Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
103
PHƯƠNG PHÁP POPOV - FEDOTOV ÁP DỤNG
CHO HỆ TRẬT TỰ TỪ VỚI SPIN BẤT KỲ
Phạm Thị Thanh Nga
Đại học Thủy lợi
1. giíi thiÖu chung
Các tính chất từ của vật liệu hiện đang là
vấn đề được quan tâm nghiên cứu rất nhiều
cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm [1]. Một mặt,
các vật liệu từ với những tính chất vật lý đa
dạng đang mở ra những triển vọng to lớn
trong công nghệ vi điện tử [1]. Mặt khác, từ
học tuy được phát triển từ lâu, song vẫn là
một lĩnh vực với rất nhiều vấn đề khoa học
còn chưa có câu trả lời, nhất là với sự phát
triển siêu dẫn nhiệt độ cao, siêu dẫn chứa sắt
từ [2]. Mô hình phổ biến để nghiên cứu vật
liệu từ với các mô men từ định xứ là mô hình
Heisenberg:

ij i j ij
ij
H J S S ( J 0)
(1)
Khó khăn cơ bản khi nghiên cứu hệ từ là
các toán tử spin không phải là toán tử chính
tắc bởi chúng thỏa mãn giao hoán tử sau:
i ij
j
S ,S i S
 



(2)
(

= x, y, z)
nghĩa là, chúng không phải toán tử boson
hoặc fermion, vì vậy định lý Wick không áp
dụng được nên không thể sử dụng các kỹ
thuật nhiễu loạn thông thuờng. Để khắc phục
khó khăn này người ta đã thay toán tử spin
bằng các trường phụ boson (Holstein-
Primakov, Dyson-Maleev, Schwinger) hoặc
các fermion (Abrikosov) [3]. Vì không gian
Fock của các trường phụ này đều lớn hơn
không gian Hilbert của toán tử spin nên việc
loại bỏ các trạng thái phi vật lý thường phải
tính một cách gần đúng. Năm 1988, Popov-
Fedotov đã đề xuất một phương pháp mới có
thể loại trừ các trạng thái phi vật lý một cách
chính xác trên mỗi nút bằng cách đưa vào thế
hóa học ảo
phụ thuộc spin [4]. Popov-
Fedotov đã chỉ rằng với S = ½ thì
i
2
,
còn S = 1 thì
i
3
,
B
1
kT
. Sau đó
phương pháp này được mở rộng một cách
hình thức cho spin S > 1 [5-7]. Tuy nhiên,
các tính toán cụ thể chỉ được triển khai với
trường hợp S = ½ [8-15]. Trong thực tế
người ta phát hiện nhiều vật liệu có spin
S = 1 [16, 17] và spin S > 1 [2]. Trong công
trình gần đây, chúng tôi đã triển khai các
tính toán cụ thể cho S = 1 [18]. Các kết quả
đó [18] đã gợi ý cho chúng tôi mở rộng
nghiên cứu cho trường hợp spin bất kỳ làm
cơ sở để nghiên cứu các hệ từ có spin lớn
hơn 1.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dùng phương pháp tích phân phiếm hàm cho
mô hình Heisenberg trong biểu diễn fermion.
Theo tinh thần của phương pháp Popov-
Fedotov, toán tử spin viết qua các toán tử
fermion
*
ii
a , a :

(3)
Trong đó

là ma trận biểu diễn các spin,
thí dụ với spin S = ½,
1
2
 

với
là
các ma trận Pauli. Với spin S bất kỳ thì
ˆ
là
các ma trận chéo (2S+1) x (2S+1). Trường hợp
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
104
S = ½ khá đơn giản bởi các tính chất đặc biệt
của ma trận Pauli mà các ma trận với S > ½
không có, thí dụ

2
k k l m
klm
ˆ
I; .
.
Để loại bỏ các trạng thái phi vật lý, Popov-
Fedotov đưa vào toán tử chiếu
aa
i
i
Ni
i1
ˆ
P .e
¥
, trong đó
i
2
và
1
i¥
cho S = ½,
i
3
và
i
3
¥
cho
S = 1. Veits và các cộng sự đã mở rộng
cho S > 1 [5] với
aa
ii
i
Ni
ii
i1
ˆ
P d P( )e

(4)
trong đó:

2S
i l i l
l0
P
(5)
với:
li 2l 1
2S 1
(6)
l
le
2S 1

(7)
Như vậy, khi S > 1 thì có thể phải đưa vào
nhiều thế hóa học ảo (6) và mỗi giá trị của thế
hóa học ảo lại cho đóng góp vào hàm phân
hoạch. Để nghiên cứu mô hình Heisenberg (1)
với S > 1, chúng tôi tiến hành theo các bước
sau đây, sau khi kế thừa các kết quả nghiên
cứu trước đây của chúng tôi [12, 13]:
i) Biến đổi về hệ trục tọa độ định xứ, trong
đó trục lượng tử spin Oz trùng với hướng từ
hóa cổ điển của mỗi nút mạng.
ii) Biểu diễn hàm phân hoạch dưới dạng
tích phân phiếm hàm của các biến Grassman
ứng với các toán tử sinh hủy fermion
*
ii
a , a

.
iii) Dùng biến đổi Hubbard-Stratonovich
đưa vào các trường phụ boson. Mỗi trường
phụ boson tách ra phần trường trung bình và
phần thăng giáng.
iv) Lấy tích phân dạng Gauss với các
trường fermion và tính đóng góp của thăng
giáng trong gần đúng một vòng.
v) Tổng các biến theo các tần số
Matsubara cải biến có thể tính bằng định lý
thặng dư trong lý thuyết hàm biến phức.
vi) Khi làm việc với các ma trận chéo
(2S+1) x (2S+1) thì không thể tính toán trực
tiếp với các ma trận như trường hợp S = ½ và
S = 1, vì vậy cần sử dụng đại số mô men góc.
Chi tiết các tính toán sẽ được công bố
trong một công trình khác.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Chúng tôi đã thu được năng lượng tự do
dưới dạng tổng của các đóng góp ứng với các
thế hóa học ảo.
Dạng chung của năng lượng tự do là:

MF fl
F F F
(8)
Phần năng lượng tự do ở trường trung
bình có dạng:

2
o
MF Nm
F . ,S
2
(9)
với:
(10a)
(10b)
2
Sio
i k 1
Sio
i k 1/ 2
,S N ln2 e e
ln cosh cosh k m
,S N ln2
ln cosh cosh k m









(Công thức (10a) nếu spin S là nguyên và
(10b) - nếu spin S là bán nguyên).
và mo thỏa mãn các phương trình:
kmin
io io
kS
m k k m

(11)

sh x
xcosh cosh x

(12)
là hằng số, phụ thuộc cấu trúc trật tự từ
trên mỗi mạng cụ thể đang xét.
Đóng góp do thăng giáng được cho
bởi:
fl p BZ
io
p BZ
1
F ln ,S
2
E( p )
sh
12
ln m
sh 2


r
r
£
r
(13)
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
105
Trong đó
,S ; E( p)
r
£
là các hàm biểu
diễn tường minh qua thế hóa học, spin S và
hằng số tương tác trao đổi. Thí dụ:
2
2oio io
2 ,S 2 ,S
E ( p) m 1 X 1 Y
mm

(14)
Trong đó, X, Y biểu diễn qua hằng số tương tác
Jij,





0
k S 1
io io
1
,S S S 1 k k 1
4
. k 1 m k m


- nếu S là nguyên - (15)











1/ 2
k S 1
io io
io
1
,S S S 1 k k 1
4
. k 1 m k m
m
1
S S 1 42


- nếu S là bán nguyên - (16)
4. KẾT LUẬN
Công thức (9) và (13) là kết quả chính của
báo cáo này. Từ biểu thức của năng lượng tự
do ta có thể tính được các đại lượng đặc
trưng của hệ từ: độ từ hóa, năng lượng trạng
thái cơ bản, nội năng, nhiệt dung riêng… Để
thu được (13), cần lưu ý hai điểm, một là
phải chuyển sang hệ tọa độ định xứ để giảm
số thành phần của véc tơ từ hóa ở gần đúng
trường trung bình chỉ còn là
z
io io
mm
, hai là
phải áp dụng đại số mô men góc để tránh làm
việc trực tiếp với các ma trận (2S+1) x
(2S+1). Từ công thức (9) và (13), trong giới
hạn S = ½ thu lại được kết quả trước đây cho
mạng hình vuông [6, 7, 10] và mạng tam giác
[9]. Trong trường hợp S = 1 ta thu lại kết quả
[18]. Ý nghĩa của các kết quả thu được là ở
chỗ: một là, đã chứng tỏ sự mở rộng cho S >
½ không chỉ có ý nghĩa hàn lâm mà có thể
thực hiện một cách thực tiễn; hai là, với kết
quả trên, chúng ta có thể áp dụng để nghiên
cứu các hệ vật liệu từ mới được phát hiện với
S = 1; S = 3/2, 5/2. Vấn đề này sẽ được dành
cho các nghiên cứu tiếp theo.
5. LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Thủy
lợi đã tạo điều kiện tham gia các hoạt động
khoa học, cụ thể là hỗ trợ tác giả tham gia và
báo cáo tại Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn
quốc lần thứ 40 (HN VLLT 40th) tại Đà lạt
tháng 7-2015 ([18]). Xin cảm ơn sự hỗ trợ
của Quỹ NC Khoa học cơ bản Quốc gia
Nafosted với HĐ số 103.01-2014.23. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn đến GS. Nguyễn Toàn
Thắng và PGS. Hoàng Anh Tuấn đã có những
buổi trao đổi rất bổ ích về chuyên môn.
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Starykh (2015). Rep. Prog. Phys. 78,
052502.
[2] G. R. Steward (2011), Rev. Mod. Phys. 83,
1589.
[3] A. Aurbach (1994): Interacting electrons
and quantum magnetism, Springer Verlag.
[4. V. N. Popov and S. A. Fedotov (1988),
Sov. Phys. JETP, 67, 535.
[5] O. Veits, R. Oppermann, M. Binderborger
and J. Stein (1994), J. Phys. I, France, 4, 493.
[6] M. N. Kiselev, H. Feldmann and R.
Oppermann (2001), Eur. Phys. J. B22, 55.
[7] M. N. Kiselev (2006), Int. J. Mod. Phys.
B20, 381.
[8] S. Tejima and A. Oguchi (1995), J. Phys.
Soc. Jpn 64, 4923.
[9] S. Azakov, M. Dilaver and Oztas (2000),
Int. J.Mod. Phys. B14, 13.
[10] R. Dillenschneider and J. Richert (2006),
Phys. Rev. B73, 024409.
[11] J. Brinckmann and P. Wolfle (2008),
arXiv.cond-mat.08033312.
[12] Pham Thi Thanh Nga and Nguyen
ToanThang (2012), Comm. in Phys. 22, 33,
Comm. in Phys. 22 383 (2012) Erratum.
[13] Pham Thi Thanh Nga and Nguyen ToanThang
(2014), Comm. in Phys. 22 193.
[14] N. Prokofev and B. Svistunov (2011),
Phys. Rev. B84, 073102.
[15] S. Kulagin, N. Prokofev, O. Sstarykh, B.
Svistunov and C. N. Varney (2013), Phys.
Rev. Lett. 110 070601.
[16] S. Nakatsuji et al (2005), Science 309, 1697.
[17] M. Karolak, M. Edelmann and G.
Sangiovanni (2015), Phys. Rev. B91,
075108.
[18] Pham Thi Thanh Nga and Nguyen Toan
Thang, “The ordered phase in the Spin-1
antiferromagnetic Heisenberg model with
strict single occupancy”, Báo cáo tại HN
VLLT 40th tại Đà lạt, 27-30 July 2015./.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5
106
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2015. ISBN : 978-604-82-1710-5