zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tóm tắt bài giảng và bài tập Toán cao cấp 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:111

Báo xấu

12
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt bài giảng và bài tập Toán cao cấp 2 cung cấp cho các bạn nội dung chính sau: Phép tính vi phân hàm một biến; Phép tính tích phân hàm một biến; Vi phân hàm nhiều biến; Lý thuyết chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt bài giảng và bài tập Toán cao cấp 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC NGUYỄN TẤT THÀNH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN TÓM TẮT BÀI GIẢNG VÀ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vƣơng LƢU HÀNH NỘI BỘ Thành phố Hồ Chí Minh – 03/2015
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Chƣơng 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1.1. Hàm số sơ cấp 1.1.1. Hàm số sơ cấp cơ bản Ta điểm lại các hàm sơ cấp cơ bản, mà ta đã biết phần lớn từ chương trình phổ thông. m a. Hàm lũy thừa. y  x a . Nếu a   Q thì xác định phụ thuộc vào m và n. Nếu a là n số vô tỉ ta coi miền xác định là  0,   (trường hợp a  0 có thể coi D  0;   ). b. Hàm mũ. y  a x ,0  a  1 , D  R. c. Hàm logarit. y  loga x,0  a  1 , là hàm ngược của hàm mũ, tức là y  log a x  x  a y , D   0;   . d. Hàm lƣợng giác.  y  sin x, y  cos x có D  ;     y  tan x có D  R \  2k  1 k  Z  .  2   y  cot x có D  R \ k k  Z . e. Hàm lƣợng giác ngƣợc.  y  arcsin x là hàm số ngược của hàm số x  sin y :    ,     1,1 , tức là  2 2 y  arcsin x :  1,1    ,   .  2 2 Vậy y  arcsin x  x  sin y .  y  arccos x là hàm số ngược của hàm số x  cos y : 0,     1,1 , tức là y  arccos x :  1,1  0,   . Vậy y  arccos x  x  cos y .    y  arctan x là hàm số ngược của hàm số x  tan y :   ,   R , tức là 2 2  y  arctan x : R    ,  . 2 2  Vậy y  arctan x  x  tan y .  y  arccot x là hàm số ngược của hàm số x  cot y :  0,    R , tức là y  arccot x : R   0,   Vậy y  arccot x  x  cot y . Từ định nghĩa, ta có các liên hệ Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 1
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến 1. arcsin x  arcsin x  2k , k  Z 2. arccos x  arccos x  2k , k  Z 3. arctan x  arctan x  k , k  Z 4. arccot x  arccot x  k , k  Z   x 5. arctan x  arcsin  , x  R  1 x  2   x 6. arcsin x  arctan   , x   1,1  1 x  2 1.1.2. Hàm số sơ cấp Thực hiện một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép hợp hàm số lên các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng ta được một lớp hàm rất rộng, gọi là các hàm sơ cấp. 1.2. Giới hạn của hàm số 1.2.1. Các định nghĩa a. Giới hạn hàm số Định nghĩa 1. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ điểm ). Ta nói hàm số ( ) có giới hạn là khi dần về nếu với mọi , tồn tại sao cho với mọi thỏa | | thì | ( ) | . Kí hiệu ( ) khi hoặc ( ) Vậy ( ) ( | | | ( ) | ) Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) { Chứng minh rằng ( ) . Bài giải. Với , thì | ( ) | | | | | | | . Chọn , khi đó với mọi thỏa | | thì | ( ) | . Tương tự, ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 2. 1. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ điểm ). ( ) ( | | | ( )| ) ( ) ( | | ( ) ) Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 2
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến ( ) ( | | ( ) ) 2. Cho hàm số ( ) xác định trong ( ) ( ) ( ) ( | | | ( ) | ) ( ) ( | | | ( )| ) ( ) ( | | ( ) ) ( ) ( | | ( ) ) 3. Cho hàm số ( ) xác định trong ( ) ( ) ( | ( ) | ) ( ) ( | ( )| ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) 4. Cho hàm số ( ) xác định trong ( ) ( ) ( | ( ) | ) ( ) ( | ( )| ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) Ví dụ 2. 1. Cho hàm số ( ) . Chứng minh rằng ( ) . 2. Cho hàm số ( ) . Chứng minh rằng ( ) . 3. Cho hàm số ( ) . Chứng minh rằng ( ) . Bài giải. 1. Với , thì | ( ) | | ⁄ | | | | | . Chọn , khi đó với mọi thỏa thì | ( ) | . 2. Với , thì ( ) | | √ Chọn √ , khi đó với mọi thỏa | | √ thì ( ) . 3. Với , thì ( ) | | √ . Chọn √ , khi đó với mọi thỏa √ thì ( ) . b. Giới hạn một phía. Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 3
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Định nghĩa 3. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ điểm ). Ta nói, 1. Hàm số ( ) có giới hạn trái là khi dần về nếu với mọi , tồn tại sao cho với mọi thỏa thì | ( ) | . Kí hiệu ( ) Vậy ( ) ( | ( ) | ) 2. Hàm số ( ) có giới hạn phải là khi dần về nếu với mọi , tồn tại sao cho với mọi thỏa thì | ( ) | . Kí hiệu ( ) Vậy ( ) ( | ( ) | ) Tương tự, ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 4. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ điểm ). ( ) ( | ( )| ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( | ( )| ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) Chú ý. Nếu ( ) ( ) thì tồn tại ( ) và ( ) ( ) ( ) 1.2.2. Các giới hạn cơ bản. ( ) ( ) Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 4
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Với Với Một số công thức khác ( và ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.2.3. Một số tính chất Định lí 1. Điều kiện cần và đủ để ( ) ( hữu hạn hoặc vô cùng) là mọi dãy số * + hội tụ về thì * ( )+ hội tụ về . Nhận xét. Như vậy để chứng minh không tồn tại ( ), ta chỉ cần chỉ ra hai dãy số * + * + cùng hội tụ về nhưng * ( )+ và * ( )+ không cùng hội tụ về một số nào đó. Ví dụ 3. Chứng minh không tồn tại . Bài giải. Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 5
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Chọn hai dãy * + { } * + * +. Ta thấy Nhưng . / ( ) khi . Định lí 2. Giả sử các hàm số ( ) ( ) có giới hạn trong cùng một quá trình ( hoặc hoặc hoặc ). Để đơn giản cách viết, ta không nêu quá trình đó trong những khẳng định sau đây (với ). 1. ( ) ( ) thì ( ) ( ) . 2. ( ) ( ) thì ( ) ( ) (dấu của ( )). 3. ( ) ( ) thì ( ) ( ) . 4. ( ) ( ) thì ( ) ( ) . 5. ( ) ( ) thì ( ) ( ) . 6. ( ) ( ) thì ( ) ( ) (dấu của tích). 7. ( ) ( ) thì ( ) ( ) (dấu của tích). ( ) 8. ( ) ( ) thì ( ) . ( ) 9. ( ) ( ) thì ( ) . ( ) 10. ( ) ( ) thì ( ) (dấu của thương). ( ) 11. ( ) ( ) thì ( ) (dấu của thương). 12. ( ) thì | ( )| | |. ( ) 13. ( ) ( ) thì , ( )- . Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau. Bài giải. . / 1. Ta có . / Mặt khác, và nên . 2. Ta có ( ) và ( ) . Mặt khác, thì , do đó 1.2.4. Các dạng vô định. Định nghĩa 5. Giả sử các hàm số ( ) ( ) có giới hạn trong cùng một quá trình. Khi đó. Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 6
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến 1. Nếu ( ) ( ) thì ta nói ( ) ( ) có dạng vô dịnh . 2. Nếu ( ) ( ) thì ta nói ( ) ( ) có dạng vô dịnh . ( ) 3. Nếu ( ) ( ) thì ta nói ( ) có dạng vô dịnh . ( ) 4. Nếu ( ) ( ) thì ta nói ( ) có dạng vô dịnh . ( ) 5. Nếu ( ) ( ) thì ta nói , ( )- có dạng vô dịnh . ( ) 6. Nếu ( ) ( ) thì ta nói , ( )- có dạng vô dịnh . ( ) 7. Nếu ( ) ( ) thì ta nói , ( )- có dạng vô dịnh . Ví dụ 5. có dạng vô định . 1.2.5. Một số phƣơng pháp khử dạng vô định 0 a. Dạng . 0 Phương pháp. 1. Đối với hàm đa thức, ta phân tích đa thức thành nhân tử để giản ước. 2. Khi gặp một biểu thức chứa căn ta cũng có thể nhân với lượng liên hợp hoặc dùng các phép biến đổi thích hợp để khử căn, làm mất dạng vô định. 3. Đối với hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm mũ và hàm lôgarit thì ta sử dụng các công thức giới hạn cơ bản Ví dụ 6. ( )( ) ( ) √ (√ ) ( ) ( )(√ ) ( )(√ ) √ √ ( )( √ ) √ √ ( )( √ ) (√ ) Ví dụ 7. Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 7
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến ( ) . / . / Ví dụ 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b. Dạng . Phương pháp. Rút lũy thừa cao nhất của tử và mẫu ra, sau đó dùng giới hạn tích. Ví dụ 9. ( ) ( ) (vì ) √ √ . √ / √ ( ) √ | |√ √ √ ( ) ( ) Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 8
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến c. Dạng . Phương pháp. Đưa về dạng bằng cách qui đồng hoặc nhân lượng liên hợp. Ví dụ 10. ( ) (vì ( ) ( ) và khi ) .√ / √ (√ ) .√ √ / √ √ ( ) | | (√ √ ) (√ √ ) d. Dạng . 0 Phương pháp. Đưa về dạng hoặc bằng cách nhân hoặc rút gọn. 0 Ví dụ 11. ( )( ) ( )( ) ( )√ √ √ ( ) ( )( ) √ ( )√ ( )( )√ ( )( ) √ ( )√ √ e. Dạng 1. Đối với hàm lượng giác và hàm mũ, lôgarit thì ta sử dụng các công thức cơ bản sau ( ) ( ) ( ) 2. Đưa về dạng bằng cách dùng công thức ( ). Khi đó, nếu ( ) thì . Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 9
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Từ phần này trở đi ta có dùng quy tắc L’Hospital (viết tắt L ' H ) mà sẽ giới thiệu ở phần sau. Ví dụ 12. ( ) ( ) [( ) ] (vì ( ) ) Cách khác ( ) ( ) ( ) ( ) L'H ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *( ) + ( ) ( ) (vì . ( ) / ( ) ) f. Dạng và . Phương pháp. Đưa về dạng bằng cách dùng công thức ( ). Khi đó, nếu ( ) thì . Ví dụ 13. L'H  ( ) ( ) ( ) L'H  Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 10
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L'H  ( ) ( ) ( ) ( ) L'H  ( ) L'H  1.3. Vô cùng bé – Vô cùng lớn 1.3.1. Vô cùng bé (VCB) Định nghĩa 6. Cho hàm số ( ) xác định trong lân cận của (có thể không xác định tại ). Khi đó, ( ) được gọi là vô cùng bé khi dần đến , nếu ( ) Ví dụ 14. 1. Khi thì ( ) là các VCB. 2. Khi thì là các VCB. Định nghĩa 7 (so sánh hai VCB). Cho ( ) ( ) là các VCB khi dần đến . Giả ( ) sử ( ) . Khi đó, 1. Nếu thì ( ) được gọi là VCB cấp cao hơn ( ), kí hiệu ( ) ο ( ( )). 2. Nếu thì ( ) được gọi là VCB cấp cao hơn ( ) (lúc này ( ) là VCB cấp thấp hơn ( )). 3. thì ( ) và ( ) được gọi là VCB ngang cấp. Đặc biệt thì ta nói ( ) và ( ) là hai VCB tương đương, kí hiệu ( ) ( ). Ví dụ 15. 1. Khi thì ο( ) ο( ). 2. Khi thì ( ) . 1.3.2. Vô cùng lớn (VCL). Định nghĩa 8. Cho hàm số ( ) xác định trong lân cận của (có thể không xác định tại ). Khi đó ( ) được gọi là vô cùng lớn khi dần đến , nếu ( ) Nhận xét. Cho hàm số ( ) xác định trong lân cận của điểm (có thể không xác định tại điểm ) và ( ) . Khi đó, ( ) là VCL khi khi và chỉ khi ( ) là VCB khi . Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 11
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Ví dụ 16. 1. Khi thì ( ) ( ) là các VCL. 2. Khi thì ( ) là các VCL. Định nghĩa 9 (so sánh hai VCL). Cho ( ) ( ) là các VCL khi dần đến . Giả sử ( ) ( ) . Khi đó, 1. Nếu thì ( ) được gọi là VCL cấp cao hơn ( ), kí hiệu ( )  ( ( )) 2. Nếu thì ( ) được gọi là VCL cấp cao hơn ( ) (lúc này ( ) là VCL cấp thấp hơn ( )). 3. thì ( ) và ( ) được gọi là VCL ngang cấp. Đặc biệt thì ta nói ( ) và ( ) là hai VCL tương đương, kí hiệu ( ) ( ). Ví dụ 17. 1. Khi thì ( ) ( ). 2. Khi thì ( ) ( ( )). 3. Khi thì . 1.3.3. Ứng dụng VCB và VCL tính giới hạn. Cho ( ) ( ) là VCB (VCL). Ta áp dụng VCB (VCL) trong việc tính giới hạn a. Quy tắc thay thế VCB (VCL) tƣơng đƣơng. Nếu ( ) ( ) và ( ) ( ) khi thì i) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ii) ( ) ( ) iii) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) nếu f1  x    g1  x  iv) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) nếu f1  x   g1  x  Ví dụ 18. 1. Xét ( ) ( ) . Ta có thì ( ) ( ) và ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2. Xét ( ) ( ) . ( ) Ta có thì ( ) nên . / ( ) Nhưng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 12
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến L'H  ( ) ( ) b. Quy tắc ngắt bỏ VCB (VCL). Nếu ( ) ∑ ( ) và ( ) ∑ ( ), trong đó tất cả ( ) và ( ) đều là VCB (VCL) khi và ( ) ( ) lần lượt là hai VCB cấp thấp nhất (VCL cấp cao nhất) ở tử và mẫu. Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ 19. Tính các giới hạn sau. ( ) Bài giải. 1. Khi thì ( ) . Do đó ( ) 2. Khi thì là VCL cấp cao nhất trong các VCL và là VCL cấp cao nhất trong các VCL . Do đó, 3. Khi thì là VCB cấp thấp nhất trong các VCB và là VCB cấp thấp nhất trong các VCB . Do đó, 4. Khi ta có 1.4. Hàm số liên tục 1.4.1. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa 10. Cho ( ) và hàm số ( ) xác định trên ( ). 1. Hàm số ( ) được gọi là liên tục tại điểm nếu ( ) ( ) Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 13
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến 2. Hàm số ( ) được gọi là liên tục phải (tương ứng trái) tại điểm nếu ( ) ( )( ( ) ( )) Nhận xét. Hàm số ( ) liên tục tại điểm khi và chỉ khi ( ) liên tục trái và liên tục phải tại . Tức là, ( ) ( ) ( ) Ví dụ 20. 1. Hàm số ( ) không xác định tại nên không liên tục tại . 2. Chứng minh rằng hàm số sau liên tục tại điểm √ ( ) { √ Bài giải. √ ( )( √ ) ( ) √ ( )(√ ) √ ( ) (√ ) Vậy hàm số liên tục tại điểm . Định lí 3 (Tính liên tục của tổng, tích, thƣơng và hàm hợp). 1. Nếu các hàm số ( ) ( ) liên tục tại thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (với ( ) ) cũng liên tục tại . 2. Nếu hàm số ( ) liên tục tại và hàm số ( ) liên tục tại ( ) thì ( ( )) cũng liên tục tại . Định nghĩa 11. Hàm số ( ) được gọi là gián đoạn tại điểm nếu nó không xác định tại điểm hoặc không liên tục tại điểm . 1. Nếu là điểm gián đoạn và ( ) ( ) hữu hạn thì được gọi là điểm gián đoạn loại 1. 2. Nếu là điểm gián đoạn và không phải là điểm gián đoạn loại 1 thì được gọi là điểm gián đoạn loại 2. Ví dụ 21. Cho hàm số ( ) { Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 14
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Khi đó, là điểm gián đoạn loại 1, là điểm gián đoạn loại 2. 1.4.2. Hàm số liên tục trên một khoảng Định nghĩa 12. Hàm số ( ) xác định trên ( ), được gọi là liên tục trên ( ) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm ( ). Nếu ( ) xác định trên , - thì được gọi là liên tục trên , - nếu liên tục trên ( ), liên tục phải tại và liên tục trái tại . Chú ý. 1. Hàm số ( ) liên tục trên , - thì đồ thị của ( ) trên đoạn , - là một đường "liền nét". 2. Hàm số ( ) được gọi là liên tục từng khúc trên , - nếu trên đó nó chỉ có hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 và không có điểm gián đoạn loại 2. Định lí 4 (Tính liên tục của hàm sơ cấp). Hàm sơ cấp liên tục trên các khoảng mở thuộc tập xác định của nó. Ví dụ 22. Xét tính liên tục của hàm số sau trên ( ) { √ Bài giải. Với ( ) thì là hàm sơ cấp nên liên tục trên ( ). Với ( ) thì là hàm sơ cấp nên liên tục trên ( ). Với ( ) thì √ là hàm sơ cấp nên liên tục trên ( ). Xét tại . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số liên tục tại . Xét tại . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ Vậy hàm số không liên tục tại . Các định lí. 1. (Bolzano – Cauchy). Nếu ( ) liên tục trên , - và ( ) ( ) thì tồn tại ( ) sao cho ( ) . Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 15
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến 2. (Weierstrass). Nếu ( ) liên tục trên , - khi đó bị chặn và đạt giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) trên , -. Ví dụ 23. Chứng minh rằng phương trình ( ) có ít nhất 3 nghiệm. Bài giải. Đặt ( ) , ( ) liên tục trên . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) Do ( ) ( ) nên tồn tại ( ) sao cho ( ) hay phương trình có một nghiệm thuộc khoảng ( ). Tương tự, ( ) ( ) và ( ) ( ) . Như vậy phương trình ( ) có ít nhất 3 nghiệm. 1.5. Đạo hàm và vi phân. 1.5.1. Đạo hàm. a. Các định nghĩa. Định nghĩa 13. Cho ( ) và hàm số ( ) xác định trên ( ). f  x   f  x0  1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tỷ số khi x dần đến x0 , thì giới hạn x  x0 đó được gọi là đạo hàm của hàm số ( ) tại , kí hiệu ( ) hay ( ) hay ( ). Như vậy ( ) ( ) ( ) ( ) Đặt ( ) ( ), khi đó ( ) ( ) ( ) ( được gọi là số gia của đối số tại , được gọi là số gia tương ứng của hàm số) f  x   f  x0  2. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn hạn của tỷ số khi x dần đến x0  (tương x  x0 ứng x dần đến x0  ), thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải (tương ứng trái) của hàm số ( ) tại , kí hiệu ( ) (tương ứng ( )) hay ( ) (tương ứng ( )). Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 3. Nếu ( ) có đạo hàm tại mọi ( ) thì ( ) được gọi là có đạo hàm trong khoảng ( ). Khi đó hàm số ( ) được gọi là đạo hàm của hàm . Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 16
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến Hàm số ( ) được gọi là có đạo hàm trong , - nếu nó có đạo hàm trong ( ) và có đạo hàm phải tại , đạo hàm trái tại . Nhận xét. 1. có đạo hàm tại khi và chỉ khi có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại và ( ) ( ) Tức là, ( ) ( ) ( ) 2 (Ý nghĩa hình học của đạo hàm). Nếu tồn tại ( ), thì ( ) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) tại điểm ( ( )). Ví dụ 24. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại những điểm đã nêu ra. 1. ( ) tại . 2. ( ) | | tại . 3. ( ) { Bài giải. ( ) ( ) 1. Ta có ( ) . Vậy ( ) . 2. Ta có ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | Vậy hàm số không có đạo hàm tại . 3. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ( ) . Nhận xét. Thông thường các hàm | ( )| không có đạo hàm tại những điểm mà ( ) đổi dấu. Định lí 5. 1. Các hàm sơ cấp có đạo hàm tại mọi khoảng thuộc tập xác định. 2. Nếu hàm có đạo hàm tại thì liên tục tại . Điều ngược lại là không đúng. Trong ví dụ 26 thì hàm | | liên tục tại nhưng không có đạo hàm tại . Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 17
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến b. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản ( ) . / (√ ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c. Các quy tắc tính đạo hàm Định lí 6 (quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thƣơng). Giả sử các hàm số có đạo hàm hữu hạn tại . Khi đó tại ta có (với ). ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Đặc biệt ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Định lí 7 (quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp). Giả sử tồn tại ( ) và ( ) với ( ). Khi đó tồn tại ( )( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Ví dụ 25. Xét hàm số ( ) ( ) , khi đó ( ) ( ) ( ) ( )( )  Bảng đạo hàm các hàm hợp. ( ) . / (√ ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 18
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến ( ) ( ) ( ) ( ) Định lí 8 (quy tắc tính đạo hàm của hàm ngƣợc). Giả sử hàm số ( ) có đạo hàm ( ) và tồn tại hàm ngược ( ) (ta còn kí hiệu ). Nếu tại điểm mà ( ) thì ( ) có đạo hàm tại ( ) và ( ) ( ) ( ( )) Ví dụ 26. Xét hàm số ( ) . /, hàm ngược là ( ) . Ta có ( ) . Do ( ) . / nên ta có ( ) Định lí 9 (đạo hàm của hàm số cho bởi phƣơng trình tham số). Giả sử hàm số ( ) phụ thuộc biến không trực tiếp mà thông qua biến trung gian , với ( ) ( ) ( ). Trên ( ) hàm ( ) có hàm ngược ( ), khi đó Ví dụ 27. 1. Cho . /. Tính . 2. Cho ( ). Tính ( ). Bài giải. 1. Ta có 2. Ta có . Khi thì ( ) Định nghĩa 14 (hàm ẩn). Nếu hàm số ( ) thỏa mãn phương trình ( ) với ( ) thì ta nói ( ) là hàm ẩn cho bởi phương trình ( ) . Để tìm đạo hàm của hàm ẩn, ta lưu ý rằng ( ( )) ( ) Nên ta có thể lấy đạo hàm hệ thức trên theo biến , xem là hàm hợp theo biến . Sau đó giải phương trình thu được theo . Ví dụ 28. 1. Cho hàm ẩn ( ) xác định bởi phương trình . Tính . Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.