BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Vũ Vân Trang LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin
và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để
tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép.
Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. Bùi Tường Trí.
Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng
lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận
được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013
Tác giả
1
Nguyễn Vũ Vân Trang
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 5
1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành .......................................................................... 5
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ...................................................................... 7
1.3. Radical của vành ...................................................................................................... 10
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN ............................................................................................. 15
2.1. Lũy đẳng ................................................................................................................... 15
2.2. Lũy đẳng tâm ............................................................................................................ 18
2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ ..................................................................... 19
2.4. Lũy đẳng nguyên thủy ............................................................................................. 19
2.5. Lũy đẳng địa phương ............................................................................................... 20
2.6. Lũy đẳng bất khả quy .............................................................................................. 23
2.7. Lũy đẳng đẳng cấu ................................................................................................... 25
2.8. Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R . 27
2.9. Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối ........................................................................ 34
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 42
2
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 43
BẢNG KÝ HIỆU
Vành các số nguyên
B là ảnh toàn cấu của A ℤ
Tâm của vành
– môđun phải 𝑅
– đồng cấu từ đến 𝑀
Nhóm các 𝑅 Vành các – tự đồng cấu của 𝑅 𝑀 𝑁
Vành ma trận vuông cấp n trên 𝑀 𝑅
Nhóm các phần tử khả nghịch của vành 𝐷
𝐴 ↠ 𝐵 𝑍(𝑅) 𝑀𝑅 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑀, 𝑁) 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑀) 𝑀𝑛(𝐷) Căn Jacobson của 𝑅
Điều kiện dây chuyền tăng 𝑅
3
𝑈(𝑅) ACC 𝑟𝑎𝑑 𝑅 DCC Điều kiện dây chuyền giảm
LỜI NÓI ĐẦU
Trước hết ta thấy rằng trong vành giao hoán có lũy đẳng thì vành được
phân tích thành tích trực tiếp của hai vành con và . Theo nhiều nghiên 𝑅 𝑒
cứu trong lý thuyết vành giao hoán, chúng ta chỉ thu hẹp nghiên cứu trong các vành 𝑅(1 − 𝑒)
≠ và không thể phân tích được nghĩa là
𝑅𝑒 không phân tích được thành tích trực 𝑅 tiếp của hai vành con khác không. Các vành này là các vành chỉ có các phần tử lũy 0 𝑅 𝑅
đẳng tầm thường là 0 và 1. Đối với vành không giao hoán, nhận xét trên sẽ hợp lí nếu
ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm”. Do đó, một vành khác không là không
phân tích được nếu và chỉ nếu nó không có phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường. 𝑅
Tuy nhiên trong các vành này có thể có nhiều phần tử lũy đẳng không là lũy đẳng tâm
không tầm thường. Do vậy trong lý thuyết các vành không giao hoán định lý về các
lũy đẳng có vai trò nổi bật hơn trong lý thuyết các vành giao hoán. Đặc biệt là vai trò
4
của lũy đẳng tâm trong sự phân tích khối của các vành.
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao
hoán. Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì là vành không giao hoán có
đơn vị, môđun M là một – môđun phải. 𝑅
𝑅 1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành
,
,.R + là một vành nếu
Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp R khác rỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu
là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói
,R +
các điều kiện sau được thỏa mãn:
,.R
(1) là một nhóm giao hoán.
(2) là một nửa nhóm.
(3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, với các phần tử tùy ý
ta có: và
Nếu phép nhân trong giao hoán thì ta gọi là vành giao hoán, nếu phép 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi 𝑅 là vành có đơn vị. 𝑅
Định nghĩa 1.1.2 𝑅
Một bộ phận khác rỗng của vành cùng với hai phép toán của vành cảm
sinh trên thành một vành thì ta nói là vành con của vành . 𝑅 𝑅 𝐴
Định nghĩa 1.1.3 𝐴 𝑅
là một vành, một vành con của được gọi là iđêan trái (hoặc iđêan 𝐴 Cho
phải) của vành (hoặc ), . nếu thỏa mãn điều kiện: 𝐴 𝑅
của được gọi là iđêan của vành 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 nếu 𝑎𝑟 ∈ 𝐴 vừa là iđêan trái vừa là ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑅 Vành con 𝑅
iđêan phải của vành 𝐴 . 𝑅 𝑅 𝐴
Định lý 1.1.4 𝑅
Giả sử là iđêan của vành trên nhóm thương ta định nghĩa
𝐴 (𝑅, +, . ) (𝑅 𝐴� , +) phép toán nhân như sau: .
Khi đó trên . là một vành, gọi là vành thương của (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴
5
(𝑅 𝑅 𝐴 𝐴� , +, . )
0
na = .
Định nghĩa 1.1.5
Một phần tử của vành là lũy linh nếu tồn tại sao cho
Định nghĩa 1.1.6 𝑎 𝑅 𝑛
Một iđêan một phía (hoặc hai phía) được gọi là nil nếu chứa các phần
tử lũy linh; được gọi là lũy linh nếu là số tự nhiên nào đó. với 𝐴 ⊆ 𝑅 𝐴
𝑛 𝐴 𝐴 là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong
Định nghĩa 1.1.7 = 0 𝑛
Cho đều khả
nghịch thì được gọi là một vành chia (hay là một thể). 𝑅 𝑅
Định nghĩa 1.1.8
𝑅 Vành là đơn nếu và có đúng hai iđêan là và .
≠ 2 Định nghĩa 1.1.9 𝑅 𝑅 0 𝑅 (0) 𝑅
Vành được gọi là Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có
phần tử tối tiểu. 𝑅
Định nghĩa 1.1.10
Vành được gọi là Noether phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có
phần tử tối đại. 𝑅
Định nghĩa 1.1.11
Vành được gọi là vành nguyên tố nếu thì hoặc
. 𝑅 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑎 = 0
Định nghĩa 1.1.12
𝑏 = 0 Vành được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có iđêan lũy linh khác không.
Định nghĩa 1.1.13
𝑅 Một ánh xạ từ vành vào vành ′ được gọi là một đồng cấu vành nếu bảo
toàn các phép toán, nghĩa là: 𝑓 𝑅 𝑅 𝑓
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
Một đồng cấu từ vành vào vành được gọi là một tự đồng cấu của . Một 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)
đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn 𝑅 𝑅 𝑅
cấu, đẳng cấu.
6
Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng
cấu từ vào ′ thì ta nói đẳng cấu với ′, kí hiệu: ′.
𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 ≅ 𝑅 1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun
Định nghĩa 1.2.1
Cho là một vành tùy ý và là một nhóm cộng aben. được gọi là một –
môđun phải nếu có một ánh xạ 𝑅 𝑀 𝑀 𝑅
𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀,
+
+
(
sao cho và thì: (𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟
+
m a b ma mb = . ) ∀𝑚, 𝑚1, 𝑚2 ∈ 𝑀 ) (
(1)
1
2
2
1
ma b m ab =
(
)
).
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 m m a m a m a + = . (2)
(3) (
Định nghĩa 1.2.2
là được gọi là tập linh hóa của – môđun thì tập
𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0}
M trong R . 𝑀 𝑅 Định nghĩa 1.2.3
được gọi là – môđun trung thành nếu thì .
. là – môđun trung thành khi và chỉ khi 𝑀𝑟 = (0) 𝑟 = 0
Như vậy 𝑀 𝑅 Mệnh đề 1.2.4 𝑅 𝑀
là iđêan hai phía của , hơn nữa là 𝐴(𝑀) = {0} – môđun trung thành.
tập hợp tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M . Khi đó, Kí hiệu 𝐴(𝑀) 𝑅/𝐴(𝑀) 𝑀
=
∀ ∈ .
𝑅 lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ánh xạ thông thường. 𝐸(𝑀) 𝐸(𝑀)
:aT M M→ sao cho
, amT ma m M
Với mỗi a R∈ , ta định nghĩa
Mệnh đề 1.2.5
đẳng cấu với một vành con của vành .
)
E M mà giao
là – môđun trung thành thì khi đó được xem 𝐸(𝑀)
( 𝑅
. Bây giờ ta xét những phần tử nào trong Đặc biệt nếu 𝑅/𝐴(𝑀) là vành con của vành 𝑀 𝑅 𝐴(𝑀) = {0}
hoán được với tất cả aT . 𝐸(𝑀)
Định nghĩa 1.2.6
Ta đặt
7
𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅}
Khi đó là vành con của vành , hơn nữa nó cũng là vành các tự
. đồng cấu môđun của 𝐶(𝑀) 𝐸(𝑀)
Khi đó , hơn nữa nó cũng là vành các tự là vành con của vành 𝑀
. đồng cấu môđun của 𝐶(𝑀) 𝐸(𝑀)
Định nghĩa 1.2.7 𝑀 – môđun Cho và tập , được gọi là môđun con của nếu:
1) 𝑀 ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀 𝑁 𝑀 𝑅
2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁
Định nghĩa 1.2.8
∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁 được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu và có đúng
hai môđun con là (0) và 𝑀𝑅 ≠ 0 𝑀
𝑀 Định nghĩa 1.2.9 𝑀
Một vành được gọi là nửa đơn nếu là R - môđun đơn.
Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur) 𝑅 𝑅
là vành chia. Nếu là môđun đơn thì
Định nghĩa 1.2.11
𝑀 Vành 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅) được gọi là vành nguyên thủy nếu có môđun trung thành bất khả
quy. 𝑅 𝑅
Định nghĩa 1.2.12
Môđun được gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun
đơn.
𝑀 Định nghĩa 1.3.13
được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu mọi dãy tăng các
môđun con sao cho: 𝑀
dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại được gọi là môđun Noether. Khi đó 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ 𝑛
được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu mọi dãy Môđun 𝑀
𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ giảm các môđun con sao 𝑀 dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại
được gọi là môđun Artin. cho: Khi đó 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ 𝑛
𝑀
8
Mệnh đề 1.2.14 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Nếu là một môđun con của – môđun thì tập hợp với phép cộng và
𝑁 𝑅 𝑀 𝑀/𝑁
phép nhân vô hướng định bởi:
,
, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀
là một – môđun. Khi đó được gọi là môđun thương của –môđun (𝑥 + 𝑁) + (𝑦 + 𝑁) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑁 – môđun 𝑎(𝑥 + 𝑁) = 𝑎𝑥 + 𝑁 ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝑎 ∈ 𝑅
với môđun con 𝑀/𝑁 𝑅 của nó. 𝑅
𝑅 Định nghĩa 1.2.15 𝑁 𝑀
Một dãy hợp thành của một – môđun là một dãy giảm gồm một số hữu
hạn các môđun con 𝑅 𝑀
là một môđun đơn, được gọi là độ dài của sao cho . Khi đó số 𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑀𝑛 = {0}
có một dãy hợp thành được gọi là môđun có dãy hợp 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑛 dãy hợp thành này. Môđun 𝑀𝑖−1 𝑀𝑖⁄
thành. 𝑀
Định lý 1.2.16 (Định lý Jordan-Holder)
Nếu – môđun có một dãy hợp thành với độ dài , thì tất cả các dãy hợp
thành của cũng có độ dài . Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các 𝑅 𝑀 𝑛
môđun con của đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều 𝑀 𝑛
có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
𝑀 Định nghĩa 1.2.17
Nếu – môđun (trái hoặc phải) có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp
thành của được gọi là
có cùng một độ dài. Khi đó độ dài các dãy hợp thành của 𝑀 𝑅 không có dãy hợp thành thì ta nói – môđun độ dài của môđun M. Nếu có độ 𝑀
𝑀 dài vô hạn. 𝑅 𝑀 𝑀
Định lý 1.2.18
Một – môđun có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi vừa là Noether vừa là
Artin. 𝑅 𝑀
𝑀 Định nghĩa 1.2.19
Tập con S của R – môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi
đẳng thức a1 x1 +…+ an xn = 0 với x1, …, xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1
=…= an. Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu M có một hệ
9
sinh S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là một môđun tự do và tập S được gọi là một
cơ sở của M.
Định nghĩa 1.2.20
Một R – môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f: P→ M″ và mọi
toàn cấu g: M→ M″ các R – môđun đều tồn tại một đồng cấu h: P → M sao
cho gh=f.
1.3. Radical của vành
Định nghĩa 1.3.1
Radical Jacobson (Căn Jacobson) của , ký hiệu là , là tập tất cả các
phần tử của linh hóa tất cả các – môđun bất khả quy của . Nếu không có 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅
môđun bất khả quy nào thì 𝑅 𝑅 𝑅
Theo định nghĩa thì 𝑅 , M chạy khắp các R - môđun bất khả
𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑅. là iđêan hai phía nên quy, ta có cũng là iđêan hai phía. 𝑟𝑎𝑑 𝑅 =∩ 𝐴(𝑀)
Định nghĩa 1.3.2 𝐴(𝑀) 𝑟𝑎𝑑 𝑅
Một iđêan phải của được gọi là chính quy nếu có sao cho
, 𝜌 𝑎 ∈ 𝑅 𝑅
𝑥 − 𝑎𝑥 ∈ có đơn vị (thật ra là đơn vị trái) thì tất cả các iđêan phải của nó đều
Nếu 𝜌 ∀𝑥 ∈ 𝑅 chính quy. 𝑅
Định nghĩa 1.3.3
Một phần tử được gọi là tựa chính quy phải nếu có sao cho
′
là tựa nghịch đảo phải của . . Ta gọi 𝑎 ∈ 𝑅 𝑎′ ∈ 𝑅
′ Ta định nghĩa tương tự cho phần tử tựa chính quy trái. Chú ý nếu + 𝑎𝑎
có đơn vị 1 = 0 𝑎′ 𝑎
là tựa chính quy phải nếu và chỉ nếu . 𝑎 + 𝑎 thì là khả nghịch phải trong 𝑅
Định nghĩa 1.3.4 𝑅 𝑎
1 + 𝑎 được gọi là nửa nguyên thủy (hay còn gọi là J – nửa đơn) nếu Vành
𝑟𝑎𝑑 𝑅 =
𝑅 Bổ đề 1.3.5 (0)
Với , các phát biểu sau là tương đương:
(1) 𝑦 ∈ 𝑅 (2) khả nghịch trái với 𝑦 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅
1 − 𝑥𝑦 𝑥 ∈ 𝑅 10
(3) với là – môđun trái đơn bất kỳ.
Định lý 1.3.6 (Định lý Hopkins – Levitzki) 𝑀
𝑦𝑀 = 0 là vành với 𝑅 là lũy linh và Cho là nửa đơn ( được gọi
là vành nửa nguyên thủy). Khi đó với bất kỳ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑅 – môđun trái 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 bất kỳ, các phát biểu 𝑅
sau là tương đương: 𝑅 𝑀
(1) là Noether.
(2) là Artin. 𝑀
(3) có dãy hợp thành. 𝑀
Đặc biệt, (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether trái và nửa 𝑀
nguyên thủy; (B) Môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ trên vành Artin trái có dãy hợp
thành.
Định lý 1.3.7
Cho vành bất kỳ khác không, các phát biểu sau là tương đương:
có duy nhất một iđêan trái tối đại. (1) 𝑅
có duy nhất một iđêan phải tối đại.
là vành chia.
là một iđêan của . (2) 𝑅 (3) 𝑅 (4) 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅
là nhóm với phép tính cộng. (5) 𝑅
suy ra . , 𝑅\𝑈(𝑅) (5′) Với bất kỳ 𝑅\𝑈(𝑅)
(5″) hoặc . 𝑎𝑖 ∈ 𝑈(𝑅) 𝑛 suy ra 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∈ 𝑈(𝑅)
Nếu bất kỳ điều kiện nào ở trên được thỏa thì ta nói là vành địa phương. 𝑎 ∈ 𝑈(𝑅) 𝑎 ∈ 𝑈(𝑅) 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑈(𝑅)
Định nghĩa 1.3.8
Vành được gọi là nửa địa phương nếu 𝑅 là vành Artin trái hoặc nếu
là vành nửa đơn.
là nửa địa phương thì 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 có một số hữu hạn các iđêan trái tối 𝑅 Nhận xét: Nếu
𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 đại. 𝑅
𝑅 Định nghĩa 1.3.9
Một vành được gọi là vành Dedekind – hữu hạn nếu kéo theo
với bất kỳ. 𝑅 𝑎𝑏 = 1
11
Mệnh đề 1.3.10 𝑏𝑎 = 1 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
Vành nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.11
≠ 𝑅 – môđun phải Một được gọi là không phân tích được nếu không thể
viết được dưới dạng tổng trực tiếp của hai . 𝑀 𝑅 0 – môđun con khác không của 𝑀
Định nghĩa 1.3.12 𝑅
Một – môđun phải 𝑀 được gọi là không phân tích được mạnh nếu
là vành địa phương. 𝑀 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅)
𝑅 Nhận xét:
Mọi môđun không phân tích được mạnh đều là không phân tích được vì
là vành địa phương nên không có lũy đẳng không tầm thường.
Mọi môđun đơn bất kỳ đều là môđun không phân tích được mạnh vì theo bổ đề
𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅) Schur là vành chia nên là vành địa phương.
Định lý 1.3.13 (Định lý Wedderburn – Artin) 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅) Cho là vành Artin đơn. Khi đó , với là vành chia. Hơn nữa,
là duy nhất và xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ngược lại, với vành chia 𝑛 𝑅 ≅ 𝑀𝑛(𝐷) 𝐷
, 𝑅 là vành Artin đơn. 𝐷
Bổ đề 1.3.14 𝐷
𝑀𝑛(𝐷) Cho là vành với các iđêan khác không và thỏa
sao cho mỗi 𝑅 𝐵1, … , 𝐵𝑟 𝐶1, … , 𝐶𝑠
không phân tích được như là một 𝑅 = và sau một
iđêan (tức không là tổng trực tiếp của hai iđêan con khác 0). Khi đó 𝐵1 ⨁ … ⨁ 𝐵𝑟 = 𝐶1 ⨁ … ⨁ 𝐶𝑠 hoán vị của các chỉ số, 𝐵𝑖, 𝐶𝑖 . với 𝑟 = 𝑠
Bổ đề 1.3.15 (Bổ đề Nakayama) 𝐵𝑖 = 𝐶𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟
Với iđêan trái bất kỳ , các phát biểu sau là tương đương:
(1) 𝐽 ⊆ 𝑅
(2) Với – môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ M, suy ra
𝐽 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 (3) Với các – môđun trái sao cho 𝐽. 𝑀 = 0 là hữu hạn sinh, 𝑀 = 0
𝑅 suy ra 𝑀/𝑁 𝑅
𝑁 ⊆ 𝑀 Vành giao hoán, có đơn vị có nhiều hơn một phần tử, mọi phần tử khác không
12
𝑁 = 𝑀 𝑁 + 𝐽. 𝑀 = 𝑀 đều khả nghịch gọi là trường.
Một đại số trên trường là một không gian vectơ trên sao cho trên có
một phép nhân và cùng với phép nhân này 𝐴 𝐹 là một vành. Hơn nữa, cấu trúc không 𝐹 𝐴
gian vectơ có thể khớp với cấu trúc vành theo luật : 𝐴
Số chiều của không gian vectơ được gọi là số chiều của đại số và kí trên 𝑘(𝑎𝑏) = (𝑘𝑎)𝑏 = 𝑎(𝑘𝑏), ∀𝑘 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴
hiệu là hay viết gọn là nếu không sợ nhầm lẫn. 𝐴 𝐹 𝐴
được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 𝑑𝑖𝑚𝐹𝐴
dim 𝐴 . trong đều có nghiệm trong
là ánh xạ vừa là đồng cấu 𝐹 Một đồng cấu từ đại số 𝐹[𝑥] vào đại số 𝐹
môđun, vừa là đồng cấu vành. 𝐴 𝐴′ ℎ: 𝐴 → 𝐴′
Mệnh đề 1.3.16
Cho là đồng cấu vành. Giả sử với mỗi
giao hoán (theo từng thành phần) với . Khi đó . 𝑆 = 𝑅. 𝑥1 + ⋯ + 𝑅. 𝑥𝑛 𝑥𝑗
𝑖 ∶ 𝑅 ⟶ 𝑆 Hệ quả 1.3.17 𝑖(𝑅) 𝑖(𝑟𝑎𝑑 𝑅) ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆
Cho là vành giao hoán và là – đại số thỏa hữu hạn sinh như là một –
môđun. Khi đó 𝑅 . 𝑆 𝑅 𝑆 𝑅
Định lý 1.3.18
Cho (𝑟𝑎𝑑 𝑅). 𝑆 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆 là – môđun không phân tích được có độ dài . Khi đó
là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của nó 𝑛 < ∞ thỏa 𝐸 ≔
𝑛
là môđun không phân tích được mạnh. 𝑀𝑅 𝑅 . Đặc biệt, 𝑚 = 𝑟𝑎𝑑 𝐸 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅)
Mệnh đề 1.3.19 𝑚 = 0 𝑀
Cho là vành bất kỳ và là – môđun phải với các môđun con hoặc thỏa
ACC hoặc thỏa DCC. Khi đó 𝑅 𝑅
có thể phân tích được thành tổng trực tiếp hữu hạn 𝑀𝑅 của các môđun con không phân tích được (Ta có thể nói gọn là có sự phân tích 𝑀
Krull – Schmidt) 𝑀
Định lý 1.3.20 (Định lý Krull – Schmidt – Azumaya)
Cho là một vành và giả sử – môđun phải có hai sự phân tích thành các
𝑅 𝑀
với mỗi là không phân tích được mạnh. Khi đó
13
với và ta có 𝑁𝑖 môđun con: 𝑅 là không phân tích được và mỗi 𝑀 = 𝑀1 ⨁ … ⨁𝑀𝑟 = 𝑁1 ⨁ … ⨁𝑁𝑠 𝑀𝑖
𝑟 = 𝑠 𝑀𝑖 ≅ 𝑁𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟
14
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
Trong chương này ta nghiên cứu một lý thuyết có hệ thống về các lũy đẳng
trong các vành không giao hoán. Sau đó ta xét hai bài toán lớn: bài toán 1 về khả
năng nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành và bài
toán 2 về sự phân tích khối. 𝑅
2.1. Lũy đẳng
Định nghĩa 2.1.1
2
≠ trong là lũy đẳng nếu . Phần tử
Bổ đề 2.1.2 0 𝑅 𝑒 𝑒
= 𝑒 ≠ Cho là vành nửa nguyên tố. Giả sử ρ là iđêan phải tối tiểu của . Khi
đó ρ là lũy đẳng nào đó trong . với 𝑅 𝑅 (0)
Chứng minh 𝑒
, = 𝑒𝑅 Do là nửa nguyên tố và 𝑅 là iđêan phải tối tiểu của nên
2 là iđêan phải của 𝜌
. Tuy nhiên do đó tồn tại sao cho 𝑅
và do ≠ (0) vì 𝑅 suy ra tính tối tiểu cùa thì 𝜌 ≠ (0) . Vì vậy tồn tại 𝑥𝜌 ≠ (0) 𝑥 ∈ 𝜌
2
vậy là iđêan phải của chứa 𝑅 2 và . Giả sử = 𝑥𝑒 𝑥𝑒 = 𝑥 𝑥𝑒 𝑥𝜌 = 𝜌 𝜌
2
; vì và 𝑥(𝑒 thỏa 𝑥𝜌 ⊂ 𝜌 ; 𝑒 ∈ 𝜌 . Theo tính tối tiểu của 𝜌0 = {𝑎 ∈ 𝜌: 𝑥𝑎 = 0} ta có 𝜌0 𝜌
ta có , tức là e là lũy đẳng trong vì − 𝑒) = 0 và vì nên 𝜌0 𝑅 . Khi đó 𝑒 𝑥𝜌 ≠ (0)
2
𝜌 ≠ 𝜌0 = (0) ≠ vì vậy , chứa 𝑒 ≠ 0 − 𝑒 ∈ 𝜌0 . Do tính tối tiểu 𝑒 ∈ 𝑅
ρ là iđêan phải của 𝑥𝑒 = 𝑒 ≠ 0 ρ 𝜌 ≠ 𝜌0 2 ⊂ suy ra 𝑒 = 𝑒 của ρ nên 𝜌 𝑒𝑅 𝑅 𝑒 = 𝑒 0 𝑒𝑅 (0)
Bổ đề 2.1.3 𝑒𝑅 =
2
∈ lũy linh, . Khi đó hoặc là lũy linh hoặc tồn tại . là vành và Cho
∈ đa thức − 𝑎 là lũy đẳng khác không. 𝑎 𝑅 𝑎 𝑅 thỏa 𝑎
Chứng minh ℤ[𝑥] 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎)
2
𝑘
2
𝑘
𝑘
với ∈ , khai triển ta được 𝑞(𝑥) Giả sử
𝑘+1
với ∈ – 𝑎) . Khi đó = 0 𝑘 ℕ (𝑎 – 𝑎) = 0 𝑎 = (𝑎
𝑘
𝑘+1
𝑘
𝑘+1
𝑘+2
2
𝑎 𝑝(𝑎) 𝑝(𝑥) ℤ[𝑥]
15
= 𝑎 𝑝(𝑎) = 𝑎. 𝑎 𝑝(𝑎) = 𝑎. 𝑎 𝑝(𝑎)𝑝(𝑎) = 𝑎 𝑝(𝑎) 𝑎
2𝑘
𝑘
𝑘
Tiếp tục quá trình trên ta được . Nếu a lũy linh thì ta có đpcm. Mặt
𝑘
2𝑘
2𝑘
2
2𝑘 ∈
𝑘 với
𝑘 .
𝑘 Ta có thể viết
, vì . khác nếu 𝑝(𝑎) 𝑎 = 𝑎 𝑘
𝑘
≠ 0 𝑝(𝑎) 0 ≠ 𝑒 = 𝑎 = (𝑎 𝑝(𝑎) )𝑝(𝑎) = 𝑎 𝑝(𝑎) = 𝑒 𝑎
= 𝑎𝑞(𝑎) 𝑞(𝑥) ℤ[𝑥]
≠
𝑘 Định lý 2.1.4 𝑝(𝑎) 𝑒 = 𝑎 là vành Artin và ρ
Nếu là iđêan phải không lũy linh của thì ρ chứa
một lũy đẳng khác 0. 𝑅 (0) 𝑅
Chứng minh
⊄ Vì ρ không lũy linh nên ρ . Đặt thì là nửa nguyên tố.
Giả sử trong và là Artin suy . Do 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑅�
ra là ảnh của 𝑟𝑎𝑑 𝑅 của có một lũy đẳng chứa một iđêan phải tối tiểu 𝜌̅ = {𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ∶ 𝑎 ∈ 𝜌}
2
. Giả sử là tạo ảnh của . Theo (2.1.2) 𝑅� 𝜌 tức là 𝑅� , vì sao cho 𝜌̅ 𝜌0��� 𝑅� 𝜌̅ ≠ (0) 𝜌0��� suy 𝑒̅ ≠ 0�
2
2
tức là ra 𝑎 ∈ 𝜌 𝑒̅ . Do đó 𝑒̅ = 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑒̅ = 𝑒̅ là tạo ảnh của 𝜌0��� = 𝑒̅𝑅�
2 . Ta chỉ ra rằng a không lũy linh, thật vậy nếu − 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 mâu thuẩn. Theo (2.1.3) tồn tại đa thức
𝑘
𝑘
lũy linh trong 0� 𝑎 − 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑎 suy ra 𝑎 – 𝑎 2 , khi đó − 𝑎 𝑎 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑘 sao cho suy ra vì 0 = 𝑎� là lũy đẳng khác 0. Do = 𝑒̅ = 𝑒̅ = 0, 𝑘 ∈ ℕ
𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) 𝑎 ∈ 𝜌 𝑎𝑞(𝑎) ∈ 𝜌 𝑎 . vậy 𝑞(𝑥) ∈ ℤ[𝑥]
Định lý 2.1.5 𝑒 ∈ 𝜌
Cho là vành bất kỳ và là lũy đẳng trong . Khi đó
𝑒 𝑅
𝑅 Chứng minh
Giả sử là 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 – môđun bất khả quy. Ta sẽ chỉ ra rằng linh
hóa tất cả các . Ta xét hai trường hợp: 𝑀 𝑅
𝑟𝑎𝑑 (𝑒𝑅𝑒) ∈ ≠ ∈ ≠ , khi đó , tồn tại sao cho " ⊂ " Trường hợp 1: 𝑀
2
≠ , vì 𝑀𝑒 (0) 𝑀 𝑚𝑒 𝑀𝑒
do đó và 𝑚 là M bất khả quy 0 – môđun bất khả quy (Thật vậy . Vậy 𝑚𝑒 𝑚𝑒 = 𝑚𝑒𝑒 ∈ 𝑚𝑒𝑅,
suy ra (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑚𝑒 nếu N ≠ (0) là 0 và thì 𝑚𝑒𝑅 = 𝑀 𝑅𝑒 = 𝑚𝑒𝑅𝑒 –môđun con của 𝑚𝑒𝑅𝑒 = 𝑀𝑒 𝑀𝑒
suy ra ) và 𝑒𝑅𝑒 𝑒𝑅𝑒 (vì mỗi phần tử của 0 ≠ 𝑚𝑒 ∈ 𝑁 𝑀𝑒
≠ đều có dạng (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑒 ⊂ 𝑁 thì nên 𝑁 = 𝑀𝑒 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0) . Nói cách khác nếu 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)
. (0) 𝑒𝑅𝑒 𝑀𝑒 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)) 𝑀𝑒
16
𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)
Trường hợp 2: thì .
Do vậy trong hai trường hợp ta có –môđun bất linh hóa tất cả các 𝑀𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)
𝑀𝑒 = (0) ⊂ . Vì vậy khả quy , do đó 𝑅 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)
⊂ . 𝑟𝑎𝑑(𝑅) 𝑀
𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ∈ Giả sử là iđêan hai phía), khi đó a có 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)𝑒
(vì 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒 ′ tựa nghịch đảo trái và phải (i) nhân hai vế trái và phải " ⊃ " ′ 𝑟𝑎𝑑 𝑅
𝑎 của đẳng thức (i) với . Ta có 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 ⊂ 𝑟𝑎𝑑𝑅 ′ và sử dụng 𝑎 𝑎 + 𝑎 ta có + 𝑎𝑎 = 0
′
′
′
′ . ′ 𝑒 𝑒𝑎𝑒 = 𝑎
là duy 𝑒 = 𝑎 + 𝑒𝑎 𝑒 + (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑎 . Vì phần tử tựa nghịch đảo của 𝑒 + 𝑎𝑒𝑎′𝑒 𝑒) = 𝑎 + 𝑒𝑎
là tựa nghịch đảo phải của 𝑒 + 𝑒𝑎𝑎 ′ . Do đó mọi phần tử trong đều tựa chính quy trong 𝑎 𝑎
là một iđêan của Suy ra 0 = 𝑎 + 𝑒𝑎 ′ ′ nhất nên 𝑒𝑎 𝑒 . Hơn nữa 𝑎 = 𝑒𝑎 𝑒
⊂ tức là , thì iđêan tựa chính quy của 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 . được chứa trong 𝑒𝑅𝑒 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 𝑒𝑅𝑒 𝑒𝑅𝑒
Định lý 2.1.6 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)
𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 ≠ Cho là vành nửa nguyên tố và là lũy đẳng trong . Khi đó là iđêan
phải tối tiểu của nếu và chỉ nếu 𝑅 𝑒 là vành chia. 0 𝑅 𝑒𝑅
Chứng minh 𝑒𝑅𝑒
𝑅 Giả sử là iđêan phải tối tiểu của . Nếu thì
∈ (do tính tối tiểu của ). Do đó tồn tại sao " ⇒ " 𝜌 = 𝑒𝑅
2
suy ra 𝑅 . Vì vậy 𝑒𝑅 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 ∈ 𝑒𝑅𝑒 là vành chia với 𝑦 𝑅
. (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑦𝑒) = 𝑒 𝑒𝑅𝑒 cho (0) ≠ 𝑒𝑎𝑒𝑅 ⊂ 𝑒𝑅 ⇒ 𝑒𝑎𝑒𝑅 = 𝑒𝑅 phần tử đơn vị là 𝑒𝑎𝑒𝑦 = 𝑒, 𝑒𝑎𝑒𝑦𝑒 = 𝑒
Giả sử là vành chia ta chứng minh rằng là một iđêan phải
là một iđêan phải của , khi đó thật 𝑒 . Giả sử 𝑒𝑅𝑒 tối tiểu của " ⇐ "
(mâu thuẩn giả thiết 𝜌 = 𝑒𝑅 là nửa nguyên tố). Giả sử vậy nếu 𝑅
𝜌0𝑒 ≠ (0) ; vì là (0) ≠ 𝜌0 ⊂ 𝜌 ; vì ta có 𝑅 2 trong ⊂ 𝜌0𝜌 = 𝜌0𝑒𝑅 = (0) 𝑅 𝜌0
sao cho . Tuy nhiên 𝑒𝑅𝑒 vành chia nên tồn tại 𝑎 = 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 𝑎 ∈ 𝑒𝑅 𝑣à 𝑒𝑎 = 𝑎 0 ≠ 𝑎𝑒 = 𝑒𝑎𝑒 ∈ 𝜌0
. Do đó và 𝑒𝑅𝑒 suy ra 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) = 𝑒 là iđêan tối tiểu thật 𝑒 =
sự. (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) ∈ 𝜌0 𝜌0 = 𝜌
𝑒𝑅 ⊂ 𝜌0 ⊂ 𝑒𝑅 = 𝜌 𝜌 Thay từ “trái” bởi từ “phải” trong định lý trên ta có được:
17
Hệ quả 2.1.7
Nếu là nửa nguyên tố và là lũy đẳng trong thì là iđêan phải tối tiểu
của nếu và chỉ nếu là một iđêan trái tối tiểu của 𝑅 𝑒 . 𝑅 𝑒𝑅
Bổ đề Brauer 2.1.8 𝑅 𝑅𝑒
2
hoặc 𝑅 là một iđêan trái tối tiểu trong vành Cho . Khi đó hoặc
là lũy đẳng nào đó trong = 0 𝑅 𝒜
𝒜 = 𝑅𝑒
𝒜 với . Khi đó do đó . Chọn sao với 𝒜 Chứng minh 𝑒 Giả sử
2 . Tập 𝒜
cho . Do đó . ≠ 0 𝒜. 𝑎 ≠ 0 𝑒 ∈ 𝒜
2
2
là iđêan trái và 𝑎 ∈ 𝒜 ; do vậy , vì 𝒜. 𝑎 = 𝒜 . Vì và Mặt khác, 𝑎 = 𝑒𝑎 𝐼 ⊊ 𝒜 là cực tiểu nên ta 𝐼 = 0 𝑒 ∉ 𝐼 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝒜: 𝑥𝑎 = 0} 2 suy ra − 𝑒 ∈ 𝒜 (𝑒 − 𝑒)𝑎 = 0 𝑒 − 𝑒 = 0 𝒜 𝑒
Sự phân tích Pierce 2.1.9 𝒜 = 𝑅𝑒. Với lũy đẳng bất kỳ trong vành , ta có:
(1) 𝑒 𝑅
(2) 𝑅 = 𝑅𝑒 ⊕ 𝑅𝑓
(3) , với là lũy đẳng bù của 𝑅 = 𝑒𝑅 ⊕ 𝑓𝑅
. 𝑅 = 𝑒𝑅𝑒 ⊕ 𝑒𝑅𝑓 ⊕ 𝑓𝑅𝑒 ⊕ 𝑓𝑅𝑓 𝑓 = 1 − 𝑒
Chú ý: (4) , 𝑒
𝑒𝑅𝑒 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑒𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑒} 𝑓𝑅𝑓 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑓𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑓} 2.2. Lũy đẳng tâm
Định nghĩa 2.2.1
Phần tử lũy đẳng trong được gọi là lũy đẳng tâm nếu với mọi
∈ 𝑒 𝑅 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒
Bổ đề 2.2.2 𝑥 𝑅
là lũy đẳng tâm (tức là ) nếu và chỉ nếu
𝑒 ∈ 𝑍(𝑅) 𝑒𝑅𝑓 = 𝑓𝑅𝑒 = 0.
Chứng minh 𝑒 Với và dẫn đến
Tiếp theo ta xét hai phần tử lũy đẳng trong vành và toán tử 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑒𝑟𝑓 = 0 𝑓𝑟𝑒 = 0 𝑒𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟𝑒.
là nhóm các – đồng cấu từ đến . Ta có mệnh đề: 𝑒, 𝑒′ 𝑅
18
Mệnh đề 2.2.3 𝑅 𝑒𝑅 𝑒′𝑅 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑒′𝑅)
Giả sử là các lũy đẳng và là – môđun phải. Khi đó có một đẳng cấu
Đặc biệt, có một đẳng cấu nhóm tự nhóm cộng tự nhiên 𝑒, 𝑒′ 𝑀 𝑅
′
nhiên 𝜆: 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑀) → 𝑀𝑒.
𝑅𝑒.
Chứng minh 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) ≅ 𝑒 Xét đồng cấu , . Khi đó:
2
𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀 𝑚 = 𝜃(𝑒) 𝑅 −
Ta định nghĩa ánh xạ cho bởi Do đó Khi đó ) = 𝜃(𝑒) = 𝑚 𝑚𝑒 = 𝜃(𝑒)𝑒 = 𝜃(𝑒
là đơn cấu nhóm. Để chứng minh 𝑚 = 𝑚𝑒 ∈ 𝑀𝑒. toàn ánh: xét 𝜆
với bất kỳ và định nghĩa 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒). 𝜆 – đồng là và Do 𝜆
𝑚 ∈ 𝑀𝑒 là toàn ánh. nên cấu định nghĩa tốt. Ta có: 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀 𝜃(𝑒𝑟) = 𝑚𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅. 𝑒𝑟 = 0 ⟹ 𝑚𝑟 ∈ 𝑀𝑒𝑟 = 0 𝑅
′
𝜃 Kết luận cuối cùng của (2.2.3) suy ra bằng cách cho tập 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒) = 𝑚 𝜆
Hệ quả 2.2.4 𝑀 = 𝑒 𝑅.
Với lũy đẳng bất kỳ, có một đẳng cấu vành tự nhiên
Chứng minh 𝑒 ∈ 𝑅 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) ≅ 𝑒𝑅𝑒.
′
Lấy . Ta chỉ cần trong (2.2.3) ta có đẳng cấu nhóm
chỉ ra là một đẳng cấu vành. Giả sử và Khi đó: 𝑒 = 𝑒 𝜆: 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) → 𝑒𝑅𝑒
′
′
′
. 𝜆 𝑚 = 𝜃(𝑒) ∈ 𝑒𝑅. 𝜃, 𝜃′ ∈ 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) ′
(𝑚) = 𝜃 (𝑒𝑚) = 𝜃 (𝑒)𝑚 = 𝜆(𝜃′)𝜆(𝜃) 𝜆(𝜃′𝜃) = 𝜃 𝜃(𝑒) = 𝜃 2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ
Định nghĩa 2.3.1
β ∈ βα Hai lũy đẳng α được gọi là trực giao nếu αβ
Định nghĩa 2.3.2 , 𝑅 = = 0.
Lũy đẳng được gọi là đầy đủ nếu .
𝑒 ∈ 𝑅 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅 2.4. Lũy đẳng nguyên thủy
Mệnh đề 2.4
Với lũy đẳng khác bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:
– môđun phải. không phân tích được như là một 0 𝑒 ∈ 𝑅
– môđun trái. (1) 𝑒𝑅 không phân tích được như là một 𝑅
không có các lũy đẳng không tầm thường. Vành 𝑅 (1′) 𝑅𝑒
19
(2) 𝑒𝑅𝑒
không có sự phân tích dạng với là các lũy đẳng trực giao
khác trong 𝛼 + 𝛽 𝛼, 𝛽 (3) 𝑒
thỏa mãn một trong những điều kiện nêu trên, ta nói là
𝑒 Nếu lũy đẳng 0 𝑅. lũy đẳng nguyên thủy của 𝑒 ≠ 0
Chứng minh 𝑅.
Do sự đối xứng trái – phải nên ta chỉ cần chứng minh sự tương đương của (1),
(2) và (3).
theo (2.2.4) vì là không phân tích được nếu và chỉ nếu
không có các lũy đẳng không tầm thường. (1) ⟺ (2) 𝑒𝑅
Nếu có lũy đẳng không tầm thường khi đó với
𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅) (lũy đẳng bù của α trong vành ) ta có sự phân tích “trực giao” (3) ⟹ (2) 𝑒𝑅𝑒 𝛼 (mâu 𝛽 = 𝑒 − 𝛼
thuẩn với (3)). 𝑒𝑅𝑒
𝑒 = 𝛼 + 𝛽 là các lũy đẳng trực Giả sử ta có sự phân tích với
2
2
giao khác trong . Khi đó: và . Do (2) ⟹ (3) 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 𝛼, 𝛽
(2.1.9)(4) (mâu thuẩn với 0 𝑅 ). 𝑒𝛼 = 𝛼 + 𝛽𝛼 = 𝛼 𝛼𝑒 = 𝛼 + 𝛼𝛽 = 𝛼
(2) , 𝛼 ∈ 𝑒𝑅𝑒 2.5. Lũy đẳng địa phương
Mệnh đề 2.5.1
Với lũy đẳng bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:
không phân tích được mạnh như là một – môđun phải. 𝑒 ∈ 𝑅
– môđun trái. (1) 𝑒𝑅 không phân tích được mạnh như là một 𝑅
là vành địa phương. 𝑅
thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào trong các điều kiện nêu trên, ta (1′) 𝑅𝑒 Nếu lũy đẳng (2) 𝑒𝑅𝑒
nói là lũy đẳng địa phương. Rõ ràng, lũy đẳng địa phương luôn là lũy đẳng nguyên 𝑒
thủy. 𝑒
Chứng minh
(1) ⇔ (2) do (2.2.4), (1′) ⇔ (2) do tính đối xứng trái – phải.
Định lý 2.5.2
Giả sử là lũy đẳng trong và . Khi đó
. 𝑒 𝑅 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅
20
𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝐽𝑒
Hơn nữa, , với là ảnh của trong .
Chứng minh 𝑒𝑅𝑒/𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ≅ 𝑒̅𝑅�𝑒̅ 𝑒̅ 𝑒 𝑅� = 𝑅/𝐽
Với kết luận thứ nhất, ta chỉ cần chứng minh ba sự kéo theo sau:
(ii)
(iii) 𝑟 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⟹ 𝑟 ∈ 𝐽
(iv) 𝑟 ∈ 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒) ⟹ 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒
(ii) Chỉ cần chứng minh với có nghịch đảo trái trong . Trước
tiên trong , ta tìm được , nghĩa là . 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 ⟹ 𝑟 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) thỏa 𝑦 ∈ 𝑅, 1 − 𝑦𝑟 𝑅
Do đó, (*) 𝑒𝑅𝑒 𝑏 ∈ 𝑒𝑅𝑒 𝑏(𝑒 − 𝑒𝑦𝑒. 𝑟) = 𝑒 𝑏(1 − 𝑦𝑟) = 𝑒
vào hai vế (*) suy ra
Cộng 𝑦𝑟𝑏(1 − 𝑦𝑟) = 𝑦𝑟𝑒 = 𝑦𝑟 (iii) Với ta có 1 − 𝑦𝑟 (1 + 𝑦𝑟𝑏)(1 − 𝑦𝑟) = 1.
có một nghịch đảo trái trong
(iv) Ta chỉ cần chứng minh với 𝑟 ∈ 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒), tồn tại 𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 ∈ 𝑒𝐽𝑒. sao cho . Do 𝑦 ∈ 𝑒𝑅𝑒, 𝑒 − 𝑦𝑟
Mà nên 𝑒𝑅𝑒 𝑥(1 − 𝑦𝑟) = 1. 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 ⊆ 𝐽, 2 𝑥 ∈ 𝑅 là nghịch đảo trái của 𝑒 = 𝑒
Để hoàn thành chứng minh ta cần tính = 𝑒. 1. 𝑒 = 𝑒𝑥(1 − 𝑦𝑟)𝑒 = 𝑒𝑥(𝑒 − 𝑦𝑟) = 𝑒𝑥𝑒(𝑒 − 𝑦𝑟) . Xét ánh xạ tự nhiên 𝑒 − 𝑦𝑟. 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒
sao cho . Do đó nó cảm sinh toàn 𝑒𝑅𝑒 →
là đồng cấu vành triệt tiêu trên 𝑒𝑅𝑒/𝑒𝐽𝑒 , và cũng là một đẳng cấu vì nếu thì 𝑒𝐽𝑒 ánh 𝑒̅𝑅�𝑒̅ 𝑒𝑟𝑒 ↦ 𝑒̅𝑟̅𝑒̅
𝑒̅𝑟̅𝑒̅ = 0 𝑒𝑟𝑒 ∈ 𝐽 ∩ 𝑒𝑅𝑒 =
𝑒𝑅𝑒/𝑒𝐽𝑒 → 𝑒̅𝑅�𝑒̅ Định lý 2.5.3 𝑒𝐽𝑒.
Giả sử là lũy đẳng trong vành
là một iđêan trái tùy ý của Khi đó . (1) Giả sử 𝑒 𝑅.
Đặc biệt, xác định một đơn ánh (bảo toàn quan hệ bao hàm) từ các iđêan (𝑅𝒜) ∩ 𝑒𝑅𝑒 = 𝒜 𝑒𝑅𝑒. 𝒜
trái của đến các iđêan trái của
𝒜 ↦ 𝑅𝒜 (2) Giả sử là một iđêan trong Khi đó Đặc biệt, 𝑒𝑅𝑒 𝑅.
xác định một đơn ánh từ các iđêan của . Ánh xạ 𝑒𝑅𝑒. 𝒜
đến các iđêan của 𝑒(𝑅𝒜𝑅)𝑒 = 𝒜. là lũy đẳng đầy đủ, tức là 𝑒𝑅𝑒 𝑅
này bảo toàn phép nhân của các iđêan và là toàn ánh nếu 𝒜 ↦ 𝑅𝒜𝑅 𝑒
21
Chứng minh 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅.
(1) Giả sử . Khi đó, do , ta có:
𝒜0 = (𝑅𝒜) ∩ 𝑒𝑅𝑒 ⊇ 𝒜 𝒜0 ⊆ 𝑒𝑅𝑒
Do đó, . Dễ dàng suy ra kết luận thứ hai của (1). Thật vậy, nếu 𝒜0 = 𝑒𝒜0 ⊆ 𝑒. 𝑅𝒜 = 𝑒𝑅𝑒. 𝒜 ⊆ 𝒜.
, và nếu là một iđêan thì 𝒜0 = 𝒜
là một iđêan khác của thì: 𝒜 ⊆ 𝑒𝑅𝑒 𝑒(𝑅𝒜𝑅)𝑒 = 𝑒𝑅(𝑒𝒜𝑒)𝑅𝑒 = (𝑒𝑅𝑒)𝒜(𝑒𝑅𝑒) = 𝒜
′
′ (𝑅𝒜𝑅)(𝑅𝒜′𝑅) = 𝑅𝒜𝑅𝒜
𝒜′ 𝑒𝑅𝑒
𝑅
Giả sử đầy đủ, tức là . Với mỗi iđêan 𝑅 = 𝑅(𝒜𝑒)𝑅(𝑒𝒜′)𝑅 = 𝑅𝒜(𝑒𝑅𝑒)𝒜 , xét iđêan bất kỳ trong = 𝑅(𝒜𝒜′)𝑅.
. Khi đó: 𝒜 = trong 𝑒 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅 ℬ 𝑅
𝑒𝑅𝑒
𝑒ℬ𝑒 Điều này chứng tỏ ánh xạ trong (2) là toàn ánh. 𝑅(𝑒ℬ𝑒)𝑅 = 𝑅𝑒(𝑅ℬ𝑅)𝑒𝑅 = (𝑅𝑒𝑅)ℬ(𝑅𝑒𝑅) = 𝑅ℬ𝑅 = ℬ.
Chú ý: Trong trường hợp là lũy đẳng đầy đủ, ta có trong tương ứng
với trong với sự tương ứng iđêan trong (2.5.3)(2), vì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑅 𝑒
theo (2.5.2). 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) 𝑒𝑅𝑒
Sử dụng kết quả trên, ta có thể chỉ ra nhiều tính chất của vành 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒 = được kế thừa
𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) bởi vành . Sau đây là một minh họa nhỏ: 𝑅
Hệ quả 2.5.4
là lũy đẳng bất kỳ trong . Nếu là J – nửa đơn (đơn, nguyên tố, 𝑒𝑅𝑒 Giả sử
nửa nguyên tố, Noether trái, Artin trái) thì cũng là J – nửa đơn (đơn, nguyên tố, 𝑅 𝑅 𝑒 ≠ 0
nửa nguyên tố, Noether trái, Artin trái). 𝑒𝑅𝑒
Chứng minh
Trường hợp J – nửa đơn theo (2.5.2). Các trường hợp còn lại theo (2.5.3).
. Giả sử là một ma trận đơn vị Ví dụ: Cho là một vành và
trong . Khi đó, và vì thế vành 𝑒 là đẳng 𝐸11 𝑘 với bất kỳ ma trận 𝑅 = 𝑀𝑛(𝑘)
. Theo (2.5.2) suy ra . Ta có thể kiểm tra được 𝑒𝑅𝑒 cấu với 𝑅 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟11𝑒 𝑟 = �𝑟𝑖𝑗�
giữa các iđêan của 𝑒 là lũy đẳng đầy đủ. Vậy (2.5.3)(2) bảo toàn sự tương ứng 𝑟𝑎𝑑�𝑀𝑛(𝑘)� = 𝑀𝑛(𝑟𝑎𝑑 𝑘)
𝑘 và các iđêan của . 𝑘 1 − 1
22
𝑀𝑛(𝑘)
2.6. Lũy đẳng bất khả quy
Trong (2.4) và (2.5.1) ta định nghĩa các khái niệm về lũy đẳng nguyên thủy và
lũy đẳng địa phương. Cả hai khái niệm này đều có tính đối xứng trái – phải. Sau đây
ta giới thiệu khái niệm lũy đẳng bất khả quy, trong phần này sự phân biệt trái và phải
là rất cần thiết.
Định nghĩa 2.6.1
Ta nói một lũy đẳng là bất khả quy phải (hoặc trái) nếu (hoặc ) là
. iđêan phải (hoặc trái) tối tiểu của 𝑒 ≠ 0 𝑒𝑅
Chú ý rằng, do bổ đề Brauer (2.1.8), một iđêan phải tối tiểu 𝑅𝑒 được sinh 𝑅
2
bởi một lũy đẳng bất khả quy phải nếu và chỉ nếu 𝐼 ⊆ 𝑅
Mệnh đề 2.6.2 ≠ 0. 𝐼
Giả sử là lũy đẳng.
là bất khả quy phải thì là vành chia. (1) Nếu 𝑒 ∈ 𝑅
(2) Điều ngược lại cũng đúng nếu R là vành nửa nguyên tố. 𝑒𝑅𝑒 𝑒
Chứng minh
(1) Theo bổ đề Schur và (2.2.4) thì
(2) Giả sử là nửa nguyên tố và là vành chia. Xét phần tử bất kỳ 𝑒𝑅𝑒 ≅ 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒R).
là nửa nguyên tố, nên Giả sử 𝑒𝑅𝑒
. Khi đó . Do đó trong 𝑒𝑟𝑅𝑒𝑟 ≠ 0 𝑒𝑟𝑠𝑒 ≠ 0, 𝑠 ∈ 𝑅. 0 ≠ , vì thế 𝑒𝑡𝑒 Do 𝑅 là nghịch đảo của 𝑒𝑟 ∈ 𝑒𝑅, 𝑟 ∈ 𝑅.
là (𝑒𝑟𝑠𝑒)(𝑒𝑡𝑒) = 𝑒 𝑒𝑟𝑅 = 𝑒𝑅 𝑅 – môđun bất khả quy. 𝑒𝑟𝑠𝑒 𝑒𝑅𝑒
𝑒𝑅
Từ đó ta có hệ quả: 𝑅 Hệ quả 2.6.3
(1) Lũy đẳng bất khả quy phải luôn là lũy đẳng địa phương.
(2) Nếu là nửa nguyên tố thì một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ
nếu nó bất khả quy trái. 𝑅
(3) Nếu là nửa đơn thì một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó
là lũy đẳng địa phương, hoặc nếu và chỉ nếu nó là lũy đẳng nguyên thủy. 𝑅
Mối quan hệ cơ bản giữa lũy đẳng bất khả quy phải và lũy đẳng địa phương
23
được cho trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.6.4
Giả sử là lũy đẳng trong , . Các phát biểu sau là tương
đương: 𝑅
(1) 𝑒 là lũy đẳng địa phương trong 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅, 𝑅� = 𝑅/𝐽
là lũy đẳng bất khả quy phải trong . 𝑅.
là lũy đẳng bất khả quy trái trong . 𝑅�
(2) 𝑒 (2′) 𝑒̅ (3) là – môđun phải đơn. 𝑒̅
𝑅� là môđun con tối đại duy nhất của (4) 𝑅
𝑒𝑅/𝑒𝐽 Chứng minh 𝑒𝐽 𝑒𝑅.
Ta có là nửa nguyên thủy do đó là nửa nguyên tố. Do (2.6.3)(2) ta được
(2) ⇔ (2′). Hơn nữa, là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu là vành chia. Nhưng 𝑅�
theo (2.5.2), là 𝑅� vì thế là vành chia nếu và chỉ nếu 𝑒̅𝑅�𝑒̅
Để chứng minh phần còn lại, ta giả 𝑒𝑅𝑒
𝑒̅ vành địa phương. Điều này chứng tỏ (2) ⇔ (1) 𝑒̅𝑅�𝑒̅ 𝑒̅𝑅�𝑒̅ ≅ 𝑒𝑅𝑒/𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒), – đẳng cấu sử có một Điều này chứng tỏ (2) ⇔ (3). Cuối cùng giả .
sử ta có (3), khi đó với iđêan phải bất kỳ không chứa trong do 𝜆: 𝑒𝑅/𝑒𝐽 → 𝑒̅𝑅.� 𝑅�
là – môđun đơn. Do đó: 𝐼 ⊆ 𝑒𝑅 𝑒𝐽, 𝜆(𝐼) = 𝑒̅𝑅�
𝑅�
𝑒̅𝑅� Theo bổ đề Nakayama, . Điều này cho ta (3) ⇒ (4) và (4) ⇒ (3) là hiển nhiên. 𝑒𝑅 = 𝐼 + 𝑒𝐽 = 𝐼 + 𝑒𝑅. 𝐽
𝐼 = 𝑒𝑅
Mệnh đề 2.6.5
Giả sử là một lũy đẳng địa phương và là – môđun phải với độ dài
hữu hạn. Khi đó , nếu 𝑒 ∈ 𝑅 có một thương hợp thành đẳng cấu với 𝑅
𝑀 và chỉ nếu , nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅/𝑒𝐽 (𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅)
𝑀 Chứng minh 𝑀𝑒 ≠ 0 𝐻𝑜𝑚(𝑒𝑅, 𝑀) ≠ 0.
là dãy hợp thành của . Đầu tiên giả sử Giả sử
𝑟
. Nếu , thì (mâu thuẩn). Vì thế, 𝑀 𝑀 = 𝑀0 ⊃≠ 𝑀1 ⊃≠ … ⊃≠ 𝑀𝑟 = 0
sao cho sao cho 𝑀𝑒 = 𝑀𝑒 Cố định phần tử ⊆ 𝑀 = (0) 𝑀
có một thương hợp thành 𝑀𝑒 ≠ (0) ta được 𝑀𝑖𝑒 ⊆ 𝑀𝑖+1 ∀𝑖 Ta có là toàn ánh xác định bởi – đồng cấu 𝑉 𝑉𝑒 ≠ 0.
bất kỳ. Hạt nhân của 𝑣 ∈ 𝑉 là một môđun con tối đại của 𝑣𝑒𝑅 = 𝑉. 𝑅 𝜆: 𝑒𝑅 → 𝑉 𝑣𝑒 ≠ 0 . Vì thế theo 𝜆(𝑒𝑟) =
24
𝑣𝑒𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅 𝜆 𝑒𝑅
(2.6.4)(4) Ta được Ngược lại, nếu đẳng cấu với
. Đặc biệt, khi đó ta có vì 𝑉 ≅ 𝑒𝑅/𝑒𝐽. 𝑀𝑖/𝑀𝑖+1
, ker 𝜆 = 𝑒𝐽. Theo (2.2.3) ta được (𝑒𝑅/𝑒𝐽). 𝑒 ≠ 0 𝑀𝑒 ⊇ 𝑀𝑖𝑒 ≠ 0. 𝑒𝑅/𝑒𝐽 (𝑀𝑖/𝑀𝑖+1). 𝑒 ≠ 0
Tiếp theo ta sẽ cho ví dụ một lũy đẳng bất khả quy trái nhưng không bất khả 𝐻𝑜𝑚(𝑒𝑅, 𝑀) ≠ 0.
quy phải.
Ví dụ 2.6.6 Giả sử là một trường, là – đại số của ma trận tam giác
𝑘 𝑘 trên . Vành này có rad R 𝑅 với vì thế không nửa
2 (𝑟𝑎𝑑 𝑅)
𝑘 = 0, 𝑅 đơn. �� �� �� �� 𝑎 𝑏 0 𝑐 0 𝑏 0 0
Với lũy đẳng ta có và . Do
𝑒 = � 𝑅𝑒 = �� � 𝑒𝑅 = �� �� nên rõ ràng �� là bất khả quy trái. Tuy nhiên, 1 0 0 0 𝑎 0 0 0
𝑒 𝑎 𝑏 0 0 𝑒𝑅 ⊃≠ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⊃≠ (0) đẳng cấu với 𝑒 nên trường hợp đặc 𝑑𝑖𝑚𝑘𝑅𝑒 = 1, không bất khả quy phải. Lưu ý
biệt, là lũy đẳng địa phương. Tương tự, ta kiểm tra lũy đẳng bù 𝑘 �� 𝑒𝑅𝑒 = �� 𝑎 0 0 0
𝑒 𝑓 = 1 − 𝑒 = là bất khả quy phải nhưng không bất khả quy trái.
Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu khái niệm đẳng cấu giữa các lũy đẳng. � 0 0 � 0 1
2.7. Lũy đẳng đẳng cấu
Mệnh đề 2.7.1
Giả sử là các lũy đẳng trong vành . Khi đó các phát biểu sau là tương
đương: 𝑒, 𝑓 𝑅
(1) như là các – môđun phải.
(1′) – môđun trái. 𝑒𝑅 ≅ 𝑓𝑅 như là các 𝑅
(2) Tồn tại và sao cho và 𝑅𝑒 ≅ 𝑅𝑓 𝑅
(3) Tồn tại sao cho và 𝑎 ∈ 𝑒𝑅𝑓 𝑏 ∈ 𝑓𝑅𝑒 𝑒 = 𝑎𝑏 𝑓 = 𝑏𝑎.
Nếu và thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào nêu trên, ta nói chúng là các lũy 𝑓 = 𝑏𝑎. 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 𝑒 = 𝑎𝑏
đẳng đẳng cấu và viết 𝑒 𝑓
Chứng minh 𝑒 ≅ 𝑓.
25
Do tính đối xứng trái – phải, cần chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4)
(1) ⇒ (2) Cố định – đẳng cấu Theo (2.2.3), ta có
−1
−1
Dưới tác động của ta có Tương tự, 𝑅 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑓𝑅. ta 𝑏 = 𝜃(𝑒) ∈ −1
(𝑓) ∈ 𝑒𝑅𝑓. 𝜃 : 𝑓𝑅 → 𝑒𝑅 𝑎 = 𝜃 𝜃, có 𝑓𝑅𝑒.
và tương tự 𝜃 (2) ⇒ (3) Hiển nhiên 𝑏𝑎 = 𝑓. 𝑎𝑏 = 𝑒
(3) ⇒ (1) Giả sử thỏa mãn (3), và .
′
′
Định nghĩa . với và và 𝑎, 𝑏 𝑏𝑒 = 𝑏(𝑎𝑏) ∈ 𝑓𝑅 𝑎𝑓 = 𝑎(𝑏𝑎) ∈ 𝑒𝑅
Khi đó: 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑓𝑅 𝜃 : 𝑓𝑅 → 𝑒𝑅 𝜃(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑓𝑅 𝜃
′
′
2
2
(𝑦) = 𝑎𝑦 ∈ 𝑒𝑅
′
. 𝜃𝜃 = 𝑒, = 𝑓.
′ và Do đó 𝜃(𝑒) = 𝜃 𝜃 ′ Chú ý nếu 𝜃 = 1 𝜃
(𝑓) = 𝜃(𝑎𝑓) = 𝑏𝑎𝑓 = 𝑓 nghĩa là . Do đó, khái niệm đẳng (𝑏𝑒) = 𝑎𝑏𝑒 = 𝑒 giao hoán thì từ (3), 𝜃𝜃 = 1
cấu giữa các lũy đẳng chỉ có trong trường hợp 𝑒 ≅ 𝑓 𝑅 không giao hoán. 𝑒 = 𝑓
Mệnh đề 2.7.2
Giả sử là một iđêan của trong 𝑅 . Khi đó, với các lũy đẳng , ta
có nếu và chỉ nếu trong . Đặc biệt, nếu . 𝑟𝑎𝑑 𝑅 thì 𝑒, 𝑓 ∈ 𝑅
trong 𝐼 Chứng minh 𝑅 𝑒 ≅ 𝑓 𝑅 𝑒̅ ≅ 𝑓̅ 𝑅� = 𝑅/𝐼 𝑒̅ = 𝑓̅ 𝑒 ≅ 𝑓
Giả sử , khi đó ta có
. 𝑒̅ ≅ 𝑓̅
Dễ thấy, . Nếu er ∈ I thì er = e(er)⊂ eI. Suy ra eI = eR ∩ I. Tương 𝑒𝑅/(𝑒𝑅 ∩ 𝐼) ≅ (𝑒𝑅 + 𝐼)/𝐼 ≅ (𝑓𝑅 + 𝐼)/𝐼 ≅ 𝑓𝑅/(𝑓𝑅 + 𝐼)
tự ta có fR = fR ∩ I. Vậy eR/eI ≅ fR/fI. Gọi là đẳng cấu trên, 𝑒𝐼 ⊂ 𝑒𝑅⋂𝐼
là các toàn cấu tự nhiên. Do R là môđun tự do sinh 𝜑�: 𝑒𝑅/𝑒𝐼 → 𝑓𝑅/𝑓𝐼
bởi 1 và R = eR⊕ (1-e)R nên eR là môđun xạ ảnh đơn sinh. Suy ra tồn tại R – đồng 𝜋1: 𝑒𝑅 → 𝑒𝑅/𝑒𝐼, 𝜋2: 𝑓𝑅 → 𝑓𝑅/𝑓𝐼 cấu ϕ : eR→ fR sao cho biểu đồ sau giao hoán
eR
π1
eR/eI ϕ
π2 fR 0 fR/fI 𝜑�
. Từ là toàn cấu, ta có cũng là toàn cấu. Suy ra Nghĩa là
26
Imϕ/fR = fR/fI. Do đó, fR = Imϕ + fI. Theo bổ đề Nakayama, fR= Imϕ, nghĩa là ϕ là 𝜑�𝜋1 𝜋2𝜑 𝜋2𝜑 = 𝜑�𝜋1
toàn ánh. Lập luận như trên, ta có fR cũng là môđun xạ ảnh đơn sinh. Vì vậy eR =
Kerϕ ⊕ A trong đó A đẳng cấu với fR. Mặt khác eR=e(eR)=eKerϕ ⊕ eA, eKerϕ ⊂
Kerϕ, eA⊂ A, ta có A = eA. Xét đẳng cấu sau:
eR/eI = (eKerϕ + eI)/eI ⊕ (eA + eI)/eI
≅ eKerϕ /(eKerϕ ∩ eI)⊕ eA/(eA ∩ eI) = eKerϕ /eKerϕI ⊕ eA/eAI
Đẳng cấu này xác định bởi:
𝜎 → 𝑒𝑅/𝑒𝐼
𝜑� → 𝑓𝑅/𝑓𝐼
. Từ 𝑒𝐾𝑒𝑟𝜑/𝑒𝐾𝑒𝑟𝜑𝐼 ⨁ 𝑒𝐴/𝑒𝐴𝐼
là đẳng cấu, ta có a + eKerϕI = 0, suy ra a ∈ eKerϕI. Do đó eKerϕI=eKerϕ và vì
∀𝑎 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝜑, 𝜑�𝜎(𝑎 + 𝑒𝐾𝑒𝑟𝜑𝐼, 0) = 𝜑�(𝑎 + 𝑒𝐼) = 𝜑�𝜋1(𝑎) = 𝜋2𝜑(𝑎) = 0 vậy eR = eKerϕI ⊕ eA. Phân tích e = a0+b0 với b0 ∈ eA, khi đó eA = b0R, do đó eA 𝜑�𝜎 luôn là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Áp dụng bổ đề Nakayama lần nữa, ta nhận được
eR=eA. Kết hợp các kết quả trên, ta có kết quả sau: eR = eA = A ≅ fR.
Kế tiếp ta sẽ nghiên cứu khái niệm nâng của các lũy đẳng.
2.8. Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R
Nếu là một iđêan trong vành , ta nói một lũy đẳng có thể được
nâng tới một lũy đẳng của vành nếu tồn tại một lũy đẳng mà ảnh của nó qua 𝐼 𝑥̅ ∈ 𝑅/𝐼 𝑅
ánh xạ tự nhiên là . Đối với iđêan tổng quát , không nhất thiết mọi lũy 𝑒 ∈ 𝑅 𝑅
đẳng đều có thể nâng được. Ví dụ: Với , 𝑅 → 𝑅/𝐼
thì 𝑅 = ℤ
⊆ là iđêan sinh bởi 𝐼 2 . mà không nâng được tới một lũy đẳng của vành − 𝐼 6 = 3 thì sẽ đảm bảo cho sự nâng của các lũy đẳng của vành 𝑅/𝐼 𝑅
𝑥̅ là một lũy đẳng trong 𝑥̅ ∈ 𝑅/𝐼 Vậy điều kiện nào của 3� 3 thương ? tới các lũy đẳng của vành 𝐼 𝑅
Mệnh đề 2.8.1 𝑅
𝑅/𝐼 Giả sử là một lũy đẳng và là một iđêan của . Nếu là
thì là nguyên thủy trong . Điều ngược lại xảy ra nếu nguyên thủy trong 𝑒 ∈ 𝑅 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑅 𝑒̅
một lũy đẳng của . 𝑅 𝑒
đều có thể nâng được tới một lũy đẳng của vành 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼 Chứng minh 𝑅�
Trước tiên ta cần chứng minh các nhận xét cơ bản sau về 𝑅
Lũy đẳng duy nhất là (v) 𝑟𝑎𝑑 𝑅
27
𝛼 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝛼 = 0
Thật vậy, xét lũy đẳng bù . Do là đơn vị, khi đó
, tức là Để chứng minh mệnh đề, giả sử là một phân 𝛼 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅, 1 − 𝛼 1 − 𝛼
thành các lũy đẳng trực giao Theo (v), tích không tầm thường của 1 − 𝛼 = 1 𝛼 = 0. 𝑒 = 𝛼 + 𝛽
trong . Vì thế, 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅.
. Ngược lại, giả sử là sự phân tích không tầm 𝛼 ≠ là 𝑅�
𝑒 thành các lũy đẳng trực giao thường của 0 ⟹ 𝛼� ≠ 0; 𝛽 ≠ 0 ⟹ 𝛽̅ ≠ 0 sự phân tích không tầm thường của 𝑒̅ = 𝛼� + 𝛽̅ thành các lũy đẳng trực giao , giả sử 𝑒̅ 𝛼�, 𝛽̅ ∈ 𝑅� 𝑒̅ = 𝑥 + 𝑦
các lũy đẳng này có thể nâng được tới các lũy đẳng của vành là lũy . Giả sử
đẳng của sao cho 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅� . Ta thấy rằng: 𝑒̅ . Ta được 𝑅
′
′
′
Tồn tại một lũy đẳng trực giao với α sao cho 𝛼, 𝛽 (vi) 𝑅 𝛼𝛽 ≡ 𝛽𝛼 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝐼) 𝛼� = 𝑥; 𝛽̅ = 𝑦 ′ Theo nhận xét trên, để chứng minh (2.8.1) cho là lũy đẳng trong ∈ 𝑅 𝛽 ≡ 𝛽(𝑚𝑜𝑑 𝐼)
𝛽 và không nguyên thủy (do trong ), mà . Vì thế 𝑅
′ . Vậy 𝛼, 𝛽
′ � = 𝛼� + 𝛽 𝑒
′
theo (2.7.2) trong 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 ′ . cũng không nguyên thủy trong � = 𝛼� + 𝛽̅ = 𝑒 � 𝑅� ≠ 0
là khả nghịch. Xét lũy 𝑒 𝑅 ≅ 𝑒 𝑅
−1
đẳng , ta có Chứng minh (vi), để ý rằng 𝑒 . Trong 𝛽𝛼 ∈ 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⟹ 1 − 𝛽𝛼
′
Hơn nữa, 𝛽0 = (1 − 𝛽𝛼) Tuy nhiên, 𝛽0��� = 𝛽̅. . Ta giả sử Do 𝑅� 𝛽(1 − 𝛽𝛼) −1 có thể không bằng 𝛽0𝛼 = (1 − 𝛽𝛼) 𝛽(𝛼 − 𝛽𝛼) = 0.
′
, ta có . Khi đó không chỉ mà 𝛽 𝛼𝛽0����� = ′ 0 là một lũy đẳng vì ≔ (1 − 𝛼)𝛽0. 𝛼 = (1 − 𝛼)𝛽0𝛼 = 0 𝛽 𝛼𝛽 =
2
′
𝛼𝛽0 ′ . Và 𝛼�𝛽̅ = 0 � = 𝛽0��� = 𝛽̅ 𝛽 ′ 𝛼(1 − 𝛼)𝛽0 = 0
𝛽 2 Mệnh đề 2.8.2 𝛽′ = 𝛽 .
Giả sử = (1 − 𝛼)𝛽0(1 − 𝛼)𝛽0 = (1 − 𝛼)𝛽0 là một iđêan của sao cho các lũy đẳng trong có
. Khi đó, với mỗi tập đếm được (hoặc hữu hạn) thể nâng được tới các lũy đẳng của 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑅� = 𝑅/𝐼
, tồn tại một tập các lũy 𝑅 bất kỳ trong các lũy đẳng đôi một trực giao
sao cho đẵng đôi một trực giao , 𝑅� 𝑅 trong {𝑥1, 𝑥2, … }
Chứng minh 𝑅 𝑒𝚤� = 𝑥𝑖 {𝑒1, 𝑒2, … }
∀𝑖. thỏa mãn điều kiện trên. Ta chỉ cần chỉ ra cách tìm Giả sử tìm được
. Giả sử = là lũy đẳng, là lũy đẳng của nâng bởi . Khi {𝑒1, … 𝑒𝑛}
và là các lũy đẳng trực giao trong đó, 𝑒𝑛+1 𝑒1 + ⋯ + 𝑒𝑛 𝛼 . Ta tìm được lũy đẳng 𝛽 𝑅 trực giao với 𝑥𝑛+1
28
𝛼� 𝛽̅ 𝑒𝑛+1 𝑅�
sao cho . Do , trực giao với mỗi
. ������ = 𝛽̅ = 𝑥𝑛+1 𝑒𝑛+1 𝑒𝑖 = 𝛼𝑒𝑖 = 𝑒𝑖𝛼 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑒𝑛+1
Tiếp theo ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ thú vị để tồn tại một tập vô hạn đếm
𝛼 𝑒1, … 𝑒𝑛 được các lũy đẳng khác không đôi một trực giao.
Ví dụ 2.8.3
Giả sử là một vành bất kỳ không Dedekin – hữu hạn, tức là tồn tại
2
sao cho nhưng Khi đó, vì vậy 𝑅
𝑗
là lũy đẳng 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 là một tập các thì , giả sử (không tầm thường). Với 𝑎𝑏 = 1 𝑒 ≔ 𝑏𝑎 ≠ 1. 𝑒 𝑒
là delta Kronecker). Chú ý = 𝑏(𝑎𝑏)𝑎 = 𝑒 𝑖 (với (1 − 𝑒)𝑎 ma trận đơn vị trong trường hợp 𝑖, 𝑗 ≥ 0 𝑒𝑖𝑗 = 𝑏 �𝑒𝑖𝑗�
|𝑗−𝑘|
𝑗
𝑖
𝑖
, và hoặc 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑘𝑙 = 𝛿𝑗𝑘𝑒𝑖𝑙 . Nếu 𝛿𝑗𝑘 thì hoặc
𝑘 . Mặt khác do
|𝑗−𝑘|
𝑖
𝑗
𝑘
𝑙
𝑘
nên ta có 𝑎 = 1, ∀𝑖 𝑎(1 − 𝑒) = 0 = (1 − 𝑒)𝑏 𝑗 ≠ 𝑘 = 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑗
𝑗
𝑙
𝑖
là lũy đẳng nên 𝑎 𝑏 = 0 . Với mỗi (1 − 𝑒) = 𝑏 𝑏 𝑒𝑖𝑗𝑒𝑘𝑙 = 𝑏 𝑖 (1 − 𝑒)𝑎 𝑖 𝑙 , nếu ta có (mâu thuẩn). 𝑏 = 𝑏 = 𝑒𝑖𝑙 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 thì (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 (1 − 𝑒)𝑎 𝑗 𝑗 và chứa (1 − 𝑒)𝑎 0 = 𝑎 = 0 𝑏 = 1 − 𝑒
𝑒𝑖𝑗𝑒𝑗𝑙 = 𝑏 (1 − 𝑒)𝑎 𝑖 𝑖 là dãy vô hạn các lũy đẳng đôi một trực giao trong Đặc biệt, 𝑒𝑖𝑗 ≠ 0 (1 − 𝑒)𝑎 𝑏 tổng trực tiếp vô hạn các iđêan phải khác không 𝑏 . Điều này dẫn đến điều 𝑅 𝑅 {𝑒𝑖𝑖: 𝑖 ≥ 0}
mâu thuẩn với (1.3.10). ⊕𝑖≥0 𝑒𝑖𝑖𝑅
Hệ quả 2.8.4
Giả sử là một vành sao cho không chứa tổng trực tiếp vô hạn
của các iđêan phải khác không (ví dụ là vành Noether phải). Khi đó là Dedekind 𝑅 ≔ 𝑆/𝑟𝑎𝑑𝑆 𝑆
– hữu hạn. 𝑅 𝑆
Chứng minh
Theo (2.8.3) thì là Dedekind – hữu hạn. Suy ra là Dedekind – hữu hạn.
Thật vậy, nếu ta có . Chọn sao cho trong 𝑅 𝑆
. Nhân bên trái với 𝑎𝑏 = 1 ta được 𝑆 và do đó 𝑏𝑎 ∈ 1 + 𝑟𝑎𝑑 𝑆 ⊆ 𝑈(𝑆) 𝑢 ∈ 𝑅
Trở lại vấn đề nâng các lũy đẳng , ta sẽ xây dựng hai điều kiện đủ riêng rẽ trên 𝑎 𝑏𝑎 = 1
𝑏𝑎𝑢 = 1. ⊆ iđêan 𝑎𝑢 = 𝑎 có thể được nâng được tới các lũy đẳng của để các lũy đẳng của
vành 𝑅 𝑅/𝐼
29
. 𝐼 Định lý 2.8.5 𝑅
Giả sử là nil iđêan trong , với là lũy đẳng.
Khi đó tồn tại lũy đẳng sao cho 𝑅 (𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅) 𝑎 ∈ 𝑅 𝑎� ∈ 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼
𝐼 Chứng minh 𝑒 ∈ 𝑎𝑅 𝑒̅ = 𝑎� ∈ 𝑅�.
2
𝑚
nên với số nguyên Với ta có
. Ta có: ∈ 𝐼 (𝑎𝑏) = 0 𝑏 = 1 − 𝑎 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 − 𝑎
2𝑚
𝑚 ≥ 1
2𝑚−1
𝑚
𝑚
𝑚−1
𝑚+1
2𝑚
,
𝑚−1
𝑚+1
𝑚
𝑚
với , và = 𝑎 1 = (𝑎 + 𝑏) 2𝑚 là số nguyên. Giả sử + 𝑟1𝑎 + 𝑟𝑚+1𝑎 2𝑚−1 𝑏 + ⋯ + 𝑟𝑚𝑎 2𝑚 . Do + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑚 và vì thế 𝑏 ∈ 𝑎𝑅 𝑓 = 𝑒 = 𝑎 𝑚 𝑏 + 𝑟1𝑎 𝑚
2𝑚 . Cuối cùng + ⋯ + 𝑏
𝑟𝑖 𝑟𝑚+1𝑎 𝑏 𝑏 nên 𝑏 + ⋯ + 𝑟𝑚𝑎 . 𝑒𝑓 = 0 = 0 𝑒 = 𝑎 𝑏 𝑎 = 𝑏 2𝑚
2 Hệ quả 2.8.6
≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝐼)
𝑒(𝑒 + 𝑓) = 𝑒 Giả sử 𝑎𝑏 ∈ 𝐼 ⟹ 𝑒 ≡ 𝑎 là vành nửa địa phương thỏa là nil iđêan.
không có lũy đẳng không tầm thường và thì là vành (1) Nếu 𝑅 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅
địa phương. 𝑅 ≠ (0) 𝑅
chứa lũy đẳng khác không nếu và chỉ nếu 𝑅 (2) Một iđêan phải
không là nil. 𝒜 ⊆ 𝑅 𝒜
Chứng minh
Nếu không có lũy đẳng không tầm thường thì theo (2.8.5) ta được .
Theo định lý Wedderburn – Artin, suy ra là một vành chia nên 𝑅
phương. Để chứng minh sự không tầm thường trong (2), giả sử là vành địa 𝑅� = 𝑅/𝐼 không là nil. Do 𝑅� 𝑅
là nil iđêan nên ảnh của trong 𝒜
Giả sử sao cho khác 0 và do đó chứa một lũy đẳng khác không. 𝐼 sao . Do (2.8.5), tồn tại lũy đẳng 𝒜
cho 0 ≠ 𝑎� = 𝑎� 𝑅� 2 ∈ 𝑅� 𝑒 ∈ 𝑎𝑅 ⊆ 𝒜
𝑎 ∈ 𝒜 Để trình bày loại điều kiện đủ thứ 2 cho sự nâng lên của một lũy đẳng của vành 𝑒̅ = 𝑎� ≠ 0.
thương tới một lũy đẳng của vành R, ta nhắc lại vài yếu tố về sự đầy đủ của vành ứng
với iđêan. Giả sử là một iđêan bất kỳ của vành , ta có dãy các vành thương và các
toàn cấu vành 𝐼 𝑅
↞ Nếu I là iđêan lũy linh thì dãy trên kết thúc sau hữu hạn bước. 𝑅 2 ↞ 𝐼 𝑅 𝐼
𝑅 3 ↞ ⋯ 𝐼 30
Nếu I không lũy linh thì dãy trên là vô hạn.
𝑛
Ta gọi giới hạn ngược của dãy trên là và kí hiệu =
và là vành mà tất cả các vành thương trong dãy đều là ảnh đồng cấu của 𝑅� 𝑙𝑖𝑚 𝑅/𝐼 𝑅�
là nhỏ nhất theo nghĩa nếu có X là một vành có tính chất trên thì là ảnh đồng cấu 𝑅�
𝑅� 𝑅� của X. 𝑅�
Đặc biệt xét đồng cấu tự nhiên
𝑛� 𝐼
𝑖: 𝑅 ⟶ 𝑅
Ta nói là adically đầy đủ nếu ánh xạ tự nhiên là đẳng cấu. Ta
𝑎 ↦ 𝑎�𝑛 = (𝑎�1, 𝑎�2, … , 𝑎�𝑛, … ) 𝑖 ∶ 𝑅 → 𝑅� được 2 điều kiện sau: 𝐼 −
𝑅 là đơn ánh tức là (1)
𝑛
là toàn ánh tức là với dãy thỏa 𝐼 ⋂
∞ 𝑛 𝑛=1 = (0). ∀
𝑛
tồn tại ) ∀𝑛 (2) 𝑖 sao cho 𝑖 𝑎𝑛+1 ≡ 𝑎𝑛(𝑚𝑜𝑑 𝐼
– adically đầy đủ ) là iđêan lũy linh thì 𝑎 ≡ 𝑎𝑛(𝑚𝑜𝑑 𝐼 . (𝑎1, 𝑎2, … ) là 𝑛
Chú ý: Khi 𝑎 ∈ 𝑅 Định lý 2.8.7 𝐼
Giả sử là iđêan của sao cho 𝑅 là 𝐼 – adically đầy đủ. Khi đó các lũy đẳng
của . có thể được nâng tới các lũy đẳng của vành 𝑅 𝑅 𝐼
𝐼 Chứng minh 𝑅/𝐼 𝑅
2
2
. Ta có thể nâng là lũy đẳng. Xem tới Giả sử
2
𝑛
lũy đẳng , vì iđêan có bình phương là 0. Tiếp tục quá trình ) 𝑎1 )/(𝐼/𝐼 𝑎1 ∈ 𝑅/𝐼 2 𝑅/𝐼 = (𝑅/𝐼 2 này, ta được 𝑎2 ∈ 𝑅/𝐼 𝐼/𝐼 ⊆ 𝑅/𝐼
𝑛
với mỗi là lũy đẳng trong Ta được 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, … ) ∈ 𝑙𝑖𝑚𝑅/𝐼
2
= 𝑅� = 𝑅, 𝑛, 𝑎𝑛 .
2 = (𝑎1
2 , 𝑎2
nên 𝑅/𝐼 là một lũy đẳng nâng từ , … ) = (𝑎1, 𝑎2, … ) = 𝑎
𝑎 Hệ quả 2.8.8 𝑎 ∈ 𝑅 𝑎1 ∈ 𝑅/𝐼.
Giả sử thỏa điều kiện của định lý (2.8.7). Khi đó lũy đẳng là
khi và chỉ khi là nguyên thủy trong và mỗi tập đếm được 𝑒 ∈ 𝑅
. nguyên thủy trong (𝑅, 𝐼) các lũy đẳng đôi một trực giao trong 𝑒̅ 𝑅 có thể được nâng tới tập tương tự trong 𝑅/𝐼
31
Bổ đề 2.8.9 𝑅/𝐼 𝑅
Cho là vành Noether giao hoán và cũng là – adically đầy đủ ứng với iđêan
– môđun hữu hạn sinh. Khi đó là – adically đầy đủ theo . Giả sử là
𝑛
𝑘 nghĩa ánh xạ tự nhiên 𝐼 ⊆ 𝑘 𝑘 𝑀 𝐼 là một đẳng cấu. 𝐼 𝑀
Chứng minh 𝑀
𝑛
∞ 𝑛=1
𝑖𝑀: 𝑀 → 𝑙𝑖𝑚 𝑀/𝐼 là Hạt nhân của ánh xạ . Ta có . Do hữu hạn sinh
trên , theo bổ đề Nakayama suy ra . Ta cần chỉ ra như trên. Cố định tập các 𝑀 𝑁 𝑁 = ⋂
𝑛
𝑖𝑀 của Do phần tử sinh 𝐼 và lấy phần tử 𝑁 = 0 𝑘 𝐼. 𝑁 = 𝑁 𝑖𝑀
𝑛
𝑛
𝑀 (𝑎1, 𝑎2, … ) ∈ 𝑙𝑖𝑚𝑀/𝐼 𝑀. nên ta viết: (𝑚1, … , 𝑚𝑟)
𝑛
𝑟 𝑗=1
với 𝑀 = ∑ 𝐼 𝑚𝑗 𝐼
, với 𝛽𝑛𝑗𝑚𝑗, 𝛽𝑛𝑗 ∈ 𝐼
𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛 = ∑ 𝑟 𝑗=1 Khi đó: 𝑎1𝑗𝑚𝑗 𝑎1𝑗 ∈ 𝑘 𝑎1 = ∑
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑎2 − 𝑎1) + ⋯ + (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1)
𝑗
𝑗
= � 𝛼1𝑗𝑚𝑗 + ⋯ + � 𝛽𝑛−1.𝑗𝑚𝑗 𝑗 + � 𝛽1𝑗𝑚𝑗 , với 𝑗 .
𝑛−1
hội tụ đến . Đặt khi , ta có: Do 𝛼𝑛𝑗 = 𝛼1𝑗 + 𝛽1𝑗 + ⋯ + 𝛽𝑛−𝑗.𝑗 , = ∑ 𝛼𝑛𝑗 𝑚𝑗
𝑛
𝛼𝑛𝑗 𝛼𝑗 ∈ 𝑘 𝑛 → ∞ 𝛽𝑛−1𝑗 ∈ 𝐼 𝑎 = ∑ 𝛼𝑗𝑚𝑗 𝑗
𝑗
∈ 𝐼 𝑀, ∀𝑛 𝑎 − 𝑎𝑛 = ��𝛼𝑗 − 𝛼𝑛𝑗�𝑚𝑗 Vì thế .
Mệnh đề 2.8.10 𝑖𝑀(𝑎) = (𝑎1, 𝑎2, … ) Giả sử thỏa (2.8.9) và là một – đại số hữu hạn sinh như một –
môđun. Khi đó: 𝑅 𝑘 𝑘
(𝑘, 𝐼) là (1) – adically đầy đủ và các lũy đẳng của có thể được nâng tới
các lũy đẳng của vành . 𝑅
𝐼𝑅 (2) Giả sử 𝑅/𝐼𝑅 . Nếu không có lũy đẳng là nửa địa phương và 𝑅
) thì là vành địa phương. không tầm thường (và 𝑘 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑘 𝑅
Chứng minh 𝑅 ≠ (0)
𝑅 (1) Suy ra từ (2.8.9) và (2.8.7).
32
Trước khi chứng minh (2) ta cần chứng minh nhận xét sau:
≠ Một vành Artin phải là vành địa phương nếu và chỉ nếu không có các
lũy đẳng tầm thường (vii) 𝑅 0 𝑅
. Theo định Ta chỉ chứng minh chiều thuận, xét môđun chính quy phải
lý Hopkins – Levitzki, có độ dài hữu hạn. Vành tự đồng cấu ( (tác 𝑀 = 𝑅𝑅
động bên trái của ) đẳng cấu với . Nếu không có các lũy không tầm thường thì 𝐸 = 𝐸𝑛𝑑 𝑀 𝑀𝑅)
là không phân tích được. Theo (1.3.18), là vành địa phương. 𝑀 𝑅 𝑅
(2) Chú ý rằng . Với giả thiết đã là hữu hạn sinh như một môđun trên 𝐸 ≅ 𝑀
𝑀 cho trong (2) thì cũng là vành Artin (trái là vành Artin (giao hoán), vì thế 𝑅/𝐼𝑅 𝑘/𝐼
và phải). Nếu cũng không có các lũy đẳng không tầm thường thì theo (1), 𝑘/𝐼 𝑅/𝐼𝑅
không có các lũy đẳng không tầm thường. Theo (vii), là vành địa phương. Do 𝑅 𝑅/𝐼𝑅
(theo (1.3.17)) nên là một vành địa phương. 𝑅/𝐼𝑅
Nhận xét trên dẫn đến kết quả quan trọng sau: 𝐼𝑅 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑅
Định lý 2.8.11
Cho là vành Noether nửa địa phương giao hoán và cũng là – adically đầy
đủ với . Giả sử là một – đại số hữu hạn sinh như một – môđun. Khi 𝑘 𝐼
đó mỗi – môđun phải hữu hạn sinh có sự phân tích Krull – Schmidt, tức là 𝑘 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑘
𝑅 với mỗi 𝑘 là một . – môđun con không phân tích được của 𝑀
xác định duy nhất và dãy đẳng cấu của xác định duy nhất sai 𝑀𝑖 𝑅 𝑀
𝑅 Hơn nữa, 𝑀 = 𝑀1 ⊕ … ⨁𝑀𝑟 khác một hoán vị. 𝑟 𝑀1, … , 𝑀𝑟
Chứng minh
Từ giả thiết suy ra các – môđun con của thỏa mãn ACC nên theo (1.3.19),
tồn tại sự phân tích Krull-Schmidt, tức là ta có . Xét các – đại số 𝑅 𝑀
không có lũy đẳng không tầm thường. Do 𝑀 = 𝑀1 ⊕ … ⨁𝑀𝑟
– môđun và là Noether, nên cũng là hữu hạn sinh như là là hữu hạn sinh 𝑘 – môđun. 𝐸𝑛𝑑𝑘(𝑀𝑖)
là vành địa phương, vì thế không phân tích được mạnh với 𝐸𝑖 𝑘 như là 𝐸𝑖 = 𝐸𝑛𝑑𝑅𝑀𝑖 Theo (2.8.10)(2) 𝑘 𝑘
. Phần chứng minh duy nhất của (2.8.11) suy ra từ định lý Krull – Schmidt , 𝐸𝑖 𝑀𝑖
– Azumaya (1.3.20). 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟
33
Ví dụ 2.8.12
Giả sử là một trường, là – đại số của ma trận tam giác trên .
𝑅 𝑘 �� là 𝑘 – 𝑘 Vành này có iđêan lũy linh với 𝑎 𝑏 �� vì thế 0 𝑐
2 (𝑟𝑎𝑑 𝑅) adically đầy đủ. Theo (2.8.7) thì các lũy đẳng của vành thương
= 0, 𝐼 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = �� �� 𝑅 có thể nâng tới 0 𝑏 0 0
các lũy đẳng của vành 𝑅/𝐼
𝑅. Chẳng hạn ta có lũy đẳng của vành thương có thể nâng được
𝑅/𝐼 � tới lũy đẳng của vành 𝑒̅ = �1� 0� . 0� 0�
𝑅 𝑒 = � � 1 0 2.9. Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối 0 0
Ta xét ứng dụng của lũy đẳng để giải quyết bài toán về sự phân tích khối của
vành thông qua các lũy đẳng tâm.
Một lũy đẳng trong vành được gọi là lũy đẳng tâm nếu và chỉ nếu
tại là lũy đẳng bù của 𝑅
(xem trong (2.2.1)). Nếu e là lũy đẳng 𝑒𝑅𝑓 = , tất cả các hạng tử đều là các 𝑒
như là vành (đồng nhất và ), ta được đẳng cấu vành 𝑒 tâm thực sự, thì trong sự phân tích Peirce 𝑓𝑅𝑒 = 0 iđêan của 𝑓 = 1 − 𝑒 . Xem và 𝑅 = 𝑒𝑅 ⊕ 𝑓𝑅
với . Ngược lại, nếu 𝑓 𝑅 𝑒𝑅 𝑓𝑅
. Dễ thấy là các iđêan, khi đó 𝑒 là các lũy đẳng tâm và 𝑅 = 𝒜 ⊕ ℬ 𝒜, ℬ với 𝑅 ≅ 𝑒𝑅 × 𝑓𝑅
là không phân tích được nếu . Ta nói vành 1 = 𝑒 + 𝑓 không là tổng trực tiếp của 2 iđêan khác 𝒜 = 𝑒𝑅, ℬ = 𝑓𝑅 𝑒 ∈ 𝒜, 𝑓 ∈ ℬ 𝑒, 𝑓
không có lũy đẳng tâm không tầm 𝑅
không. Đây là trường hợp nếu và chỉ nếu 𝑅 (≠ 0) thường.
Giả sử 𝑅 là một lũy đẳng tâm. Nếu là sự phân tích tùy ý của
, khi đó thành các lũy đẳng tâm trực giao 𝑐 ∈ 𝑅 𝑐
𝑐 = 𝛼 + 𝛽 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅
tương tự . Do đó, sự phân tích xảy ra trong vành . 𝛼 = (𝛼 + 𝛽)𝛼 = 𝑐𝛼 ∈ 𝑐𝑅,
Định nghĩa 2.9.1 𝛽 ∈ 𝑐𝑅 𝑐 = 𝛼 + 𝛽 𝑐𝑅
gọi là lũy đẳng tâm nguyên thủy của nếu và không thể viết được
dưới dạng tổng của hai lũy đẳng tâm trực giao khác không của . 𝑅 𝑐 ≠ 0 𝑐
không phân tích được như là một vành (hoặc như là một iđêan 𝑐 Như vậy 𝑅
trong ). 𝑐𝑅
34
𝑅
Mệnh đề 2.9.2
Giả sử tồn tại sự phân tích của thành tổng của các lũy đẳng tâm nguyên
thủy trực giao, . Khi đó: 1 ∈ 𝑅
. (1) Lũy đẳng tâm bất kỳ là tổng của một tập con của 1 = 𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟
(2) là các lũy đẳng tâm nguyên thủy của 𝑐 ∈ 𝑅 . Đặc biệt, hai lũy đẳng {𝑐1, … , 𝑐𝑟}
tâm nguyên thủy phân biệt của là trực giao. 𝑅
là duy nhất sai khác một hoán vị của các 𝑐1, … , 𝑐𝑟 (3) Sự phân tích 𝑅
hạng tử. 1 = 𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟
Chứng minh
(1) Nếu thì vì là lũy đẳng tâm khác 0 của . Do đó ta có:
sao cho 𝑐𝑐𝑖 ≠ 0 , tổng trên tất cả các 𝑐𝑐𝑖 = 𝑐𝑖 𝑐𝑖 . Từ đó ta có kết 𝑐𝑖𝑅
𝑖 𝑐𝑐𝑖 ≠ 0
luận (2), (3) (theo (1.3.14)). 𝑐 = 𝑐(𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟) = ∑ 𝑐𝑖 Nhận xét: Vành có thể được phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn của các
vành không phân tích được nếu và chỉ nếu có thể viết được dưới dạng tổng của 𝑅
các lũy đẳng tâm nguyên thủy trực giao. Khi đó ta có thì ta nói
đây là sự phân tích khối của và mỗi 1 ∈ 𝑅 được gọi là khối của . 𝑅 = 𝑐1𝑅 ⨁ … ⨁𝑐𝑟𝑅
Trong trường hợp tổng quát thì sự phân tích khối có thể không tồn tại. Vậy các 𝑅 𝑐𝑖𝑅 𝑅
iđêan của vành thỏa điều kiện nào để đảm bảo tồn tại sự phân tích khối của vành
? 𝑅
Mệnh đề 2.9.3 𝑅
Giả sử là vành có các iđêan thỏa mãn ACC hoặc thỏa DCC (ví dụ là vành
Noether phải hoặc trái). Khi đó có sự phân tích thành khối và mọi kết luận của 𝑅 𝑅
(2.9.2) đều đúng cho . 𝑅
Chứng minh 𝑅
Theo định lý Krull – Schmidt trường hợp là môđun trên chính nó.
Để nghiên cứu sự tồn tại của sự phân tích khối trong trường hợp tổng quát, ta 𝑅
sẽ giới thiệu các quan hệ hai ngôi trên các lũy đẳng nguyên thủy của vành. Với vành
′
, ta cho trước, giả sử là tập các lũy đẳng nguyên thủy của . Với
′
sao cho . Theo ∈ 𝐸 định nghĩa 𝑅 ≠ 0 nghĩa là tồn tại 𝐸 𝑅 𝑒, 𝑒 ′
35
𝑒~𝑒 𝑒𝑅𝑓 ≠ 0 ≠ 𝑒 𝑅𝑓 𝑓 ∈ 𝐸
′
, ta được (2.2.3) ta có dẫn đến tồn tại các – đồng cấu
′
với khác không . Đặc biệt, nếu 𝑒~𝑒 𝐻𝑜𝑚𝑅(𝑓𝑅, 𝑒𝑅) ≅ 𝑒𝑅𝑓 là đẳng cấu 𝑅
′ và 𝑅
′
(2.7.1) thì ; nếu (vì thì 𝑓 ∈ 𝐸 ). 𝑒, 𝑒 ∈ 𝐸 𝑓𝑅 → 𝑒𝑅, 𝑓𝑅 → 𝑒
Vì quan hệ 𝑒~𝑒 trên 𝑒, 𝑓 ∈ 𝐸 là phản xạ và đối xứng nên nó là quan hệ tương đương. 𝑓𝑅𝑓 ≠ 0
tương đương ta có nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑓 ≠ 0 là 𝑒~𝑓 , Kí hiệu quan hệ "~" 𝐸
′
" ≈ " 𝑒 ≈ 𝑒′
Bổ đề 2.9.4
′
𝑒~𝑒1~𝑒2~ … ~𝑒𝑚~𝑒 Giả sử trong và là lũy đẳng tâm trong . Khi đó nếu và chỉ
′
nếu 𝐸 𝑐 𝑅 𝑒 ∈ 𝑐𝑅
𝑒
𝑒 ≈ 𝑒 Chứng minh ∈ 𝑐𝑅. Đầu tiên ta chứng minh nhận xét sau:
Với bất kỳ, ta có hoặc hoặc (viii)
Thật vậy, từ sự phân tích , suy ra hoặc hoặc 𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 ∈ 𝑐𝑅 𝑒 ∈ (1 − 𝑐)𝑅
, vì là lũy đẳng nguyên thủy (và 𝑒 = 𝑐𝑒 + (1 − 𝑐)𝑒 là các lũy đẳng trực giao). (1 − 𝑐𝑒 = 0
và nếu thì . Nếu 𝑐)𝑒 = 0 thì 𝑒 𝑐𝑒, (1 − 𝑐)𝑒
′
. Để chứng minh bổ đề (2.9.4) ta chỉ cần chứng minh chiều thuận, giả sử 𝑒 = 𝑐𝑒 ∈ 𝑐𝑅
𝑐𝑒 = 0 Cố định lũy đẳng 𝑒 = (1 − 𝑐)𝑒 ∈ (1 − 𝑐)𝑅 sao cho (1 − 𝑐)𝑒 = 0 . Nếu thì 𝑒~𝑒
′ suy ra 𝑅𝑓
Khi đó 𝑓 ∈ 𝐸 𝑒𝑅𝑓 ≠ 0 ≠ 𝑒 vì thế 𝑒 ∈ 𝑐𝑅
′
′
𝑐𝑓 ≠ 0 𝑓 ∈ 𝑐𝑅.
′ .
′
suy ra 𝑅(𝑐𝑓) = 𝑐𝑒 0 ≠ 𝑒𝑅𝑓 = 𝑐𝑒𝑅𝑓 = 𝑒𝑅(𝑐𝑓) vì thế 0 ≠ 𝑒 𝑅𝑓 = 𝑒 ′
𝑅𝑓 Kết quả kế tiếp cho ta một điều kiện đủ hữu ích cho sự tồn tại của sự phân tích 𝑐𝑒 ∈ 𝑐𝑅 ≠ 0 𝑒
khối của vành và sự liên kết các lớp tương đương của trong các số hạng của sự
phân tích khối. 𝐸
Định lý 2.9.5
Giả sử và với các là các lũy đẳng nguyên thủy trực
giao. Khi đó có thể được viết thành tổng của các lũy đẳng tâm nguyên thủy (vì 1 = 𝑒1 + ⋯ + 𝑒𝑛
′
được gọi là 𝑒𝑖 . Hai lũy đẳng nguyên thủy 1 ∈ 𝑅 thế tồn tại sự phân tích khối của 1 ∈ 𝑅
liên kết nếu và chỉ nếu chúng thuộc cùng một khối. ∈ 𝐸 𝑅) 𝑒, 𝑒
36
Chứng minh
Các là phân biệt trong và cảm sinh quan hệ tương đương trên
. Do đó, ta có sự phân chia tập này thành các lớp tương đương. Giả sử 𝑒𝑖 " ≈ " 𝐸
là tổng các lớp khác nhau và là các lũy đẳng trực giao với tổng bằng 1. Hơn
với . Vì thế, với tùy ý, ta thấy rằng {𝑒1, … , 𝑒𝑛} nữa, từ định nghĩa của 𝑐1, … , 𝑐𝑟
𝑖 ≠ 𝑗 𝑎 ∈ 𝑅 " ≈ " 𝑐𝑖𝑅𝑐𝑗 = 0
vì thế mỗi là lũy đẳng tâm nguyên
, khi đó . là một lũy đẳng tâm khác không của là lũy đẳng tâm. Tiếp theo để chứng minh 𝑐𝑖𝑎 = 𝑐𝑖𝑎(𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟) = 𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖 = (𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟)𝑎𝑐𝑖 = 𝑎𝑐𝑖, thủy, ta chỉ cần chỉ ra nếu 𝑐𝑖
𝑐𝑖 là một lớp tương đương. Từ Ta có 𝑐 = 𝑐𝑖 𝑐𝑖𝑅 với 𝑐
, ta có là lũy đẳng tâm trong nghĩa là 0 ≠ 𝑐 = 𝑐𝑖 = 𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚, �𝑒𝑖1, … , 𝑒𝑖𝑚� . Vì
. Vì thế: 𝑐𝑒𝑖1 ≠ 0 𝑐 𝑅
, 𝑐𝑐𝑖 = 𝑐�𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚� và theo (2.9.4), 𝑒𝑖1 ∈ 𝑐𝑅 𝑒𝑖𝑗 ∈ 𝑐𝑅, ∀𝑗
Xét bất kỳ, theo (viii) ta có thuộc khối Khi đó: 𝑐 = 𝑐�𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚� = 𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑖𝑚 = 𝑐𝑖
𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 𝑅𝑖 ≔ 𝑐𝑖𝑅.
suy ra . Theo nhận xét trước đó ta có và vì thế . Ngược lại, do 0 ≠ 𝑒𝑅 = 𝑒𝑐𝑖𝑅 = 𝑒𝑅𝑖 = 𝑒𝑅𝑖𝑒𝑖1 + ⋯ + 𝑒𝑅𝑖𝑒𝑖𝑚
(2.9.4), lũy đẳng nguyên thủy bất kỳ . Điều này dẫn đến 𝑒𝑅𝑒𝑖𝑗 ≠ 0 𝑒~𝑒𝑖𝑗 thuộc khối 𝑒 ≈ 𝑒𝑖1
kết luận cuối cùng của định lý. 𝑒 ≈ 𝑒𝑖1 𝑐𝑖𝑅 = 𝑅𝑖
Định lý 2.9.6
Giả sử là vành Artin phải. Khi đó có (duy nhất) sự phân tích khối
′
′
, ta có nếu và chỉ nếu . Với các lũy đẳng nguyên thủy 𝑅 𝑅
′
′
có một nhân tử chung. Vì thế, hai lũy đẳng nguyên thuỷ 𝑒, 𝑒 𝑒~𝑒
và 𝑅1 ⊕ … ⨁𝑅𝑟 một khối nếu và chỉ nếu tồn tại ∈ 𝐸 với 𝑅 = thuộc cùng 𝑒𝑅 sao cho với 𝑒 𝑅 𝑒, 𝑒 ∈ 𝐸 ′ và có một nhân tử chung. 𝑒1, … , 𝑒𝑚 ∈ 𝐸 𝑒1 = 𝑒, 𝑒𝑚 = 𝑒
Chứng minh 𝑒𝑖+1𝑅
có sự phân tích Krull – Schmidt, các giả thiết của (2.9.5) được thỏa. Do 𝑖 < 𝑚, 𝑒𝑖𝑅 Vì
đó có sự phân tích khối. Theo (1.3.18), lũy đẳng bất kỳ là địa phương, vì thế
𝑅𝑅 là một – môđun phải đơn với . Ngược lại, nếu là một – 𝑅
với 𝑓 ∈ 𝐸 (chọn lũy đẳng 𝑅 𝑉 sao 𝑅
môđun phải đơn bất kỳ thì 𝑓𝑅/𝑓𝐽 cho . Nâng x tới lũy đẳng và ). 𝑉 ≅ 𝑓𝑅/𝑓𝐽
37
Xét theo định nghĩa . Theo với 𝑓 ∈ 𝐸 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 , theo (2.6.4) thì 𝑓 ∈ 𝐸 nghĩa là tồn tại 𝑓 ∈ 𝑅 ′ 𝑉 ≅ 𝑥𝑅� ′ 𝑥 ∈ 𝑅� = 𝑅/𝐽 𝑉 ≅ 𝑓̅𝑅� ≅ 𝑓𝑅/𝑓𝐽 ′
𝑒, 𝑒 ∈ 𝐸 𝑒~𝑒 𝑓 ∈ 𝐸 𝑒𝑅𝑓 ≠ 0 ≠ 𝑒 𝑅𝑓
′
(2.6.5), nghĩa là và có như là một nhân tử. Điều này cho ta một biểu
diễn mới của trong (2.9.6) và kết luận cuối cùng của (2.9.6) suy ra từ (2.9.5). 𝑒𝑅 𝑅 𝑒
′
nếu và chỉ 𝑓𝑅/𝑓𝐽 Trong trường hợp đặc biệt khi là vành nửa đơn, theo (2.9.6),
′
′
′
"~" . Vì thế, thuộc cùng một khối nếu và chỉ nếu . Các khối nếu 𝑅 𝑒~𝑒
của hiển nhiên là các nhân tố đơn của 𝑒, 𝑒 𝑒 ≅ 𝑒 𝑒 ≅ 𝑒
∈ 𝐸 Nếu đơn vị của vành có thể phân tích được thành tổng của các lũy đẳng tâm 𝑅 𝑅.
nguyên thủy, thì phân tích thành các khối với
và tâm 𝑅 cũng phân tích được thành các khối với của 1 = 𝑐1 + ⋯ + 𝑐𝑟 𝑅
vào các khối 𝑅 . Sự phân bố của các lũy đẳng nguyên thủy của 𝐶 𝑅1 ⊕ … ⨁ 𝑅𝑟 𝐶1 ⊕ … ⨁ 𝐶𝑟
có thể được phân tích bằng cách sử dụng các tính chất của . Ta sẽ nghiên 𝑍(𝑅𝑖) 𝑅
𝐶
𝑅𝑖 = 𝑐𝑖𝑅 𝐶𝑖 = 𝑐𝑖𝐶 = cứu điều này bằng cách xét trường hợp của các đại số hữu hạn chiều trên một trường 𝑅1, … , 𝑅𝑟 đóng đại số.
Định lý 2.9.7
Cho là đại số hữu hạn chiều trên một trường đóng đại số k và giả sử
, như trên. Với lũy đẳng nguyên thủy
bất kỳ, 𝑅 = . lên môđun đơn là nhân vô hướng với 𝐶 = 𝐶1 ⊕ … ⊕ 𝐶𝑟 𝑒 ∈ 𝐸
𝑅 tác động phần tử 𝑅1 ⊕ … ⨁ 𝑅𝑟 Ánh xạ – đại số và là một đồng cấu 𝑐 ∈ 𝐶 𝑒𝑅/𝑒. 𝑟𝑎𝑑 𝑅
′ – đại số 𝑒, 𝑒
′
. Hơn nữa, đồng cấu thuộc cùng một khối nếu 𝜆𝑒(𝑐) ∈ 𝑘 với bất kỳ có dạng và chỉ nếu 𝑘 ∈ 𝐸
. 𝑘 𝐶 → 𝑘 𝜆𝑒
𝜆𝑒: 𝐶 → 𝑘 𝜆𝑒 = 𝜆𝑒 Chứng minh 𝑒 ∈ 𝐸
Vì là đóng đại số, theo bổ đề Schur suy ra .
Vì thế, ta có ánh xạ là một đã định nghĩa trong định lý và rõ ràng 𝐸𝑛𝑑𝑅(𝑒𝑅/𝑒. 𝑟𝑎𝑑𝑅) = 𝑘
𝑘 đồng cấu – đại số. Xét khối , vì không có lũy đẳng không tầm thường của 𝜆𝑒
nên nó là . Do đó, tồn tại duy nhất 𝑘 – đại số địa phương (do (vii)) với 𝐶𝑖 𝐶
như là 0 trên 𝜆𝑒: 𝐶 → 𝑘 𝐶𝑖 . Giả sử đồng cấu – đại số 𝑘 , khi đó mỗi 𝐶𝑖/𝑟𝑎𝑑𝐶𝑖 = 𝑘
và ta có . vì thế 𝑒 ∈ 𝑅𝑖 𝐶𝑗(𝑗 ≠ 𝑖) 𝜆𝑖: 𝐶𝑖 → 𝑘 𝑘
tới Kế tiếp ta sẽ bàn về vấn đề nâng lũy đẳng tâm từ một ảnh đồng cấu của 𝜆𝑒|𝐶𝑖 = 𝜆𝑖 𝑒𝑅/𝑒. 𝑟𝑎𝑑𝑅 𝜆𝑒|𝐶𝑗 = 0
lũy đẳng tâm của . Nếu là một iđêan bất kỳ của , thì lũy đẳng tâm của không 𝑅
38
𝑅 𝐼 𝑅 𝑅 𝐼� thể nâng tới lũy đẳng tâm của .
𝑅
Ta sẽ kết thúc vấn đề này bằng cách chỉ ra một vài trường hợp mà lũy đẳng
tâm trong vành thương của có thể nâng được tới lũy đẳng tâm của vành . Đầu tiên
ta chứng minh 𝑅 𝑅
Bổ đề 2.9.8
Giả sử là một iđêan của vành sao cho . Khi đó là lũy đẳng
∞ 𝑛 𝑛=1 = 0 𝐼
2
tâm của nếu và chỉ nếu ảnh của nó là lũy đẳng tâm trong 𝑅 𝑒 ⋂
𝐼 Chứng minh . 𝑒̅ 𝑅 𝑅� ≔ 𝑅/𝐼
Ta chỉ chứng minh chiều ngược của định lý:
𝑛
Giả sử là lũy đẳng tâm trong và . Ta chứng minh
Thật vậy, ta có vì thế theo (2.2.2), là lũy , 𝑓 = 1 − 𝑒 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼
và tương tự 𝑅� , vì . Bằng qui nạp theo là lũy đẳng tâm trong , ta có 𝑓𝑅𝑒 = 0 𝑒
2
2
𝑛
𝑒̅ đẳng tâm trong ∀𝑛 ≥ 2. và với 𝑒𝑅𝑓 = 0 . Theo nguyên lý qui nạp, nếu 𝑅 𝑛 𝑒̅ 𝑒𝐼 ⊆ 𝐼𝑒 +
𝑛
2
𝑛−1
𝑛+1
thì 𝑅� 𝐼 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼 𝑛 ≥ 2 𝑛+1
)𝐼 𝑓 ⊆ (𝐼𝑒 + 𝐼 = 𝐼 . 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼 Định lý 2.9.9 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝑒𝐼
Giả sử là một vành và 𝑓 ⊆ 𝐼. 𝑒𝑅𝑓 + 𝐼 là iđêan lũy linh. Khi đó, ánh xạ xác
định một tương ứng 1 – 1 giữa các lũy đẳng tâm của và các lũy đẳng tâm của 𝑅 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑒 ↦ 𝑒̅
2
. Hơn nữa, nếu và chỉ nếu là lũy là lũy đẳng tâm nguyên thủy trong 𝑅
. Đặc biệt, là không phân tích được nếu và chỉ nếu 𝑅 𝑒̅ 𝑒
đẳng tâm nguyên thủy trong 𝑅� = 𝑅/𝐼 là không phân tích được. 𝑅� 𝑅 𝑅�
Chứng minh
Giả sử là lũy đẳng tâm bất kỳ trong . Vì là lũy linh, có thể được nâng
2 theo (2.8.5). Từ tính lũy linh của
tới lũy đẳng suy ra được , vì 𝑥 𝐼 𝑥
2
∞ 𝑛 không chứa các lũy đẳng khác 𝑛=1 = 0 𝐼 ⋂ . Điều này thiết
thế theo (2.9.8), là lũy đẳng tâm trong 𝑅� . Vì 𝐼
nâng từ không của là lũy đẳng (tâm) duy nhất của 𝐼 𝑅 𝑒 ∈ 𝑅 (theo (v)), 𝑒
với là lập tương ứng 1 – 1 trong định lý. Nếu có sự phân tích thành 𝑅 𝑒 𝑅
các lũy đẳng tâm trực giao khác không của thì 𝑒
đẳng tâm trực giao khác không của 𝑥 với 𝑒1 + 𝑒2 với là các lũy 𝑒1, 𝑒2 là các . Ngược lại, nếu 𝑅 𝑒̅ = 𝑒1� + 𝑒2�
𝑒1� , 𝑒2� là các lũy đẳng tâm (duy lũy đẳng tâm trực giao khác không trong , giả sử 𝑥1, 𝑥2 𝑒̅ = 𝑥1 + 𝑥2
2
nhất) của được nâng từ , vì thế . 𝑅� . Khi đó là lũy đẳng trong 𝑒1, 𝑒2
𝑅 𝑥1, 𝑥2 𝐼 𝑒1𝑒2 = 0 𝑅� 𝑒1𝑒2 39
Hơn nữa, vì và đều được nâng từ , ta có . Điều này
chứng tỏ là lũy đẳng tâm nguyên thủy của nếu và chỉ nếu là lũy đẳng tâm 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑒 = 𝑒1 + 𝑒2 𝑒
nguyên thủy của 𝑒1 + 𝑒2 𝑒̅
𝑒 Với 𝑅 là vành Artin phải, theo (2.9.9) suy ra trường hợp đặc biệt các khối của 𝑅�.
2
là tương ứng 1 – 1 với các khối của với . Vì 𝑅
2 2 nên trường hợp cơ bản nhất của sự phân tích thành khối là trường hợp của các vành 𝑅 Artin phải có căn bình phương là 0.
) = 𝐼/𝐼 𝑅/𝐼 𝐼 = 𝑟𝑎𝑑𝑅 𝑟𝑎𝑑(𝑅/𝐼
Trong trường hợp khác ta có kết quả dựa trên sự nâng của lũy đẳng tâm với
nhận xét thú vị sau:
Bổ đề Dade 2.9.10
Cho là một vành giao hoán và là một iđêan của . Giả sử là một
– đại số hữu hạn sinh như là một là lũy đẳng 𝑅
𝑘 nếu và chỉ nếu ảnh – môđun. Khi đó lũy đẳng 𝐼 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑘 𝑘 của nó là lũy đẳng tâm của tâm của 𝑘 𝑘 . 𝑒 ∈ 𝑅
Chứng minh 𝑅 𝑒̅ 𝑅� = 𝑅/𝐼𝑅
Ta chỉ chứng minh chiều ngược của định lý:
Giả sử và thì (vì là lũy đẳng tâm), vì thế
– trực tiếp của . Vì thế . Theo phân tích Peirce (3) 𝑓̅ = 1 − 𝑒̅ 𝑓 = 1 − 𝑒 𝑒̅𝑅�𝑓̅ = 0
suy ra là một hạng tử 𝑒̅ – trực tiếp của là hữu hạn 𝑘 là một hạng tử 𝑒𝑅𝑓 𝑅
. Tương tự, – môđun. Do đó, theo bổ đề Nakayama, e 𝑒𝑅𝑓 ⊆ 𝐼𝑅 sinh như là một 𝑅𝑓 ⊆ 𝐼𝑅 𝑒𝑅𝑓 = 𝐼. 𝑒𝑅𝑓 𝑅, 𝑒𝑅𝑓
. Theo (2.2.2), là lũy đẳng tâm của 𝑘 . 𝑘 𝑒𝑅𝑓 = 0
Định lý 2.9.11 𝑓𝑅𝑒 = 0 𝑒
𝑅 là một vành Noether giao hoán và Cho là I – adically đầy đủ ứng với iđêan
. Giả sử là một – đại số hữu hạn sinh như một – môđun. Khi đó ánh xạ 𝑘 𝑘
và các lũy đẳng tâm của 𝐼 ⊆ 𝑘
xác định tương ứng 1 – 1 giữa các lũy đẳng tâm của 𝑘 𝑘 là lũy đẳng tâm nguyên thủy của 𝑅 . Hơn nữa, nếu và chỉ nếu là lũy 𝑅
. Đặc biệt, là không phân tích được nếu và chỉ nếu 𝑅 𝑒̅
𝑒 ↦ 𝑒̅ đẳng tâm nguyên thủy của 𝑅� = 𝑅/𝐼𝑅 𝑒 không phân tích được. 𝑅� 𝑅 𝑅�
40
Chứng minh
Theo (1.3.17) nên không chứa các lũy đẳng khác
không của . Theo (2.8.10)(1), lũy đẳng tâm bất kỳ của có thể được nâng tới 𝐼𝑅 ⊆ (𝑟𝑎𝑑 𝑘)𝑅 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝐼𝑅
một lũy đẳng của và do đó nâng được tới một lũy đẳng tâm của theo (2.9.10). 𝑅/𝐼𝑅 𝑅
Chú ý rằng với các giả thiết của định lý, 𝑅 là vành Noether phải (hoặc trái), vì 𝑅
theo (2.9.3) và đều có sự phân tích khối (duy nhất). Theo (2.9.11), có
một tương ứng 1 – 1 giữa các khối của 𝑅 với các khối của . 𝑅� = 𝑅/𝐼𝑅 𝑅
41
𝑅 𝑅�
KẾT LUẬN
Luận văn đã nghiên cứu một cách có hệ thống và đầy đủ toàn bộ lý thuyết về
các lũy đẳng trong vành không giao hoán bất kỳ. Luận văn giải quyết hai vấn đề
lớn: 𝑅
1) Các điều kiện để một lũy đẳng của vành thương có thể nâng tới một lũy
𝑅 𝐼� đẳng của vành .
2) Ứng dụng của lũy đẳng vào giải quyết bài toán về sự phân tích khối của 𝑅
vành .
42
𝑅
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.
2. Hoàng Xuân Sính (2000), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.
3. Dương Quốc Việt (2010), Cơ sở lí thuyết Module, Nxb Đại học Sư phạm.
Tiếng Anh
4. I. N. Herstein (1968), NoncommutativeRings, The Mathematical Association of
America, USA.
5. T. Y. Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer - Verlag,
43
New York.
![Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2024/20241231/nienniennhuy77/135x160/6061735635137.jpg)
