Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của ánh xạ đa trị và những kết quả xấp xỉ bất biến

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

75
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của ánh xạ đa trị và những kết quả xấp xỉ bất biến gồm có 3 chương. Trong đó, chương 1 - Kiến thức cơ sở; chương 2 - Một số kết quả xấp xỉ bất biến về điểm bất động của cặp ánh xạ không giãn; chương 3 - Định lí điểm bất động của cặp ánh xạ đa trị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của ánh xạ đa trị và những kết quả xấp xỉ bất biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o----- Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -----o0o----- Nguyễn Phong Phú ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
2 LỜI CẢM ƠN Xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hóa đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học tự nhiên và phòng sau Đại học đã truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báo cho tôi trong suốt quá trình học tập. Xin trân thành cảm ơn các bạn lớp cao học Giải tích khóa 21 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên luận văn có thể có nhiều thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn.
3 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................2 MỤC LỤC ...................................................................................................................3 LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................4 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .............................................................................5 1.1. Không gian mêtric .........................................................................................5 1.2. Không gian định chuẩn với chuẩn p ..............................................................5 1.3. Ánh xạ đa trị ..................................................................................................6 1.4. Ánh xạ co đa trị .............................................................................................6 1.5. Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric ................................................6 1.6. Không gian đối ngẫu......................................................................................7 1.7. Tập lồi, tập hình sao ......................................................................................7 1.8. Tập có tính chất N .........................................................................................8 1.9. Ánh xạ có tính chất C ....................................................................................8 1.10. Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán ...........................................................10 1.11. Một số định nghĩa ........................................................................................13 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ..................................................................14 2.1. Định lí 2.1......................................................................................................14 2.2. Định lí 2.2.......................................................................................................14 2.3. Định lí 2.3.......................................................................................................18 2.4. Định lí 2.4.......................................................................................................22 2.5. Định lí 2.5.......................................................................................................22 2.6. Định lí 2.6.......................................................................................................23 CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ ..........25 3.1. Định lí 3.1.......................................................................................................25 3.2. Định lí 3.2.......................................................................................................31 3.3. Định nghĩa ......................................................................................................40 3.4. Định lí 3.3.......................................................................................................41 PHẦN KẾT LUẬN ...................................................................................................43 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................44
4 LỜI MỞ ĐẦU Năm 1963 Meinadus đã kết hợp điểm bất động và phép xấp xỉ tối ưu trong không gian hàm đã phát hiện một số tính chất của hàm không thay đổi trong một vài giả thiết. Sau đó nhiều tác giả đã nghiên cứu về điều này với những giả thiết thay đổi như Brosowski, Subrahmanyam, Singh, Hick, Humphries…Với giả sử ( X , . ) là không gian định chuẩn, T , I : X → X là ánh xạ R-giao hoán yếu (R - p giao hoán dưới yếu). Điều kiện nào để T và I có chung điểm bất động. Năm 1969 Nadler là người đã đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị (ánh xạ nhận giá trị là các tập hợp con của một tập hợp nào đó) và chứng minh mỗi ánh xạ co đa trị trên một tập con đóng bị chặn của không gian mêtric Haudorff đều có điểm bất động. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị (ánh xạ không là tự xạ) trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric được Assad và Kirk đưa ra. Tiếp tục nghiên cứu về ( ) ánh xạ đa trị trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric X , d p , tập K con X , K đóng, khác rỗng; cho cặp ánh xạ đa trị F , G : K → CB ( X ) . Điều kiện nào để có điểm z trong K mà z ∈ Fz ∩ Gz . Các vấn đề trong luận văn này trình bày được trình bày theo hai nội dung nói trên dựa trên các kiến thức, kết quả đã học và tìm hiểu trong quá trình làm luận văn. Nội dung chính của luận văn gồm ba chương: Chương I: Một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian định ( chuẩn X , . p ) , ánh xạ đa trị, ánh xạ co đa trị, không gian đầy đủ và lồi theo metric, cặp ánh xạ Lipschits, R giao hoán yếu (dưới yếu), tập có tính chất (N), tập lồi, tập hình sao, ánh xạ có tính chất (C), định nghĩa ánh xạ (demiclosed, cô đặc, hemicompact, demicompact, liên tục hoàn toàn)…. Chương II: Định lí điểm bất động của cặp ánh xạ không giãn trên không gian định chuẩn X , .( p ). Chương III: Định lý điểm bất động của cặp ánh xạ đa trị trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo metric (định nghĩa trong chương I).
5 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Không gian mêtric Không gian mêtric là một cặp ( X , ρ ) , trong đó X là một tập hợp, ρ : X × X →  là một hàm số xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau: i) ρ ( x, y ) ≥ 0 ρ ( x, y ) = 0 ⇔ x = y với x, y ∈ X ii ) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x ) iii ) ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x, z ) 1.2. Không gian định chuẩn với chuẩn p Cho X là một không gian tuyến tính, một p – chuẩn trên X là một hàm thực trên X với 0 < p ≤ 1 thỏa mãn điều kiện (i ) x p ≥ 0, x p =0 ⇔ x =0 ( ii ) αx =α p p x p ( iii ) x+ y p ≤ x p+ y p Trong đó x, y ∈ X , α là đại lượng vô hướng ( Cặp X , . p ) gọi là không gian định chuẩn với chuẩn p Nó là một không gian mêtric tuyến tính với metric bất biến đối với phép dời d p xác định bởi d p = x − y p , x, y ∈ X d p ( x, y ) = x − y p ≥0 , ∀x, y ∈ X d p ( x, y ) = 0 ⇔ x − y p =0⇔ x− y =0⇔ x = y d p ( x, y ) = x − y p =y − x p =d p ( y, x ) d p ( x, y ) + d p ( y, z ) =x − y p + y−z p ≥ x− y+ y−z p =x − z p =d p ( x, z ) Nếu p = 1 ta được không gian định chuẩn thông thường
6 Không gian l p , Lp , 0 < p ≤ 1 là không gian định chuẩn với chuẩn p Cho ( X , d ) là không gian mêtric đầy đủ CB ( X ) là tập hợp các tập con khác rỗng đóng, bị chặn của X Tập N ( ε , C ) = { x ∈ X / d ( x, c ) < ε , ∀c ∈ C} nếu ε > 0 và C ∈ CB ( X ) H ( A, B ) =inf {ε / A ⊂ N ( ε , B ) , B ⊂ N ( ε , A )} nếu A, B ∈ CB ( X ) H là mêtric Hausdorff cảm sinh bởi mêtric d Đặt D ( x, A ) inf {d ( x, y ) : y ∈ A} với x ∈ X và A ⊆ X = 1.3. Ánh xạ đa trị Cho X , Y là hai tập bất kì. Cho F : X → CB (Y ) là ánh xạ từ X vào tập gồm các tập con của Y . Ta gọi F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . 1.4. Ánh xạ co đa trị Cho hai không gian mêtric ( X , d1 ) , (Y , d 2 ) . Ánh xạ F : X → CB (Y ) được gọi là ánh xạ co đa trị nếu và chỉ nếu H ( Fx, Fz ) ≤ α d1 ( x, z ) , với x, z ∈ X , α ∈ [ 0,1) 1.5. Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric Không gian mêtric đầy đủ ( X , d ) được gọi là lồi theo mêtric nếu với mỗi x, y ∈ X , x ≠ y thì tồn tại z ∈ X , z ≠ x, z ≠ y thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) = d ( x, y ) Nếu K là tập con đóng khác rỗng của X, với mỗi x ∈ K và y ∉ K thì tồn tại z ∈ ∂K (biên của K ) thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) = d ( x, y )
7 1.6. Không gian đối ngẫu Cho X là một không gian định chuẩn. Không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X, Kí hiệu X* là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. X * tách mỗi điểm của X theo nghĩa với mỗi x ≠ θ , x ∈ X thì tồn tại f ∈ X* ( f : X → K ) thỏa f ( x ) ≠ 0 Trong trường hợp không gian tôpô yếu trên X thì xác định tốt hơn và gọi là Hausdorff Lưu ý, nếu X không là không gian lồi địa phương thì X * không cần tách điểm của X Ví dụ: Nếu = X Lp [ 0,1] , 0 < p < 1 thì X * = {0} Tuy nhiên có một vài không gian X không lồi địa phương mà không gian đối ngẫu X * tách điểm của X như không gian định chuẩn l p , 0 < p < 1 1.7. Tập lồi, tập hình sao Cho M là tập con khác rỗng của không gian mêtric ( X , d ) Tập M được gọi là q − starshaped (q - hình sao) với q ∈ M nếu kx + (1 − k ) q ∈ M với mọi x ∈ M và k ∈ [ 0;1] Tập M được gọi là lồi nếu kx + (1 − k ) y ∈ M với mỗi x, y ∈ M và k ∈ [ 0;1] Ánh xạ f : M → M gọi là affine nếu M lồi và f ( kx + (1 − k ) y ) = kfx + (1 − k ) fy ∈ M với mỗi x, y ∈ M và k ∈ [ 0;1] Một mở rộng khác của khái niệm hình sao được giới thiệu bởi Naimpally et all như sau
8 1.8. Tập có tính chất N Tập M có tính chất (N) nếu tồn tại tự xạ T trên M tồn tại q ∈ M và một dãy số thực cố định kn → 1 , 0 < kn < 1 và (1 − kn ) q + knTx ∈ M với mỗi x ∈ M và n > 1 1.9. Ánh xạ có tính chất C Một ánh xạ I được gọi là có tính chất (C) trên tập M với tính chất (N) nếu I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với mỗi x ∈ M và n > 1 Mỗi ánh xạ affine trên tập M q-hình sao thỏa điều kiện (C) Vì tập M q-hình sao nên M có tính chất (N) Mỗi ánh xạ affine I : M → M thỏa I ( kx + (1 − k ) y ) = kIx + (1 − k ) Iy ∈ M với mỗi x, y ∈ M và k ∈ [ 0;1] Nên I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với mỗi x ∈ M và n > 1 Ví dụ: Cho=X = 2 ,M {( 0, y ) : y ∈ [ −1,1]} ∪ 1 − n 1+ 1 , 0  , n ∈   ∪ {1, 0} với metric    cảm sinh bởi chuẩn ( a, b ) = a+b , ( a, b ) ∈  2 . Định nghĩa T trên M như sau  1   1  T ( 0, y ) = ( 0, − y ) , T 1 − ,0 =  0,1 −  , T (1, 0 ) = ( 0,1)  1+ n   1+ n  Hiển nhiên M thì không hình sao nhưng M có tính chất (N) 1 Lấy q = ( 0, 0 ) và kn = 1 − 1+ n M không hình sao =q ( 0, 0 ) ∈ M  1  Với x = 1 − ;0  ∈ M và k ∈ [ 0;1]  n +1 
9  1  1   1  kx + (1 − k ) q = 1 −  1 − ;0  + 1 − 1 +  ( 0;0 )  n +1   n +1   n +1  1    2 1  1   = 1 −  ;0  = 1− . 1 −  ;0    n + 1    n + 1  n + 1   ⇒ kx + (1 − k ) q ∉ M M có tính chất (N) với = q ( 0, 0 ) ∈ M và kn = 1 − 1 1+ n 1 n 0 < k n < 1 kn = 1− = ⇒ 1 + n n + 1 kn → 1 khi n → ∞ Ta chứng minh (1 − kn ) q + knTx ∈ M với mỗi x ∈ M và n > 1 Vì  y ∈ [ −1,1] ⇒ − y ∈ [ −1,1] ⇒ −kn y ∈ [ −1,1]   1 n  kn = 1 − = ⇒ −kn2 ∈ [ −1,1]  n +1 n +1  ( 0, kn ) ∈ M 1 và (1 − kn ) q = q = q∈M n +1 Nên với mỗi x ∈ M và n > 1 thì (1 − kn ) q + knTx ∈ M  1  Định nghĩa I ( 0, y ) =− I 1 ( 0;0 ) ,0 = , I (1, 0 ) = (1, 0 )  1+ n  0 Thì TIx − ITx =  1 Trường hợp 1: x = ( 0; y )  1  TIx − ITx = TI 1 − ;0  − IT ( 0; y ) = T ( 0;0 ) − I ( 0; − y ) = ( 0;0 ) − ( 0;0 ) = 0 + 0 = 0  1+ n  Trường hợp 2: x = ( 0;1) TIx − ITx = TI ( 0;1) − IT ( 0;1) = T (1;0 ) − I ( 0; −1) = ( 0;1) − ( 0, 0 ) = ( 0;1) = 0 +1=1
10 Như vậy ∀x ∈ M TIx − ITx ≤ R knTx − Ix , R ≥ 1, q= ( 0, 0 ) ∈ F ( I ) Vậy I , T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M Một không gian định chuẩn ( X , p ) thỏa mãn điều kiện Opial nếu mỗi dãy { xn } hội tụ yếu đến x ∈ X , bất đẳng thức lim inf d p ( xn , x ) < lim inf d p ( xn , y ) , ∀x ≠ y n →∞ n →∞ 1.10. Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán Cho X là một không gian mêtric tuyến tính và M là một tập con khác rỗng của X Cho ánh xạ I : M → X Ánh xạ T : M → X gọi là I-Lipschitz nếu ∀x, y ∈ X thì tồn tại k > 0 thỏa d (Tx, Ty ) ≤ kd ( Ix, Iy ) Nếu k < 1 ( k = 1 ) thì T gọi là I -co ( I -nonexpansive, I – không giãn). Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là giao hoán nếu TIx = ITx với mỗi x ∈ M Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là R-giao hoán yếu nếu và chỉ nếu d ( ITx, TIx ) ≤ Rd (Tx, Ix ) ,x∈M,R > 0 Nếu R = 1 thì gọi là ánh xạ giao hoán yếu Cho M là một q-hình sao với q ∈ F ( I ) và cả T và I bất biến ( F ( I ) tập các điểm bất động của ánh xạ I ) Sau đó, Shahzad gọi T và I là R-giao hoán yếu trên M nếu tồn tại số thực R > 0 mà d ( ITx, TIx ) ≤ R.d ( kTx + (1 − k ) q, Ix ) , x ∈ M , k ∈ [ 0,1] Nếu R = 1 thì gọi là 1-giao hoán dưới yếu (1-subweakly commuting) Lớp ánh xạ R-giao hoán dưới yếu có những tính chất của lớp ánh xạ giao hoán Mở rộng khái niệm ánh xạ R-giao hoán dưới yếu trên miền không phải hình sao như sau
11 Cho I , T là hai tự xạ trên M , có một họ hàm F = { f x }x∈M là họ hàm f x : [ 0,1] → M mà f x (1= ) x , ∀x ∈ M Họ F gọi là co nếu tồn tại một hàm φ : ( 0,1) → ( 0,1) , ∀x, y ∈ M , t ∈ ( 0,1) thỏa d p ( f x ( t ) , f y ( t ) ) ≤ φ ( t )  d p ( x, y ) p Khi đó nói I , T là những ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực R > 0 thỏa (1.1) d p ( ITx, TIx ) ≤ Rd p ( fTx ( k ) , Ix ) , k ∈ [ 0,1] , x ∈ M Giả sử M là q-hình sao với q ∈ F ( I ) , f x ( k ) = kx + (1 − k ) q , k ∈ [ 0,1] , x ∈ M và M là I -bất biến và T -bất biến thì (1.1) có thể qui về khái niệm R-giao hoán dưới yếu của T và I Giả sử M là I -bất biến và T -bất biến, M có tính chất (N) với q ∈ F ( I ) Thì I , T là ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực R > 0 mà d p ( ITx, TIx ) ≤ Rd p ( (1 − kn ) q + knTx, Ix ) , x ∈ M , {kn } ⊂ M , M có tính chất (N) Ví dụ: Cho M= [1, ∞ ) với mêtric thực thông thường Định nghĩa Tx =4 x − 3, Ix =2 x 2 − 1 ,x∈M Thì I , T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M I , T không giao hoán trên M ∀x ∈ M TIx= T ( 2 x 2 − 1)= 4 ( 2 x 2 − 1) − 3= 8 x 2 − 7   ⇒ TIx ≠ ITx = I ( 4 x − 3= ) 2 ( 4 x − 3) −=1 32 x 2 − 48 x + 17  2 ITx I , T là R-giao hoán dưới yếu trên M
12 ∀x ∈ M , k ∈ [ 0;1] , q ∈ F ( I ) kTx + (1 − k ) q= 4kx − 3k + (1 − k ) q d ( ITx; TIx )= 24 x 2 − 48 x + 24 = 24 ( x − 1) 2 d ( kTx + (1 − k ) q; Ix )= 2 x 2 − 1 − 4kx + 3k + (1 − k ) q = 2 x 2 − 4 x + 4 x + 2 − 2 − 1 − 4kx + 3k + (1 − k ) q = 2 x 2 − 4 x + 2 + 4 x − 4kx − 3 + 3k + (1 − k ) q = 2 ( x − 1) + (1 − k )( 4 x − 3 − q ) ≥ 2 ( x − 1) 2 2 Vì ∀x ∈ M = [1; ∞ ) ⇒ x ≥ 1 ⇒ 4 x ≥ 4 ⇒ 4 x − 4 ≥ 0     q = 1    ⇒ 4 x − 3 − q ≥ 0 q ∈ F ( I ) ⇒ q= 2q 2 − 1 ⇔  1 ⇒ q ≤ 1 ⇒ 1 − q ≥ 0  ⇒ (1 − k )( 4 x − 3 − q ) ≥ 0 q = −   2    k ∈ [ 0;1] ⇒ k ≤ 1 ⇒ 1 − k ≥ 0  Chọn R = 12 ta có d ( ITx; TIx ) ≤ 12d ( kTx + (1 − k ) q; Ix ) Cho M là tập con của không gian định chuẩn X và F = { f x }x∈M là họ hàm f x : [ 0,1] → M mà f x (1= ) x , ∀x ∈ M Họ F gọi là liên tục điểm (yếu) nếu t → t0 trong [ 0,1] , x → x0 ( x → x0 yếu) trong M thì f x ( t ) → f x ( t0 ) ( f x ( t ) → f x ( t0 ) yếu) trong M 0 0 Thấy rằng nếu M ⊆ X là q-hình sao và f x ( t ) =(1 − t ) q + tx thì F là họ co liên tục tại điểm và liên tục yếu tại điểm với φ ( t ) = t Như vậy lớp các tập con của X mà co và liên tục chứa trong lớp các tập hình sao và chứa lớp các tập lồi.
13 1.11. Một số định nghĩa Một ánh xạ T : M → X là (i) T demiclosed (đóng một phần) tại 0 nếu mỗi dãy { xn } ⊂ M hội tụ yếu về x và {Txn } hội tụ mạnh về 0 thì Tx = 0 (ii) T cô đặc nếu T liên tục và mỗi tập con khác rỗng bị chặn B của M với α ( B ) > 0, T ( B ) bị chặn và α (T ( B ) ) < α ( B ) , trong đó ( B ) inf {r > 0} B được phủ bởi những tập có đường kính nhỏ hơn α= hoặc bằng r. (iii) T hemicompact (nửa compact) nếu mỗi dãy { xn } ⊂ M có một dãy con hội tụ khi d p ( xn , Txn ) → 0 khi n → ∞ (iv) T demi compact (compact một phần) nếu T liên tục và mỗi dãy bị chặn { xn } ⊂ M mà {Txn − xn } hội tụ trong X, có một dãy con hội tụ. (v) T liên tục hoàn toàn nếu mỗi dãy { xn } ⊂ M hội tụ yếu về x thì {Txn } hội tụ về {Tx} Cho ánh xạ I : M → M và u ∈ X , Al-Thagafi định nghĩa các tập (i ) { x M : Ix ∈ PM ( u )} CMI ( u ) =∈ ( ii ) M (u ) D= I PM ( u ) ∩ CMI ( u ) { x ∈ M : d ( x, u ) = ở đây PM ( u ) = dist ( u , M )} là tập xấp xỉ tối ưu của u∈ X \ M , ở đây = dist ( u , M ) inf {d ( y, u ) : y ∈ M }
14 CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Sử dụng định lí 1 của Pant 2.1. Định lí 2.1 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T , I : X → X là những ánh xạ R-giao hoán yếu mà T ( X ) ⊂ I ( X ) và d (Tx, Ty ) < d ( Ix, Iy ) , Ix ≠ Iy . Nếu T hoặc I liên tục thì F (T ) ∩ F ( I ) ≠ ∅ ( có ít nhất một điểm chung). 2.2. Định lí 2.2 Cho T , I là những tự xạ trên tập con M của không gian định chuẩn X , . ( p ). Giả sử M có họ ánh xạ co và liên tục F = { f x }x∈M mà I ( f= x (α ) ) f I ( x ) (α ) , x ∈ M , α ∈ ( 0,1) . Giả sử T là I-không giãn và M = IM , T và I là R-giao hoán dưới yếu. Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact (ii) M compact (iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demi compact (v) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn (vi) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu và họ F = { f x }x∈M liên tục yếu thay cho liên tục Chứng minh n Đặt λn = nghĩa Tn x fT ( x ) ( λn ) , x ∈ M . và định= n +1
15 Nhận xét rằng Tn là một tự xạ xác định tốt trên M. n Vì λ= ⇒ 0 < λn < 1 ⇒ λn ∈ [ 0;1] n +1 n T :M → M Tn : M → M x  Tx ⊂ M fT ( x ) ( λn ) x  Tn x = Họ F = { f x }x∈M với f x : [ 0;1] → M 1 x , ∀x ∈ M Cho x, y ∈ M , x ≠ y Ta có họ F = { f x }x∈M co nên tồn tại hàm φ : ( 0;1) → ( 0;1) Thỏa d p ( f x ( t ) ; f y ( t ) ) ≤ φ ( t )  d p ( x; y ) p Nên ( 2.0 ) d p ( fTx ( λn ) , fTy ( λn ) ) ≤ (φ ( λn ) ) d p (Tx, Ty ) < d p (Tx, Ty ) = d p (Tn x, Tn y ) = p Tx − Ty p Vì T liên tục và bất đẳng thức (2.0) nên Tn liên tục trên M. Như vậy Tn x ≠ Tn y , x, y ∈ M , T là I-không giãn ⇒ d p (Tx; Ty ) ≤ d p ( Ix; Iy ) Nên d p (Tn x, Tn y ) ≤ d p ( Ix, Iy ) Nhưng I ( f x (α ) ) = f I ( x ) (α ) (giả thiết) T , I là R giao hoán dưới yếu ⇒ d p ( ITx; TIx ) ≤ Rd p ( fTx ( λn ) ; Ix ) với mỗi x ∈ M Với Tn Ix fTI ( x ) ( λn )= = fT ( x ) ( λn ) ITn x I= ( f IT ( x ) ( λn ) ) ( ) Và vì tính chất của họ F cho ta d p fTI ( x ) ( λn ) ; f IT ( x ) ( λn ) ≤ (φ ( λn ) ) d p (TIx, ITx ) p Nên
16 d p (Tn Ix, ITn x ) d= = ( ( p fTI ( x ) ( λn ) , I fT ( x ) ( λn ) )) ( d p fTI ( x ) ( λn ) , f IT ( x ) ( λn ) ) ≤ (φ ( λn ) ) d p (TIx, ITx ) ≤ (φ ( λn ) ) Rd p ( fTx ( λn ) , Ix ) = (φ ( λn ) ) Rd p (Tn x, Ix ) p p p Điều này cho thấy Tn và I là (φ ( λn ) ) R-giao hoán yếu trên M với mỗi n ≥ 1 p và Tn ( M ) ⊂ M = I (M ) Sử dụng kết quả trên và định lí 2.1 ta chứng minh định lí 2.2 (i) ( X , d ) là không gian mêtric đầy đủ p Tn và I là (φ ( λn ) ) R-giao hoán yếu trên M với mỗi n ≥ 1 p Tn ( M ) ⊂ M= I ( M ) ⇒ Tn ( M ) ⊂ I ( M ) d p (Tn x, Tn y ) ≤ d p ( Ix, Iy ) khi Ix ≠ Iy Tn liên tục Nên theo định lí 2.1 với mỗi n ≥ 1 có một xn ∈ M mà= xn T= n xn Ixn Vì cl(T(M)) compact, {Txn } có dãy con {Txm } hội tụ về z khi m → ∞ Tính liên tục của F cho ta = xm fT ( x ) ( λm ) → f z = xm Tn= (1) z khi m → ∞ m Vì T liên tục nên Txm → Tz khi m → ∞ Do đó Tz = z ⇒ z ∈ F ( z ) Từ TM ⊂ IM thì = = Iy z Tz , y∈M Thêm nữa, d p (Txm , Ty ) ≤ d p ( Ixm , Iy ) = d p ( xm , z ) Cho m → ∞ được d p (Tz , Ty ) ≤ d p ( z , z ) =0 ⇒ d p (Tz , Ty ) =0 ⇒ Tz =Ty Do đó = = Tz= Ty z Iy Từ T và I là R-giao hoán dưới yếu nên d p (Tz , Iz ) = d p (TIy, ITy ) ≤ Rd p (Ty, Iy ) = 0 ⇒ d p (Tz , Iz ) =0 ⇒ Tz =Iz Khi đó = = Iz z Tz
17 Vậy z ∈ F (T ) ∩ F ( I ) (ii) Vì M compact nên M đầy đủ, T liên tục Suy ra clT ( M ) compact Nên theo (i) ta có z ∈ F (T ) ∩ F ( I ) (iii) Theo định lí 2.1, với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà= xn T= n xn Ixn Vì T compact và { xn } bị chặn trong F ( I ) , nên {Txn } có dãy con {Txm } hội tụ về z khi m → ∞ Vì F liên tục nên ta có = xm fT ( x ) ( λm ) → f z = xm Tn= m (1) z khi m → ∞ Khi đó Txm → Tz khi m → ∞ do đó có giới hạn Tz = z ⇒ z ∈ F (T ) Từ TM ⊂ IM thì = = Iy z Tz , y ∈ M (kết quả như (i)) (iv) Như trong (i), với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà= xn T= n xn Ixn . Do { xn } bị chặn và { xn − Ixn } hội tụ về 0, vì I demi compact (compact một phần), { xn } có dãy con { xm } hội tụ đến z khi m → ∞ Vì T liên tục, {Txm } hội tụ về Tz khi m → ∞ Ngoài ra, = xm fT ( x ) ( λm ) → fTz = xm Tn= m (1) Tz khi m → ∞ Do tính duy nhất của giới hạn, ta có Tz = z ⇒ z ∈ F (T ) Từ TM ⊂ IM thì = = Iy z Tz , y ∈ M (kết quả như (i)) (v) Theo định lí 2.1, với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà= xn T= n xn Ixn Do M compact yếu nên { xn } có dãy con { xm } hội tụ yếu về y ∈ M khi m → ∞ Vì T liên tục hoàn toàn, {Txm } hội tụ về {Ty} khi m → ∞ Ngoài ra, = xm fT ( x ) ( λm ) → fTy = xm Tn= m (1) Ty khi m → ∞ Do Txm → T 2 y khi m → ∞ z Tz ∈ F (T ) Nên T 2 y = Ty ⇒ Tz = z với =
18 Như trong (i), ta sẽ có z ∈ F ( I ) (vi) Theo định lí 2.1, với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà= xn T= n xn Ixn Tập M compact yếu nên { xn } có dãy con { xm } hội tụ yếu về y ∈ M khi m → ∞ I liên tục yếu nên Iy = y Từ T liên tục yếu nên Txm hội tụ yếu về Ty khi m → ∞ và họ ánh xạ F liên tục yếu nên ta có= xm T= n xm fT ( x ) ( λm ) hội tụ yếu đến m fT y (1) Ty khi m → ∞ = Sử dụng tính chất Hausdorff của tôpô yếu ta được y = Ty . Theo (i) ta có kết quả cần chứng minh 2.3. Định lí 2.3 Cho T, I là các tự xạ trên M là tập con của không gian định chuẩn X , . ( p ). Giả sử M có tính chất (N) với q ∈ F ( I ) , I thỏa mãn điều kiện (C) , T là I-không giãn và M = IM. Cho T và I là R-giao hoán dưới yếu trên M. Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau: (i) M đầy đủ, cl(T(M)) compact (ii) M compact (iii) M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact (iv) M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact (v) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn. (vi) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu (vii) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu, I-T demiclosed tại 0 (viii) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu và X thỏa điều kiện Opial (ix) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ hemicompact
19 (x) M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ cô đặc. Chứng minh Lập Tn : M → M ( 2.1) Tn ( x = ) knTx + (1 − kn ) q Trong đó x ∈ M , {kn } là dãy số thực hội tụ về 1 và 0 < kn < 1 Vì tập M có tính chất (N) nên knTx + (1 − kn ) q ∈ M và T liên tục Nên Tn là tự xạ xác định tốt và liên tục trên M M có tính chất (N) với q ∈ F ( I ) ⊂ M nên có một dãy số thực cố định kn → 1 , 0 < kn < 1 và (1 − kn ) q + knTx ∈ M với mỗi x ∈ M và n > 1 Ánh xạ I có tính chất (C) trên tập M nên I ( (1 − kn ) q + knTx ) =− (1 kn ) Iq + kn ITx với mỗi x ∈ M và n > 1 T là I-nonexpansive ⇒ d p (Tx; Ty ) ≤ d p ( Ix; Iy ) , x, y ∈ M , x ≠ y Với x, y ∈ M , x ≠ y ta có ( 2.2 ) d p (Tn x, Tn y ) ≤ ( kn ) d p (Tx, Ty ) < d p (Tx, Ty ) p Cho x, y ∈ M và Tn x ≠ Tn y , T là I không giãn và (2.2) cho ta d p (Tn x, Tn y ) < d p ( Ix, Iy ) Vì I thỏa điều kiện (C) và Iq = q , nên với x ∈ M ITn x ) d p ( knTIx + (1 − kn ) q, kn ITx + (1 − kn ) q ) ≤ ( kn ) d p (TIx, ITx ) d p (Tn Ix,= p ≤ ( kn ) Rd p ( knTx + (1 − kn ) q, Ix ) = ( kn ) Rd p (Tn x, Ix ) p p ⇒ d p (Tn Ix, ITn x ) ≤ ( kn ) Rd p (Tn x, Ix ) p Như vậy Tn và I là ( kn ) R-giao hoán yếu trên M với n ≥ 1, Tn ( M ) ⊂ M = I (M ) p