Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tán xạ đàn hồi các nucleon năng lượng cao trong mô hình eikonal

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu quá trình tán xạ đàn hồi của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo những mô hình hiện tượng luận đã được thừa nhận. Sự ảnh hưởng của hai tương tác là tương tác mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên độ tán xạ và pha tán xạ được rút ra dựa trên các số liệu thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tán xạ đàn hồi các nucleon năng lượng cao trong mô hình eikonal

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- NGUYỄN XUÂN KỲ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------------- NGUYỄN XUÂN KỲ TÁN XẠ ĐÀN HỒI CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN NHƢ XUÂN Hà Nội - 2014
Lời Cảm Ơn Đầu tiên em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Nhƣ Xuân, giảng viên trường Học viện Kỹ thuật Quân sự. Thầy đã hết lòng dẫn dắt, chỉ bảo cho em có được những kiến thức, cách tiếp cận giải quyết vấn đề một cách khoa học và động viên em rất nhiều trong suốt thời gian em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường và các thầy ở bộ môn vật lý lý thuyết. Các thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức về chuyên ngành hết sức bổ ích và cần thiết, cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong quá trình học tập. Các thầy đã cho em thấy được lòng nhiệt huyết, sự say mê trong công tác giảng dậy cho các thế hệ sau. Cuối cùng em xin được nói lời cảm ơn tới những thành viên trong gia đình và bạn bè đã luôn động viên, sát cánh bên em trong suốt thời gian làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn ! Hà nội, ngày 29 tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Xuân Kỳ
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 CHƢƠNG 1. MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON ..7 1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác. ...................................................7 1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal. ...................................................8 1.3. Công thức West và Yennie. .........................................................................11 CHƢƠNG 2. TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL ....................................................................................................13 2.1. Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal. ..........13 2.2. Biên độ tán xạ các nucleon trong mô hình eikonal. .....................................17 2.3. Giá trị trung bình của các tham số va chạm. ................................................23 CHƢƠNG 3. TÁN XẠ PROTON – PROTON TRONG MÔ HÌNH HIỆN TƢỢNG LUẬN........................................................................................................25 3.1. Tán xạ đàn hồi pp và các đặc trưng của nó. .................................................25 3.2. Dữ liệu về tham số va chạm cho quá trình tán xạ pp ở 53 GeV. .................26 KẾT LUẬN ..............................................................................................................32 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................32 PHỤ LỤC A. HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON .................................35 PHỤ LỤC B. CÁC BỔ CHÍNH CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON TRONG MÔ HÌNH EIKONAL ..........................................................37
DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1: Giá trị tái chuẩn hóa của các tham số gk và k .........................................20 Bảng 3.1: Trung bình bình phương các tham số va chạm pp ở 53 GeV ........... Error! Bookmark not defined. Bảng 3.2: Giá trị của tích phân theo tiết diện tán xạ vi phân và các giá trị RMS của tán xạ toàn phần, đàn hồi và không đàn hồi............................................................30
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.2: Phần ảo  WY (s, t ) khác không của pha tương đối WY ứng với phép tính số pha tán xạ hadron ở hình 1 ...................................................................................15 Hình 2.1: Hai sự phụ thuộc khác nhau của pha tán xạ hadron  N (s, t ) vào t: ............15 Hình 3.1: Dữ liệu thăng giáng ngoại vi của tán xạ pp ở năng lương 53 GeV ..........28 Hình 3.2: Dữ liệu tán xạ ngoại vi pp xác định dương ở 53 GeV ..............................29
MỞ ĐẦU 1. Bối cảnh nghiên cứu của đề tài. Các máy đo quang phổ kế Pion tại SIN (Swiss Institute for Nuclear Research - Viện nghiên cứu hạt nhân Thụy Sỹ) và LAMPF (Los Alamos Meson Physics Facility – Trung tâm nghiên cứu Vật lý hạt meson Los Alamos) đã đưa ra các dữ liệu thực nghiệm có tính chính xác cao về quá trình tán xạ đàn hồi của pion – hạt nhân trong vùng đầu của sự cộng hưởng pion – hạt nhân [1-4]. Vì trong vùng này, phần tán xạ đàn hồi của một + từ một proton lớn hơn rất nhiều so với từ một nơtron (thông qua trao đổi hạt -), một trong nhưng hy vọng chính rút ra từ các số liệu thực nghiệm này là chỉ ra được sự đóng góp của nơtron trong các tương tác trên bề mặt hạt nhân. Như vậy bằng sự so sánh tán xạ đàn hồi của các pion có năng lượng 130 40 48 MeV của hạt nhân nguyên tử Ca và Ca đã chỉ ra sự khác nhau khá lớn giữa tương tác giữa các hạt - và các hạt + do có sự tham gia thêm của 8 hạt nơtron [5]. Nói cách khác, do không tính đến tương tác Coulomb có thể là nguyên nhân sinh ra sự khác nhau giữa tán xạ - và + thậm chí là của các hạt nhân đồng vị, ví dụ như hạt nhân 40Ca và hạt nhân 48Ca. Rõ ràng rằng, khả năng của chúng ta sử dụng các số liệu thực nghiệm của hạt nhân 40Ca phụ thuộc phần lớn vào sự mở rộng vùng tương tác vào các vùng mà hiệu ứng tương tác Coulomb chiếm ưu thế. Nếu chúng ta có một mô hình bán vi mô của tán xạ pion – hạt nhân, như có một thế quang học hoặc một lý thuyết tán xạ nhiều hạt, thì việc tính thêm tương tác Coulomb vào tương tác hạt nhân là hoàn toàn có thể được về mặt nguyên tắc mặc dù nó có những khó khăn về mặt kỹ thuật tính toán. Bỏ qua những điều này, chúng ta vẫn có thể hiệu chỉnh số liệu cho các số hạng Coulomb. Bài toán này đã được đưa ra từ lâu bởi Bethe [6] với các góc tán xạ nhỏ. Bằng việc tham số hóa biên độ tán xạ tương tác mạnh pion – hạt nhân trong vùng giao thoa Coulomb – hạt nhân theo các số hạng phụ thuộc vào góc tán xạ cho phép Bethe chỉ ra được sự thay đổi quan trọng của pha tán xạ phụ thuộc sự trao đổi + hay -. Trước đây, chúng ta đã mở 1
rộng mô hình này bằng cách tham số hóa biên độ tán xạ hạt nhân trung bình để đưa ra cấu trúc của tiết diện tán xạ vi phân nhờ sử dụng phép biểu diễn các số hạng “không” (zero terms) của biên độ tán xạ trong mặt phẳng phức các xung lượng truyền. Giống như Bethe, nếu chúng ta sử dụng gần đúng eikonal để tìm các hàm pha cộng tính  (b) trong không gian các tham số va chạm thì đối với hạt nhân 12C kết quả thu được của các hàm pha này có sự khác nhau khá lớn ở trao đổi + và -, 40 tuy nhiên điều này là không đúng lắm với hạt nhân Ca. Từ đó đòi hỏi chúng ta phải đưa ra thêm các cơ chế khảo sát khác chi tiết hơn nữa [8]. 2. Lý do chọn đề tài. Tán xạ đàn hồi năng lượng cao của các nucleon được thực hiện nhờ tương tác mạnh của các hadron, nhưng trong trường hợp các hadron tích điện cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va chạm [16]. Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử, Bethe đã thu được công thức cho tán xạ thế với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt nhân [45]. Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng F C  N và có thể biểu diễn một cách hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau [45]: F C  N  s, t   ei  s ,t  F C  s, t   F N  s, t  . (0.1) trong đó s là bình phương năng lượng trong hệ khối tâm (cms), t là bình phương xung lượng truyền 4 chiều, F C  s, t  - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb được xác định trong điện động lực học lượng tử (QED), F N  s, t  - biên độ tán xạ hoàn toàn hadron (liên quan tới tương tác mạnh),   1/137,036 là hằng số cấu trúc,   s, t  là pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa. Sử dụng mô hình tán xạ thế, Bethe đã có kết quả cụ thể cho pha [16]   2ln 1,06 / qa  . (0.2) trong đó q là xung lượng truyền của hạt tán xạ, còn a là tham số đặc trưng cho kích thước của hạt nhân. 2
Công thức của Bethe (0.2) có ý nghĩa quan trọng đối với lý thuyết và thực nghiệm. Về lý thuyết phần thực của biên độ tán xạ kể trên cho phép ta kiểm tra hệ thức tán sắc [34], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán xạ toàn phần [15], hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương tác mạnh. Việc đánh giá phần thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước ở vùng năng lượng thấp so với các số liệu thực nghiệm đã được thực hiện cho vùng có | t | 102 GeV 2 . Còn ở vùng | t | 102 GeV 2 sự tương thích giữa lý thuyết và thực nghiệm còn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Việc giải thích đầy đủ quá trình tán xạ các nucleon trong hạt nhân đòi hỏi không những tư duy logic mà còn cần cả tư duy hiện tượng luận dựa trên các kết quả thực nghiệm. Hiện tượng luận trong khoa học là cách lập luận xuất phát từ thực nghiệm, và kết quả được thực tế chấp nhận, chứ không theo cách tư duy logic trong toán học. Hàm delta Dirac là một ví dụ, nó là hàm suy rộng, xuất phát từ thực tiễn, chứ nó không hẳn được định nghĩa như những hàm số thông thường. Hàm delta Dirac phải mất bẩy năm mới được giới học thuật thừa nhận! 3. Mục đích của luận văn. Mục đích của luận văn thạc sỹ khoa học là nghiên cứu quá trình tán xạ đàn hồi của các nucleon tích điện trong mô hình eikonal ở mọi giá trị t theo những mô hình hiện tượng luận đã được thừa nhận. Sự ảnh hưởng của hai tương tác là tương tác mạnh giữa các hadron và tương tác Coulomb đến biên độ tán xạ và pha tán xạ được rút ra dựa trên các số liệu thực nghiệm. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu. Mô hình eikonal là một công cụ mạnh thích hợp cho việc xem xét quá trình tán xạ đàn hồi của các hadron năng lượng cao. Với cách tiếp cận theo mô hình này cho phép chúng ta có thể đưa ra các giá trị về tham số va chạm (ví dụ như phạm vi tác dụng của lực Coulomb và lực tương tác mạnh ở các khoảng cách khác nhau), một đặc trưng vật lý quan trọng của quá trình tương tác. Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng mô hình eikonal hiện tượng luận và một số phương pháp của lý thuyết trường lượng tử như phương pháp 3
tách phân kỳ, các phép gần đúng Born, gần đúng chuẩn cổ điển, và một số kỹ thuật tính tích phân. Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h  c  1 và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x  r thì các véctơ tọa độ hiệp biến r x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , trong đó 1 0 0 0     0 1 0 0  g   g    0 0 1 0     0 0 0 1 Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. 5. Ý nghĩa khoa học của luận văn. Luận văn là cơ sở lý thuyết khoa học để nghiên cứu các số liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt nucleon năng lượng cao thu được từ các máy gia tốc. Giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cơ chế tương tác của các nucleon trong hạt nhân. Từ đó là cơ sở để nghiên cứu chuyên sâu thêm về cơ chế tương tác của các hadron khi có tính thêm spin. 6. Cấu trúc luận văn. Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, hai phụ lục và kết luận. Chƣơng 1 - Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb- Hadron. Xuất phát từ mô hình eikonal cho tán xạ năng lượng cao, chúng tôi xây dựng biên độ tán xạ tổng quát cho hai loại tương tác – tương tác Coulomb và tương tác nucleon, trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ trong gần đúng Born. Trong mục 1.1, chúng tôi trình bầy vắn tắt việc tính biên độ tán xạ cho hai loại 4
tương tác trong gần đúng Born. Việc tính sự lệch pha cho biên độ tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal được dẫn ra ở mục 1.2. Công thức cho lệch pha trong gần đúng eikonal thu được ở đây phù hợp với kết quả mà West và Yennie thu được trong lý thuyết trường lượng tử bằng việc tính các giản đồ Feynman cho bài toán này. Lưu ý ở đây có kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon nhưng bỏ qua spin của nucleon. Mục 1.3, dành cho việc mở rộng công thức về sự lệch pha của biên độ tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân từ tán xạ với xung lượng truyền nhỏ ra vùng xung lượng truyền lớn dựa trên các số liệu thực nghiệm. Chƣơng 2 - Tán xạ các nucleon năng lƣợng cao trong mô hình eikonal. Chương 2 dành cho mô tả sự ảnh hưởng qua lại của hai loại tương tác Coulomb và tương tác đàn hồi hadron trong va chạm giữa các nucleon. Trong mục 2.1, một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tác mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm. Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng công thức West và Yennie một cách đơn giản. Để khắc phục những bất cập này trong mục 2.2, trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel. Mục 2.3, dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô hình này. Chƣơng 3 - Tán xạ proton – proton trong mô hình eikonal hiện tƣợng luận. Các giả thuyết về độ lệch quỹ đạo để đưa ra công thức đơn giản của West và Yennie sẽ được phân tích dựa trên biên độ tán xạ eikonal đầy đủ. Trong mục 3.1, các đặc trưng cho tán xạ proton-proton được giới thiệu vắn tắt. Mục 3.2, mô hình eikonal hiện tượng luận được áp dụng để phân tích các dữ liệu tán xạ đàn hồi pp ở năng lượng 53 GeV. 5
Trong phần kết luận ta hệ thống hóa những kết quả thu được và thảo luận việc mở rộng những nghiên cứu tiếp theo cho bài toán tương tự trong lý thuyết trường lượng tử. Phần phụ lục A sẽ đưa cách tính hệ số dạng điện từ của tán xạ các nucleon. Phần phụ lục B, ta trình bày cách tính một số bổ chính cho biên độ tán xạ Coulomb trong mô hình eikonal. 6
Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON Trong chương này ta xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born. Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born, việc tính pha eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bầy ở mục 1.2. Trong mục 1.3, xây dựng công thức West và Yennie (WY) dạng tổng quát cho hàm pha tán xạ  ( s, t ) dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon). 1.1. Biên độ tán xạ tổng quát cho hai tƣơng tác. Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng, coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ   b  sẽ chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ. F  q2   s r r  e2i (b )  1 . 2 iq .b d be (1.1) 4 i Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao tổng quát, với ý nghĩa, nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha  (b) . Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm. Ở năng lượng siêu cao thì pha  (b) được xác định bởi biểu thức: qeiq.b FBorn  q 2  . 1  b  2 s  2 d (1.2) Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc vào s của biên độ tán xạ Born. Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng năng lượng lớn là: Feik  q 2   s 4 i  d 2beiq.b e2i (b )  1 . (1.3) 7
Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal,  C và  N , tương ứng với 2 quá trình tán xạ: tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là: F N C  q 2   s  d 2beiq.b e2i ( (b ) (b ))  1 . C N   (1.4) 4 i Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng: F C  q2   s iq.b  2i C ( b )  1 . 4 i  2 d be e (1.5)   Còn nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các hadron trong hạt nhân: F N  q2   s  d 2beiq.b e2i (b )  1 . N   (1.6) 4 i Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4) dưới dạng F N C  q 2   F C  q 2   F N  q 2   s iq.b  2i C ( b )  e2i (b )  1 4 i   N 2 d be e 1     e   e2i b   1 uur r r uur r  F q   F q   s i q  q' .b iq' b  2i  b  4 i  C N C 2 N d 2 2 be e  1 (1.7)      F C (q 2 )  F N (q 2 )  s i d 2 q ' F C (q ' 2 ) F N q  q  . ' 2 Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán xạ các nuclon trong hạt nhân khi có sự giao thoa cả 2 loại, tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân. 1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal. Để có thể áp dụng biểu thức (1.7) này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb. Từ biểu thức (1.2), chúng ta đưa vào khối một photon khối lượng nhỏ  để khử phân kỳ hồng ngoại: 1   s   C b  2 s  2  iq .b d be  2 2  (1.8)  q   1     1    2  d 2beiq.b  2 2   q     K 0 (b )   ln  b     O(b )  .  2   8
các số hạng dạng O(b ) có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến tới không. Như vậy:    2 i  ln  b       1   F q  C   s 4i  2 d 2 b e iqb  e  2    1   2 i rr   i qb   e   s  bq  2 i 4 i   d be  2   1 (1.9)  2q   s    e 2i    dbbJ 0  qb      2 i bq  1 2i 0  2q   . Sử dụng công thức tích phân sau [16]:  1       2  0   dx x J ( x )  2 . ( 1.10)  1   0    2  Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất của hằng số tương tác :  2i 2i    e  1   e  0 dbb J 0  qb   2q   bq   d  qb bq  J 0  qb  2i 2i 1  2  q  2q  0 2 i 1   e  (1  i )  2  22i 1 . (1.11) q  2q  (1  i ) 2i s   e  (1  i ) s 21 2i   2 ei eik ( q ) . C 2 F (q )  C 2   2iq 2  2q  (1  i ) q  2  với eik C (q 2 )  ln  2  . (1.12) q  Do tính kì dị của F C (q 2 ) tại q 2  0 vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như sau:   i i '2  F ([q  q ] ) N ' 2  F N C (q 2 )  F C (q 2 )  F N (q 2 ) 1      2 ' C '2 2 C d ( q ) F ( q ) d F ( q )  1   s s N 2   F (q )  (1.13) 9
Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho   0 . Tóm lại chúng ta có thể viết:  s i eikc  q2  F N C  q 2   2 e  F N  q2   q   N   r ur'  2     '2  F  q  q    i 2 '  s  i eikc  q' 2  i 2 '   s  i eik  q  c      1   d q   e   d q   e  F q  1   s q   s '2 2 '2 2  q   N         Nhân cả hai vế phương trình với ei  eik ( q2 ) ta có:  s F N C (q 2 )e i eik ( q )   2 q2   N   r ur'  2     i  C q2 2 i  s   q   F   q  q       i 2 ' 2 '   s   F N  q 2  e eik     1 i s  d q  '2 2   '2   q    q   s  d q  '2    q  F q N 2        s F N C (q 2 )ei eik ( q )    C 2 q2 i (1.14)   s   q2   s   F N (q '2 )   2   i eik 2 ' 2 ' Q Q i i s  s   F ( q ) e C ( q2 ) N  d q   '2 2   '2   d q  ' 2   1   q    q   [q  q ]   F (q )   N 2  Trong biểu thức này, chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để nhằm khử các phân kỳ xuất hiện khi lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q2 lớn. Sau khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn Q2   sẽ thu được biểu thức hữu hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14) là:    i eik C q2 i 2 '  s   q 2   2  i  i i q  2 i s  d e  d q  '2 2   '2    2  2 q' q  2  i 1  q    q  q   '2  i  i  i  i  2   Q2   2   Q2  Q2  2   2   2   2   1  i ln . (1.15) q  q  q  q  q2 Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là: s 2   Q2 Q  F N (q '2 )    F N C  q 2  ei eik ( q )     1    C 2  F N q 1  i ln  i dq '2 '2   1  . q 2   q 2 0 | q  q |  F (q )   2 N 2  (1.16) 10
chú ý rằng: 2 1 2  d 2qq cos   q 0 ' '2  | q  q '2 | 2 . (1.17) Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So sánh biểu thức (1.16) và (0.1), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:   F N (q '2 )   2  Q Q  2 1 eik  lim    1  '2 ln dq '2  Q  2  q  2 0 | q  q |  F (q )   2 N 2    F N (q '2 )   2  Q q2 1  eik  lim     1  '2  ln dq '2  (1.18) Q  2   Q 2 0 | q  q |  F (q )   2 N 2  Kết quả này phù hợp với kết quả thu được của West và Yennie bằng phương pháp giản đồ Feynman mà chúng ta sẽ đề cập ở phần tiếp theo. 1.3. Công thức West và Yennie. Dạng tổng quát của hàm pha  ( s, t ) trong phương trình (0.1) đã được West và Yennie xây dựng dựa trên kỹ thuật giản đồ Feynman (trao đổi một photon). Trong trường hợp các hạt tích điện biểu thức của hàm pha này có dạng:  t 0 dt  F N ( s, t ')    WY ( s, t )  m ln   1  F N ( s, t )   , (1.19)  s 2 t ' t    4 p Việc giản ước pha tán xạ này liên quan đến cả độ lớn (module) và pha của biên độ tán xạ đàn hồi hadron xác định bởi công thức: F N (s, t )  i F N (s, t ) ei N ( s ,t ) , (1.20) Khi xây dựng công thức (1.19), West và Yennie không có các số liệu thực d nghiệm về tiết diện tán xạ vi phân ở vùng |t| lớn mà chỉ dựa trên hai giả thuyết dt chính sau: - Sự phụ thuộc của độ lớn biên độ đàn hồi hadron vào t được biểu diễn như là một hàm mũ của các biến động lực học theo t. 11
- Cả phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ đàn hồi hadron đều phụ thuộc vào t theo cùng một dạng hàm mũ của các biến động lực học của t. Vì thế tỉ số của hai phần này là hằng số. Cùng với hai giả thiết này và sử dụng một vài phép gần đúng khác (xem tài liệu tham khảo [15,45-46]), về mặt nguyên tắc chúng ta có thể thu được công thức (1.19) và (1.20) áp dụng cho vùng tương tác và giao thoa Coulomb. Tất nhiên, chúng ta không thể chắc chắn ý nghĩa thực tế của các tham số thu được bằng cách khớp các số liệu thực nghiệm bởi vì rằng có thể chúng phụ thuộc mạnh vào giá trị |t| khi nó lớn. Tuy nhiên công thức (1.19), (1.20) hoàn toàn có thể được sử dụng để khớp các số liệu thực nghiệm xác định tiết diện tán xạ vi phân trong mọi thí nghiệm tán xạ đàn hồi hadron ở vùng |t| nhỏ mà không cần để ý đến sự phụ thuộc của biên độ tán xạ đàn hồi vào t ở vùng |t| lớn. Ba đại lượng  tot , B và  (ở các giá trị năng lượng tương ứng) được thiết lập dựa trên công thức (1.19), (1.20) cùng với các số liệu thực nghiệm ở vùng giá trị nhỏ của |t| (trong vùng tương tác Coulomb, giao thoa và một phần nhỏ kế tiếp của vùng tương tác hadron). Khi |t| lớn (ở vùng tương tác hadron) sự ảnh hưởng của tán xạ Coulomb thường bị bỏ qua hoàn toàn và quá trình tán xạ đàn hồi được mô tả bởi biên độ tán xạ hiện tượng luận hadron F N ( s, t ) , biên độ này thường phụ thuộc một cách tương đối phức tạp vào t hơn so với công thức (1.20). Như vậy, tiết diện tán xạ vi phân ở các vùng khác nhau được biểu diễn bởi hai công thức khác nhau (dựa trên các giả thuyết không tương thích) điều này chứng tỏ một sự thiếu hụt quan trọng của lý thuyết. 12
Chƣơng 2 - TÁN XẠ CÁC NUCLEON NĂNG LƢỢNG CAO TRONG MÔ HÌNH EIKONAL Biên độ tán xạ đầy đủ của các nucleon đã được xác định bởi Locher [34] và West và Yennie [15] (bỏ qua sự ảnh hưởng của spin các hạt vào biên độ tán xạ) được suy ra nhờ giả thiết rằng t phụ thuộc vào biên độ tán xạ đàn hồi hadron và sử dụng một số phép tính gần đúng ở năng lượng cao. Về mặt lý thuyết các biểu thức này có vẻ hợp logic toán học và khi West và Yennie đưa ra các công thức đó thì hoàn toàn không có số liệu nào về cấu trúc nhiễu xạ trong tán xạ đàn hồi của các nucleon. Tuy nhiên hiện nay câu hỏi nảy sinh là các số liệu thực nghiệm đưa ra là không phù hợp với các công thức đó. Trong mục 2.1, một số phương án mở rộng biểu thức hàm pha West và Yennie từ vùng xung lượng truyền nhỏ (khi cả hai loại tương tác Coulomb và tương tá mạnh cùng tham gia và sự giao thoa giữa chúng) cho vùng xung lượng truyền lớn (vùng mà tương tác Coulomb bị bỏ qua ) dựa vào các số liệu thực nghiêm. Ở đây đã chỉ ra những hạn chế và sự không chuẩn xác nếu chúng ta mở rộng công thức West và Yennie [15] một cách đơn giản. Để khắc phục những bất cập này trong mục 2.2, trong mô hình eikonal hiện tượng luận dựa vào hệ thức giữa biên độ tán xạ và pha eikonal qua phép biến đổi Fourier – Bessel. Mục 2.3, dành cho việc tính các giá trị trung bình các tham số va chạm trong mô hình này. 2.1. Một số cách tiếp cận tán xạ nucleon trong các mô hình phi eikonal. Trong một số bài báo [20,10], biên độ tán xạ đầy đủ F C  N (s, t ) thu được nhờ công thức chứa các pha chuẩn West và Yennie (WY) và biên độ tán xạ đàn hồi hadron F N ( s, t ) được xây dựng dựa trên cơ sở của một số ý tưởng hiện tượng luận chưa chuẩn từ hai công thức (1.19) và (1.20). Ban đầu biên độ tán xạ hadron thu được từ (1.20) có vẻ đúng nếu chỉ theo công thức (1.19). Tuy nhiên điều này lại là không thể vì rằng nếu pha  WY ( s, t ) là thực với mọi giá trị của t như đã giả thiết trong [16] thì phần ảo của biểu thức (1.19) phải bằng không: 13
   s 0 dt  F N ( s, t ')     im  WY ( s, t )  0  im m ln   1 N    0 (2.1)   t t ' t  F ( s, t )      4 p 2  Theo công thức (1.20) thì: F N ( s, t ') F N ( s, t ') 1 N  1  N exp i  N ( s, t )   N ( s, t ')   F ( s, t ) F ( s, t ) , F N ( s, t ')  1 N  cos  N ( s, t )   N ( s, t ')   i sin  N ( s, t )   N ( s, t ')   F ( s, t ) 0 dt F N ( s, t ') do đó: im  WY ( s, t )    . N sin  N ( s, t )   N ( s, t ')  . 4 p 2 t ' t F ( s, t ) Như vậy, để biểu thức (2.1) xảy ra thì: t sin  N ( s, t )   N ( s, t ')  0 sin  N ( s, t )   N ( s, t ')   | F ( s, t ') |   dt ' | F N ( s, t ') | 0 N dt ' 4 p 2 t t' t t t' (2.2) Điều kiện này biểu diễn tính kì dị phi tuyến của phương trình tích phân Cauchy loại 1 của các hàm số không liên tục có tham số. Rõ ràng rằng, phương trình này có một nghiệm tầm thường:  N (s, t )   N (s, t ')  0   N (s, t )   N (s, t ') (2.3) Một câu hỏi nảy sinh là liệu phương trình này có nghiệm duy nhất hay không. Và câu trả lời đã có. Theo [47] thì phương trình (2.3) đã được chứng minh bằng giải tích rằng nó có nghiệm duy nhất điều đó có nghĩa rằng pha tán xạ hadron  N (s, t )   N (s, t ') không phụ thuộc vào t và giới hạn bởi điều kiện:  N ( s, t )   (2.4) Điều này có nghĩa rằng hệ số pha tương đối  WY ( s, t ) chỉ có thể là thực khi pha của biên độ tán xạ hadron là không phụ thuộc vào t trong toàn bộ vùng các biến động học các giá trị của |t| [47]. Cũng có nghĩa là đại lượng  ( s, t ) là hằng số trong toàn bộ khoảng xác định của t. Như vậy nếu  ( s, t ) phụ thuộc vào t thì pha  WY (s, t ) phải là đại lượng phức. 14