TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
GIẢI TÍCH I
(lưu hành nội bộ)
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và lời giải
Hà Nội- 2009
MỤC LỤC
Mục lục............................... 1
Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT). . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N,Z,Q,R. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ
3.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Vô cùng lớn, vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.1 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.1 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Qui tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10 Các lược đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x). . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số . . . . . . . . . . . 34
10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . 35
10.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2 MỤC LỤC
1.1 Nguyên hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Các tiêu chuẩn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Các ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Tính diện tích hình phằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . . . . . 70
4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chương 3 . Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Cực trị của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2
MỤC LỤC 3
3.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
4 MỤC LỤC
4