Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm hữu tỷ trên đường cong elliptic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:86

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu tập các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn và trên trường các số hữu tỉ. Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse về chặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn, Định lý Mordell–Weil về cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên Q.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm hữu tỷ trên đường cong elliptic

1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm hiểu, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Duy Tân. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Hoàng Tùng
2 Lời cảm ơn Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Duy Tân người đã tận tâm hướng dẫn, động viên tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn bè trong và ngoài Viện Toán học đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi về môi trường học tập của nơi đào tạo là Viện Toán học và cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
3 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt K một trường hoàn thiện, có đặc số khác 2. K một bao đóng đại số cố định của K. GK/K nhóm Galois của K/K. Fq một trường hữu hạn với q phần tử. Fq một bao đóng đại số của Fq . E [m] nhóm con m-xoắn của đường cong elliptic E. deg φ bậc của ánh xạ φ. degs φ bậc tách được của ánh xạ φ. degi φ bậc không tách được của ánh xạ φ. eφ (P ) chỉ số rẽ nhánh của φ. φ∗ ánh giữa các trường hàm được cảm sinh bởi ánh xạ hữu tỉ giữa các đường cong.
4 Danh mục các hình vẽ Hình 1.1: Kiểm tra luật hợp thành. Hình 1.2: Luật hợp thành trên đường cong elliptic.
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Đa tạp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Đa tạp xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3. Ánh xạ giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Luật nhóm trên đường cong elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Điểm có cấp hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Đường cong elliptic trên trường hữu hạn 30 2.1 Định lý Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Một định lý của Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ 46 3.1 Hàm độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Định lý Mordell yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3 Định lý Mordell trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kết luận 85 Tài liệu tham khảo 86 5
6 MỞ ĐẦU Đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình y 2 = x3 + ax + b. Đây là một đối tượng quan trọng trong lý thuyết số. Chẳng hạn, nó được sử trọng chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Ngoài ra nó còn có ứng dụng trong lý thuyết mật mã (mật mã đường cong elliptic). Mục đích của luận văn này là nghiên cứu tập các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn và trên trường các số hữu tỉ. Tìm hiểu chứng minh hai định lý chính: Định lý Hasse về chặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn, Định lý Mordell–Weil về cấu trúc nhóm các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên Q. Chương I của luận văn gồm bốn phần. Phần thứ nhất là các khái niệm, định nghĩa, tính chất cơ bản của tập đại số. Phần thứ hai là các khái niệm, định nghĩa, tính chât cơ bản của đường cong đại sô. Phần thứ ba mô tả cách xây dựng cấu trúc nhóm trên đường cong elliptic. Phần thứ tư cho ta một mô tả về các điểm có cấp hữu hạn. Chương II của luận văn gồm hai phần. Phần thứ nhất là Định lý Hasse về chặn cho số các điểm hữu tỉ của đường cong elliptic trên trường hữu hạn. Phần thứ hai trình bày một Định lý của Gauss, cho ta công thức tính chính xác số điểm hữu tỉ trong một trường hợp riêng của Định lý Hasse. Chương III của luận văn gồm ba phần. Phần thứ nhất xây dựng hàm độ cao và chứng minh các tính chất cơ bản của hàm này. Phần thứ hai là Định lý Mordell yếu. Phần thứ ba là Định lý Mordell trên Q. Trong phần này, ta xây dựng một ví dụ cụ thể cho việc tính toán nhóm E (Q) .
CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số Trong phần này, ta sẽ nêu ra những định nghĩa và tính chất cơ bản của đa tạp đại số trong không gian affine và không gian xạ ảnh nhằm phục vụ cho phần sau của luận văn. 1.1.1. Đa tạp affine Định nghĩa 1.1.1. Không gian Affine n chiều trên trường K là tập hợp An = An K = P = (x1 , . . . , xn ) : xi ∈ K , trong đó K là một bao đóng đại số của K. Một cách tương tự, tập hợp của các điểm K -hữu tỷ của An là An (K) = {P = (x1 , . . . , xn ) ∈ An : xi ∈ K} . Chú ý 1.1.2. Nhóm Galois GK/K tác động lên An theo quy luật sau. Với mỗi σ ∈ GK/K , ta có P σ = (xσ1 , . . . , xσn ) , với xσi = σ (xi ) . Vì vậy, An (K) có thể xác định bởi n o n n σ A (K) = P ∈ A : P = P ∀σ ∈ GK/K . 7
8 Gọi K [X] = K [X1 , . . . , Xn ] là vành đa thức n biến và I ⊂ K [X] là một ideal của vành này. Với mỗi I ta có một tập con của An , VI = {P ∈ An : f (P ) = 0, ∀f ∈ I} . Định nghĩa 1.1.3. (a) Một tập affine đại số là một tập có dạng VI . (b) Nếu V là một tập đại số, ideal của V là I (V ) = f ∈ K [X] : f (P ) = 0, ∀P ∈ V . (c) Một tập đại số được gọi là tập đại số xác định trên K nếu ideal I (V ) của nó có thể sinh bởi các đa thức trong vành K [X]. Ta kí hiệu một tập đại số như vậy là V /K . Nếu V là tập đại số xác định trên K thì tập các điểm K -hữu tỷ của V là tập V (K) = V ∩ An (K) . Chú ý 1.1.4. Định lý cơ sở Hilbert chỉ ra rằng K [X] và K [X] là các vành Noether. Chú ý 1.1.5. (a) Cho V là một tập đại số, ideal I (V /K) được định nghĩa bởi I (V /K) = {f ∈ K [X] : f (P ) = 0, ∀P ∈ V } = I (V ) ∩ K [X] . Khi đó, V xác định trên K khi và chỉ khi I (V ) = I (V /K) K [X] . (b) Giả sử V xác định trên K . Khi đó, theo Chú ý 1.1.4, tồn tại f1 , . . . , fm ∈ K [X] là các các phần tử sinh của I (V /K). Ta có V (K) là tập hợp các (x1 , . . . , xn ) thỏa mãn f1 (x1 , . . . , xn ) = · · · = fm (x1 , . . . , xn ) = 0, với xi ∈ K.
9 (c) Nếu f (X) ∈ K [X] và P ∈ An thì f (P σ ) = f (P )σ . Vì thế, nếu V xác định trên K thì tác động của GK/K lên An cảm sinh một tác động lên V . Nói rõ hơn, n o σ V (K) = P ∈ V : P = P, ∀σ ∈ GK/K . Định nghĩa 1.1.6. (a) Một tập đại số affine V được gọi là một đa tạp affine nếu I (V ) là ideal nguyên tố trong vành K [X]. (b) Cho V /K là một đa tạp affine. Vành tọa độ affine của V /K , được kí hiệu là K [V ], được định nghĩa như sau. K [X] K [V ] = . I (V /K) (c) Vì I (V /K) là ideal nguyên tố trong K [X] nên K [V ] là một miền nguyên. Vì thế, ta có thể định nghĩa trường các thương của nó, kí hiệu là K (V ). Ta gọi K (V ) là trường hàm của V /K. (d) Tương tự, ta định nghĩa K [V ] và K (V ) bằng cách thay vai trò của K bởi K. Tiếp theo, ta định nghĩa chiều của một đa tạp. Định nghĩa 1.1.7. Cho V là một đa tạp affine. Chiều của V , được kí hiệu là dim (V ) là bậc siêu việt của K (V ) trên K . Định nghĩa 1.1.8. Cho V là một đa tạp affine, P ∈ V và f1 , . . . , fm ∈ K [X] là các phần tử sinh của I (V ). Khi đó, V được gọi là không kì dị (trơn) tại P nếu ma trận ∂fi (P ) ∂Xj 1≤i≤m, 1≤j≤n có hạng n − dim (V ). Nếu V trơn tại mọi điểm thì ta nói V là đa tạp không kì dị (trơn).
10 Chú ý 1.1.9. Cho P ∈ V , ta định nghĩa một ideal của K [V ], kí hiêu là MP như sau MP = f ∈ K [V ] : f (P ) = 0 . Vì K [V ] /MP −→ K f 7−→ f (P ) là một đẳng cấu nên MP là một ideal cực đại. Định nghĩa 1.1.10. (a) Vành địa phương của V tại P , được kí hiệu bởi K [V ]P là địa phương hóa của K [V ] tại MP . Ta có f K [V ]P = F ∈ K [V ] : F = , với f, g ∈ K [V ] và g (P ) 6= 0 . g f f (P ) (b) Nếu F = ∈ K [V ]P thì F (P ) = được định nghĩa tốt. Những g g (P ) hàm nằm trong K [V ]P được gọi là chính quy (xác định) tại P. 1.1.2. Đa tạp xạ ảnh Định nghĩa 1.1.11. Không gian xạ ảnh n chiều trên K , được kí hiệu là Pn hoặc Pn K là tập các lớp tương đương của tập (x0 , . . . , xn ) ∈ An+1 , tồn tại xi 6= 0 . Quan hệ tương đương ∼ được định nghĩa như sau. (x0 , . . . , xn ) ∼ (y0 , . . . , yn ) ∗ khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ K sao cho (x0 , . . . , xn ) = λ (y0 , . . . , yn ) . Ta kí hiệu phần tử của Pn là [x0 , . . . , xn ] và gọi xi là các tọa độ thuần nhất. Tập hợp các điểm K -hữu tỷ của Pn là tập Pn (K) = {[x0 , . . . , xn ] ∈ Pn : xi ∈ K} .
11 Chú ý 1.1.12. Nếu P = [x0 , . . . , xn ] ∈ Pn (K) thì không nhất thiết xi ∈ K xj với mọi i. Tuy nhiên, nếu ta chọn i nào đó để xi 6= 0 thì ∈ K với mọi j . xi Định nghĩa 1.1.13. Cho P = [x0 , . . . , xn ] ∈ Pn K . Trường định nghĩa tối tiểu của P trên K là trường x0 xn K (P ) = K ,..., , xi 6= 0 nào đó. xi xi Nhóm Galois GK/K tác động trên Pn bằng cách tác động lên các tọa độ thuần nhất [x0 , . . . , xn ]σ = [xσ0 , . . . , xσn ] . Tác động này được định nghĩa tốt, không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất vì [λx0 , . . . , λxn ]σ = [λσ xσ0 , . . . , λσ xσn ] = [xσ0 , . . . , xσn ] . Hơn nữa, ta có n o n n σ P (K) = P ∈ P : P = P, ∀σ ∈ GK/K và n o σ K (P ) = trường bất động của σ ∈ GK/K : P = P . Định nghĩa 1.1.14. (a) Đa thức f ∈ K [X] = K [X0 , . . . , Xn ] được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu f (λX0 , . . . , λXn ) = λd f (X0 , . . . , Xn ) , ∀λ ∈ K. (b) Một ideal I ∈ K [X] được gọi là thuần nhất nếu nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất. (c) Cho f là một đa thức thuần nhất và điểm P ∈ Pn . Vì f (P ) = 0 không phụ thuộc việc chọn tọa độ thuần nhất cho P nên ta có thể định nghĩa VI = {P ∈ Pn : f (P ) = 0, với mọi đa thức thuần nhất f ∈ I} .
12 Định nghĩa 1.1.15. (a) Một tập đại số xạ ảnh là một tập có dạng VI với I là một ideal thuần nhất. (b) Nếu V là một tập đại số xạ ảnh thì ideal thuần nhất của V được kí hiệu là I (V ) là một ideal của K [X] được sinh bởi f ∈ K [X] : f là thuần nhất và f (P ) = 0, ∀P ∈ V . (c) Một tập đại số V được gọi là xác định trên K , kí hiệu là V /K nếu ideal I (V ) của nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất trong K [X]. Nếu V xác định trên K thì tập các điểm K -hữu tỷ của V là tập V (K) = V ∩ Pn (K) . Tập V (K) có thể được mô tả như sau n o σ V (K) = P ∈ V : P = P, σ ∈ GK/K . Định nghĩa 1.1.16. Một tập đại số xạ ảnh được gọi là một đa tạp xạ ảnh nếu ideal thuần nhất I (V ) của nó là nguyên tố trong K [X]. Chú ý 1.1.17. (a) Ta có thể coi Pn chứa các mảnh affine An . Với mỗi 0 ≤ i ≤ n, ta có một phép nhúng φi : An −→ Pn (y1 , . . . , yn ) 7−→ [y1 , . . . , yi−1 , 1, yi+1 , . . . , yn ] . (b) Ta gọi siêu gọi siêu phẳng được định nghĩa bởi Xi = 0 là Hi , ta có Hi = {P = [x0 , . . . , xn ] ∈ Pn : xi = 0} và Ui là phần bù của Hi , Ui = {P = [x0 , . . . , xn ] : xi 6= 0} = Pn \ Hi . Ta có một song ánh tự nhiên φ−1 i : Ui −→ A n x0 xi−1 xi+1 xn [x0 , . . . , xn ] 7−→ ,..., , ,..., . xi xi xi xi
13 (c) Giả sử V là một tập đại số xạ ảnh trong Pn . Khi đó, ta có thể xem φ−1 i (V ∩ Ui ) là V ∩ An . Vì U0 , . . . , Un phủ toàn bộ Pn nên một đa tạp xạ ảnh V bất kì được phủ bởi V ∩ U0 , . . . , V ∩ Un . Mỗi tập này là một đa tạp affine qua ánh xạ φ−1 i . Quá trình thay thế đa thức f (X0 , . . . , Xn ) bởi f (Y1 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) được gọi là quá trình phi thuần nhất hóa theo biến Xi . (d) Ta có thể làm ngược lại quá trình trên. Với mỗi f (Y ) ∈ K [Y ], ta đặt X 0 X i−1 X i+1 X n f ∗ (X0 , . . . , Xn ) = Xid f ,..., , ,..., , Xi Xi Xi Xi trong đó d = deg (f ). Ta nói f ∗ là thuần nhất hóa của f theo biến Xi và gọi quá trình này là quá trình thuần nhất hóa theo biến Xi . Định nghĩa 1.1.18. Cho V ⊂ An là một một tập đại số affine được định nghĩa bởi I (V ), ta xem V như một tập con của Pn qua ánh xạ φi : V ⊂ An −→ Pn . Bao đóng xạ ảnh của V là tập đại số xạ ảnh được định nghĩa bởi ideal thuần nhất I V sinh bởi {f ∗ : f ∈ I (V )} , được kí hiệu là V . Mệnh đề sau cho ta một mô tả về I (V ∩ An ). Mệnh đề 1.1.19. Giả sử V là một tập đại số xạ ảnh với ideal thuần nhất I (V ) ⊂ K [X]. Khi đó, I (V ∩ An ) = {f (Y1 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) : f (X0 , . . . , Xn ) ∈ I (V )} . Chứng minh. Ta đặt I = {f (Y1 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) : f (X0 , . . . , Xn ) ∈ I (V )} .
14 Nếu g ∈ I thì tồn tại f ∈ I (V ) sao cho g (Y1 , . . . , Yi−1 , Yi+1 , . . . , Yn ) = f (Y1 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) . Khi đó, g (x0 , . . . , xi−1 , xi+1 , xn ) = f (x0 , . . . , xi−1 , 1, xi+1 , . . . , xn ) = 0 với mọi P (x0 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) ∈ V ∩An . Vì thế, ta có f ∈ I (V ∩ An ) . Ngược lại, giả sử f ∈ I (V ∩ An ). Khi đó, Xi f ∗ (P ) = 0, với mọi P ∈ V. Vì thế, ta có Xi f ∗ ∈ I (V ). Mặt khác, (Xi f ∗ ) (Y0 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) = f (Y0 , . . . , Yi−1 , Yi+1 , . . . , Yn ) . Vì thế, ta có f ∈ I. Mệnh đề 1.1.20. (a) Cho V là một đa tạp affine. Khi đó, V là một đa tạp xạ ảnh và V = V ∩ An . (b) Cho V là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó, V ∩ An là đa tạp affine và V = V ∩ An hoặc V ∩ An = ∅. (c) Nếu một đa tạp affine (xạ ảnh) V xác định trên K thì V (V ∩ An ) cũng xác định trên K . Chứng minh. (a) Ta có I V sinh bởi {f ∗ : f ∈ I (V )} . Vì vậy I (V ) = f (Y0 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) : f (X0 , . . . , Xn ) ∈ I V . Theo Mệnh đề 1.1.19, ta có I V ∩ An = I (V ). Vì vậy V = V ∩ An . Giả sử f g ∈ I V , ta có f (Y0 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) g (Y0 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) ∈ I (V ) .
15 Vì I (V ) là ideal nguyên tố nên không mất tổng quát, ta giả sử f (Y0 , . . . , Yi−1 , 1, Yi+1 , . . . , Yn ) ∈ I (V ) . Vì thế, ta có f ∈ I V . (b) Giả sử V ∩ An 6= ∅. Khi đó, I (V ∩ An ) 6= K [Y ]. Nếu f g ∈ I (V ∩ An ) thì f ∗ g ∗ ∈ I (V ). Vì I (V ) là ideal nguyên tố nên không mất tổng quát, ta có thể giả sử f ∗ ∈ I (V ). Vì thế, ta có f ∈ I (V ∩ An ) suy ra I (V ∩ An ) là ideal nguyên tố. Vì vậy V ∩ An là đa tạp affine. (c) Chứng minh được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Định nghĩa 1.1.21. (a) Cho V /K là một đa tạp xạ ảnh. Ta chọn An ⊂ Pn sao cho V ∩ An 6= ∅. Khi đó, chiều của V là chiều của V ∩ An . (b) Trường hàm của V , được kí hiệu bởi K (V ) là trường hàm của V ∩ An và tương tự cho K (V ). Chú ý rằng, với các cách chọn An khác nhau, các trường hàm tương ứng đẳng cấu với nhau. Vì vậy ta có định nghĩa tốt. Định nghĩa 1.1.22. (a) Cho C là một đường cong xạ ảnh và điểm P ∈ C . Ta chọn An ⊂ Pn sao cho P ∈ An . Khi đó, P được gọi là điểm kì dị (không kì dị) của V nếu nó là điểm kì dị (không kì dị) của V ∩ An . (b) Vành địa phương của V tại P , được kí hiệu bởi K [V ]P là vành địa phương của V ∩ An tại P . Hàm F ∈ K (V ) được gọi là chính quy (xác định) tại P nếu nó thuộc K [V ]P . 1.1.3. Ánh xạ giữa các đa tạp Trong tiểu mục này ta sẽ định nghĩa cấu xạ giữa các đa tạp xạ ảnh. Định nghĩa 1.1.23. (a) Cho V1 , V2 ⊂ Pn là các đa tạp xạ ảnh. Một ánh xạ hữu tỉ từ V1 vào V2 là ánh xạ có dạng φ : V1 −→ V2 , φ = [f0 , . . . , fn ] ,
16 trong đó các hàm f0 , . . . , fn ∈ K (V1 ) có tính chất sau. Với mỗi P ∈ V mà tại đó f0 , . . . , fn xác định, ta có φ (P ) = [f0 (P ) , . . . , [fn (P )] ∈ V2 . ∗ (b) Nếu tồn tại λ ∈ K sao cho λf0 , . . . , λfn ∈ K (V1 ) thì φ được gọi là xác định trên K . Chú ý 1.1.24. Một ánh xạ hữu tỉ φ : V1 −→ V2 không nhất thiết định nghĩa tốt tại mọi điểm thuộc V1 . Tuy nhiên, ta có thể xác định φ (P ) tại điểm P ∈ V1 mà tại đó tồn tại fi không chính quy bằng cách thay fi bởi gfi , g ∈ K (V1 ) . Định nghĩa 1.1.25. Một ánh xạ hữu tỉ φ = [f0 , . . . , fn ] : V1 −→ V2 được gọi là chính quy (xác định) tại P ∈ V1 nếu tồn tại g ∈ K (V1 ) sao cho (i) gfi chính quy tại P với mọi i, (ii) tồn tại i nào đó để (gfi ) (P ) 6= 0. Nếu tồn tại g như vậy thì ta đặt φ (P ) = [(gf0 ) (P ) , . . . , (gfn ) (P )] . Một ánh xạ hữu tỉ chính quy tại mọi điểm được gọi là một cấu xạ. 1.2 Đường cong đại số Trong luận văn này, một đường cong được hiểu là một đa tạp xạ ảnh một chiều. Chúng ta chủ yếu làm việc với đường cong trơn. Chúng ta bắt đầu với mệnh đề sau. Mệnh đề này cho ta một mô tả về vành địa phương tại một điểm của đường cong.
17 Mệnh đề 1.2.1. [1, Mệnh đề 9.2] Cho C là một đường cong và P ∈ C là một điểm trơn. Khi đó, K [C]P là một vành định giá rời rạc. Định nghĩa 1.2.2. (a) Cho C là một đường cong và P ∈ C là một điểm trơn. Khi đó, hàm định giá trên K [C]P được cho bởi ordP : K [C]P −→ {0, 1, 2, . . . } ∪ {∞} f 7−→ sup d ∈ Z : f ∈ MPd . (b) Ta có thể mở rộng ordP lên K (C) như sau. Ta có ordP : K (C) −→ Z ∩ {∞} f F = 7−→ ordP (f ) − ordP (g) . g (c) Một phần tử đơn trị hóa cho C tại P là một hàm t ∈ K (C) với ordP (t) = 1 tương đương với t là một phần tử sinh của MP . Ta sẽ nêu ra mà không chứng minh mệnh đề sau. Chứng minh của mệnh đề này có thể tham khảo [2], p 18-19. Mệnh đề 1.2.3. [2, Mệnh đề II.1.4] Cho C/K là một đường cong và t ∈ K (C) là một phần tử đơn trị hóa tại một điểm trơn P ∈ C (K). Khi đó K (C) là một mở rộng hữu hạn, tách được của K (t). Ta sẽ nêu ra mà không chứng minh mệnh đề sau. Chứng minh của mệnh đề này có thể tham khảo [3], II.6.8. Mệnh đề 1.2.4. [3, Mệnh đề II.6.8] Cho φ : C1 −→ C2 là một cấu xạ giữa hai đường cong. Khi đó, φ (C1 ) = {P } , P ∈ C2 hoặc φ là toàn ánh. Định nghĩa 1.2.5. Cho C1 /K và C2 /K là các đường cong và toàn cấu φ : C1 /K −→ C2 /K
18 xác định trên K. Khi đó, hợp thành với φ cảm sinh một đơn cấu giữa các trường hàm, cố định K φ∗ : K (C2 ) −→ K (C1 ) f 7−→ f ◦ φ. Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2.6. [3, Mệnh đề II.6.8] Cho C1 /K và C2 /K là các đường cong và φ : C1 −→ C2 là một toàn cấu xác định trên K . Khi đó, K (C1 ) là một mở rộng hữu hạn của φ∗ (K (C2 )) . Định nghĩa 1.2.7. (a) Cho φ : C1 −→ C2 là một cấu xạ xác định trên K . Nếu φ là ánh xạ hằng thì ta định nghĩa bậc của φ bằng 0. Nếu φ là toàn ánh thì ta định nghĩa bậc của φ là bậc của mở rộng deg φ = [K (C1 ) : φ∗ K (C2 )] . (b) Ta nói φ là tách được, không tách được, thuần túy không tách nếu mở rộng trường K (C1 ) /φ∗ K (C2 ) có các tính chất tương ứng. Theo thứ tự, ta kí hiệu bậc tách được và bậc không tách được lần lượt là deg s φ và deg i φ. Định nghĩa 1.2.8. Cho φ : C1 −→ C2 là một toàn cấu giữa hai đường cong trơn và P ∈ C1 . Chỉ số rẽ nhánh của φ tại P , được kí hiệu là eφ (P ) là đại lượng eφ (P ) = ordP φ∗ tφ(P ) , trong đó tφ(P ) ∈ K (C2 ) là một phần tử đơn trị hóa tại φ (P ). Lưu ý rằng eφ (P ) ≥ 1. Ta nói rằng φ không rẽ nhánh tại P nếu eφ (P ) = 1. φ được gọi là không rẽ nhánh nếu nó không rẽ nhánh tại mọi điểm thuộc C1 . Mệnh đề 1.2.9. Cho φ : C1 −→ C2 là một toàn cấu giữa hai đường cong trơn. Ta có các khẳng định sau.
19 (a) Với mọi Q ∈ C2 , ta có X eφ (P ) = deg φ. P ∈φ−1 (Q) (b) Với mọi Q ∈ C2 ngoại trừ một số hữu hạn điểm, ta có #φ−1 (Q) = degs (φ) . (c) Cho ψ : C2 −→ C3 là một toàn cấu khác giữa hai đường cong trơn. Khi đó, với mọi P ∈ C1 eψ◦φ (P ) = eφ (P ) eψ (φP ) . Chứng minh. (a) Áp dụng [3, Mệnh đề II.6.9] với Y = P1 và D = (0). (b) Tham khảo [3, Mệnh đề II.6.8]. (c) Giả sử tφP và tψφP là các phần tử đơn trị hóa tại các điểm tương ứng. Theo định nghĩa, các hàm e (φP ) ψ tφP và ψ ∗ tψφP có cùng cấp tại φ (P ). Áp dụng φ∗ rồi sao đó lấy cấp tại P , ta thu được eψ (φP ) ordP φ∗ tφP = ordP ((ψφ)∗ tψφP ) . Hệ quả 1.2.10. Ánh xạ φ : C1 −→ C2 là không rẽ nhánh khi và chỉ khi #φ−1 (Q) = deg (φ) , với mọi Q ∈ C2 . Chứng minh. Từ 2.6a, ta có #φ−1 (Q) = deg (φ) nếu và chỉ nếu X eφ (P ) = #φ−1 (Q) . P ∈φ−1 (Q) Vì eφ (P ) ≥ 1 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi eφ (P ) = 1.
20 1.3 Luật nhóm trên đường cong elliptic Giả sử E là một đường cong xạ ảnh bậc ba. Đường cong E giao với Z = 0 tại duy nhất điểm [0, 1, 0] và không nhận điểm này là điểm kì dị. Khi đó, đường cong E được định nghĩa bởi phương trình Y 2 Z+a1 XY Z+a2 Y Z 2 = λX 3 +a3 X 2 Z+a4 XZ 2 +a5 Z 3 , ai , λ ∈ K, λ 6= 0. Bằng cách đổi biến, thay Y bởi λ2 Y và X bởi λX , ta có thể giả sử λ = 1. Vì thế E được định nghĩa bởi Y 2 Z +a1 XY Z +a2 Y Z 2 = X 3 +a3 X 2 Z +a4 XZ 2 +a5 Z 3 , ai ∈ K. (1.3.1) Định nghĩa 1.3.1. Ta gọi Phương trình (1.3.1) là phương trình Weierstrass. Ta có dạng affine của E y 2 + a1 xy + a2 y = x3 + a3 x2 + a4 x + a5 . a1 x + a2 Bằng cách đổi biến, thay y + bởi y , giữ nguyên x, ta có 2 a21 a2 y 2 = x3 + ax2 + bx + c, a = a3 + , b = a4 + a1 a2 , c = a5 + 2 . 4 4 Định nghĩa 1.3.2. (a) Đường cong elliptic là một cặp (E , O), trong đó E là đường cong trơn bậc ba được định nghĩa bởi phương trình Weierstrass và O là một điểm thuộc E . (b) Ta nói đường cong elliptic E xác định trên K và kí hiệu là E/K nếu E xác định trên K như một tập đại số và O ∈ E (K). Tiếp theo, ta sẽ xây dựng luật nhóm trên đường cong elliptic E . Mệnh đề 1.3.3. Cho E là một đường cong elliptic xác định trên K . Gọi điểm có tọa độ [0, 1, 0] là O. Với P, Q ∈ E , gọi L là đường thẳng đi qua P và Q (nếu P = Q thì L là đường tiếp tuyến với E tại P ), L giao với E tại P , Q và