Trật tự từ trong mạng tam giác phản sắt từ Heisenberg với Spin S = 1

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2

TRẬT TỰ TỪ TRONG MẠNG TAM GIÁC PHẢN SẮT TỪ HEISENBERG VỚI SPIN S = 1

Phạm Thị Thanh Nga Trường Đại học Thủy lợi

1. GIỚI THIỆU CHUNG

Một vấn đề được quan tâm nghiên cứu rất nhiều cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm hiện nay là các tính chất từ của hệ mô men từ Heisenberg phản sắt từ trên mạng tam giác [9]. Một mặt, mạng tam giác phản sắt từ là mạng Bravais duy nhất có tính chất vấp từ tương tác – một thách thức thú vị cho các nhà vật lý lý thuyết. Mặt khác, các nhà vật lý thực nghiệm đã phát hiệu nhiều họ vật liệu từ có cấu trúc tam giác với nhiều tính chất chưa được giải thích thấu đáo [2]. Mô hình Heisenberg phản sắt từ biểu diễn qua các toán tử spin ở nút i của mạng tinh thể có dạng:

trên một nút) một cách chính xác trên mỗi nút bằng cách đưa vào thế hóa học ảo  phụ thuộc spin [6] cho hai trường hợp S = ½ và S = 1. Tuy nhiên, các tính toán cụ thể chỉ được triển khai với trường hợp S = ½ [3, 4, 7] cho mạng hình vuông và [8] cho mạng tam giác. Trong thực tế người ta phát hiện nhiều vật liệu mạng tam giác có spin S = 1 [5, 11]. Trong công trình gần đây, chúng tôi đã triển khai các tính toán ban đầu cho S = 1[10] nhưng mới dừng lại ở biểu thức của năng lượng tự do trong gần đúng một vòng và biểu thức cho độ từ hoá phân mạng ở gần đúng trường trung bình. Trong báo cáo này chúng tôi phát triển các kết quả của [10] và áp dụng cho mạng tam giác.

ij

 ij

2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Các toán tử spin không phải là toán tử chính tắc bởi chúng thỏa mãn giao hoán tử sau thay vì là các hệ thức giao hoán cho boson hay phản giao hoán cho fermion:

Chúng tôi sẽ nghiên cứu hệ spin S = 1 trên mạng tam giác (Hình 1) với Hamiltonian (1) trong gần đúng tương tác giữa các nút lân cận gần nhất bằng J.

 S (

, 

, =x,y,z) (2)

  ij

 S ,S i j

 

   i 

Hình 1. Trạng thái cơ bản cổ điển là cấu trúc spin 120o

vì vậy không áp dụng được các kỹ thuật lý thuyết hệ nhiều hạt thông thường. Để khắc phục khó khăn này người ta đã thay toán tử spin bằng các toán tử chính tắc boson hoặc các fermion [1]. Tuy nhiên, không gian Fock của các toán tử đều lớn hơn không gian Hilbert của toán tử spin nên việc loại bỏ các trạng thái phi vật lý thường phải tính một cách gần đúng bằng cách đưa vào điều kiện ràng buộc chỉ có một spin trên một nút. Năm 1988, Popov-Fedotov đã đề xuất một phương pháp mới có thể loại trừ các trạng thái phi vật lý (không có spin nào hoặc có hơn một spin

Sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov khi biểu diễn các toán tử  a ,a với spin qua các toán tử fermion  i i  = 1, 2, 3:

169

H   0 ) (1)   i J S .S (J ij j

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2



(3)

 a i   

1  





(9)

   X p K

A o

zz 2

 2 zz W ( p )K 2  X ( p ) 3J



K

 



(10)

zz 2

2 4 3m  o

2 4 3m  o

1 3

  

trong đó  là ma trận 3x3 biểu diễn các spin S = 1 [4]. Để loại bỏ các trạng thái phi vật lý, Popov-Fedotov đưa vào toán tử chiếu:

cos





2 cos

J cos p

 X ( p )

p y

x



p x 2

3 2

 a ai  i

  

   i



ˆP

N .e

(4)

      2 X ( p ) ( 11 )

 



3

p

3

p

x

x

N   i 1    

i

p

 

i4J sin

cos

p sin y

y

 4

 4

p x 2

  S i a i   

trong đó: N i / 3 cho / 3 và S = 1. Chúng tôi tiến hành tính toán theo các bước sau đây, sau khi kế thừa các kết quả nghiên cứu trước đây của chúng tôi [10, 11]:

1/ 2

(12)

     o

     Y( p )    W ( p )   và năng lượng magnon: ( p ) 3Jm ( p ),  X ( p ) 3J

i) Biến đổi về hệ trục tọa độ định xứ với trục lượng tử spin Oz trùng với hướng từ hóa cổ điển của mỗi nút mạng.

 ( p )     1 1  Y( p ) 3J         

(13)

      với mo thỏa mãn các phương trình:

   



(14)

   x

ii) Biểu diễn tổng thống kê dưới dạng tích phân phiếm hàm trong các trạng thái kết hợp của các biến Grassman ứng với các toán tử sinh hủy fermion  a ,a . i  i

zz

 m

(15)

 zz m

(16)

iii) Dùng biến đổi Hubbard-Stratonovich đưa vào các trường phụ boson. Mỗi trường phụ boson tách ra phần trường trung bình và phần thăng giáng.

m o

 3 Jm o 2 sinh x 1 2 cosh x  ii) Độ từ hoá tự phát trên mỗi nút:  m B A o

 m m  0 1    2 p





m

  

coth



 3J m ( p )   o

iv) Lấy tích phân dạng Gauss với các trường fermion và tính đóng góp của thăng giáng trong gần đúng một vòng.

1 2

  ( p ) 2

  p

v)yTổng các biến

theo các

tần số Matsubara cải biến có thể tính bằng định lý thặng dư trong lý thuyết hàm biến phức.



coth

(17)

1 2

  ( p ) 2

 X( p ) Y( p ) 6J  ( p )



  p

 1    

    

Các tính toán không quá phức tạp, tuy nhiên khá cồng kềnh, vì vậy chi tiết sẽ được công bố trong một công trình khác.



coth







1 3J m  o

  p

3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU







B

 X( p)

với:

(18)

3J m  o 2 2 

3.1. Các kết quả giải tích

2 zz W K 2  m 3J X( p) 

 

1 2     

o



K

(5)

i) Năng lượng tự do của hệ: F  

 

(19)

m  0

1 3J K



F F  

zz 2

F  zz MF trong đó:

(6)

MF

2 3Jm o

o

 zz  W ( p) dK 2   X( p) 3J d   zz 2  iii) Một số hệ quả từ kết quả giải tích: + Nhiệt độ chuyển pha ở gần đúng trường

trung bình:

F   ln( 2 cosh 3 Jm 1 )  N 

- Ràng buộc gần đúng (  0 ):

(7)

zz

 p



i

- Ràng buộc chính xác (   

/ 3 ):

(8)



  2

 p

170

 F  ln A o N 2 1 2  3J / 2 CoT  p  F  ln sh  ln sh 1   m o 2 2J CT      

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2

Co

độ từ hoá tự phát ở T = 0K trùng với kết quả khi ràng buộc lấy gần đúng.

Tức là: T / T C S = ½ với

Co

iii) Khảo sát số cho thấy ở T  0K, các kết quả khi tính chính xác điều kiện ràng buộc khác biệt đáng kể so với khi ràng buộc tính gần đúng.



3.2. Kết quả tính số

iv) Các tính toán trong báo cáo có thể mở rộng để khảo sát các vật liệu từ có cấu trúc mạng khác. Đây là các vấn đề dành cho các nghiên cứu khác [12].

LỜI CẢM ƠN

4 / 3 và nhỏ hơn trường hợp [3] T / T 2  C + Ở T = 0K: Năng lượng trạng thái cơ bản và độ từ hoá tự phát trên mỗi phân mạng trùng với kết quả khi điều kiện ràng buộc lấy gần đúng.

  





i) Đồ thị sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa (Hình 2) cho mạng tam giác với spin S = 1 khi điều kiện ràng buộc lấy chính xác (    / 3 - đường liền nét) và so sánh với i độ từ hóa khi điều kiện ràng buộc lấy trung Tanh 3 Jm / 2 - đường bình (  o đứt nét).

Xin cảm ơn sự hỗ trợ của Quỹ Nghiên cứu Khoa học cơ bản Quốc gia Nafosted với HĐ số 103.01-2014.23. Tác giả cũng xin cảm ơn GS. Nguyễn Toàn Thắng và PGS. Hoàng Anh Tuấn đã có những buổi trao đổi rất bổ ích.

5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Aurbach, A. (1994), Interacting electrons and quantum magnetism, Springer Verlag. [2] Collins, M. F. and Petrenko, O. A.

(1997), Can. J. Phys. 605.

[3] Dillenschneider, R. and Richert, J.

(2006), Phys. Rev. B73, 024409.

[4] Kiselev, N. (2006), Int. J. Mod. Phys.

Hình 2

B20, 381.

[5] Karolak, M., Edelmann, M.

and Sangiovanni, G. (2015), Phys. Rev. B91, 075108.

[6] Popov, V. N. and Fedotov, S. A. (1988),

Sov. Phys. JETP, 67, 535.

ii) Đồ thị sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa tự phát trên mỗi nút (Hình 3) cho mạng tam giác với spin S = 1 khi điều kiện ràng buộc lấy chính xác    i

/ 3 .

[7] P.T.T.Nga

and N.T.Thang

(2014),

Comm. in Phys. 22 193.

[8] P.T.T.Nga

and N.T.Thang

(2012), Comm. in Phys. 22, 33, Comm. in Phys. 22 383 (2012) Erratum.

[9] Starykh, A. (2015), Rep. Prog. Phys., 78,

052502.

Hình 3

4. KẾT LUẬN

[10] P.T.T.Nga and N.T.Thang , Báo cáo tại HN VLLT 40th tại Đà lạt, 27 - 30 July 2015. [11] P.T.T.Nga, P.T.T.Trang and N.T.Thang, triangular spatially anisotropic “The lattice antiferromagnet:Popov-Fedotov method”, Báo cáo tại HN VLLT 41th, tại Nha Trang, 1- 4 August 2016.

properties

i) Đã thu được biểu thức giải tích tường minh cho năng lượng tự do và độ từ hoá tự phát trên mỗi phân mạng.

in an

[12] P.T.T.Nga, T.T.Thuy and N.T.Thang “Magnetic of antiferromagnetic Heisenberg spin-1 interpolating square– systems triangular lattice”, Báo cáo tại Hội thảo Quốc tế về Các vấn đề hàng đầu về Khoa học Vật liệu (3rd-FMS 2016, Hà Nội, 28- 30/9/2016)./.

ii) Từ các kết quả giải tích suy ra nhiệt độ chuyển pha thuận từ - phản sắt từ ở gần đúng trường trung bình sẽ lớn hơn so với khi ràng buộc tính gần đúng, nhưng nhỏ hơn so với khi S = 1/2. Năng lượng trạng thái cơ bản và

171

0 : m o