BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC NGUYỄN TẤT THÀNH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
TÓM TẮT BÀI GIẢNG VÀ BÀI TẬP
TOÁN CAO CẤP 2
Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vƣơng
LƢU HÀNH NỘI BỘ
Thành phố Hồ Chí Minh – 03/2015
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến
Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 1
Chƣơng 1.
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
1.1. Hàm số sơ cấp
1.1.1. Hàm số sơ cấp cơ bản
Ta điểm lại các hàm sơ cấp cơ bản, mà ta đã biết phần lớn từ chương trình phổ thông.
a. Hàm lũy thừa.
a
yx
. Nếu
m
aQ
n

thì xác định phụ thuộc vào m và n. Nếu a là
số vô tỉ ta coi miền xác định là
0, 
(trường hợp
0a
có thể coi
0;D 
).
b. Hàm mũ.
,
.DR
c. Hàm logarit.
log ,0 1
a
y x a
, là hàm ngược của hàm mũ, tức là
log y
a
y x x a
,
0;D 
.
d. Hàm lƣợng giác.
sin , cosy x y x
có
D
;
tanyx
có
\ 2 1 2
D R k k Z



.
cotyx
có
\.D R k k Z

e. Hàm lƣợng giác ngƣợc.
arcsinyx
là hàm số ngược của hàm số
sinxy
:
, 1,1
22



, tức là
arcsin : 1,1 ,
22
yx



.
Vậy
arcsin siny x x y
.
arccosyx
là hàm số ngược của hàm số
cos : 0, 1,1xy
, tức là
arccos : 1,1 0,yx
.
Vậy
arccos cosy x x y
.
arctanyx
là hàm số ngược của hàm số
tan : ,
22
x y R

, tức là
arctan : ,
22
y x R

.
Vậy
arctan tany x x y
.
arccotyx
là hàm số ngược của hàm số
cot : 0,x y R

, tức là
arccot : 0,y x R

Vậy
arccot coty x x y
.
Từ định nghĩa, ta có các liên hệ
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến
Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 2
1.
arcsin arcsin 2 , x x k k Z
2.
arccos arccos 2 , x x k k Z
3.
arctan arctan , x x k k Z
4.
arccot arccot , x x k k Z
5.
2
arctan arcsin ,
1
x
x x R
x




6.
2
arcsin arctan , 1,1
1
x
xx
x



1.1.2. Hàm số sơ cấp
Thực hiện một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép hợp
hàm số lên các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng ta được một lớp hàm rất rộng, gọi là các
hàm sơ cấp.
1.2. Giới hạn của hàm số
1.2.1. Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số
Định nghĩa 1. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ
điểm ). Ta nói hàm số ( ) có giới hạn là khi dần về nếu với mọi ,
tồn tại sao cho với mọi thỏa | | thì | ( ) | . Kí hiệu
( ) khi hoặc
( )
Vậy
( ) ( | | | ( ) | )
Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) {
Chứng minh rằng ( ) .
Bài giải.
Với , thì | ( ) | | | | | | | .
Chọn , khi đó với mọi thỏa | | thì | ( ) | .
Tương tự, ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.
1. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ điểm ).
( ) ( | | | ( )| )
( ) ( | | ( ) )
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến
Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 3
( ) ( | | ( ) )
2. Cho hàm số ( ) xác định trong ( ) ( )
( ) ( | | | ( ) | )
( ) ( | | | ( )| )
( ) ( | | ( ) )
( ) ( | | ( ) )
3. Cho hàm số ( ) xác định trong ( )
( ) ( | ( ) | )
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
4. Cho hàm số ( ) xác định trong ( )
( ) ( | ( ) | )
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
Ví dụ 2.
1. Cho hàm số ( ) . Chứng minh rằng ( ) .
2. Cho hàm số ( ) . Chứng minh rằng ( ) .
3. Cho hàm số ( ) . Chứng minh rằng ( ) .
Bài giải.
1. Với , thì | ( ) | |
⁄ | | | | | .
Chọn , khi đó với mọi thỏa thì | ( ) | .
2. Với , thì ( ) | | √
Chọn √ , khi đó với mọi thỏa | | √ thì ( ) .
3. Với , thì ( ) | | √ .
Chọn √ , khi đó với mọi thỏa √ thì ( ) .
b. Giới hạn một phía.
Bài giảng Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm một biến
Lê Thị Nhẫn - Bùi Hùng Vương 4
Định nghĩa 3. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ
điểm ). Ta nói,
1. Hàm số ( ) có giới hạn trái là khi dần về nếu với mọi , tồn tại
sao cho với mọi thỏa thì | ( ) | . Kí hiệu
( )
Vậy
( ) ( | ( ) | )
2. Hàm số ( ) có giới hạn phải là khi dần về nếu với mọi , tồn tại
sao cho với mọi thỏa thì | ( ) | . Kí hiệu
( )
Vậy
( ) ( | ( ) | )
Tương tự, ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 4. Cho hàm số ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ
điểm ).
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
Chú ý. Nếu
( ) ( ) thì tồn tại ( ) và
( )
( )
( )
1.2.2. Các giới hạn cơ bản.
( )
( )