BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----o0o-----
Nguyễn Phong Phú
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----o0o-----
Nguyễn Phong Phú
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
2
LỜI CẢM ƠN
Xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hóa đã tận tâm hướng dẫn,
chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học tự nhiên và
phòng sau Đại học đã truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báo cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Xin trân thành cảm ơn các bạn lớp cao học Giải tích khóa 21 đã động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên luận văn có thể có nhiều thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn.
3
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. 2 MỤC LỤC ................................................................................................................... 3 LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................. 5 1.1. Không gian mêtric ......................................................................................... 5 1.2. Không gian định chuẩn với chuẩn p .............................................................. 5 1.3. Ánh xạ đa trị .................................................................................................. 6 1.4. Ánh xạ co đa trị ............................................................................................. 6 1.5. Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric ................................................ 6 1.6. Không gian đối ngẫu...................................................................................... 7 1.7. Tập lồi, tập hình sao ...................................................................................... 7 1.8. Tập có tính chất N ......................................................................................... 8 1.9. Ánh xạ có tính chất C .................................................................................... 8 1.10. Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán ........................................................... 10 1.11. Một số định nghĩa ........................................................................................ 13
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN .................................................................. 14 2.1. Định lí 2.1 ...................................................................................................... 14 2.2. Định lí 2.2 ....................................................................................................... 14 2.3. Định lí 2.3 ....................................................................................................... 18 2.4. Định lí 2.4 ....................................................................................................... 22 2.5. Định lí 2.5 ....................................................................................................... 22 2.6. Định lí 2.6 ....................................................................................................... 23 CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ .......... 25 3.1. Định lí 3.1 ....................................................................................................... 25 3.2. Định lí 3.2 ....................................................................................................... 31 3.3. Định nghĩa ...................................................................................................... 40 3.4. Định lí 3.3 ....................................................................................................... 41 PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................... 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 44
4
LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1963 Meinadus đã kết hợp điểm bất động và phép xấp xỉ tối ưu trong
không gian hàm đã phát hiện một số tính chất của hàm không thay đổi trong một vài
giả thiết. Sau đó nhiều tác giả đã nghiên cứu về điều này với những giả thiết thay
X→ là ánh xạ R-giao hoán yếu (R -
:T I X
,
X
, . p
là không gian định chuẩn,
)
đổi như Brosowski, Subrahmanyam, Singh, Hick, Humphries…Với giả sử ( giao hoán dưới yếu). Điều kiện nào để T và I có chung điểm bất động.
Năm 1969 Nadler là người đã đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị (ánh xạ nhận giá
trị là các tập hợp con của một tập hợp nào đó) và chứng minh mỗi ánh xạ co đa trị
)
→
, tập K con
F G K
:
,
X , K đóng, khác rỗng; cho cặp ánh xạ đa trị
∈ ∩ .
. Điều kiện nào trên một tập con đóng bị chặn của không gian mêtric Haudorff đều có điểm bất động. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị (ánh xạ không là tự xạ) trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric được Assad và Kirk đưa ra. Tiếp tục nghiên cứu về ánh xạ đa trị trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric ( pX d , ( ) CB X
để có điểm z trong K mà z Fz Gz
X
Các vấn đề trong luận văn này trình bày được trình bày theo hai nội dung nói trên dựa trên các kiến thức, kết quả đã học và tìm hiểu trong quá trình làm luận văn. Nội dung chính của luận văn gồm ba chương:
, . p
)
, ánh xạ đa trị, ánh xạ co đa trị, không gian đầy đủ và lồi theo
X
Chương I: Một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian định chuẩn ( metric, cặp ánh xạ Lipschits, R giao hoán yếu (dưới yếu), tập có tính chất (N), tập lồi, tập hình sao, ánh xạ có tính chất (C), định nghĩa ánh xạ (demiclosed, cô đặc, hemicompact, demicompact, liên tục hoàn toàn)….
, . p
)
. Chương II: Định lí điểm bất động của cặp ánh xạ không giãn trên không gian định chuẩn (
Chương III: Định lý điểm bất động của cặp ánh xạ đa trị trên không gian
mêtric đầy đủ và lồi theo metric (định nghĩa trong chương I).
5
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ
,X ρ , trong đó X là một tập hợp,
Không gian mêtric là một cặp (
)
: X X
thỏa mãn các điều kiện
ρ × → là một hàm số xác định trên X X×
sau:
≥
i
)
x y ,
0
y
x y ,
x
0
với
,x y X∈
=
ii
)
x y ,
+
≥
iii
)
x y ,
y z ,
x z ,
( ρ ( ρ ( ρ ( ρ
) ) ) )
= ⇔ = ( ) ρ y x , ( ) ρ
( ρ
)
1.1. Không gian mêtric
1.2. Không gian định chuẩn với chuẩn p
< ≤p
1
Cho X là một không gian tuyến tính, một p – chuẩn trên X là một hàm thực trên
≥
= ⇔ =
x
0,
x
0
x
0
( ) i
p
p
p
α
=
ii
α x
x
p
p
+
≤
+
iii
x
y
x
y
( (
) )
p
p
p
x y X α∈ ,
,
X với 0 thỏa mãn điều kiện
X
,
là đại lượng vô hướng
. p
)
gọi là không gian định chuẩn với chuẩn p Trong đó Cặp (
pd
=
−
d
x
y
,
x y X ,
Nó là một không gian mêtric tuyến tính với metric bất biến đối với phép dời
∈
p
p
=
−
≥
∀
d
x
y
x y ,
0
,
∈ x y X ,
p
p
= ⇔ −
d
x
y
x
x
y
x y ,
0
0
p
p
=
−
=
=
−
d
x
y
d
x
y
x y ,
y x ,
= ⇔ − = ⇔ = y (
0 )
p
p
p
p
+
=
−
+
−
≥
− + −
=
−
=
d
d
x
y
y
z
x
y
y
z
x
z
d
x y ,
y z ,
x z ,
( ( ( (
(
)
) ) ) )
(
)
p
p
p
p
p
p
p
1p = ta được không gian định chuẩn thông thường
xác định bởi
Nếu
< ≤p
1
6
l L , 0 ,p p
,X d là không gian mêtric đầy đủ
Không gian là không gian định chuẩn với chuẩn p
)
(
)
CB X là tập hợp các tập con khác rỗng đóng, bị chặn của X
∈
N
C
x X d x c /
,
ε ,
C CB X
Cho (
< ∀ ∈ nếu c C
0ε > và
( ε ,
)
(
)
(
)
{ = ∈
}
=
⊂
∈ ,A B CB X
,
inf
/
⊂ A N
B B N
,
A
Tập
( H A B
)
( ε ,
)
( ε ,
(
)
{ ε
} )
H là mêtric Hausdorff cảm sinh bởi mêtric d
=
inf
:
nếu
∈ với x X∈ và A X⊆
( D x A ,
)
)
{ ( d x y ,
} y A
Đặt
: →F X
1.3. Ánh xạ đa trị
,X Y là hai tập bất kì. Cho
CB Y là ánh xạ từ X vào tập gồm các
(
)
Cho
tập con của Y .
Ta gọi F là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
:F X
Y d ,
1.4. Ánh xạ co đa trị
) ( ,
( CB Y→
)
)
X d , 1
2
∈
α≤
x z X α∈ ,
,
H Fx Fz
,
,
. Ánh xạ được gọi là Cho hai không gian mêtric (
(
)
) 0,1
)
[
( d x z 1
, với ánh xạ co đa trị nếu và chỉ nếu
,X d được gọi là lồi theo mêtric nếu với mỗi
1.5. Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric
)
+
=
≠
∈
≠
≠
,
,∈ x y X x ,
z X z
,
x z ,
y thì tồn tại
y thỏa
( d x z
)
( d z y ,
)
( d x y ,
)
K
=
+
,
Không gian mêtric đầy đủ(
( d z y ,
( d x z
)
)
)
Nếu K là tập con đóng khác rỗng của X, với mỗi ∈x K và y K∉ thì tồn tại ∈ ∂z ( (biên của K ) thỏa d x y ,
7
1.6. Không gian đối ngẫu
Cho X là một không gian định chuẩn.
Không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X,
x
θ≠ ,
x X
*X tách mỗi điểm của X theo nghĩa với mỗi
∈ thì tồn tại
*
∈
0
f
X
f X :
K
( ) f x ≠
(
) → thỏa
Kí hiệu X* là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Trong trường hợp không gian tôpô yếu trên X thì xác định tốt hơn và gọi là
*X không cần tách điểm
Hausdorff
= X L
p
* X =
Lưu ý, nếu X không là không gian lồi địa phương thì của X
< < thì 1
{ } 0
[
]0,1 , 0
p
Ví dụ: Nếu
, 0
Tuy nhiên có một vài không gian X không lồi địa phương mà không gian
p< < 1
pl
*X tách điểm của X như không gian định chuẩn
đối ngẫu
1.7. Tập lồi, tập hình sao
) ,X d
−
Cho M là tập con khác rỗng của không gian mêtric (
kx
k ∈
∈ với mọi x M∈ và
( + − 1
) k q M
[
]0;1
kx
k ∈
(q - hình sao) với q M∈ nếu Tập M được gọi là q starshaped
∈ với mỗi
,x y M∈ và
( + − 1
) k y M
[
]0;1
:f M M→ gọi là affine nếu M lồi và
=
kfx
k ∈
∈ với mỗi
,x y M∈ và
( + − 1
) k fy M
( + − 1
) k y
[
]0;1
)
Tập M được gọi là lồi nếu
Ánh xạ ( f kx
Một mở rộng khác của khái niệm hình sao được giới thiệu bởi Naimpally et all
như sau
8
1.8. Tập có tính chất N
−
+
→ < 1 , 0
1
k
k
Tập M có tính chất (N) nếu tồn tại tự xạ T trên M tồn tại q M∈ và một dãy số
∈ với mỗi x M∈ và
< và ( 1
)
k q k Tx M n n
n
n
1n >
thực cố định
−
+
k
I
1.9. Ánh xạ có tính chất C
1n >
( = − 1
( 1
)
)
)
+ k q k Tx n
Iq k ITx n
n
n
với mỗi x M∈ và Một ánh xạ I được gọi là có tính chất (C) trên tập M với tính chất (N) nếu (
Mỗi ánh xạ affine trên tập M q-hình sao thỏa điều kiện (C)
=
kIx
Vì tập M q-hình sao nên M có tính chất (N)
:I M M→ thỏa
∈ với mỗi
( + − 1
) k y
( + − 1
) k Iy M
( I kx
)
k ∈
,x y M∈ và
[
]0;1
−
+
I
k
Mỗi ánh xạ affine
1n >
( = − 1
)
( 1
)
(
)
+ k q k Tx n
n
n
Iq k ITx n
2
=
=
∪
−
∈
∪
X
,
M
0,
y
:
y
1
n
Nên với mỗi x M∈ và
)
{ } 1, 0
[ ∈ −
{ (
} ] 1,1
1 +
n
1
, 0 ,
2
=
+
a b ,
a
b
,
a b ,
Ví dụ: Cho với metric
)
(
)
∈ .
cảm sinh bởi chuẩn (
=
−
−
=
−
=
T
0,
y
0,
y
,
T
1
, 0
0,1
,
T
(
)
(
)
( 1, 0
)
(
) 0,1
1 +
1 +
1
n
1
n
Định nghĩa T trên M như sau
q =
= − 1
Hiển nhiên M thì không hình sao nhưng M có tính chất (N)
(
)0, 0
nk
1 +
1
n
và Lấy
=
q
∈ M
(
)0, 0
=
−
∈
k ∈
x
1
;0
M
M không hình sao
[
]0;1
1 +
n
1
Với và
=
−
−
+
− +
1
1
;0
1 1
0;0
kx
(
)
( + − 1
) k q
1 +
1 +
1 +
1
1
1
n
n
n
2
−
=
=
−
−
1
;0
1
;0
1 +
1 +
1 +
1
1
1
n
n
n
. 1
⇒ + −
kx
) ∉ k q M
( 1
=
∈
q
M
= − 1
9
(
)0, 0
nk
1 +
1
n
<
<
0
1
=
k
= − 1
n
→ ∞
1 +
n +
k
k n → kh 1 i n
1
n
n
1
n
⇒
−
+
∈ với mỗi x M∈ và
M có tính chất (N) với và
)
k q k Tx M n n
1n >
Ta chứng minh ( 1
y
y
[
[
] 1,1
] 1,1
[ ∈ −
] 1,1
k y n
=
= − 1
k
] 1,1
n
[ 2 ⇒ − ∈ − k n
1 +
n
1 ∈
n k
M
0,
n + )
1 (
n
∈ − ⇒ − ∈ − ⇒ −
−
=
= ∈
q
q M
Vì
) nk q
1 +
n
1
−
+
và ( 1
1n > thì ( 1
)
∈ k q k Tx M n n
=
−
=
=
I
0,
y
I
1
, 0
0;0
,
I
Nên với mỗi x M∈ và
(
)
(
)
( 1, 0
)
( 1, 0
)
1 +
1
n
0
−
TIx
ITx
Định nghĩa
= 1
=
x
Thì
(
)0; y
−
−
=
−
=
−
−
=
−
=
+
=
IT
TIx
ITx
TI
y
T
I
y
;0
1
0;
0;0
0;
0;0
0;0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 +
1
n x =
Trường hợp 1:
)0;1 (
−
=
−
=
−
=
−
=
=
TIx
ITx
TI
IT
T
I
0, 0
0
+ = 1 1
(
) 0;1
(
) 0;1
( 1;0
)
(
) − 0; 1
(
) 0;1
(
)
(
) 0;1
Trường hợp 2:
−
≤
−
≥
=
∈
TIx
ITx
Ix
,
R
1,
q
0, 0
10
(
)
( ) F I
R k Tx n
Như vậy x M∀ ∈
,I T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M
Vậy
)
,X p thỏa mãn điều kiện Opial nếu mỗi dãy { }nx
<
d
d
,
∀ ≠ x
y
hội Một không gian định chuẩn (
(
)
(
)
p
x x , n
p
x y , n
lim inf →∞ n
lim inf →∞ n
tụ yếu đến x X∈ , bất đẳng thức
1.10. Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán
:I M X→
Cho X là một không gian mêtric tuyến tính và M là một tập con khác rỗng của X
∀
,x y X
Cho ánh xạ
:T M X→ gọi là I-Lipschitz nếu
∈ thì tồn tại
k > thỏa 0
≤
d Tx Ty ,
,
(
)
( kd Ix Iy
)
1k < (
1k = ) thì T gọi là I -co ( I -nonexpansive, I – không giãn).
Ánh xạ
=TIx
ITx với mỗi x M∈
Nếu
Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là giao hoán nếu
≤
∈
>
d ITx TIx
,
,
,
x M R
,
0
(
)
( Rd Tx Ix
)
Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là R-giao hoán yếu nếu và chỉ nếu
1R = thì gọi là ánh xạ giao hoán yếu
Nếu
( ) q F I∈
Cho M là một q-hình sao với và cả T và I bất biến
( )F I tập các điểm bất động của ánh xạ I )
0R >
∈
∈
≤
d ITx TIx
x M k
,
.
,
,
(
) k q Ix ,
( + − 1
(
)
] 0,1
[
( R d kTx
mà Sau đó, Shahzad gọi T và I là R-giao hoán yếu trên M nếu tồn tại số thực )
1R = thì gọi là 1-giao hoán dưới yếu (1-subweakly commuting)
Nếu
Lớp ánh xạ R-giao hoán dưới yếu có những tính chất của lớp ánh xạ giao hoán
Mở rộng khái niệm ánh xạ R-giao hoán dưới yếu trên miền không phải hình sao như
sau
=
F
11
,I T là hai tự xạ trên M , có một họ hàm
{ }x f
∈ x M
=
x
,
M→ mà
∀ ∈ x M
( )1
[ ] : 0,1
xf
xf
→
∀
∈
φ
∈ x y M t , ,
Cho là họ hàm
( ) : 0,1
(
) 0,1 ,
(
) 0,1
p
d
,
f
f
d
x y ,
( ) t
( ) t
( ) t
(
)
p
x
y
p
(
)
φ≤
Họ F gọi là co nếu tồn tại một hàm thỏa
0R >
∈
≤
ITx TIx ,
x M
Rd
Ix
d
k
k
f
,
,
Khi đó nói
∈
)
(
)
(
] 0,1 ,
[
,I T là những ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực )
(
Tx
p
p
∈
=
∈
∈
,
k
f
kx
,
k
thỏa (1.1)
x M và
( ) q F I
(
)
( + − 1
) k q
[
] 0,1 ,
x
M là I -bất biến và T -bất biến thì (1.1) có thể qui về khái niệm R-giao hoán
Giả sử M là q-hình sao với
dưới yếu của T và I
( ) q F I∈
Giả sử M là I -bất biến và T -bất biến, M có tính chất (N) với
,I T là ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực
0R > mà
≤
−
+
d
ITx TIx ,
Rd
,
,
M⊂ , M có tính chất (N)
(
)
( 1
)
(
)
p
p
k q k Tx Ix n
n
∈ , { }nk x M
Thì
M = ∞ với mêtric thực thông thường
)
[ 1,
2
=
−
=
−
Tx
4
x
3,
Ix
2
x
1
,
x M
∈
Ví dụ: Cho
Định nghĩa
,I T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M
,I T không giao hoán trên M
∀ ∈
x M
2
2
2
−
= TIx T
2
x
x
3 8
x
7
( 4 2
⇒ ≠ TIx
ITx
2
2
=
−
) − = 1 =
−
) − − = 1 − =
−
+
ITx
I
4
x
3
x
3
1 32
x
48
x
17
( (
)
( 2 4
)
,I T là R-giao hoán dưới yếu trên M
Thì
∈
∀ ∈
,
=
−
kx
] 0;1 , 4
( ) q F I ( + − k 3 1
) k q
x M k ( + − 1
2
2
+
=
−
=
x
x
x
24
48
24
24
;
[ ∈ ) k q )
(
) 1
2
=
− −
+
x
kx
2
1 4
k 3
( + − 1
) k q Ix ;
( + − 1
) k q
kTx ( d ITx TIx ( d kTx
− )
2
−
+
+ − − −
+
=
x
x
x
kx
2
4
4
2 2 1 4
k 3
( + − 1
) k q
2
−
+ +
−
− +
=
x
x
x
kx
2
4
2 4
4
k 3 3
( + − 1
) k q
2
2
−
≥
−
=
x
k
x
q
x
2
4
− − 3
2
(
) 1
(
) 1
( + − 1
)(
)
12
x M
x
x
x
∀ ∈ = ∞ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ 1
4 0
4
4
4
)
[ 1;
1
q
x
⇒ − − ≥ 3
4
0
2
≥
∈
⇒ ≤ ⇒ − ≥
k
x
q
4
− − 3
0
⇒ = q
q
q
q
2
− ⇔ 1
1
1
0
( ⇒ − 1
)(
)
( ) q F I
= q = − q
1 2
∈
⇒ ≤ ⇒ − ≥
k
k
k
1
1
0
[
] 0;1
≤
d ITx TIx
;
12
R =
12
Vì
(
)
( + − 1
) k q Ix ;
( d kTx
)
=
F
ta có Chọn
{ }x f
∈ x M
=
,
x
M→ mà
∀ ∈ x M
( )1
] [ : 0,1
xf
xf
t
x
x
Cho M là tập con của không gian định chuẩn X và là họ hàm
x→ yếu) trong M
t→ trong [
]0,1 ,
0
x→ ( 0
0
f
f
Họ F gọi là liên tục điểm (yếu) nếu
( ) t
)
( ) t
)
x
0
x
0
( t→ f x 0
( t→ f x 0
thì ( yếu) trong M
+ thì F là họ co liên tục tại
( ) t
( = − 1
) t q tx
xf
Thấy rằng nếu M X⊆ là q-hình sao và
( )t φ = t
điểm và liên tục yếu tại điểm với
Như vậy lớp các tập con của X mà co và liên tục chứa trong lớp các tập hình sao và
chứa lớp các tập lồi.
13
1.11. Một số định nghĩa
:T M X→ là
M⊂ hội tụ yếu
Một ánh xạ
(i) T demiclosed (đóng một phần) tại 0 nếu mỗi dãy { }nx
Tx = 0
}nTx
hội tụ mạnh về 0 thì về x và {
0,
B
T cô đặc nếu T liên tục và mỗi tập con khác rỗng bị chặn B của M với (ii)
( ) α > B
( T B
)
( T B
)
( α<
)
( α
)
inf
r
> B được phủ bởi những tập có đường kính nhỏ hơn
( ) α = B
{
} 0
bị chặn và , trong đó
M⊂ có một dãy con
hoặc bằng r.
→
d
0
khi n
(iii) T hemicompact (nửa compact) nếu mỗi dãy { }nx
→ ∞
(
)
p
x Tx , n n
hội tụ khi
T demi compact (compact một phần) nếu T liên tục và mỗi dãy bị (iv)
M⊂ mà {
}
Tx n
x− n
M⊂ hội tụ yếu về x thì {
hội tụ trong X, có một dãy con hội tụ. chặn { }nx
}nTx
(v) T liên tục hoàn toàn nếu mỗi dãy { }nx
hội tụ về { }Tx
:I M M→ và u X∈ , Al-Thagafi định nghĩa các tập
∈
( ) i
{ = ∈
} ( ) : I x M x P u
( ) I C u M
M
=
∩
ii
(
)
( ) I D u M
( ) P u M
( ) I C u M
=
x M d x u :
,
,
Cho ánh xạ
(
)
( dist u M
{ = ∈
} )
( ) MP u
u X M∈
\
ở đây là tập xấp xỉ tối ưu của
= dist u M inf d y u
,
,
:
∈ y M
,
(
)
(
)
{
}
ở đây
14
CHƯƠNG II:
MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Sử dụng định lí 1 của Pant
T I X :
,
2.1. Định lí 2.1
X→ là những ánh xạ R-giao
<
≠
d Tx Ty ,
d Ix Iy ,
,
Ix
Iy
Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và
( T X
)
( I X⊂
)
(
)
(
)
hoán yếu mà và . Nếu T hoặc I liên
≠ ∅ ( có ít nhất một điểm chung).
( F T
)
( ) F I∩
tục thì
X
2.2. Định lí 2.2
, . p
. Cho T , I là những tự xạ trên tập con M của không gian định chuẩn (
)
=
F
{ }x f
∈ x M
=
∈
I
f
f
∈ x M
,
α ,
mà Giả sử M có họ ánh xạ co và liên tục
) α
(
) 0,1
( ) α
(
)
x
I x
( ) (
. Giả sử T là I-không giãn và M IM= , T
và I là R-giao hoán dưới yếu. Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung
nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
(i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact
(ii) M compact
(iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact
(iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demi compact
*X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn *X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu và
(v)
=
F
(vi)
{ }x f
∈ x M
liên tục yếu thay cho liên tục họ
=
f
,
x M
Chứng minh
∈ .
)
T x n
λ n
λ = n
T x
( ) (
n +
n
1
và định nghĩa Đặt
15
nT là một tự xạ xác định tốt trên M.
=
< ⇒ ∈
⇒ < 0
1
Nhận xét rằng
[
] 0;1
λ n
λ n
λ n
n +
n
1
→
→
T M M
:
T M M :n
=
x
⊂ Tx M
x
)
T x n
( ) ( f λ n T x
=
F
Vì
{ }x f
∈ x M
→
M
xf
∀ ∈
[ ] : 0;1 1
x
,
x M
∈ x y M x ,
,
≠ y
Họ với
=
φ
→
F
Cho
( ) : 0;1
(
) 0;1
{ }x f
∈ x M
p
d
f
f
d
;
x y ;
co nên tồn tại hàm Ta có họ
( ) t
(
)
( ) t
( ) t
p
x
y
p
(
)
φ≤
Thỏa
p
=
≤
<
=
d
f
f
− Tx Ty
2.0
,
,
,
,
)
( d Tx Ty
)
( d Tx Ty
)
(
)
(
)
)
)
d T x T y n
( λ n
( λ n
Tx
Ty
n
p
p
p
p
(
p
) Vì T liên tục và bất đẳng thức (2.0) nên
) ( ( φ λ n nT liên tục trên M.
≠ T x T y
,
x y M ,
Nên
∈ ,
n
n
⇒
≤
;
d
Ix Iy ;
Như vậy
( d Tx Ty
)
(
)
p
p
≤
,
d
Ix Iy ,
T là I-không giãn
(
)
(
)
d T x T y n
n
p
p
=
I
f
Nên
) α
(
) ( ) fα
x
I x
( ) (
⇒
≤
d
ITx TIx ;
Rd
f
,T I là R giao hoán dưới yếu
Nhưng (giả thiết)
(
)
( ) Ixλ ;
(
)
p
p
Tx
n
=
=
=
f
I
f
f
với mỗi x M∈
)
)
)
T Ix n
λ n
IT x n
λ n
λ n
TI x
T x
IT x
( ) (
( ) (
( ) (
(
)
p
d
f
;
f
d TIx ITx
,
Với
)
)
)
(
)
)
p
λ n
λ n
( ( φ λ≤ n
p
TI x
IT x
( ) (
( ) (
(
)
Và vì tính chất của họ F cho ta
Nên
=
=
,
,
,
f
d
I
f
d
f
f
(
)
)
)
)
)
d T Ix IT x n
n
p
p
λ n
λ n
p
λ n
λ n
TI x
T x
TI x
IT x
( ) (
(
(
p
p
p
≤
=
,
,
,
Ix
Rd
f
)
)
(
)
)
)
( ) ( )
)
( ) ( (
( ) ( )
)
16
( ( ( φ λ n
) ) ( ( φ λ n
) ( ( φ λ n
p
Tx
p
( λ n
( Rd T x Ix n
p
1n ≥
)
(
) ≤ ) p
d TIx ITx ( nφ λ R-giao hoán yếu trên M với mỗi
nT và I là
⊂
= M I M
Điều này cho thấy
)
(
)
( nT M
và
Sử dụng kết quả trên và định lí 2.1 ta chứng minh định lí 2.2
pX d ,
)
1n ≥
(
)
) p
( nφ λ R-giao hoán yếu trên M với mỗi
nT và I là
⊂
⇒
⊂
= M I M
)
(
)
)
( I M
)
( T M n
( T M n
≤
≠
,
d
Ix Iy ,
khi
Ix
Iy
(
)
(
)
d T x T y n
p
n
p
nT liên tục
=
=
là không gian mêtric đầy đủ (i) (
nx M∈ mà
x n
T x n n
Ix n
Nên theo định lí 2.1 với mỗi
1n ≥ có một có dãy con {
}nTx
}mTx
=
=
→
=
→ ∞
f
f
z khi m
hội tụ về z khi m → ∞ Vì cl(T(M)) compact, {
)
( )1
x m
T x n m
λ m
z
) (
( T x
m
→
Tz khi m
→ ∞
Tính liên tục của F cho ta
mTx
= ⇒ ∈
Tz
z
Vì T liên tục nên
( ) z F z
=
= z Tz
Iy
,
y M
Do đó
∈
≤
=
d Tx Ty
,
d
,
Iy
d
,
z
Từ TM IM⊂ thì
(
)
(
)
(
)
m
p
p
Ix m
p
x m
≤
= ⇒ =
,
d
z z ,
= ⇒ 0
,
Tz Ty
0
Thêm nữa,
( d Tz Ty
)
(
)
( d Tz Ty
)
p
p
p
=
=
=
Iy Tz Ty
Cho m → ∞ được
=
≤
=
,
,
0
Do đó z
( d Tz Iz
(
( Rd Ty Iy
)
p
p
p
⇒
) = ⇒ =
,
Tz
0
Iz
, ( d Tz Iz
d TIy ITy )
p
=
=
Iz
Từ T và I là R-giao hoán dưới yếu nên )
Khi đó z Tz
∈
∩
17
( z F T
)
( ) F I
Vậy
(ii) Vì M compact nên M đầy đủ, T liên tục
clT M compact
(
)
∈
∩
Suy ra
( z F T
)
( ) F I
=
=
1n ≥ có
Nên theo (i) ta có
nx M∈ mà
x n
T x n n
Ix n
( )F I , nên {
(iii) Theo định lí 2.1, với mỗi
}nTx
}mTx
→ ∞
z khi m
có dãy con { Vì T compact và { }nx bị chặn trong
=
=
→
=
→ ∞
f
f
z khi m
hội tụ về
)
( )1
x m
T x n m
λ m
z
) (
( T x
m
= ⇒ ∈
→ ∞
Tz
z
Tz khi m
Vì F liên tục nên ta có
( ) z F T
mTx
=
∈
= z Tz
Iy
,
do đó có giới hạn Khi đó →
y M (kết quả như (i))
=
=
1n ≥ có
thì Từ TM IM⊂
nx M∈ mà
x n
T x n n
Ix n
. (iv) Như trong (i), với mỗi
}
x n
Ix− n
hội tụ về 0, vì I demi compact (compact một bị chặn và { Do { }nx
}mx
hội tụ đến z khi m → ∞ phần), { }nx có dãy con{
}mTx hội tụ về Tz khi m → ∞
=
=
→
=
→ ∞
f
f
Tz khi m
Vì T liên tục, {
)
( )1
x m
T x n m
λ m
Tz
) (
( T x
m
= ⇒ ∈
Tz
z
Ngoài ra,
( z F T
)
=
∈
= z Tz
Iy
,
Do tính duy nhất của giới hạn, ta có
y M (kết quả như (i))
=
=
1n ≥ có
thì Từ TM IM⊂
nx M∈ mà
x n
T x n n
Ix n
(v) Theo định lí 2.1, với mỗi
}mx
∈
y M khi m
→ ∞
khi m → ∞
hội tụ yếu về Do M compact yếu nên { }nx có dãy con {
}mTx hội tụ về { }Ty
=
=
→
=
→ ∞
f
f
Ty khi m
Vì T liên tục hoàn toàn, {
)
( )1
x m
T x n m
λ m
Ty
) (
( T x
m
2
→
T y khi m
Ngoài ra,
→ ∞
mTx
2
= ⇒ =
T y Ty
T
z
z
Do
) z = ∈Tz F T
(
Nên với
18
( ) z ∈ F I
=
=
1n ≥ có
Như trong (i), ta sẽ có
nx M∈ mà
x n
T x n n
Ix n
(vi) Theo định lí 2.1, với mỗi
}mx
∈
y M khi m
→ ∞
hội tụ yếu về Tập M compact yếu nên { }nx có dãy con {
y=
I liên tục yếu nên Iy
=
=
f
Từ T liên tục yếu nên
λ hội tụ yếu đến
)
x m
mTx hội tụ yếu về Ty khi m → ∞ và họ ánh xạ F liên T x n m
m
) (
( T x
m
=
Ty khi m
→ ∞
( )1T yf
tục yếu nên ta có
Sử dụng tính chất Hausdorff của tôpô yếu ta được y Ty= .
Theo (i) ta có kết quả cần chứng minh
2.3. Định lí 2.3
X
, . p
. Cho T, I là các tự xạ trên M là tập con của không gian định chuẩn (
)
( ) q F I∈
, I thỏa mãn điều kiện (C) , T là I-không Giả sử M có tính chất (N) với
giãn và M = IM. Cho T và I là R-giao hoán dưới yếu trên M. Nếu T liên tục thì
T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
(i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact
(ii) M compact
(iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact
*X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn.
(iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact
*X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu
(v)
*X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu,
(vi)
(vii)
*X tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu và X thỏa
I-T demiclosed tại 0
(viii)
điều kiện Opial
(ix) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ hemicompact
19
(x) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ cô đặc.
Chứng minh
:nT M M→
=
(
) 2.1
( + − 1
( ) T x n
k Tx n
) k q n
Lập
< 1nk<
là dãy số thực hội tụ về 1 và 0 Trong đó x M∈ , { }nk
∈ và T liên tục
( + − 1
)
k Tx n
k q M n
Vì tập M có tính chất (N) nên
nT là tự xạ xác định tốt và liên tục trên M
∈
M
Nên
⊂ nên có một dãy số thực cố định
( ) q F I
−
+
→ < 1 , 0
1
k
k
∈ với mỗi x M∈ và
1n >
< và ( 1
)
k q k Tx M n n
n
n
−
+
I
k
M có tính chất (N) với
( = − 1
)
( 1
)
(
)
+ k q k Tx n
n
n
Iq k ITx n
Ánh xạ I có tính chất (C) trên tập M nên với
1n >
⇒
≤
d
;
Ix Iy ;
,
∈ x y M x ,
,
≠ y
mỗi x M∈ và
( d Tx Ty
)
(
)
p
p
∈ x y M x ,
,
y
≠ ta có
T là I-nonexpansive
p
≤
<
2.2
,
,
,
k
(
)
(
)
(
)
( d Tx Ty
)
( d Tx Ty
)
d T x T y n
n
p
n
p
p
,x y M∈ và
Với
≠ T x T y n
n
<
,
d
Ix Iy ,
(
)
(
)
d T x T y n
n
p
p
, T là I không giãn và (2.2) cho ta Cho
q= , nên với x M∈
p
=
≤
,
d
k
d TIx ITx
,
(
)
(
)
)
)
d T Ix IT x n
n
p
p
k TIx n
k q k ITx , n
n
n
p
p
p
≤
=
k
Rd
,
k
,
( )
(
) ( + − 1
) kn q Ix
(
) k q n )
( )
( + − 1 (
( + − 1 )
n
p
k Tx n
n
( Rd T x Ix n
p
p
⇒
≤
,
k
,
(
)
(
)
)
d T Ix IT x n
p
n
n
( Rd T x Ix n
p
≥
⊂
n
= M I M
Vì I thỏa điều kiện (C) và Iq
( T M
)
(
)
) p
1, n
nT và I là (
nk
R-giao hoán yếu trên M với Như vậy
=
=
1n ≥ có dãy
20
nx M∈ mà
x n
T x n n
Ix n
(i) Theo định lí 2.1, với
}nTx
}mTx
∈
z M khi m
→ ∞
=
=
k
q
z
hội tụ đến Do cl(T(M)) compact, { có dãy con {
k → thì 1
→ khi m → ∞
( + − 1
)
x m
T x m m
k Tx m m
m
Tz→
Khi
mTx
Nên khi m → ∞ do đó z Tz=
=
=
Iy
Nhưng TM IM⊂
=
d Tx Ty
Iy
d
,
z
Vì vậy z Tz
(
)
(
)
)
(
m
p
p
x m
p
Thêm nữa với y M∈ ≤ Ix d , , m
≤
≤
⇒ =
0
,
d
z z ,
= ⇒ 0
,
Tz Ty
( d Tz Ty
)
(
)
( d Tz Ty
)
p
p
p
=
=
Iy
Qua giới hạn khi m → ∞ ta có được
Suy ra z Tz Ty =
≤
≤
= ⇒ =
,
d TIy ITy
,
,
Tz
0
Iz
( d Tz Iz
)
(
)
( Rd Ty Iy
)
p
p
p
∈
∩
Do T, I là R-giao hoán dưới yếu nên
( z F T
)
( ) F I
Từ đây
}mx
{ }nx hội tụ yếu đến y M∈ khi m → ∞
của dãy (ii) - (iv) Giống như định lí 2.2 (v) Như trong định lí 2.2 (v) chúng ta có thể tìm một dãy con{
}mTx
=
=
k
q
Ty
1
hội tụ về Ty khi m → ∞ Vì T là liên tục hoàn toàn, nên dãy {
→ khi m → ∞
( + − 1
)
x m
T x m m
k Tx m m
m
nk → ,
2
T =
2T y Ty=
T y→ khi m → ∞ và
Khi
mTx
hay w w với w Ty= Vì thế
( ) w F I∈
=
=
Như trong (i) ta có được
x n
T x n n
Ix n
nx M∈ thỏa
(vi) Như trong (v), có dãy
}mx
=
=
k
q
hội tụ yếu đến y M∈ khi m → ∞ có một dãy con { Dãy { }nx
( + − 1
)
x m
T x m m
k Tx m m
m
mk → 1
y=
Khi hội tụ yếu đến Ty khi m → ∞
Nên Ty
21
( ) y F I∈
=
=
Như trong (i) ta có được
nx M∈ thỏa
x n
T x n n
Ix n
(vii) Như trong (v), có dãy
}mx
hội tụ yếu đến y M∈ khi m → ∞ có một dãy con { Dãy { }nx
y=
Nên Iy
mTx hội tụ yếu đến Ty khi m → ∞
Vì T liên tục yếu nên
−
=
−
2.3
k
0
q
− → khi m → ∞
Nhưng M bị chặn
) (
( = − 1
)(
)
) I T x m
x m
Tx m
m
x m
−
=
0
I T−
Iy
= và Ty
= y
Vì (
)
) I T y
Vì ( democlosed tại 0 nên (
( ) y F I∈
=
=
Như trong (i) ta có được
nx M∈ thỏa
x n
T x n n
Ix n
(viii) Như trong (v), có dãy
}mx
hội tụ yếu đến y M∈ khi m → ∞ có một dãy con { Dãy { }nx
y=
0
Nên Iy
Tx− → khi m → ∞
Ix m
m
<
lim inf
d
,
Iy
d lim inf
Vì (2.3) nên
(
)
(
)
p
x I m
p
x Ty I , m
+
≤
d lim inf
d lim inf
)
x Tx I , m m
p
p
≤
=
d lim inf
d lim inf
Iy
,
( (
) )
( (
x Ty T , m )
x Ty T , m
p
p
x I m
Nếu Iy Ty≠ thì
∈
∩
Dẫn tới mâu thuẫn. Vì vậy Iy Ty=
( ) y F I
( ) T I
d
,
Nên
(
)
}mx
p
x Tx → khi m → ∞ 0 m
m
bị chặn và vì (2.3) nên (ix) Dãy {
}mx
hội tụ đến y M∈ khi m → ∞ Vì T là hemicompact nên {
}mx
mTx hội tụ đến Ty khi m → ∞ và vì (2.1) nên {
Do hội tụ đến Ty
=
=
Iy
khi m → ∞
Do đó y Ty= . Như trong (i) ta sẽ có y Ty
(x) Mỗi ánh xạ cô đặc trên tập con bị chặn hoàn toàn của không gian metric
là hemicompact do hệ quả của K.K.Tan và X.Z.Yaun.
22
Tương tự đi đến (ix).
=
=
∈
∈
F
k
kx
x M k
,
Ta biết rằng mỗi tập M là q-hình sao có một họ hàm liên tục và co; một họ hàm liên
(
)
( + − 1
) k q
(
) 0;1
{ }x f
xf
∈ x M
∈
∈
=
x M k
,
I
k
f
f
k
q= thì có
tục yếu xác định bởi với . Nếu I
(
) 0;1
)
(
)
(
)
x
I x
( ) (
q= , thì I thỏa điều kiện (C).
với . Nếu thêm mỗi T-bất affine và Iq
biến hình sao thỏa tính chất (N) và nếu I affine và Iq
Do đó ta có kết quả.
2.4. Định lí 2.4
X
,T I là các tự xạ
, . p
)
và Cho M là tập con của không gian định chuẩn(
Iq
q= và M IM=
trên M . Giả sử rằng q M∈ , M là q-hình sao, I là affine, T là I không giãn,
,T I là những ánh xạ giao hoán R-dưới yếu
Giả sử rằng
Nếu T liên tục thì T và I có một điểm bất động nếu thỏa một trong mười
điều kiện của định lí 2.3
2.5. Định lí 2.5
X
, . p
, tập con M của Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn (
)
⊂
∩
,
( ∂ T M
)
( ∈ M u F T
)
( ) F I
=
X thỏa
( ) D D u
I M
Giả sử khác rỗng, D ID= , T là I không tự giãn trên D u∪ và I
u∪
( ) MP u
không giãn trên
=
F
Thì D là T-bất biến
x
{ } ∈ f
x D
=
∈
I
f
f
∈ x D
,
α ,
Hơn nữa nếu D có họ ánh xạ co và liên tục mà
) α
( ) α
[
] 0,1
(
)
x
I x
( ) (
∩
∩
≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
và T và I là R-giao hoán yếu trên D
( ) F I
( F T
)
( ) MP u
Thì
D đầy đủ, cl(T(D)) compact (i)
23
(ii) D compact
(iii) D đầy đủ, F(D) bị chặn và T là ánh xạ compact
*X tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, T liên tục hoàn toàn
(iv) D đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact
*X tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, I và T liên tục yếu và
(v)
F
(vi)
{ }x f=
họ liên tục yếu thay cho liên tục điểm
Chứng minh
Lấy y D∈
( ) I D D=
⊂
M
Thì Iy D∈ do
( ∂ T M
)
Từ định nghĩa của D và y M∈ ∂ và vì , ta có Ty M∈
=
≤
2.4
,
,
d
, Iy u
(
)
( d Ty u
)
( d Ty Tu
)
(
)
p
p
p
∈
∈
Nhưng T là I-không tự mở rộng trên D u∪ , và vì
( ) Iy P u
( ) Ty P u
M
M
Từ Ty M∈ và vì (2.4) cho ta
u∪ , vì thế chúng ta thu được
( ) MP u
=
≤
=
≤
=
,
,
d
, ITy u
d
, ITy Iu
d
, Iy Iu
d
, Iy u
(
)
(
)
( d Ty u
)
( d Ty Tu
)
(
)
(
)
p
p
p
p
p
p
Nhưng I không tự mở rộng trên
( ) ∈ ITy P u
M
∈
Vì vậy
( ) Ty C u
I M
Điều này cho ta và Ty D∈
∩
∩
Nên D là T-bất biến nên tất cả các điều kiện của định lí 2.2 thỏa mãn
≠ ∅ cho mỗi điều kiện (i)-(vi)
( ) F I
( F T
)
( ) MP u
Nên
2.6. Định lí 2.6
X
, . p
, tập con M của Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn (
)
⊂
∩
,
( ∂ T M
)
( ∈ M u F T
)
( ) F I
X thỏa
=
24
( ) D D u
I M
Giả sử khác rỗng, D ID= , T là I-không giãn trên D u∪ và I
u∪
( ) MP u
không giãn trên
q= , I thỏa điều kiện (C) và T và I là
Thì D là T-bất biến
Hơn nữa nếu D có tính chất (N) với Iq
∩
∩
R- giao hoán dưới yếu trên D
≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x) trong
( ) F I
( F T
)
( ) MP u
Thì
định lí 2.4 mà D thay thế M
Chứng minh
Như trong định lí 2.5 D là T-bất biến
∩
∩
Nên tất cả các điều kiện của định lí 2.3 thỏa mãn
≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x)
( ) F I
( F T
)
( ) MP u
Vậy
⊂
⊂
Chú ý
( ) PM u
)
( ( ) I P u M
( ) P u M
( ) I C u M
=
⊂
Nếu , thì
( ) PM u
( ) I MD u
( ) I C u M
( ( ) I I C u M
)
⊂
⊂
( ) I D u M
( ( ) I I D u M
)
( ( ) I I C u M
)
=
=
Do đó . Nếu thì
( ) D P u
( ) D C u
M
I M
Như vậy định lí 2.5 và 2.6 vẫn đúng cho cũng như
25
CHƯƠNG III:
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ
3.1. Định lí 3.1 ) Cho (
,X d là không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric và K là tập con
→
:F K
( CB X
)
,
,
)
(
(
)
≤
H Fx Fy
h
3.0
,
max
,
,
,
,
(
)
(
)
) D x Fx D y Fy ,
(
(
)
( d x y , a
) + D x Fy D y Fx + a h
2
5
< < h
a
∈ x y K ,
, 0
,
≥ + 1
h
− + 1 2
h 2 + 1
⊆ Fx K
,
K
x
∀ ∈ ∂ thì F có điểm bất động trong K .
thỏa điều kiện đóng khác rỗng của X . Nếu ánh xạ
Nếu
Chứng minh
∈
,
,
Hệ quả của Nadler [10]
∈ . Khi đó, với mỗi số dương α, tồn tại y B∈ sao cho
( A B CB X x A
)
≤
,
,
( + d x y H A B α
)
(
)
α=
+
h
Cho
( 1h
)
Đặt
∈
K∈ , xác định
trong K như sau Xây dựng dãy { }nx
)
' x 1
( F x 0
0x
'
Cho
1x K∈ , đặt
x 1
' x= 1
'
+
=
,
,
,
Nếu
K∈ ∂ sao cho
)
1x
1x K∉ thì có điểm
( d x x 0 1
( ' d x x 1 1
)
( ' d x x 0 1
)
≤
,
Nếu
+ H Fx Fx α ,
)
(
1x K∈ theo hệ quả chọn
' x 2
Fx∈ 1
0
1
( ' ' d x x 1 2
)
K∈ , đặt
Khi sao cho
' 2x
x 2
' x= 2
Nếu
'
+
=
,
,
,
26
K chọn
)
2x thỏa
2 ∉x
( d x x 1 2
( ' d x x 2 2
)
( ' d x x 1 2
)
,
n =
1, 2,3,...
Trường hợp còn lại
x n
x n
∈
i
)
' x n
Fx n
+ 1
≤
+
n α
ii
)
,
,
(
)
' x n
H Fx Fx n n
+ 1
− 1
( ' d x n
)
iii
)
thỏa Theo cách trên ta thu được hai dãy số { } { }'
K+ ∈ hoặc
' x n
+= x n
+ 1
1
' 1nx
+
=
iv
)
,
,
,
nếu
)
+ ∈ ∂ K
K+ ∉ và
1nx
' 1nx
( d x x n n
' x n
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
( d x n
)
( ' d x x n n
)
nếu
=
∈
=
=
P
:
x i
x i
' x i , i
=
∈
≠
=
Q
:
x i
x i
' x i , i
{ } x n { } x n
{ {
} 1, 2,... } 1, 2,...
Đặt
− ∈ P
nx Q∈ , với mỗi n, thì
1nx
∈ ⇒ ≠
=
x Q n
x n
' x n
Fx − 1 n
K∈ thì
Nhận xét: Nếu
' nx
' x n
x= n
∉
Nếu mâu thuẫn với ∈nx Q
∈ ∂ K
' x n
K x , n
K
Nên
x n
− 1
' ∈ ⇒ = ⇒ ∈ P x − n 1
x n
x n
− 1
− 1
∈ ∂ ⇒ =
⊂
K
K
∂ ⊂
Nếu
)
( F K
)
x n
− 1
' x n
( F x n
− 1
Nếu
nx Q∈ )
Mâu thuẫn với giả thiết
− ∈ P
1nx
nx Q∈ , với mỗi n, thì
2
n ≥ ta đánh giá
Vậy
(
d x x + ,n n
)1
P
Với
+ ∈ , từ
x x ,n n
1
,
,
)
(
(
)
≤
3.0
H Fx Fy
,
h
max
,
,
,
,
(
)
(
)
) D x Fx D y Fy ,
(
(
)
( , d x y a
) + D x Fy D y Fx + a h
Trường hợp 1:
=
≤
+
n α
,
,
,
)
)
( d x x n n
+ 1
+ 1
( H Fx n
Fx n
− 1
)
,
,
(
)
( ' ' d x x n n )
x n
( D x n
− 1
D x Fx , n n
− 1
n α
≤
+
h
max
,
,
,
,
)
(
)
( D x n
Fx n
− 1
− 1
D x Fx , n n
( d x − 1 n a
+
,
,
,
)
)
x n
) + Fx n + a h ( d x x n n
( d x n
− 1
n α
≤
+
h
max
,
,
,
,
,
)
)
( d x n
x n
− 1
( d x x n n
+ 1
( d x − 1 n a
) x + 1 n + a h
)
+ 1
nα
≤
h
max
,
,
,
,
)
)
( d x n
x n
− 1
( d x x n n
+ 1
( x d x , − 1 n n + a h
+
)
+ 1
n α
n α
n α
≤
+
+
+
,
max
,
,
,
,
)
)
)
( d x x n n
( hd x n
x n
( hd x x n
n
+ 1
− 1
+ 1
+
n α
+ a h
,
( x hd x , − n n 1 + a h (
)
( hd x n
x n
− 1
≤
+
n α
max
,
,
,
)
( hd x n
x n
− 1
h
) + 1 a
n α − 1
≤
+
=
+
m
,
ax
,
,
)
)
( hd x n
x n
( hd x n
x n
− 1
− 1
1 −
h
+ a h a
h
n α − 1
1
n α
⇒
≤
+
,
,
27
)
)
+ 1
− 1
( d x x n n
( hd x n
x n
h
n α − 1
∈
(3.1)
x n
P x , n
Q+ 1
Trường hợp 2:
,
(
(
)
≤
3.0
H Fx Fy
,
h
max
,
,
,
,
(
)
(
)
) D x Fx D y Fy ,
(
(
)
∈ , từ ( ) , d x y a
,
≤
≤
+
n α
,
,
,
)
)
+ 1
+ 1
− 1
( d x x n n
( H Fx n
Fx n
)
,
,
( ' d x x n n )
(
)
− 1
− 1
x n
( D x n
, D x Fx n n
n α
≤
+
max
,
,
,
,
h
)
(
)
− 1
− 1
( D x n
Fx n
, D x Fx n n
( d x − 1 n a
) + Fx n + a h
,
,
+ 1
' x n
)
)
x n
n α
≤
+
max
,
,
,
,
,
h
− 1
− 1
' x n
( d x n
)
( ' d x x n n
)
( d x − 1 n a
( d x − 1 n + a h
+
n α
,
+ a h
(
)
− 1
( hd x n
x n
≤
+
n α
max
,
,
,
)
− 1
( hd x n
x n
n α − 1
h
) a
≤
+
=
+
,
m
ax
,
,
)
)
− 1
− 1
( hd x n
x n
( hd x n
x n
1 −
h
+ a h a
n α − 1
h
1
n α
⇒
≤
+
,
,
) + D x Fy D y Fx + a h
)
)
+ 1
− 1
( d x x n n
( hd x n
x n
n α − 1
h
(3.2)
P
,
28
∈ x Q x n n
+ 1
∈ (chia ra 2 trường hợp nhỏ)
∈ ⇒ =
P
x n
+ 1
x n
+ 1
' x n
+ 1
− ∈ P
nx Q∈ cho ta
1nx
Trường hợp 3:
≤
=
,
m
ax
,
,
,
,
Vì X lồi theo mêtric nên
)
)
( d x x n n
( d x n
x n
+ 1
+ 1
− 1
+ 1
+ 1
( ' d x x n n
( ' d x x n n
)
{
} )
,
,
)
(
(
)
≤
3.0
H Fx Fy
,
h
max
,
,
,
,
Nếu (3.3)
(
)
(
)
) D x Fx D y Fy ,
(
(
)
( d x y , a
) + D x Fy D y Fx + a h
≤
≤
+
n α
,
,
,
)
)
( d x x n n
( H Fx n
Fx n
+ 1
+ 1
− 1
)
,
,
(
)
( ' d x x n n )
( D x n
D x Fx , n n
x n
− 1
− 1
n α
+
≤
h
,
,
,
,
max
)
(
)
( D x n
Fx n
D x Fx , n n
− 1
− 1
( d x − n 1 a
+
,
,
,
( d x n
− 1
) + Fx n + a h ( ' d x x n n
)
)
x n
n α
+
≤
h
,
,
,
,
,
max
)
' x n
( d x x n n
− 1
+ 1
( d x n
)
) x + n 1 + a h
( d x − n 1 a
∈ ∂
K
∈ ⇒
⇒
+
=
,
,
,
) Do iv x Q
)
n
( d x n
x n
' x n
− 1
− 1
( ' d x x n n
)
( d x n
)
K
x n ' ∉ x n
≤
≤
,
,
,
Từ
)
( d x n
x n
x n
' x− , n 1
− 1
− 1
( ' d x x n n
)
( d x n
)
( d x n
)'
và Từ
+
≤
+
+
=
+
+
,
,
,
,
,
,
,
,
)
)
)
)
( d x n
x n
( d x n
x n
( d x x n n
x n
( d x x n n
+ 1
− 1
− 1
+ 1
− 1
+ 1
( ' d x x n n
)
( ' d x x n n
)
)
+
=
,
,
)
' x n
( ' d x x n n ( d x x n n
− 1
+ 1
( d x n ( d x n
) )
Nên
+
,
,
)
( d x x n n
− 1
+ 1
( d x n
n α
≤
+
h
,
max
,
,
,
,
)
)
( d x x n n
' x n
( d x x n n
+ 1
− 1
+ 1
( d x n
)
) ' x n + a h
+
n α
+ a h
,
(
)
' x n
− 1
( hd x n
≤
+
n α
max
,
,
,
' x n
− 1
( hd x n
)
h
) a
n α − 1
Do đó
n α
+
,
+ a h
(
)
' x n
− 1
( hd x n
n α
≤
+
max
,
,
,
' x n
− 1
( hd x n
)
n α − 1
h
) a
≤
+
,
' x n
− 1
( hd x n
)
n α − 1
h
,
∈ , kết hợp với trường hợp 2 ta được
29
− ∈
x n
1
P x Q n
2
≤
+
,
,
h
Từ
)
)
−
+ 1
− 1
2
( d x x n n
( h d x n
x n
n α − 1
α− 1 n + − 1 h
h
≤
=
,
m
ax
,
,
,
,
(3.4)
)
)
)
( d x x n n
( d x n
x n
( d x n
x n
+ 1
+ 1
− 1
+ 1
+ 1
− 1
( ' d x x n n
{
} )
≤
≤
+
,
,
,
,
Nếu
)
)
( d x x n n
( d x n
x n
' x n
+ 1
+ 1
− 1
− 1
+ 1
( d x n
)
( ' d x x n n
)
≤
+
+
n α
,
,
)
' x n
− 1
( H Fx n
− 1
( d x n
)
,
)
x n
,
,
,
,
)
(
)
( D x n
Fx n
− 1
− 1
D x Fx , n n
Fx n ( d x − 1 n a
n α
≤
+
+
,
h
max
' x n
− 1
( d x n
)
,
,
)
( D x n
− 1
( Fx D x Fx n
n
− 1
) , n + a h
,
,
,
,
− 1
( d x n
( ' d x x n n
)
)
x n
≤
+
+
n α
,
h
max
,
,
,
,
,
)
− 1
− 1
+ 1
' x n
' x n
( d x x n n
( d x n
)
( d x n
)
( d x − 1 n a
) x + 1 n + a h
+
,
,
( d x n
− 1
( d x x n n
)'
+
+
≤
+
n α
n α
,
,
,
h
' x n
− 1
( ) h d x n
)
n α − 1
h
) x + n 1 + a h
( max 1
(3.5)
+
+
,
,
+ a h
+ a h
(
) n α
(
) n α
n
' x n
− 1
( ' hd x x n
)
( hd x n
≤
≤
,
)
( d x n
x n
+ 1
− 1
a
) a
Sử dụng (3.5) và những chứng minh trong 3 trường hợp ta có được
+
,
+ a h
(
) n α
' x n
− 1
( hd x n
n α
≤
+
+
,
m
,
,
,
)
( d x x n n
' x n
+ 1
− 1
( ) h d x n
)
n α − 1
h
) a
( ax 1
+
,
( ≤ + 1
' x n
− 1
( ) h d x n
)
n α − 1
− 1
≤
+
+
+
,
h
( 1
)
−
( ) h d x n
x n
− 1
2
h n α h − 1
n α − 1
h
h
Vì vậy
⇒
≤
+
+
h
,
,
30
)
( 1
)
−
( d x x n n
( ) h d x n
x n
+ 1
− 1
2
n α h − 1
α− 1 n + − 1 h
h
1 2
− = δ α
m
ax
,
,
,
(3.6)
)
} )
{ ( d x x 0 1
( d x x 1 2
+
≥
,
n 3
,
n
1
Đặt
n ( α δ 2
)
) + ≤
1
( d x x n n
Chứng minh kết quả (3.7)
5
<
<
<
< < h
0
,
3,
3
bằng phương pháp qui nạp
+ −
1 −
h h
h
− + 1 2
2 3
1 1
1
Ta có
,x x trong (3.2) hoặc (3.3) xảy ra thì 2
3
1/2
<
=
+
<
=
<
α
h
h
h
1
− α h
,
1
( 1
)
h +
1
h
−
1/2
2
1/2
≤
+
≤
+
<
+
<
+
,
,
α δ α α α δ α α δ h h
3
3
3
)
)
(
)
( d x x 2 3
( hd x x 2
1
)
(
2 α − 1
h
Nếu
Từ (3.4) và (3.6)
,x x thỏa mãn (3.6) thì 2
3
3/2
1/2
2
≤
+
+
≤
+
+
=
+ +
+
< α α δ
,
h
,
α δ α α α α δ 3
3
3 3
6
(
)
)
( 1
)
( d x x 2 3
( ) h d x x 2
1
(
)
( 1 1
) + α α 2 h + − − h 1
h
+
,
6
Nếu
(
(
)
) d x x α δ≤ 3
2
Trong tất cả các trường hợp
n
n 2
≤
+
≤
+
−
+
≤
+
,
,
3
α α δ 3
n
3 n
)
)
(
) 1
(
)
− 1 n ( α δ 2 h
)
+ 1
− 1
( d x x n n
( hd x n
x n
n α − 1
h
Theo giả thiết qui nạp nếu (3.2), (3.3) thỏa mãn (giả sử qui nạp đúng tới n - 1) thì
Nếu (3.6) thỏa mãn thì
− 1
+
( 1
+
≤
+
+
,
h
,
)
( 1
)
−
+ 1
− 1
2
( d x x n n
( ) h d x n
x n
) n α h − h 1
h
− 1
− 1
n
n 2
n 2
n 2
≤
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
3
n
2
n α 3
α α δ 3
3
n
2
n α 2 3
≤ α α δ 3
n 3
(
)
(
)
)
(
n ( α δ 2
)
n α − 1
m
m
− 1
≤
≤
i − 1 α 2
+
,
,
i
31
)
)
( d x x n m
( d x x i i
+ 1
∑
∑ 3
= i n
i − m 1 ∑ δ α 2 = i n
= i n
Từ (3.7) suy ra, với m n> ,
là dãy Cauchy nên hội tụ về p Và { }nx
{
}knx
+
,
p
,
,
− 1
− 1
− 1
)
)
( d x n k
( D x n k
( Fp D p Fx n k
≤
,
Fp
h
max
,
,
,
D p Fp ,
,
(
)
− 1
− 1
− 1
)
)
( H Fx n k
( D x n k
Fx n k
a
) + a h
+
p
Fp
,
,
,
− 1
− 1
)
)
( d x n k
( D x n k
( d p x n k
≤
h
max
,
,
,
D p Fp ,
,
(
)
− 1
)
( d x n k
x n k
a
) + a h
≤
,
là dãy con của { }nx mà mỗi phần tử đều thuộc P. Khi đó
( H p Fp ,
)
( hD p Fp
)
=
D p Fp ,
Cho k → ∞ được
( H p Fp ,
)
(
)
,X d là không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric và K tập con
suy ra p Fp∈ Từ đó
3.2. Định lí 3.2 Cho (
)
→
F G K
:
,
( CB X
)
,
,
)
(
(
)
≤
H Fx Gy
h
3.8
,
max
,
,
,
,
(
)
(
)
) D x Fx D y Gy ,
(
(
)
( d x y , a
) + D x Gy D y Fx + a h
2
< < h
a
∈ x y X ,
, 0
,
≥ + 1
h
2 3
h 2 + 1
⊆ Fx K
,
⊆ Gx K
,
K
x
∀ ∈ ∂ thì tồn tại điểm z trong K mà
thỏa điều kiện đóng khác rỗng của X . Nếu các ánh xạ
z
⊂ ∩ Fz Gz
Nếu
Chứng minh
,F G không nhất thiết phải là các tự xạ.
Dưới đây là chứng minh mà
32
K∈ ∂
Với x
x=
Ta xây dựng dãy { }ny và { }nz trong K như sau
0z
z
K
Đặt
∈ ∂ ⇒ ⊆ Fz K
0
0
Fz∈
Từ
0
Tồn tại 1z K∈ mà 1 z
1=y z
1
∈
∈
Fz CB X
Đặt
(
)
y 1
0
≤
,
,
,
c
thì Từ
> 1
)
(
)
( d y y 1
2
cH Fz Gz 1
0
y Gz∈ 2 1
c là một số thực thỏa
<
3.9
1
,
c
ch t
(
)
2 = < 3
z
K∈ thì ta đặt
mà Do Nadler [10] tồn tại điểm
2y
2
= ∈ y Gz 2 1
+
=
,
,
,
z
K∉ thì
K thỏa
1) Nếu
)
)
)
( d y z 1
2
( d z y 2
2
( d y y 1
2
2 ∈ ∂
2y
2) Nếu
≤
,
,
)
)
( d z y 2
2
( d y y 1
2
1 2
<
,
,
Có hai khả năng
)
)
( d z y 2 1
( d y y 1
2
1 2
∈
Fz
K
Hoặc
⊆ mà
y 3
2
≤
3.10
,
cH Gz Fz
,
(
)
)
(
)
( d y y 2 3
1
2
Nếu khả năng 1 xảy ra thì ta chọn điểm
<
,
,
Nếu khả năng 2 xảy ra
)
)
( d z y 2 1
( d y y 1
2
1 2
Nếu
K
Fz∈
33
⊆ mà
y 1
0
∈ y Gz 3
2
≤
,
cH Fz Gz
,
(
) 3.11
)
(
)
( d y y 1 3
0
2
∪
K⊆ mà
Khi ta có thể chọn điểm
ny
FK GK và { }nz
∈
y
Giống như trên ta xây dựng hai dãy: { } ⊆
n
Fz − 1 n
∈ y Gz − n 1 n
z=
hoặc (i)
K∈ và trong trường hợp
n
ny
1ny + thỏa điều kiện
≤
,
,
y
Gz
nếu và chỉ nếu (ii) n y
)
(
)
+ ∈
( d y y n
n
+ 1
cH Fz Gz n
− 1
n
1n
n
≤
,
,
Fz
y
Fz
nếu
)
( cH Gz
)
+ ∈
( d y y n
n
+ 1
n
n
− 1
1n
n
+
=
,
z
,
,
y
y
z≠
K∉ và
K∈ ∂ thì
nếu hoặc
( d y
)
)
( d y
)
− 1
− 1
n
n
( d z y n
n
n
n
n
n
ny
nz
y
Fz
(iii)
khi đó ∪ + ∈ Gz
n
1n
n
≤
≤
,
,
,
và thỏa điều kiện
)
(
)
)
( d y
)
+ 1
− 1
( d y y n
n
cH Fz Gz n
n
( d z y n
n
, y− 1
n
n
1 2
≤
,
,
Fz
thì (iii’) Nếu
)
( cH Gz
)
+ 1
− 1
( d y y n
n
n
n
≤
<
,
y
,
,
,
z
y
hoặc
( d y
)
(
)
( d y
)
( d y
)
−
n
+ 1
n
− 1
cH Fz Gz n
2
n
n
n
− 1
n
n
− 1
1 2
≤
,
y
,
Fz
(iii’’) Nếu thì
( d y
)
( cH Gz
)
−
n
+ 1
n
− 1
n
n
2
=
y
z≠
z
y
K
hoặc
K∈ ∂ thì
∈ . Điều này làm cho
n
n
nz
n
+ 1
n
+ 1
=
z
y
∈ K
n
− 1
n
− 1
z
y
Nhận xét: Nếu khi
− ∈ ∂ thì K
1nz
n
= ∈ K n
Hay
( d z
,n
z + n
)1
,
0
z
z
Bây giờ ta đánh giá
1k ≥
( d z
z + = từ n trở đi thì dễ dàng chỉ ra rằng
+ =
n
)1
n
n k
n
,
z
0 ,
n
∀ . Từ nhận xét ta kết luận có 3 khả năng có thể xảy ra
với Nếu
( d z
n
n
)1 + >
=
z
y
z
y
Nếu
= ∈ và K
∈ K
K∈ từ n trở đi)
n
n
n
+ 1
n
+ 1
Trường hợp 1: Cho ( ny
z
34
n
= ∈ y n
Fz − 1 n
=
=
∈
z
y
z
y
Gz
Không mất tính tổng quát, giả sử
n
+ 1
n
+ 1
n
n
− 1
n
− 1
≤
,
,
( không nhất thiết ) và Khi
)
(
)
( d y y n
n
+ 1
cH Fz Gz n
− 1
n
ny và
1ny + thỏa
điểm
z
,
( d z
)
n
Fz
,
,
,
( D z
)
n
n
− 1
− 1
− n 1 a
=
≤
z
c h m
3.12
,
,
ax
(
)
( d z
)
)
n
n
( d y y n
n
+ 1
+ 1
,
(
(
)
D z Fz , n
n
D z Gz − n 1
− 1
,
(
)
D z Gz , n
n
+ 1
) + n + a h
z
,
)
( d z
( d z
)
n
n
+ 1
≤
t m
z
z
ax
,
,
,
,
,
( d z
)
( d z
)
n
n
n
n
− 1
+ 1
z , − n 1 + a h
− n 1 a
z
z
z
,
,
,
( d z
( d z
)
( d z
)
n
n
n
n
− 1
+ 1
≤
t m
z
z
ax
,
,
,
,
,
( d z
)
( d z
)
n
n
n
n
− 1
+ 1
) + n + a h
− n 1 a
∈
h
,
0
h > , thì cũng đúng với
Từ (3.8) và (3.9) ta có
h 1
2 3
≤ . Nếu (3.8) đúng với 1 3
5 2
3 < < 3.13 Do đó ta có thể giả sử ) 1
a 3
4 1
+
a h 1
2 Thì và ( + z z , , (
d z ) (
d z ) n n n n −
1 +
1 ≤ z t m z z , ax , , , , (
d z ) (
d z ) (
d z ) n n n n n n +
1 −
1 +
1 2
≤ t m z z ax , , , (
d z ) (
d z }
)
{ n n n n −
1 +
1 Từ (3.12) và (3.13) ta có được t < ta sẽ có 2
3 ≤ 3.14 , z , z ( ) Do đó, khi ) (
td z ) +
1 −
1 n n n n (
d z 35 = ≤ ≤ ≤ , , , ax , , , , z t m z z z (
d z ) ) ( ) ) (
d z (
td z ) {
(
d z }
) +
1 +
1 −
1 −
1 +
1 −
1 n n (
d y y
n n cH Fz Gz
n n n n n n n n ⇒ ≤ , , 0 z z < <
t (
d z ) (
td z ) +
1 −
1 n n n n 2
3
≠ y z y z , y = ∈ và
K ∉
K Từ trường hợp 1 ta có n n n +
1 n +
1 n +
1 + = , , y , Trường hợp 2: Cho ) (
d z ) ) + ∈ ∂ và
K (
d y z
n n +
1 n +
1 n +
1 (
d y y
n n +
1 1nz = < , z , , Khi đó (
d z ) ) ) n n +
1 (
d y z
n n +
1 (
d y y
n n +
1 ≤ 3.15 , , 0 z z < <
t và từ trường hợp 1 Do đó ) (
d z ) (
td z ) n n +
1 n n −
1 2
3 Ta có ( = ≠ z y z y z K y Từ hai trường hợp 1 và 2 ta có được = ∈ và n +
1 n +
1 n +
1 n +
1 n n ≤ 3.16 , , 0 z z < <
t ( ) (
d z ) (
td z ) n n +
1 n n −
1 2
3
y z≠ Nếu hoặc thì n n K∈ ∂ và Trường hợp 3: Cho nz + = 3.17 , z , , y ( ) (
d y ) ) (
d y ) n n −
1 (
d z y
n n n n −
1 = = ≤ z y , , z y z y Khi đó (
d z ) (
d y ) n n n n +
1 −
1 n +
1 n −
1 n −
1 n +
1 và giả sử từ đầu Từ nhận xét 1, ta có ≤ 3.18 , z , z ( ) (
d z ) (
td z ) − n n +
1 n −
1 n 2 Từ trường hợp 1 ta có > 3.19 , , z y ( ) (
d z ) (
d y ) n n +
1 n n −
1 Xét trường hợp Từ (2.17) ta xét hai khả năng sau ≤ 3.20 , ( ) ) (
d y ) (
d z y
n n ,
y−
1 n n 1
2 36 < , , y ( )
3.21 ) (
d y ) (
d z y
n n −
1 n n −
1 1
2 ≤ 3.20 , Hoặc (
d y ) ) ) (
d z y
n n n n ,
y−
1 1
2 ∈ y , 3a) Giả sử có ( n Fz −
1
n = ∈ ≠ , z y Gz z y Không mất tính tổng quát ta giả sử − −
1 2 −
1 n n n n n = ∈ ≤ , ( , ) z y Gz (xem iii’) Khi đó và xây dựng dãy { }ny + (
d y y
n )1 n cH Fz Gz
n −
1 n n +
1 n +
1 n và thỏa từ đó ≤ 3.22 , ( , ) ( ) ) +
1 −
1 n cH Fz Gz
n n , , z ( ( ) (
d y y
n
(
d z ) −
1 n D z Gz
−
1
n ,
D z Fz
n n ≤ ax , , , , t m Fz (
D z ) ( ) −
1 −
1 n n ,
D z Gz
n n −
1
n
a
+ z z , , , (
d z ) (
d z ) −
1 n n n )
+
n
+
a h
(
d z y
n n ≤ t m y z ax , , , , , (
d y ) (
d z ) −
1 +
1 n n n n −
1
n
a z z , , , (
d y ) (
d z ) −
1 n n (
d z y
n n ≤ t m y z ax , , , , , (
d y ) (
d z ) −
1 +
1 n n n n −
1
n
a +
1
n
a )
+
1
+
a h
)
+
+ h
Do đó từ (3.8) và (3.9) ta nhận được < y , , n n n n −
1 −
1 )
+ ≤ + + = + z z z y z , , , , , , , z
) d y
(
(
d y );
) ) (
d y ) (
d z ) (
d y ) (
d z ) (
d y
(
d z y
n n n n (
d z y
n n n n n n n n n n −
1 +
1 −
1 +
1 −
1 +
1 Nhưng từ (3.17) ta có + , y , z (
d y ) (
d z ) n n −
1 n n +
1 ≤ = , t m ax , z , , z ) (
d z ) (
td z ) (
d y y
n n +
1 n n +
1 n n +
1 2
= z y Do đó từ (3.22), (3.19) và (3.13) ta có được n +
1 n +
1 Khi ≤ ≤ + + z , , , z ) (
td z ) n n +
1 n n +
1 n n n +
1 (
d z
⇔ )
z )
, z (
d z y
n
) +
1 n n +
1 n n n
≤ z , , ,
(
d z
(
⇔ −
1 (
d z y
,
n
)
(
−
td z
,
)
)
(
t d z n +
1 n (
)
d y y
n
(
)
≤
d z y
,
n
)
(
d z y
n n , , z 37 (
d z ) )
+ ≤ 1 n n (
d z y
n n 1
− 1 t Do đó ≤ z z , , (
d z ) (
d z ) − n n n n +
1 −
1 2 t t
(
−
2 1 ) < Như vậy từ (3.20) và (3.18) ta có t < cho ta t 3
2 2
3 1
(
−
2 1 ) ≤ 3.23 , , z z Vì vậy khi ) (
d z ) (
td z ) − +
1 −
1 2 n n n n 3
2 < , , y Ta có ( )
3.21 ) (
d y ) (
d z y
n n −
1 n n −
1 1
2 z 3b) Giả sử có ( n ≠ ∈
y
n Fz −
1
n Cho = ∈ ≤ , , y Fz z y Fz (xem iii”) Do cách xây dựng dãy { }ny (
d y ) (
cH Gz ) − n +
1 n −
1 n n 2 n +
1 n +
1 n mà Ta có , z , Fz (
d z ) (
D z ( ) − − n n n n D z Gz
,
n n 2 2 ≤ , y t m ax , , , , (
d y ) ( ) ( ) − n n n D z Fz
,
n n +
1 −
1 D z Gz
−
n
2 2 −
2
a
z y , , , (
d z ) (
d z ) − n n n n n )
+
+
a h
(
d z y
n 2 −
1 ≤ t m z z ax , , , , , (
d z ) (
d z ) − n n n n −
1 2 +
1 )
+
+
1
+
a h −
2
a
= ≤ , y , z z y Do đó từ (3.8) ta có (
d y ) (
td z ) − n n −
1 n −
1 n 2 n −
1 n −
1 và khi Từ trường hợp 1 ta có Vì (3.13) và (3.21) ta có được < ≤ , , , z y z (
d y ) (
d y ) ) (
td z − n n −
1 n n −
1 n −
1 n 2 = + 1
2
≤ , , , , , y y y z y (
d z ) (
d z ) ) (
d z ) 1
2
(
+
d y (
d y ) − − − n +
1 n 2 n −
1 n 2 n +
1 n −
1 n −
1 n 2 n +
1 n −
1
⇒ + ≤ + + , , 1 , , z y z y (
d y ) (
d z ) (
d z ) (
d y ) − − n n −
1 n +
1 n 2 n −
1 n 2 n +
1 n −
1 t
2
, z (
d z ) n n ≤ + , y , z (
d z ) (
d y ) − ( ) n −
1 n 2 n n −
1 −
2
a z n −
1 n −
1 ≤ + =
y
= + , y , z 1 , z (
d z ) (
td z ) (
d z ) − − − n n n n n n −
1 2 −
1 2 −
1 2 3
4 t
2 1
2
, z 3
4
3
4
) (
d z n n ⇒ < , z (
d z ) − n n −
1 2 −
2
a t
2
+
1
38 + + 1 , , z y (
d z ) (
d y ) − n n n n −
1 2 +
1 −
1 t
2
≤ y t z z 3.24 , max , , , , ( ) (
d y ) (
d z ) (
d z ) − n n n n n n +
1 −
1 −
1 2 +
1 2
Vì vậy ta có + + 1 , , t z y (
d z ) (
td y ) − n n n n −
1 2 +
1 −
1 t
2
≤ y , (
d y ) n n +
1 −
1 2 Ta giả sử rằng t ) ≤ , , y z (
d y ) (
d z ) − +
1 −
1 −
1 2 n n n n (
+
2
t
−
4 2
t < 1 Thu gọn ta thu được t < cho ta 2
3 +
t
2
−
4 2
t ≤ , y , z Từ (
d y ) (
d z ) − n +
1 n −
1 n −
1 n 2 ≤ 3.25 , y t m ax , z , , z Ta có ) (
d y ) (
d z ) (
d z − { }
) +
1 −
1 −
1 2 +
1 n n n n n n Từ (3.24) ta có ( Từ bất đẳng thức tam giác, (3.21), (3.25) và trường hợp 1 ta có ≤ + , , z , y ) (
d y ) (
d y ) (
d z y
n n +
1 n n −
1 n +
1 n −
1 + ≤ , y , y (
d y ) (
d y ) n n −
1 n +
1 n −
1 ≤ + , z t max , z , , z (
d z ) (
d z ) (
d z − − { }
) n −
1 n 2 n −
1 n 2 n n +
1 1
2
t
2 ≤ + = , , , , z z z ) (
d z ) (
t d z ) (
td z ) − − − +
1 −
1 2 −
1 2 −
1 2 (
d z y
n n n n n n n n 3
2 ≤ + , , , z z ) (
d z ) (
t d z ) − +
1 −
1 2 +
1 (
d z y
n n n n n n
⇒
t
2
t
2 = z y 39 n +
1 n +
1 ≤ ≤ z z , , , , z z Khi (
d z ) (
d z ) (
d z ) (
t d z ) − − n n n n +
1 −
1 2 n n +
1 n −
1 n 2 t 3
2 t
(
−
2 1 ) < t < cho ta hoặc t 3
2 2
3 t
(
−
2 1 ) ≤ 3.26 , , z z (
td z ) Từ ) (
d z ) − n n n n +
1 −
1 2 3
2 z y≠ Ta có ( n n ≤ 3.27 , , z z (
td z ) Từ (3.18), (3.23) và (3.26) ta thấy rằng nếu ) (
d z ) − n n +
1 n −
1 n 2 3
2 Thì ta có ( ≤ 3.28 , , , , z . ax
t m z z Từ (3.14), (3.16) và (3.27) ta có n ≥
2 ( ) (
d z ) (
d z ) (
d z − { }
) +
1 −
1 2 −
1 n n n n n n 3
2 1 đúng cho t < , chứng tỏ là dãy { }nz 3
2 Theo Ciric và với là dãy Cauchy và từ đây nó hội tụ về điểm z K∈ . mà nó vô Theo cách trên với { }nz đã chọn tồn tại dãy con nhỏ nhất của hai dãy { }nz z , z Fz hạn và chứa trong FK hoặc trong GK + ∈ 1 ( )
n j ( )
n j ( )
n j Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử là vô hạn z z , z 40 ,j z +
j
1 + như ( ) 1
n j ( )
n j Để thuận tiện ta xem , , D z Gz
+
1
j H Fz Gz
j ( ) + , z j )
≤
(
d z (
) (
,
D z Fz (
,
D z Gz
j ) ≤ ax , , , , h m )
,
D z Gz D z Fz ( j j ( ) j
a )
+
a h + + , , , ) +
1 j j (
d z
(
d z z ) ≤ ax , , , , h m z (
,
D z Gz ) +
1 j j j (
d z (
)
,
z d z ) )
(
z D z Gz
+
a h
≤ Từ (3.8) ta có (
D z Gz
, ) (
D z Gz
, ) 2
3 , Lấy giới hạn khi j → ∞ được D z Gz =
0 ( ) Khi đó ) ≤ ≤ , , H Gz Fz Nhưng Gz đóng, vì z Gz∈ (
,
D z Fz ) (
,
D z Fz ) ( ) 2
3 (
,
D z Fz
+
a h
max 0, 0,
, Từ (3.8) )
D z Fz =
0 ( Vì vậy ∈ ∩
Do đó ta chứng minh được rằng z Fz Gz Điều này cho ta z Fz∈ khi Fz đóng h < Bây giờ ta có định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục, 2
3 điều kiện yếu (3.8), không nhất thiết h là hằng số mà → → : , , :F K ,X d . Ánh xạ Cho K là tập con khác rỗng của không gian mêtric đầy đủ và lồi theo (
F K d ) (
CB X H ) ) (
CB X ) ( ) gọi là liên tục nếu mêtric ( liên tục. ,X d 41 là không gian mêtric đầy đủ và lồi theo metric, K là tập con đóng khác ) → → :F K :G K rỗng của X (
CB X ) (
CB X ) , , ( ( ) < = > 3.29 H Fx Gy , max d x y D x Fx D y Gy
, , , , , , A 0 , ∈
x y K
, ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) 2
3 3
4 )
+
D x Gy D y Fx
2
⊆
Fx K , ⊆
Gx K , K x ∀ ∈ ∂ thì tồn tại điểm z trong K mà z ⊂ ∩
Fz Gz Cho và liên tục, không là các tự xạ và thỏa mãn Nếu Chứng minh ,x y K∈ , , ( ( ) = R Fx Gy
, max d x y D x Fx D y Gy
, , , , , , Cho ) ( ( ) ( ) ( ) 3
4 )
+
D x Gy D y Fx
2
, Tập H Fx Gy liên tục trên K K× )
,R x y và ( ( ) = 0 Từ F và G liên tục thì (
D z Fz
, ) (
D z Gz
, ) = với mỗi z K∈ Ta chỉ ra rằng m ax , , 0 > với mỗi x K∈ (Phản chứng) )
=
D x Fx D x Gx ( ( { }
) ∈ × , ,x y K K Giả sử trái lại R x y > với mỗi (
0 ) ( ) ) = Khi (
f x y
, ) (
H Fx Gy
,
(
)
R x y
, , Khi đó hàm thực được xác định tốt 2
)
(
f x y <
3 Vì (3.29), = = ∈ × K K , m ax x y
, K K ∈ × thỏa compact Từ K K× ) ) (
f x y
, ) (
: ) { } ,x y
0
0 h
0 (
f x y
0
0 Nên tồn tại ( 2
h <
0
3 Từ (3.29), ) ≤ 42 ,x y K∈ h
0 (
H Fx Gy
,
(
)
R x y
, , , ( ( ) ≤ H Fx Gy , max d x y D x Fx D y Gy
, , , , , , Như vậy ta có được với mỗi ( ) ) ( ( ) ( ) h
0 3
4 )
+
D x Gy D y Fx
2
∈ ∩ . Như vậy max , , , D x Fx D x Gx > với mỗi x K∈ là sai
0 Bây giờ từ định lí 3.2 nếu có điểm z K∈ mà z Fz Gz ( ) ( { }
) Ta có thể giả sử rằng ∈ ∩ Thì có điểm bất động z K∈ mà z Fz Gz thì ta có được kết quả định lí 3.1 Trong định lí 3.2, nếu ta có G F= 43 Qua luận văn này, tôi thực sự bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống. Tôi cũng học tập được phương pháp học thuật do thầy hướng dẫn tổ chức và một số kiến thức về điểm bất động của ánh xạ đa trị, điểm bất động của ánh xạ không giãn. Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi từ sự đóng góp và chỉ bảo của quí Thầy Cô, các bạn và Hội đồng. 44 Lê Hoàn Hóa (2010), Định lý điểm bất động và ứng dụng để nghiên cứu 1. sự tồn tại nghiệm của phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở mã số CS.2008.19.02. Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật. 2. Abdul Latif (2001), A result on best approximation in p-normed spaces, 3. Archivum mathematicum number 1 (2001), pp 71-75. B.E. Rhoades (1997), A fixed point theorem for non-self set-valued 4. mappings, Internat. J. Math. Math. Sci. 20, 1997, pp 9-12. Hemant Kumar Nashine (2006), Best approximation for nonconvex set in 5. q-normed space, Archivum mathematicum number 1 (2006), pp 51- 58. Lj. B. Ciric (1993), A remark on Rhoades fixed point theorem for non-self 6. set-valued mappings, Internat. J. Math. Math. Sci. 16, 1993, pp 397- 400. Ljubomir B. Ciric (2006), Common fixed point theorems for set-valued 7. mappings, Demonstration Mathematica 2006, pp 419-428. 8. M.A.AL-Thagafi (1995), Best approximation and fixed point in strong M – starshaped metric spaces, Internat. J. Math. &Math. Sci (1995) VOL 18, NO .3, pp 613-616. Nawad Hussain (2006), Common fixed point and invariant approximation 9. results, Demonstration Mathematica 2006, pp 389-400. S.B.Nadler (1969), Multi-valued contraction mappings, Pacific J. Math 10. 30, 1969, pp 475-488. 45 11. W.G.Dotson, JR (1973), On fixed points of nonexpansive mappings in nonconvex sets, American mathematical society, Number 1, March 1973. 12. Yisheng Song (2008), Coincidence point of weakly compatible mappings Bull. Korean Math. Soc. 45 (2008) number 4, pp 607-614.3.3. Định nghĩa
3.4. Định lí 3.3
Cho (
PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO