Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
285
CHUYỂN ĐỘNG TRONG KHÔNG THỜI GIAN ĐỐI NGẪU
Vũ Kim Thái1, Đặng Thị Minh Huệ2
1Trường Đại học Kinh tế Kĩ thuật Công nghiệp, email: vkthai@uneti.edu.vn
2Trường Đại học Thuỷ lợi
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Không thời gian là khái niệm rất quen thuộc
trong vật lý cũng như cuộc sống của chúng ta.
Một điều thú vị là không thời gian thực chất
được dệt nên bởi các liên đới. Trong vật lý
lượng tử, hai hạt được gọi là liên đới nếu hàm
sóng của chúng không thể viết thành tích trực
tiếp của các hàm toán học [5]. Năm 1935
Albert Einstein, Boris Podolsky và Nathan
Rosen phát hiện hiện tượng liên đới lượng tử
giữa hai hạt: dù chúng ở rất xa nhau nhưng các
phép đo trên hạt này lại quyết định trạng thái
của hạt kia. Ví dụ, hai hạt có spin đối song ở
cùng một trạng thái lượng tử là một liên đới
lượng tử. Nếu hạt này có spin hướng lên trên
thì hạt kia có spin hướng xuống. Khi hai hạt bị
tách xa nhau thì việc quan sát hạt này lập tức
cho ta biết ngay trạng thái của hạt kia. Để hiểu
được liên đới lượng tử có thể làm phát sinh
không thời gian như thế nào, trước tiên các
nhà vật lý phải hiểu rõ về cách thức hoạt động
của nó. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu vật lý
vẫn chưa rõ điều gì cơ bản nhất về động học
lượng tử làm xuất hiện không thời gian [3-6].
Một khi động lực của các liên đới rõ ràng hơn,
các nhà khoa học hy vọng sẽ hiểu được không
thời gian xuất hiện như thế nào. Điều đó tương
tự như việc phát hiện ra chuyển động vi mô
của các nguyên tử trong không khí đã tạo ra
các mô hình phức tạp của nhiệt động lực học
và giải thích cũng như dự đoán được thời tiết.
Gần đây, các nhà vật lý nghiên cứu về vũ
trụ đặc biệt quan tâm đến không thời gian đối
ngẫu do đặc tính ưu việt trong việc nghiên cứu
hố đen, vật chất tối đậm đặc trong vũ trụ.
Không thời gian đối ngẫu (AdS) là một trong
những không thời gian có độ cong không đổi
theo thời gian [4-6]. Theo đó, không thời gian
đối ngẫu hai chiều (AdS2) chỉ có một chiều
thời gian. Không gian này được định nghĩa
bởi độ đo ds và độ cong L thỏa mãn điều kiện:
2222
2222
,
.
ds dX dY dZ
L
XZY

 (1)
Không thời gian AdS2 bất biến dưới phép
biến đổi SO(1,2) và L còn được gọi là bán
kính AdS.
Mặc dù tính đối ngẫu được nghiên cứu và
sử dụng phổ biến trong vật lý hạt do có sự nhị
nguyên. Tuy nhiên, phân tích chuyển động của
hạt trong không thời gian đối ngẫu vẫn đang là
bài toán hấp dẫn của vật lý hạt và cũng là minh
chứng mạnh mẽ cho hiệu quả của việc áp dụng
lý thuyết trường Gauge (trường chuẩn) vào lý
thuyết hấp dẫn cổ điển [5, 6].
Cho đến nay, có rất ít công trình nghiên
cứu về không thời gian đối ngẫu nói chung
và ứng dụng của hạt trong không thời gian
đối ngẫu nói riêng [4]. Do dó, để tìm hiểu về
mảng kiến thức không thời gian, chúng tôi
bước đầu nghiên cứu về liên đới thông qua
chuyển động của hạt. Cụ thể, ở bài báo này,
chúng tôi nghiên cứu hạt chuyển động trong
AdS2 thông qua phương trình chuyển động,
từ đó có thể rút ra kết luận về các tính chất
vật lý của hạt trong không gian này.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng tôi khảo sát chuyển động của hạt
trong không gian AdS2, được tạo ra bằng cách
sử dụng phép quay Euclide theo hướng thời
gian tạo ra một không gian có độ cong không
đổi và sử dụng phép biến đổi SO3. Bắt đầu từ
độ đo của không gian ba chiều Euclide có độ
cong không đổi ví dụ như hình cầu, có dạng:
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
286
2222
.ds dx dy dz (2)
với độ cong L được xác định bởi
2222
,
L
xyz (3)
trong tọa độ cầu
sin os ,
y = sin sin ,
cos .
x
Lc
L
zL
(4)
Khi đó độ đo trở thành
222 2 2
(sin )ds L d d

 (5)
Trước tiên, thực hiện phép biến đổi SO(3),
bất kỳ điểm nào trên mặt cầu đều có thể được
ánh xạ tới các điểm khác. Theo nghĩa này,
mặt cầu là đồng nhất. Quả cầu có độ cong
dương, không đổi và có bán kính Ricci được
cho bởi [6]:
2
2
R
. (6)
Tiếp theo, thực hiện phép quay không gian
phẳng Euclide nói trên theo chiều thời gian
để chuyển sang không gian đối ngẫu hai
chiều ở hệ tọa độ tổng quát (, )t
:
cosh os ,
y = Lcosh sin ,
z = Lsinh .
xL tc
t
t
(7)
Dẫn đến độ đo của không gian AdS2 có
biểu thức như sau:
22 2 22
(s)ds L dt co h td


, (8)
ở đây t
là chiều thời gian có tính tuần hoàn,
bao phủ toàn bộ không gian.
Thực tế, để thuận tiện cho việc nghiên
cứu chuyển động của hạt trong không gian
cong thì độ đo được viết dưới dạng:
2
ds g dx dx

, (9)
với gµv là ma trận hệ số độ đo cong, xµ là
ký hiệu tọa độ của không thời gian khảo sát
[1, 5, 6].
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Để khảo sát chuyển động của hạt trong
không thời gian đối ngẫu AdS2, chúng tôi
chọn hệ tọa độ tĩnh (, )tr
và xét trường hợp
hạt bắt đầu chuyển động từ trạng thái ở đáy thế
hấp dẫn 0r
tới trạng thái r
. Lưu ý
rằng, đối với bài toán hạt chuyển động trong
không gian đối ngẫu dưới tác dụng của lực hấp
dẫn, hệ tọa độ thường dùng là hệ (, tan )tr
.
Độ đo của không gian AdS2 trở thành:
22
22
22
(1) .
1
ds dr
rdt
L
r

(10)
Từ biểu thức (6) và (9) cho thấy, bán
kính của không thời gian đối ngẫu là một
hằng số âm.
Sau đây, chúng tôi đưa khái niệm thời gian
thích hợp
vào không thời gian đối ngẫu,
thông qua tác dụng hiệu dụng của hạt, có
biểu thức:
Smd

. (11)
Ở nghiên cứu này, chúng tôi khảo sát hạt
chuyển động trong không thời gian đối ngẫu
thích hợp, thỏa mãn điều kiện:
22
pm
, (12)
p là động lượng của hạt, m là khối lượng
của hạt. Tức là
22
dds
. (13)
Từ điều kiện tác dụng hiệu dụng tối thiểu
0S
, thu được phương trình chuyển động
cho hạt [2]:
22
00
2() 0
dr dr
g
dd

. (14)
Như vậy, giải phương trình (14), sẽ tìm
được các tính chất đặc trưng cho hạt chuyển
động trong không gian đối ngẫu hai chiều.
Thêm nữa, từ điều kiện (12), thu được:
00 2 2
() 1
rr
dr
gE g d


, (15)
trong đó E là năng lượng của hạt, g00 được
xác định từ định nghĩa:
2
00
000 00
0,
rr
g
dr
pgp mgE
g
dt





(16)
Từ đó suy ra:
2
2
22
11.
11
Edr
rrdt





 (17)
Hay
2
22
(1).
dr Er
dt




(18)
Biểu thức (18) cho thấy, khi lấy E >1 sao
cho vế phải của biểu thức (18) dương tại
0r
. Tuy nhiên vế phải trở nên âm khi
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
287
r
- là vị trí tương ứng với đường biên
của không gian mà hạt chuyển động trong đó.
Như vậy, hạt chuyển động trong không thời
gian đối ngẫu nhưng không thể tiếp cận đến
đường biên của không gian này mà phải bật
trở lại. Hạt bị bật trở lại tại vị trí:
21
c
rr E
 . (19)
Khi đó thời gian thích hợp của hạt chuyển
động được xác định bởi biểu thức:
/2
22
00
/2
1
c
rdr d
Er




, (20)
với:
21sinrE

, 0/2
 .
Kết quả ở biểu thức (20) hoàn toàn phù hợp
với các nghiên cứu khác về thời gian thích hợp
của hạt chuyển động trong không gian cong
cho dù ở đây chúng tôi khảo sát hạt chuyển
động trong không thời gan đối ngẫu hai chiều
[5]. Điều đó chứng tỏ tính tin cậy của các kết
quả nghiên cứu thu được ở bài báo này. Do
không thời gian chứa hố đen trong vũ trụ cũng
là một dạng không thời gian đối ngẫu nên kết
quả này góp phần khẳng định quan niệm rằng
vật chất bên trong hố đen hoặc đã bị hút vào
hố đen thì chỉ có thể ở bên trong đó mà không
thể thoát ra khỏi đường chân trời của nó. Hơn
nữa, giả sử tồn tại các hạt đang chuyển động
trong một không gian đối ngẫu nào đó bên
ngoài hố đen thì dù không gian đó rất gần hố
đen, hạt cũng không thể chạm tới đường biên
của không gian đối ngẫu nó đang tồn tại để bị
hút vào hố đen. Tức là hố đen không nuốt tất
cả mọi thứ gần nó trừ photon ánh sáng [3,5,6].
Đến đây, xuất hiện câu hỏi: liệu rằng thời
gian chuyển động của hạt trong không thời
gian đối ngẫu hai chiều với tọa độ thời gian
được chọn là t
có giống như thời gian chuyển
động như ở biểu thức (20)? Để trả lời câu hỏi
này chúng tôi thực hiện phép tính:

222
011
c
rdr
tE
rEr


. (21)
Vì: 00
dt E
dg
(22)
nên:

/2
22
0
/2
1sin 1
d
tE E


. (23)
So sánh (20) và (23) cho thấy thời gian
chuyển động của hạt trong không thời gian
đối ngẫu dù xét trong tọa độ thời gian nào
đều cho giá trị như nhau.
4. KẾT LUẬN
Nghiên cứu lý thuyết về chuyển động của
hạt trong không thời gian đối ngẫu hai chiều
bằng cách sử dụng phép quay Euclide theo
hướng thời gian và sử dụng phép biến đổi
SO3 trong tọa độ thời gian tổng quát, thu
được các kết quả chính như sau:
1. Tìm được phương trình chuyển động và
vị trí tới hạn của hạt.
2. Kết quả nghiên cứu khẳng định rằng
không gian đối ngẫu hai chiều có bán kính
cong là một hằng số âm.
3. Kết quả nghiên cứu cho thấy hạt chuyển
động trong không gian đối ngẫu không thể
chạm đến đường biên của không gian này,
phải chuyển động quay trở lại tại một vị trí
giới hạn xác định.
4. Tìm được thời gian hạt chuyển động từ
vị trí đáy của thế hấp dẫn đến vị trí giới hạn
biên của không gian đối ngẫu hai chiều.
Kết quả 3 và 4 là kết quả mới của bài báo.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Zee (2013), Einstein Gravity in a Nutshell,
Princeton University Press. Princeton.
[2] G.W. Gibbons, S.W. Hawking (1977),
Action integrals and partition functions in
quantum gravity. Phys. Rev. D15, 2752.
[3] G. Horowitz (ed.) (2012), Black Holes in
Higher Dimensions, Cambridge University
Press, Cambridge.
[4] Hari K and Dawood Kothawala (2024),
Rotating detectors in dS and AdS
spacetimes. Phys. Rev. D 109, 104073.
[5] Koichi Nagasaki (2020), Interface in AdS
black hole spacetime, Prog. Theor. Exp.
Phys. DOI: 10.1093/ptep/ptz164.
[6] S.A. Hartnoll (2009), Lectures on
holographic methods for condensed matter
physics. Class. Quantum Gravity 26,
224002 arXiv:0903.3246 [hep-th].