi ∈ −
(3.1.4) 1, Lnx = q(t), x(i)(t0) = xi, i = 0, 1, . . . , n −
có nghiệm duy nhất xác định trên (a, b).
Y xác định ở (3.1.2) là toán tử tuyến tính và x Vì toán tử Ln : X → ∈
X là nghiệm của phương trình thuần nhất (3.1.3) khi và chỉ khi Lnx = 0. Do đó, tập nghiệm của (3.1.3) là không gian con kerLn của không gian (vô hạn chiều) X. Để mô tả chi tiết hơn cấu trúc của không gian nghiệm của (3.1.3), ta cần một số khái niệm về tính độc lập và phụ thuộc tuyến tính của họ hàm số.
Định nghĩa 3.1.1. Họ hàm số φ1, φ2, . . . , φm được gọi là
20
m k=1 ckφk(t) = 0,
m k=1 ckφk = 0 trên I, tức là
(i) độc lập tuyến tính trên khoảng I nếu
m k=1 c2 k 6
m k=1 ckφk = 0.
I, kéo theo ck = 0 với mọi k; t ∀ ∈ P P = 0 và (ii) phụ thuộc tuyến tính trên I nếu tồn tại các hằng số ck sao cho
P Ví dụ 3.1. (i) Hệ đa thức 1, t, t2, . . . , tm độc lập tuyến tính trên mọi khoảng. P (ii) Cho λ1, λ2, . . . , λm là các số thực phân biệt. Hệ hàm eλ1t, eλ2t, . . . , eλmt độc lập tuyến tính trên mọi khoảng.
(iii) Tổng quát của (ii), hệ tích hợp hàm mũ-đa thức
eλ1t, teλ1t, . . . , tn1eλ1t, eλ2t, teλ2t, . . . , tn2eλ2t, . . . eλmt, teλmt, . . . , tnmeλmt,
C k−1((a, b), R). Định thức
độc lập tuyến tính trên mọi khoảng I. Định nghĩa 3.1.2 (Định thức Vronski). Cho x1, x2, . . . , xk ∈ Vronski W (t) của x1, x2, . . . , xk được định nghĩa bởi
2
1
k
, t (a, b). (3.1.5) ∈ xk(t) . . . x′ k(t) . . . . . . . . . . . . x(k−1) (t) x2(t) x′ 2(t) . . . (t) x(k−1) (t)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) x1(t) x′ 1(t) W (t) = (cid:12) . . . (cid:12) (cid:12) x(k−1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Mệnh đề 3.1.2. Nếu hệ x1, x2, . . . , xk phụ thuộc tuyến tính trên I thì W (t) = 0 với mọi t I. ∈ Chú ý rằng, chiều ngược lại của Mệnh đề 3.1.5 không đúng.
Mệnh đề 3.1.3. Cho x1, x2, . . . , xn là n nghiệm bất kì của (3.1.3). Khi đó, hệ x1, x2, . . . , xn phụ thuộc tuyến tính trên I khi và chỉ khi định thức Vronski W (t) = 0, I. t ∀ ∈
t0
Định lí 3.1.4 (Liouville’s Theorem). Giả sử x1, x2, . . . , xn là các nghiệm của phương trình thuần nhất (3.1.3). Khi đó, định thức Vronski W (t) của x1, x2, . . . , xn được cho bởi t , t (3.1.6) (a, b), W (t) = W (t0) exp pn−1(s)ds − ∈ (cid:18) (cid:19) Z (a, b).
(a, b) hoặc W (t) = 0, t ∀ ∈ ∈ 6
ở đó t0 ∈ Hệ quả 3.1.5. Gọi W (t) là định thức Vronski của n nghiệm x1, x2, . . . , xn của (3.1.3). Khi đó, hoặc W (t) = 0 với mọi t (a, b). Trường hợp thứ nhất ứng với hệ x1, x2, . . . , xn là phụ thuộc tuyến tính và trường hợp thứ hai ứng với hệ x1, x2, . . . , xn độc lập tuyến tính trên I. Định lí 3.1.6. (i) Tồn tại n nghiệm của (3.1.3) độc lập tuyến tính trên I.
(ii) Nếu x1, x2, . . . , xn là n nghiệm độc lập tuyến tính thì
x = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn
là nghiệm tổng quát của (3.1.3), ở đó ck là các hằng số tùy ý.
Từ Định lí 3.1.6 suy ra tập nghiệm của phương trình thuần nhất (3.1.3) là một không gian tuyến tính n chiều. Mỗi hệ n nghiệm độc lập tuyến tính là một cơ sở của không gian nghiệm và được gọi là một hệ nghiệm cơ bản. Ví dụ 3.2. Phương trình dao động điều hòa x′′ + ω2x = 0, ω > 0, có hệ nghiệm cơ bản sin(ωt) và cos(ωt). Nghiệm tổng quát là x = c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt).
21
3.2. Phương trình tuyến tính cấp n không thuần nhất
Giả sử x∗ là một nghiệm của (3.1.1), tức là, Lnx∗ = q. Khi đó, với mọi x ∈ q. Do đó, x là nghiệm của (3.1.1) khi và chỉ khi z = x C n(a, b), x∗ là nghiệm x∗) = Lnx − − Ln(x − của (3.1.3). Từ đó ta có kết quả sau.
Mệnh đề 3.2.1. Giả sử x∗ là một nghiệm của (3.1.1) và x1, x2, . . . , xn là hệ nghiệm cơ bản của (3.1.3). Khi đó, nghiệm tổng quát của (3.1.1) được cho bởi
x = x∗ + c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn,
ở đó ck là các hằng số tùy ý.
Để tìm một nghiệm x∗ của (3.1.1), ta sử dụng phương pháp biến thiên hằng số. Trước hết, ta có khái niệm hàm Cauchy sau đây.
(a, b) R được gọi là hàm Cauchy của phương −→ (a, b) cố định, φ(., s) là nghiệm của IVP Định nghĩa 3.2.1. Một hàm φ : (a, b) × trình thuần nhất Lnx = 0 nếu với mỗi s ∈
x(i)(s, s) = 0, i = 0, 1, . . . , n 2, x(n−1)(s, s) = 1. (3.2.1) Lnx = 0, −
Ví dụ φ(t, s) = là hàm Cauchy của phương trình x(n) = 0. (t − (n s)n−1 1)! −
Định lí 3.2.2. Giả sử x1, x2, . . . , xn là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (3.1.3). Khi đó, hàm Cauchy của (3.1.3) được cho bởi
, φ(t, s) = (3.2.2) W (t, s) W (s)
ở đó
. W (t, s) =
(s)
x2(s) x′ 2(s) . . . (s) x(n−2) 2 x2(t) xn(s) . . . x′ n(s) . . . . . . . . . . . . x(n−2) n xn(t) . . .
2x′′ = 0 có hệ nghiệm cơ bản . Do đó, hàm x1(s) x′ 1(s) (cid:12) . . . (cid:12) (cid:12) x(n−2) (cid:12) 1 (cid:12) (cid:12) x1(t) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) − (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (s) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1, t, e2t (cid:12) { } Ví dụ 3.3. Phương trình x′′′ Cauchy cho bởi
e2(t−s) 2t + 2s 1 φ(t, s) = 1 4 − − (cid:18) . (cid:19)
t
Định lí 3.2.3 (Công thức biến thiên hằng số). Giả sử φ(t, s) là hàm Cauchy của phương trình Lnx = 0. Khi đó,
t0
t x∗(t) = φ(t, s)q(s)ds, (a, b), (3.2.3) ∈ Z
là nghiệm của IVP
(3.2.4) 1. Lnx = q(t), x(i)(t0) = 0, i = 0, 1, . . . , n −
22
Ví dụ 3.4. Tìm nghiệm của IVP
x′′′ 2x′′ = 4t, x′′(0) = x′(0) = x(0) = 0. −
Hàm Cauchy của phương trình thuần nhất là
e2(t−s) 2t + 2s 1 φ(t, s) = 1 4 − − (cid:18) . (cid:19)
t
Do đó, theo công thức biến thiên hằng số, nghiệm của IVP trên là
0 Z
e2t t3 t2 t . x(t) = φ(t, s)4sds = 1 4 1 3 1 2 1 2 1 4 − − − −
n
t
Hệ quả 3.2.4. Giả sử x1, x2, . . . , xn là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (3.1.3). Khi đó, nghiệm tổng quát của (3.1.1) được cho bởi
t0
x = q(s)ds, ckxk + W (t, s) W (s) Z
Xk=1 ở đó c1, c2, . . . , cn là các hằng số tùy ý và W (t, s) xác định từ (3.2.2).
R, nghiệm của IVP Hệ quả 3.2.5. Với bất kì t0 ∈ (a, b), xi ∈
(3.2.5) 1, Lnx = q(t), x(i)(t0) = xi, i = 0, 1, . . . , n −
t
được cho bởi
t0
t x∗(t) = ˆx(t) + φ(t, s)q(s)ds, (a, b), (3.2.6) ∈
Z ở đó φ(t, s) là hàm Cauchy của phương trình Lnx = 0 và ˆx là nghiệm của IVP
1. Lnx = 0, x(i)(t0) = xi, i = 0, 1, . . . , n −
Ví dụ 3.5. Tìm nghiệm của IVP sau
x′′′ 2x′′ = 4t, x(0) = 5, x′(0) = 5, x′′(0) = 12. −
t
Theo Hệ quả 3.2.5,
0
x∗(t) = ˆx(t) + φ(t, s)q(s)ds.
Z
Vì ˆx là nghiệm IVP
x′′′ 2x′′ = 0, x(0) = 5, x′(0) = 5, x′′(0) = 12 −
t
t
nên ta có ˆx(t) = 2 t + 3e2t. Mặt khác, −
0 Z
0 Z
e2t t3 t2 t . φ(t, s)q(s)ds = φ(t, s)4sds = 1 4 1 3 1 2 1 2 1 4 − − − −
Do đó, nghiệm của IVP cần tìm là
e2t t3 t2 . t + x(t) = 13 4 1 3 1 2 3 2 7 4 − − −
23
3.3. Phương trình tuyến tính với hệ số hằng
Xét phương trình thuần nhất
(3.3.1) x(n) + an−1x(n−1) + . . . + a0x = 0,
R, k = 0, 1, . . . , n 1, là các hằng số cho trước. ở đó ak ∈ −
Tập nghiệm của (3.3.1) là một không gian con n chiều của C n(a, b). Do vậy, để giải phương trình (3.3.1), ta cần tìm một hệ nghiệm cơ bản φ1, φ2, . . . , φn. Khi đó, nghiệm tổng quát của (3.3.1) là
x = c1φ1 + c2φ2 + . . . + cnφn,
(k) = λkeλt. Do đó,
F (λ)
với ck ∈ R là các hằng số tùy ý. eλt C, ta có Với bất kì λ ∈ (cid:0) (cid:1) . Ln[eλt] = eλt (λn + an−1λn−1 + . . . + a0)
| } {z eλt Vì = eReλt > 0 nên eλt = 0 và Ln[eλt] = 0 khi và chỉ khi | | 6
(3.3.2) F (λ) = λn + an−1λn−1 + . . . + a0 = 0.
P Nếu (3.3.2) có n nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, . . . , λn thì eλ1t, . . . , eλnt là n nghiệm n k=1 ckeλkt. độc lập tuyến tính của (3.3.1). Do đó, nghiệm tổng quát của (3.3.1) là x = Việc giải phương trình vi phân tuyến tính (3.3.1) được quy về việc giải phương trình đa thức (3.3.2). Vì vậy, (3.3.2) gọi là phương trình đặc trưng của (3.3.1).
m
Bổ đề 3.3.1. Với bất kì m N, λ C, ta có ∈ ∈
mF (k)(λ)tm−keλt. C k
Ln[tmeλt] =
Xk=0
Mệnh đề 3.3.2. R là nghiệm bội k của (3.3.2) thì eλt, teλt, . . . , tk−1eλt là ∈ (i) Nếu λ k nghiệm độc lập tuyến tính của (3.3.1).
(ii) Nếu λ = α + i β là một nghiệm phức của (3.3.2) thì eαt cos βt và eαt sin βt là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (3.3.1).
Thuật toán hình thức sau cho lời giải của (3.3.1).
Giải phương trình đặc trưng (3.3.2). •
n
• Nếu (3.3.2) có n nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, . . . , λn thì nghiệm tổng quát của (3.3.1) được cho bởi
x = ckeλkt.
m
rk−1
• Xk=1 Giả sử (3.3.2) các nghiệm thực λ1, λ2, . . . , λm với bội r1, r2, . . . , rm. Khi đó, nghiệm tổng quát của (3.3.1) được cho bởi
x = cjktjeλkt.
j=0 X
Xk=1
24
• −
Trường hợp (3.3.2) có nghiệm phức. Giả sử λ = α + i β là một nghiệm phức bội r của (3.3.2). Khi đó, ¯λ = α i β cũng là nghiệm phức bội r của (3.3.2). Cặp nghiệm λ, ¯λ cho 2r nghiệm độc lập tuyến tính trong hệ nghiệm cơ bản là eαt cos βt, teαt cos βt, . . . , tr−1eαt cos βt và eαt sin βt, teαt sin βt, . . ., tr−1eαt sin βt.
Ví dụ 3.6. Giải phương trình
x(4) 2x′′′ + 2x′′ 2x′ + x = 0. − −
Phương trình đặc trưng λ4 2λ3 + 2λ2 2λ + 1 = 0 − − có các nghiệm λ = 1 và λ = i. Hệ nghiệm cơ bản ±
et, tet, cos t, sin t
và nghiệm tổng quát
x = c1et + c2tet + c3 cos t + c4 sin t.
Ví dụ 3.7. Giải phương trình
. x′′ + x′ 2x = et cos t sin t − − (cid:0) (cid:1) 2 = 0 có nghiệm λ = 1, λ =
− − . Đồng nhất hệ số ta được A = A cos t + B sin t và x∗ = , B = 2. Ta tìm một nghiệm 1 3 5 5 − (cid:0) (cid:1) et(cos t 3 sin t). Nghiệm tổng quát là Phương trình đặc trưng λ2 + λ dạng x∗ = et 1 5 −
et(cos t 3 sin t). x = c1et + c2e−2t + 1 5 −
3.4. Phương trình dao động
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 sau
x′′ + q(t)x = 0 (3.4.1)
trên khoảng J R. ⊂
Định nghĩa 3.4.1. Một nghiệm không tầm thường x(t) của (3.4.1) gọi là dao động trên khoảng J nếu nó có vô hạn không điểm trên khoảng J. Trái lại, nghiệm x(t) gọi là không dao động.
Định nghĩa 3.4.2. Phương trình (3.4.1) gọi là dao động nếu mọi nghiệm không tầm thường của nó đều dao động.
Ví dụ 3.8. Nghiệm không tầm thường bất kì của phương trình x′′ + ω2x = 0, ω > 0, có dạng
1 + c2 c2
2 > 0.
x = c1 cos ωt + c2 sin ωt = A sin(ωt + ϕ), A =
q trong khoảng (0, ). nên phương Rõ ràng x(t) = 0 tại vô hạn điểm t = tk = − ϕ + kπ ω ∞ trình đã cho là dao động trên [0, ). ∞
25
Ví dụ 3.9. Nghiệm tổng quát của phương trình x′′ x = 0 có dạng x = c1et + c2e−t. Giả
. Định thức − = t2 sao cho x(t1) = x(t2) = 0. Khi đó, ta có c1et1 + c2e−t1 = 0 c1et2 + c2e−t2 = 0
et2−t1 ( 0, nên c1 = c2 = 0. Như vậy, mọi nghiệm không tầm thường đều − ≤ sử có t1 6 hệ số et1−t2 không dao động.
C(J) thỏa mãn q(t) J. Khi đó, phương trình 0, ∈ t ∀ ∈ ≤ Mệnh đề 3.4.1. Giả sử q (3.4.1) không dao động.
≥
Định lí 3.4.2 (Định lí Sturm về so sánh). Cho t1 < t2 là hai không điểm liên tiếp của nghiệm không tầm thường x(t) của (3.4.1). Giả sử q1 là một hàm liên tục, q1(t) q(t) và q trên đoạn [t1, t2]. Khi đó, mọi nghiệm của phương trình z′′ + q1(t)z = 0 đều có ít q1 6≡ nhất một không điểm trong khoảng (t1, t2).
Chứng minh. Từ (3.4.1) và z′′ + q1(t)z = 0 ta có
z(t)x′′(t) x(t)z′′(t) + q(t) x(t)z(t) = 0. q1(t) − − (cid:0) (cid:1) Phương trình được viết lại dạng sau
t2
z(t)x′(t) x(t)z′(t) + (q(t) q1(t))x(t)z(t) = 0. d dt − − (cid:2) (cid:3) Vì x(t1) = x(t2) = 0, tích phân hai vế ta được
t1
q(t) (3.4.2) z(t2)x′(t2) z(t1)x′(t1) + q1(t)]x(t)z(t)dt = 0. − − Z
6 (cid:2) Do t1, t2 là hai không điểm liên tiếp của x(t) nên ta có thể coi x(t) > 0 trên khoảng = 0 với mọi (t1, t2). Không mất tính tổng quát, ta có thể coi z(t) > 0 trên (t1, t2). Khi đó ta có 0. Từ đó suy ra (t1, t2). Khi đó, x′(t1) > 0 và x′(t2) < 0. Giả thiết phản chứng rằng z(t) t ∈ z(t1) 0 và z(t2) ≥ ≥
0. z(t2)x′(t2) z(t1)x′(t1)
t2
q(t) q(t) − ≤ 0, x(t) > 0, z(t) > 0 với mọi t Mặt khác, q1(t) 0, q1(t) (t1, t2). Do vậy, − ≥ ∈ − 6≡
t1
t2
q(t) x(t)z(t)dt > 0 q1(t) − Z (cid:2) (cid:3) và
t1
q(t) q1(t)]x(t)z(t)dt < 0. z(t2)x′(t2) z(t1)x′(t1) + − − Z (cid:2)
Điều này mâu thuẫn với (3.4.2). Chứng tỏ z(t) có ít nhất một không điểm trong khoảng (t1, t2).
với mọi t > 0 thì phương Hệ quả 3.4.3. Nếu tồn tại một số ǫ > 0 sao cho q(t) 1 + ǫ 4t2 ≥ trình (3.4.1) dao động trên khoảng J = (0, ). ∞
Chứng minh. Với mọi ǫ > 0, phương trình
u = 0 u′′ + ǫ 4
26
dao động trên khoảng J = (0, ). ∞ Đổi thang thời gian τ = et, ta được
τ 2 d2u + u = 0. dτ 2 + τ du dτ ǫ 4
Sử dụng phép thế u = x/√τ , phương trình trên trở thành
(3.4.3) d2x dτ 2 + 1 + ǫ 4τ 2 x = 0.
). Theo Định lí ∞ Vì x(τ ) = et/2u(et) nên phương trình (3.4.3) dao động trên khoảng (0, Sturm, phương trình (3.4.1) dao động.
Định lí 3.4.4 (Định lí tách Sturm). Giả sử x1(t), x2(t) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (3.4.1). Khi đó, các không điểm của chúng là phân biệt và luân phiên.
3.5. Bài tập Chương 3
1. Giải các phương trình sau
13x = 0 9. x(5) − − 4x = 0 − − −
− x′ + 2x = 0 − − 7y′′ + 18x′ − − 10x′′′ + 9x′ = 0 4x(4) + 4x′′′ = 0 10. x(5) 11. x(5) + 8x′′′ + 16x′ = 0 12. x(4) + 10x′′ + 9x = 0 13. x′′′ − 14. x(4) + 2x′′ 12x = 0 8x′ + 5x = 0 18x = 0 − − 1. x′′′ + 3x′′ + 9x′ 2. x′′′ 5x′′ + 8x′ 3. x(4) + 4x′′′ + 8x′′ + 8x′ + 4x = 0 13x′′ + 12x = 0 4. x′′′ 2x′′ 5. x′′′ 5x′′ + 4x = 0 6. x(4) 7. x′′′ 2x′′ + 9x′ 8. x(4) x = 0 − 2x′′′ + 2x′′ 15. x(4) 2x′ + x = 0 − − −
2. Giải các phương trình không thuần nhất sau
4 12t2 + 6t − −
− −
− − 3x = 3 1 − 4et − − − 18t x = 4et − 3x′ + 2x = 2et + t cos t 4x′ + 8x = e2t + sin 2t 9x = e3t cos t 5x′ = 3t2 + sin 5t − −
− 4x′ = − 2x′ + x = 4et 3x′′ + 2x′ = t2 2x′ − 3x′ = e3t − 3x′ + 2x = 3e2t + 2t2 t2 x = 2et −
8e−t + 1 x = 4 sin t − − − 2x = 3tet 5x′ + 4x = 4t2e2t − 12. x(4) 13. x′′ 14. x′′ 15. x′′ 16. x′′ 17. x′′ + x = 2 sin t + 4 cos t 18. x′′ + x = et + cos t 19. x′′ + x = cos t + cos 2t 20. x(4) 21. x(4) + 2x′′ + x = cos t 22. x′′ + x = sin t cos 3t. 1. x′′ 2. x′′ 3. x′′′ 4. x′′ 5. x′′ 6. x′′ 7. x′′ − 8. x′′ + x = t cos t 9. x′′ + x′ 10. x′′ 11. x′′ + 3x′ 4x = e−4t + tet −
3. Tìm nghiệm của các bài toán sau
27
1, x′( − − − − 2x′ = 2et, x( 1) = 0 1) = 3x′ + 2x = 9e2t, x(0) = 0, x′(0) = 3, x′′(0) = 3 − −
1. x′′ 2. x′′′ 3. x′′ + 4x = sin 2x, x(0) = x′(0) = 0 4. x′′ + 4x′ + 4x = 3e−2t, x(0) = x′(0) = 0 5. x(4) + x′′ = 0, x(0) = 2, x′(0) = 1, x′′(0) = x′′′(0) = 0. −
4. Tìm nghiệm tổng quát các phương trình sau sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
2 3. x′′ x′ = 1. x′′ 2x′ + x = − t2 + 2t + 2 t3 −
4. x′′ x = 2. x′′ 2x′ + x = t t3 et − et 1 + et − et t −
5. Giải phương trình Euler bằng cách biến đổi về phương trình tuyến tính với hệ số hằng số
3t2x′′ + 6tx′ 6x = 0 − − − tx′ + x = 6t ln t 2x = sin(ln t) 2(t + 1)x′ + 2x = 0 − 4. t2x′′ 5. t2x′′ 6. (t − 2)2x′′ 3(t 2)x′ + 4x = t 1. t3x′′′ 2. (t + 1)2x′′ 3. t2x′′ tx′ + x = 8t3 − − − −
6. a) Chứng minh rằng, nếu hàm q(t) liên tục và q(t) 0 với mọi t t0 thì mọi nghiệm ≤ ≥ x(t) của IVP
x′′ + q(t)x = 0, x(t0) > 0, x′(t0) > 0 t0. t ∀ ≥
− thỏa mãn x(t) > 0, b) Cho φ(t) là một hàm liên tục và chẵn trên R, φ(t) > 0 với t > 0. Chứng minh rằng, nghiệm x(t) của IVP x′′ φ(t)x = 0, x(0) > 0, x′(0) = 0 là một hàm chẵn và R. x(t) > 0, t ∀ ∈
28
Chương 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
4.1. Một số kết quả sơ bộ
Ví dụ 4.1. Xét một ví dụ về mô hình dao động kết hợp sau đây.
Hình 4.1: Coupled Vibrations
1 − 2 −
(4.1.1) cx′ cx′ (k1 + k2)x1 + k2x2, (k2 + k3)x2 + k2x1. Gọi c là hệ số ma sát mặt sàn. Áp dụng định luật Newton 1 = 2 =
2, ta có hệ phương trình vi phân tuyến tính
Ký hiệu ξ1 = x1, ξ2 = x′ m1x′′ − m2x′′ − 1, ξ3 = x2, ξ4 = x′ thuần nhất sau
′
0
0 − − . = (4.1.2) 1 c m1 0
ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 0 − − 0 k1 + k2 m1 0 k2 m2 0 k2 m1 0 k2 + k3 m2 1 c m2
Ví dụ 4.2. (Vibration control) Phương trình chuyển động thẳng của một chiếc xe (moving cart) được cho bởi
′
mx′′ + ax′ + kx = u(t), (4.1.3) ở đó a, k là các hằng số. Ký hiệu x1 = x, x2 = x′. Khi đó, (4.1.3) được viết dưới dạng một hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất sau
. + = (4.1.4) " " x1 x2(cid:21) − 0 k m − 0 u(t) m #
1 x1 a x2(cid:21) m # (cid:20) (cid:20) Tổng quát, ta xét hệ phương trình vi phân sau
(4.1.5)
x′ 1(t) = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . . + a1n(t)xn + b1(t), x′ 2(t) = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . . + a2n(t)xn + b2(t), . . . x′ n(t) = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . . + ann(t)xn + bn(t),
29
a < b ở đó xi(t), i = 1, 2, . . . , n là các hàm ẩn, aij(t), bi(t) là các hàm liên tục trên khoảng I = (a, b), . −∞ ≤ ≤ ∞ Ký hiệu
A11(t) a12(t) a21(t) a22(t) , , A(t) = . . . . . . . . .
an1(t) an2(t) . . . a1n(t) . . . a2n(t) . . . . . . ann(t) b1(t) b2(t) ... bn(t) x1 x2 ... xn , b(t) = x =
hệ (4.1.5) được viết dưới dạng vectơ sau đây
x′ = A(t)x + b(t). (4.1.6)
Rn×1 là ma trận có các phần tử liên tục trên ∈ Rn×n, b(t) Rn, IVP Định lí 4.1.1. Giả sử A(t) I. Khi đó, với bất kì t0 ∈ ∈ I, x0 ∈
x′ = A(t)x + b(t), (4.1.7) x(t0) = x0,
có nghiệm duy nhất xác định trên toàn khoảng I.
Ký hiệu X = C 1(I, Rn) là tập các hàm khả vi liên tục I với giá trị vectơ và Y =
C(I, Rn). Ánh xạ L : X Y xác định bởi −→
Lx(t) = x′(t) A(t)x(t) −
là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với mọi x, y X và α, β R, ta có ∈ ∈
A(t)(αx + βy)(t)
− αA(t)x(t) A(t)x(t)] + β[y′(t) βA(t)y(t) A(t)y(t)] − − − L(αx + βy)(t) = (αx + βy)′(t) − = αx′(t) + βy′(t) = α[x′(t) = αL(x)(t) + βL(y)(t) = (αL(x) + βL(y))(t)
for all t I. Hence ∈ L(αx + βy) = αL(x) + βL(y).
Hệ (4.1.6) được viết ở dạng Lx = b, nên ta nói (4.1.6) là phương trình vi phân vectơ 0, hệ Lx = b là hệ tuyến tính không thuần nhất. tuyến tính (hoặc hệ tuyến tính). Khi b 6≡ Hệ Lx = 0 là hệ tuyến tính thuần nhất.
4.2. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ thuần nhất sau
t x′ = A(t)x, I := (a, b), (4.2.1) ∈
C(I, R). ở đó A(t) = (aij(t)) Rn×n, aij ∈ ∈
30
4.2.1. Cấu trúc tập nghiệm
k
Rõ ràng, nếu φ1, φ2, . . . , φk là nghiệm của (4.2.1) thì
i=1 X
L[c1φ1 + c2φ2 + . . . + ckφk] = ciL[φi] = 0.
Tức là, một tổ hợp tuyến tính các nghiệm của (4.2.1) trên I là một nghiệm của (4.2.1). Do đó, tập nghiệm của hệ (4.2.1) là một không gian vectơ.
k j=1 cjφj = 0
cj = 0, ⇒ ∀
Định nghĩa 4.2.1. Hệ hàm vectơ φ1, φ2, . . . , φk được gọi là độc lập tuyến tính trên I j. Ngược lại, hệ φ1, φ2, . . . , φk gọi là hệ phụ thuộc tuyến nếu tính trên I. P
Ví dụ 4.3. Hệ
, φ3(t) = φ1(t) = , φ2(t) = t2 2t2 (cid:21) (cid:21) t3 t4 (cid:20) (cid:20) t t (cid:21) (cid:20) độc lập tuyến tính trên mọi khoảng I.
Định thức Vronski của hệ hàm : φ1, . . . , φk} {
φ11(t) φ12(t) φ21(t) φ22(t) . . . . . . . . .
. . . φ1n(t) . . . φ2n(t) . . . . . . φnn(t)
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) W (t) = W [φ1, . . . , φn](t) = (cid:12) (cid:12) (cid:12) φn1(t) φn2(t) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Mệnh đề 4.2.1. Nếu φ1, φ2, . . . , φn phụ thuộc tuyến tính trên I thì W (t) = 0 với mọi (cid:12) t I. ∈
I. Mệnh đề 4.2.2. Giả sử φ1, φ2, . . . , φn là n nghiệm bất kì của hệ (4.2.1). Khi đó, hệ φ1, φ2, . . . , φn phụ thuộc tuyến tính trên I khi và chỉ khi W (t) = 0 với mọi t ∈
n
t
I, Định lí 4.2.3 (Công thức Liouville). Giả sử φ1, φ2, . . . , φn là n nghiệm của hệ (4.2.1) và W (t) = W [φ1, . . . , φn](t). Khi đó, với bất kì t0 ∈
t0
i=1 Z X
, I. W (t) = W (t0) exp aii(s)ds t ∀ ∈ (cid:16) (cid:17)
Định lí 4.2.4. ((i) Tồn tại n nghiệm độc lập tuyến tính của hệ (4.2.1).
(ii) Nếu φ1, φ2, . . . , φn là n nghiệm độc lập tuyến tính của (4.2.1) thì
(4.2.2) x = c1φ1 + c2φ2 + . . . + cnφn
là nghiệm tổng quát của hệ (4.2.1), ở đó c1, c2, . . . , cn là các hằng số.
Từ Định lí 4.2.4, tập nghiệm của hệ thuần nhất (4.2.1) là một không gian vectơ n chiều.
φ1, φ2, . . . , φn} { Định nghĩa 4.2.2. Hệ n nghiệm độc lập tuyến tính của (4.2.1) gọi là một hệ nghiệm là một hệ nghiệm cơ bản của (4.2.1) thì ma trận Φ(t) = cơ bản. Nếu [φ1(t) φn(t)] gọi là một ma trận cơ bản của (4.2.1). · · ·
Nếu Φ(t) là một ma trận cơ bản của (4.2.1) thì nghiệm tổng quát của (4.2.1) được xác định bởi x = Φ(t)c, ở đó c Rn là một vectơ hằng số tùy ý. ∈
31
4.2.2. Hệ thuần nhất với ma trận hằng số
Xét hệ tuyến tính thuần nhất
x′(t) = Ax(t), (4.2.3)
∞ k=0
ở đó A Rn×n là một ma trận hằng cho trước. ∈ Ak. Ma trận mũ: exp(A) = 1 k!
P Rn, t exp(tA) là một ma trận cơ bản của hệ −→ 7→ Định lí 4.2.5. Hàm ma trận R (4.2.3).
R là một giá trị riêng của A và x0 là vectơ riêng tương ứng Mệnh đề 4.2.6. Nếu λ0 ∈ (i.e. Ax0 = λ0x0) thì x(t) = eλ0tx0 là một nghiệm của (4.2.3).
Ví dụ 4.4. Giải hệ
x. x′ =
(cid:21) (cid:20) 0 2 − 1 3 −
Các cặp giá trị riêng và vectơ riêng của A là 1, và 2, = − − 1 − 6 (cid:20) (cid:21) (cid:20) . Vì λ1 = (cid:21) 1 1 − 1 2 − 2 nên λ2 = − , φ2(t) = e−2t φ2(t) = e−t (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) 1 2 − 1 1 − là hai nghiệm độc lập tuyến tính của hệ. Nghiệm tổng quát cho bởi
. + c2e−2t x = c1e−t (cid:21) (cid:20) (cid:20) 1 2 − 1 1 −
n−1
(cid:21) Định lí 4.2.7 (Thuật toán Putzer tìm ma trận etA). Giả sử λ1, λ2, . . . , λn là các giá trị riêng của A. Khi đó,
etA = pk+1(t)Mk,
k
Xk=0 ở đó M0 = I,
i=1 Y
(A Mk = λiI) −
R, xác định lặp bởi các IVP sau và các hàm pk(t), t
p1(0) = 1,
i n. pi(0) = 0, 2 ∈ p′ 1(t) = λ1p1(t), p′ i(t) = pi−1(t) + λipi(t), ≤ ≤
. Ví dụ 4.5. Tính eAt với A = 1 1 1 3
(cid:21) λ2 A λI (cid:20) − = 0 4λ + 4 = 0 λ1 = λ2 = 2. ⇔ − | | ⇔
2I = − Khi đó eAt = p1(t)M0 + p2(t)M1, M0 = I, M1 = A λ1I = A 1 1 1 1 − − . (cid:21) (cid:20) − −
p1(t) = e2t; p′ 1 = 2p1, p1(0) = 1 ⇔
32
p2(0) = 0 p2(t) = te2t. p′ 2 = e2t + 2p2, ⇔ Từ đó có t 1 . eAt = e2t t 1 + t (cid:21) (cid:20) − t − Nghiệm tổng quát của hệ x′ = Ax được cho bởi
t 1 e2t. e2t + c2 x(t) = eAtc = c1 t 1 + t (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) − t −
4.3. Hệ tuyến tính không thuần nhất
Xét hệ tuyến tính sau
x′ = A(t)x + b(t), (4.3.1) x(t0) = x0,
Rn×n, b(t) ở đó A(t) Rn. ∈ I và x0 ∈ ∈
Rn là các ma trận liên tục trên I, t0 ∈ Định lí 4.3.1 (Công thức biến thiên hằng số). Cho Φ là một ma trận cơ bản của (4.2.1). Khi đó, nghiệm của IVP
x′ = A(t)x + b(t), (4.3.2) x(t0) = x0,
t
xác định bởi
t0 K
t I, x(t) = (t, s)b(s)ds, (4.3.3) (t, t0)x0 + K ∈ Z ở đó (t, s) = Φ(t)Φ−1(s). K
Ví dụ 4.6. Tìm nghiệm của IVP sau
, . x′ = x + x(0) = 2tet 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1
Vì A = I + N với N = . Theo công thức , nên eAt = eteN t = et 2 1 0 1 2t 2t2 2t 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
t
biến thiên hằng số
0
. x(t) = et + et ds = et 2 + 2t 1 0 t2 + 2t + 2 1 0 2s 0 0 Z
4.4. Bài tập Chương 4
1. Hệ tuyến tính thuần nhất
x x 1. x′ = 2. x′ = 2 1 1 − 1 1 − 4 (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) 1 4 −
33
x 3. x′ = x 7. x′ = (cid:21) (cid:20) 1 − 2 − 1 1 − 3 − 2
x 4. x′ = 4 4 − 1 1 1 5 4 − 2 − 1 − 0 x 8. x′ = 1 − 1 − 2 1 − 2 1 − 2 3 1 − 4 1 1 x 5. x′ = 1 − 1 1 − 1 1 − 2 2 1 1 x 9. x′ = 1 − 2 1 − 1 − 2 − 2 1 − 1 − 1 2 2 1 − x 6. x′ = 3 1 4 − 1 1 − 1 1 1 4 2. Giải các hệ không thuần nhất sau
x + 5. x′ = 1. x′ = x + 16 + et 0 3 2 1 4 (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:20)
x + 6. x′ = x + 2. x′ = sin t 2 cos t 4e5t 0 (cid:21) 4e−2t 0 2 2 (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:20) −
x x + 2 7. x′ = 3. x′ = e2t 0 (cid:21) 4 − 2 − 1 4 2 1 − 2 2 − 2 − 1 − 1 − 2 − et 2et (cid:20) 1 2 (cid:20) 4 2 (cid:20) 2 3 (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:20)
8. x′ = x + x + 4. x′ = 5 − 1 − 5 1 3 − 1 (cid:21) (cid:21) (cid:20) (cid:21) 40et 9e−t (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:21) 2e3t 5e−t (cid:20) (cid:21) 2 6 −
3. Tìm nghiệm của IVP sau
= x + 1. x′ = x(0) y(0) 2 7 t2 + t 4t 1 1 2 4 0 2 (cid:20) , (cid:21) (cid:20) − 2t2 (cid:20) (cid:20) −
2. x′ = x + = . − − − cos t sin t + cos t (cid:21) x(0) y(0) (cid:20) (cid:21) , (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:20) (cid:21) − 1 2 − (cid:21) 1 1 − . (cid:21) 1 2 −
34
Tài liệu tham khảo
[1] Kendall E. Atkinson, Weimin Han, David E. Stewart, Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2009.
[2] William A. Adkins, Mark G. Davidson, Ordinary Differential Equations, Springer, NY, 2012.
[3] Ravi P. Agarwal, Donal O’Regan, An Introduction to Ordinary Differential Equa- tions, Springer, NY, 2008.
[4] Paul Blanchard, Robert L. Devaney, Glen R. Hall, Differential Equations, 3rd, Thom- son Brooks/Cole, California, 2006.
[5] Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, The Theory of Differential Equations: Classical and Qualitative, 2nd, Springer, NY, 2010.
[6] Hartmut Logemann, Eugene P. Ryan, Ordinary Differential Equations: Analysis, Qualitative Theory and Control, Springer, London, 2014.
[7] James C. Robinson, An introduction to Ordinary Differential Equations, CUP, Cam- brige, 2004.
[8] Ioan I. Vrabie, Differential Equations: An introduction to Basic Concepts, Results and Applications, World Scientific, Singapore, 2004.
35
