Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số frobenius

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thắng

MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Quốc Thắng

MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:a

PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍaa

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH VÀ LÝ

THUYẾT MÔĐUN ............................................................................................. 2

1.1. Định nghĩa môđun, môđun con .................................................................. 2

1.2. Đồng cấu môđun ......................................................................................... 3

1.3. Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm ........................ 4

1.4. Môđun Noether và môđun Artin ................................................................ 5

1.5. Vành Noether và vành Artin....................................................................... 5

1.6. Dãy khớp .................................................................................................... 6

1.7. Môđun xạ ảnh ............................................................................................. 7

1.8. Môđun đơn, môđun nửa đơn ...................................................................... 7

1.9. Vành đơn, vành nửa đơn ............................................................................ 8

1.10. Vành nguyên ............................................................................................. 8

1.11. Vành chia .................................................................................................. 9

1.12. Vành nguyên thủy ..................................................................................... 9

1.13. Tập nil , tập lũy linh ................................................................................. 9

1.14. Radical Jacobson của một vành ................................................................ 9

1.15. Vành nửa nguyên sơ ............................................................................... 11

1.16. Định nghĩa phần tử lũy đẳng .................................................................. 11

1.17. Vành địa phương .................................................................................... 11

1.18. Môđun không phân tích được ................................................................. 12

1.19. Vành nửa địa phương ............................................................................. 13

1.20. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng ......................................................... 13

1.21. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ............................................................... 14

1.22. Socle của môđun, vành socular .............................................................. 15

1.23. Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện ................................................... 15

Chương 2. MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ VÀ ĐẠI SỐ

FROBENIUS ...................................................................................................... 17

2.1. MÔĐUN NỘI XẠ ................................................................................... 17

2.1.1. Định nghĩa 1 về môđun nội xạ ........................................................... 17

2.1.2. Định nghĩa 2 về môđun nội xạ ........................................................... 17

2.1.3. Định lí (Tiêu chuẩn Baer) .................................................................. 18

2.1.4. Tích trực tiếp họ môđun nội xạ.......................................................... 20

2.1.5. Bổ đề về đơn cấu chẻ ra ..................................................................... 21

2.1.6. Mệnh đề về môđun nội xạ ................................................................. 22

2.1.7. Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ .................................................. 22

2.1.8. Môđun chia được ............................................................................... 23

2.1.9. Môđun chia được trên vành chính ..................................................... 23

2.1.10. Môđun nội xạ trên miền nguyên ...................................................... 23

2.1.11. − môđun chia được ...................................................................... 24

)

( Hom R,D 

– môđun nội xạ ......................................................... 25 2.1.12.

2.1.13. Nhúng một môđun vào môđun nội xạ ............................................. 26

2.1.14. Các điều kiện tương đương của môđun nội xạ ................................ 26

2.1.15. Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ ...................................................... 27

2.2. VÀNH TỰ NỘI XẠ ................................................................................ 28

2.2.1. Định nghĩa vành tự nội xạ ................................................................. 28

2.2.2. Iđêan trong vành tự nội xạ ................................................................. 30

2.2.3. Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ.................................... 31

2.2.4. Vành FDI và tự nội xạ ....................................................................... 32

2.2.5. Vành Noether và tự nội xạ ................................................................. 32

2.2.6. Iđêan hữu hạn sinh trong vành tự nội xạ ........................................... 33

2.2.7. Liên hệ giữa vành Noether và vành tự nội xạ .................................... 34

2.2.8. Vành Artin và vành tự nội xạ ............................................................ 34

2.2.9. Liên hệ giữa vành Artin và vành tự nội xạ ........................................ 35

2.2.10. Môđun không phân tích được vào vành tự nội xạ ........................... 35

2.2.11. Các điều kiện tương đương của vành tự nội xạ ............................... 36

2.2.12. Liên hệ giữa vành Noether và vành Artin ....................................... 37

2.3. ĐẠI SỐ FROBENIUS ............................................................................ 38

2.3.1. Dạng song tuyến tính không suy biến ............................................... 38

2.3.2. Dạng song tuyến tính đối xứng .......................................................... 39

2.3.3. Đại số Frobenius ................................................................................ 40

2.3.4. Đại số đối xứng .................................................................................. 40

2.3.5. Bổ đề về các đẳng cấu từ A A *→ ................................................... 41

2.3.6. Các điều kiện tương đương của đại số Frobenius ............................. 42

2.3.7. Tích trực tiếp họ đại số Frobenius ..................................................... 42

(

)

nM A – đại số Frobenius ................................................................ 43

2.3.8.

2.3.9. Tính chất của đại số Frobenius .......................................................... 44

2.3.10. Đại số tựa Frobenius ........................................................................ 46

2.3.11. Liên hệ giữa đại số Frobenius và tựa Frobenius .............................. 46

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 48

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu Giải nghĩa

ACC Điều kiện dây chuyến tăng.

DCC Điều kiện dây chuyến giảm.

R RM ; M

Thứ tự là các môđun phải, trái.

Radical Jacobson của vành R.

(

Thứ tự là linh hóa tử trái, phải của môđun M. radR ( ) ) l M , r M

E(M) Bao nội xạ của môđun M.

1

MỞ ĐẦU

Trong sự phát triển chung của toán học, lý thuyết môđun đã có sự phát triển

mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu các lĩnh vực

khác của toán học, đặc biệt là trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Ta biết rằng

một vành R là R – môđun trên chính nó nên hiển nhiên một số kết quả trên

môđun có thể chuyển sang vành.

Môđun xạ ảnh và môđun nội xạ được xem là hai trụ cột của lý thuyết

môđun. Việc nghiên cứu môđun nội xạ và các mở rộng của nó là một trong

những hướng được nhiều người quan tâm hiện nay. Luận văn của tôi tập trung

nghiên cứu môđun nội xạ, các vành tự nội xạ với các ví dụ cho ta những hình

ảnh cụ thể của chúng và về đại số Frobenius như là lớp con của lớp các vành tự

nội xạ.

Luận văn gồm hai chương :

+ Chương 1 : Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành và lý thuyết

môđun.

+ Chương 2 : Môđun nội xạ, các vành tự nội xạ và đại số Frobenius.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS. TS Bùi Tường Trí,

người đã trực tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp.

Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích

giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học.

Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi

nhiều thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cô và sự góp ý chân

thành của các bạn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014.

Nguyễn Quốc Thắng

2

Chương 1. NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT

VÀNH VÀ LÝ THUYẾT MÔĐUN

1.1. Định nghĩa môđun, môđun con

1.1.1. Định nghĩa môđun

)M,+ được gọi là một môđun

µ

Cho R là vành có đơn vị. Nhóm cộng Aben (

(

µ ánh xạ × → mà kết quả : M R M ta ký hiệu là xr và gọi là tích của phải trên vành R nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có )x,r

=

1

2

+

=

+

) xr s xr

yr

+

=

+ xr xs

M : x.1 x ( ) ( = M : x rs ) ( y r M : x 3 ) ( s M : x r

4

phần tử x với hệ tử r, ngoài ra các tiên đề sau cần được thỏa mãn:

với mọi r, s R∈ và x, y M∈ .

RM , ta gọi M là R – môđun phải, R là vành hệ tử.

Ký hiệu:

Môđun trái trên vành R được định nghĩa hoàn toàn tương tự nếu trên M ta

đã xác định được một tác động trái từ R.

1.1.2. Định nghĩa môđun con

Cho A, B là các tập con của môđun M và K R⊂ (với A, B, K ≠ ∅ ), ta

∈

+

A B

{ } ∈ a b | a A,b B

=

∈

∈

+ = {

} AK ar | a A,r K

+ ⊂ và

định nghĩa:

AR A⊂ .

Tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ phận ổn định của M nếu A A A

Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với các phép toán cảm sinh lập

thành một R – môđun và ta gọi A là môđun con của môđun M.

3

Nhận xét

Mỗi môđun bất kỳ luôn có hai môđun con tầm thường là (0) và chính nó.

Mỗi vành R đều là R – môđun trái (phải) với các môđun con chính là các

iđêan trái (phải) của R.

1.1.3. Ann(M)

Cho M là R – môđun, ta định nghĩa ann(M) là tập tất cả các phần tử của

=

vành hệ tử R, linh hóa M. Cụ thể:

( ann M

)

{ = ∈ r R | Mr

} ( ) 0

=

+ Nếu M là R – môđun phải thì

( ann M

)

{ } ( ) = ∈ r R | rM 0

+ Nếu M là R – môđun trái thì

1.2. Đồng cấu môđun

+

=

+

1.2.1. Định nghĩa

x , x M∈ và với mọi

)

) ( f x r 1 1

( f x r 1 1

x r 2 2

2

r , r R∈ . 1 2

đồng cấu nếu Cho M, M’ là các R – môđun phải. Ánh xạ f : M M′→ được gọi là R – ) ( f x r 2 2 với mọi 1

Để giản tiện về mặt ngôn ngữ, các R – đồng cấu được gọi một cách đơn

∈

=

giản là các đồng cấu.

)

} ( ( f M f x | x M

{

=

+ Ảnh của f là Khi f là đồng cấu, ta định nghĩa: )

Kerf

−= 1 f

( ) 0

( x M | f x

)

{ = ∈

} 0

+ Hạt nhân của f là

Đồng cấu f được gọi là đơn cấu nếu f đồng thời là đơn ánh.

Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f đồng thời là toàn ánh.

Nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu thì f được gọi là đẳng cấu.

1.2.2. Tính chất

4

) ( f N

Cho f : M M′→ là đồng cấu. Khi đó nếu N là môđun con của M thì

N− ( 1f

) ′ là môđun

là môđun con của M’, còn nếu N’ là môđun con của M’ thì

con của M.

Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Tích của hai đơn cấu (toàn cấu,

đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).

′ → cũng là một đẳng cấu.

Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = (0).

: M M

− 1f

≅

Nếu f : M M′→ là một đẳng cấu thì

. Nếu f : M M′→ là một toàn cấu thì M Kerf M′

I)∈ là các R – môđun. Khi đó ta có

iY, X (i

1.2.3. Mệnh đề. Cho vành R và

Hom

)

R

X ,Y i

( Hom X ,Y R

i

. đẳng cấu

(

)

⊕ ∈ i I

∏ ∈ i I

1.3. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

1.3.1. Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)

i IC ∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện

Một họ các tập con { }i

dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền vô

C

C

i

i 1

2

⊂ ≠

⊂ ≠

hạn, tăng nghiêm ngặt:

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

C

C⊆

⊆  trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

i

2

i 1

=

C

C

= 

n ∈  sao cho

i

i

i

= C+

n 1

+ n 2

n

(i) Mọi dây chuyền tăng

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại.

1.3.2. Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

i IC ∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện

Một họ các tập con { }i

dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền

vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

5

C

C

i

i 1

2

⊃ ≠

⊃ ≠

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

C

C⊇

⊇  trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại

i

2

i 1

=

C

C

n ∈  sao cho

= 

i

i

i

= C+

n 1

+ n 2

n

(i) Mọi dây chuyền giảm

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối tiểu.

1.4. Môđun Noether và môđun Artin

1.4.1. Định nghĩa

Cho vành R và M là R – môđun trái (hoặc R – môđun phải). Ta nói M là

Noether (Artin) nếu họ gồm tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC).

1.4.2. Tính chất

Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn

sinh.

1.5. Vành Noether và vành Artin

1.5.1. Vành Noether

Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được

xem như R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành

Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối

đại.

1.5.2. Vành Artin

Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như

R – môđun trái (phải). Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải)

nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng.

6

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối

tiểu.

1.5.3. Định lí. Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải.

1.6. Dãy khớp

1.6.1. Định nghĩa dãy khớp

g

f

→ → → → B

A

C

( ) 1





=

Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn)

. được gọi là khớp tại môđun B nếu Im f Kerg

Dãy đồng cấu (1) được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung

gian.

1.6.2. Định nghĩa dãy khớp ngắn

g

f

0 A

→ → → → B

C

( ) 0 2

Dãy khớp ngắn là dãy khớp có dạng:

Nhận xét : Dãy (2) là khớp khi và chỉ khi là f đơn cấu, g là toàn cấu, và

= Im f Kerg

.

1.6.3. Định nghĩa dãy khớp ngắn chẻ

=

Cho dãy khớp dạng (1). Dãy khớp này được gọi là chẻ ra tại B nếu Imf là

1B sao cho

⊕ . B Im f B 1

hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con

Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian.

f

g

→ → → → , ba phát

Dãy khớp ngắn (2) là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B.

0 A

B

C

0

1.6.4. Định lí. Đối với mỗi dãy khớp ngắn

biểu sau là tương đương:

(i) Dãy khớp là chẻ ra.

(ii) Đồng cấu f có nghịch đảo trái.

(iii) Đồng cấu g có nghịch đảo phải.

7

f

g



 chẻ ra tại B thì ta có

⊕

1.6.5. Hệ quả. Nếu dãy khớp → → → → B A C

≅ B Im f

Im g

.

1.7. Môđun xạ ảnh

1.7.1. Định nghĩa môđun xạ ảnh

σ → , mỗi C

: B

Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu

C→ , tồn tại đồng cấu

P

ϕ

f

Cσ→

B

đồng cấu f : P ϕ → sao cho f = σϕ . : P B

1.7.2. Định lí. Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh.

= ⊕ là xạ ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun

1.7.3. Định lí

P

P i

∈ i I

Tổng trực tiếp của họ môđun

iP là xạ ảnh.

thành phần

1.7.4. Định lí. Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương:

(i) P là môđun xạ ảnh.

→ → → → là chẻ ra. P

0

(ii) Mỗi dãy khớp 0 A B

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do nào đó.

1.7.5. Định lí

Khi R là vành chính, R – môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P tự do.

1.8. Môđun đơn, môđun nửa đơn

1.8.1. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)

R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M chỉ

có hai môđun con tầm thường là (0) và M.

1.8.2. Định nghĩa môđun nửa đơn

8

R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui)

nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn.

1.8.3. Định lí. Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương

(i) M là nửa đơn.

(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M.

(iii) M là tổng của một họ môđun con đơn.

1.8.4. Bổ đề

Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn. Khi

=

≠ . 0

M* Hom M,R

trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi đó R có

)

R

R

iđêan phải (iđêan (

1.9. Vành đơn, vành nửa đơn

1.9.1. Định nghĩa

Vành R 0≠ được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa

đơn) trên chính nó.

1.9.2. Định lí. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là R – môđun phải nửa đơn.

(ii) R là R – môđun trái nửa đơn.

(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn.

(iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn.

= ⇒ = hoặc b 0= .

0

a

1.10. Vành nguyên

Vành R được gọi là vành nguyên nếu R 0≠ và ab 0

Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên.

9

1.11. Vành chia

Vành R được gọi là vành chia nếu R 0≠ và mọi phần tử khác không trong

R đều khả nghịch.

Vành chia giao hoán là trường.

1.12. Vành nguyên thủy

) ann M 0= .

(

R – môđun M được gọi là môđun trung thành nếu

Vành R được gọi là vành nguyên thủy trái (phải) nếu có R – môđun trái

(phải) bất khả qui trung thành.

1.13. Tập nil , tập lũy linh

1.13.1. Định nghĩa

Cho vành R, tập I R⊆

nx

0= .

Phần tử x R∈ được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho

I được gọi là tập nil nếu mọi phần tử của I đều lũy linh, và nếu I là iđêan

0= , và nếu I là

của R, ta gọi I là nil iđêan.

I được gọi là tập lũy linh nếu tồn tại n ∈  sao cho nI

iđêan của R, ta gọi I là iđêan lũy linh.

Tính chất. Iđêan lũy linh là nil iđêan.

1.13.2. Định lí (J.Levitzki). Nếu R là vành Noether phải thì các nil – iđêan một

phía của nó đều lũy linh.

1.14. Radical Jacobson của một vành

1.14.1. Định nghĩa radical Jacobson của một vành

10

Cho vành R, ta định nghĩa radical Jacobson của vành R là giao của tất cả

các iđêan phải tối đại của R (đồng thời cũng là giao của tất cả các iđêan trái tối

đại của R). Ký hiệu: radR .

R

radR

( ) 0=

( ) 0=

radR là iđêan của R.

ta định nghĩa . Nếu

radR

1.14.2. Định nghĩa vành nửa nguyên thủy

( ) 0=

Vành R 0≠ được gọi là nửa nguyên thủy nếu

1.14.3. Bổ đề. Với mỗi y R∈ , các phát biểu sau là tương đương:

. (i) y radR∈

khả nghịch phải với mọi x R∈ . (ii) 1 xy−

1.14.4. Định lí. Cho R là vành Artin phải. Khi đó, radR là iđêan lũy linh lớn

nhất chứa tất cả các iđêan lũy linh một phía của R.

1.14.5. Hệ quả. Trong vành Artin, mọi nil iđêan đều lũy linh.

1.14.6. Định lí. Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là nửa đơn.

(ii) R là Artin phải và nửa nguyên thủy.

=

1.14.7. Định lí Hopkins – Levitzki. Cho R là vành mà radR lũy linh và

R R radR

là nửa đơn. Khi đó, với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là

tương đương:

(i) M là Noether.

(ii) M là Artin.

1.14.8. Bổ đề Nakayama. Với mỗi iđêan trái J của vành R, các phát biểu sau

⊆

tương đương:

radR

(i) J .

( ) = ⇒ = JM M M 0

. (ii) Với mọi R – môđun trái hữu hạn sinh M,

11

= ⇒ =

+

(iii) Với mọi R – môđun trái N M⊆ mà M N hữu hạn sinh,

N JM M N M

.

1.14.9. Hệ quả. Cho R là vành Noether phải. Nếu R radR là vành nửa đơn và

radR là nil – iđêan thì R là vành Artin phải.

1.15. Vành nửa nguyên sơ

radR lũy linh.

Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R radR là vành nửa đơn và

1.16. Định nghĩa phần tử lũy đẳng

e= .

Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu 2e

Nhận xét

+ Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là

hai phần tử lũy đẳng tầm thường.

+ Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1.

1.17. Vành địa phương

1.17.1. Định nghĩa

Vành R được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêan phải tối

đại.

1.17.2. Mệnh đề. Với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là vành địa phương.

(ii) Nếu a ∈ R thì a hoặc 1 – a khả nghịch.

(iii) R có duy nhất một iđêan trái tối đại.

(iv) radR là iđêan phải tối đại duy nhất trong R.

(v) Tất cả các phần tử không khả nghịch của R lập thành một iđêan.

(vi) radR là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R.

12

(vii) R radR là vành chia.

1.17.3. Hệ quả

Cho vành R, nếu tất cả các phần tử không khả nghịch của R đều lũy linh thì

R là vành địa phương.

1.17.4. Mệnh đề

Vành địa phương chỉ có phần tử lũy đẳng tầm thường là 0 và 1.

1.17.5. Định lí

Nếu R là vành địa phương thì mỗi R – môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều là

môđun tự do.

1.18. Môđun không phân tích được, môđun thật sự không phân tích được

1.18.1. Định nghĩa

( ) M 0≠

R – môđun phải được gọi là không phân tích được nếu M không

thể viết được thành tổng trực tiếp của hai R – môđun con thật sự.

( ) M 0≠

End M là vành địa phương.

(

)R

được gọi là thật sự không phân tích được nếu R – môđun phải

1.18.2. Định lí

Có một tương ứng song ánh giữa sự phân tích của R – môđun M thành tổng

=

trực tiếp của các môđun con và sự phân tích của phần tử đơn vị của vành

E End M

(

)R

.

( ) M 0≠

, các phát biểu sau là tương đương: 1.18.3. Bổ đề. Cho R – môđun phải

End M không có phần tử lũy đẳng không tầm thường.

(

(ii) (i) M không phân tích được. )R

1.18.4. Định lí Krull – Schmidt – Azumaya

RM có hai sự phân tích theo các môđun con:

= ⊕ ⊕

N

⊕ ⊕ 



= M M 1

M N r 1

s

Cho vành R, giả sử

13

iN là các môđun không phân tích được, còn các

iM là các

trong đó các

≅

=

môđun thật sự không phân tích được.

s= , và sau khi sắp xếp lại ta được

M N , i 1,r i

i

. Khi đó r

1.19. Vành nửa địa phương

R radR là vành nửa đơn.

Vành R được gọi là nửa địa phương nếu là R radR vành Artin trái hoặc

Nhận xét

+ Vành địa phương là nửa địa phương, vành Artin một phía là vành nửa địa

phương.

1.20. Lý thuyết về các phần tử lũy đẳng

= ⊕

( ) = ⊕ i R Re Rf ) ( ii R e R fR

= − là phần tử lũy đẳng bù với e.

Với mỗi phần tử lũy đẳng e của vành R, ta luôn có hai sự phân tích sau:

1 e

trong đó f

(i) và (ii) là sự phân tích theo các iđêan trái, phải.

≅

1.20.1. Định lí

fRe

( Hom eR,fR

)

≅

eRe

Cho e và f là các phần tử lũy đẳng của vành R. Khi đó .

R≅ .

( End eR

)

( End R

)

Nếu f = e thì , đặc biệt khi e = 1 thì ta có

1.20.2. Định nghĩa phần tử lũy đẳng nguyên thủy. Phần tử lũy đẳng e 0≠

được gọi là phần tử lũy đẳng nguyên thủy nếu e không có sự phân tích thành

tổng của các phần tử lũy đẳng trực giao khác 0.

( ) M 0≠

1.20.3. Bổ đề. Cho R – môđun phải , các phát biểu sau là tương đương:

(i) M không phân tích được.

( End M .

)R

(ii) 1 là phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong

14

1.20.4. Mệnh đề. Với mỗi phần tử lũy đẳng e 0≠ trong R, các phát biểu sau là

tương đương:

(i) eR là R – môđun phải không phân tích được.

(ii) Re là R – môđun trái không phân tích được.

(iii) Vành eRe không có phần tử lũy đẳng không tầm thường.

(iv) e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy của R.

1.20.5. Định nghĩa phần tử lũy đẳng địa phương

Phần tử lũy đẳng e 0≠ được gọi là phần tử lũy đẳng địa phương nếu eRe là

vành địa phương. Nếu e là phần tử lũy đẳng địa phương thì e cũng là phần tử lũy

đẳng nguyên thủy.

1.20.6. Định nghĩa phần tử lũy đẳng nâng lên

có thể được Cho I là iđêan của vành R, ta nói phần tử lũy đẳng x R I∈

x= ).

nâng lên từ R nếu tồn tại phần tử lũy đẳng e R∈ là tạo ảnh của x trong phép

R I→ (hay e

chiếu R

1.21. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

1.21.1. Định nghĩa

Cho N là môđun con của M, khi đó ta nói M là một mở rộng của N. Môđun

con N của M được gọi là cốt yếu trong M nếu N có giao khác 0 với mọi môđun

con khác 0 của M, khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N.

Môđun Q được gọi là bao nội xạ của môđun M nếu nó vừa là mở rộng cốt

Q E M=

(

)

. yếu của M và vừa là môđun nội xạ. Kí hiệu

⊕

⊕

1.21.2. Mệnh đề

M , M .

(

)

)

( E M

)



E M M 1

2

( E M 1

2

1

2

(i) với bất kì R – môđun

Q Q 1

= ⊕ trong Q 2

(ii) Nếu ϕ → là đơn cấu và Q là môđun nội xạ thì : M Q

)



( 1Q E Im ϕ

. đó

15

1.22. Socle của môđun, vành socular

soc M là tổng của

1.22.1. Định nghĩa socle của môđun

)

(

Cho M là R – môđun phải. Khi đó socle của M, kí hiệu

) soc M 0= .

(

tất cả các môđun con đơn của M. Nếu M không có môđun con đơn thì

1.22.2. Định nghĩa vành socular

Vành R được gọi là socular phải (trái) nếu mỗi R – môđun phải (trái) đều

có socle khác 0. Một vành vừa socular phải và socular trái được gọi là vành

=

socular.

(

)

(

)

( E M E soc M

)

1.22.3. Mệnh đề. Nếu M là R – môđun thì .

soc A trùng với linh

(

soc A trùng với linh hóa tử phải

1.22.4. Mệnh đề. Cho R là vành nửa hoàn thiện. Khi đó

) l radR và

(

)A ( r radR . Đặc biệt

)

)A

hóa tử trái (

soc A là các iđêan hai phía.

(

(

)A soc A và

)A

hơn,

1.23. Vành nửa hoàn thiện, vành hoàn thiện

1.23.1. Định nghĩa vành nửa hoàn thiện

Vành R được gọi là nửa hoàn thiện nếu R là vành nửa địa phương và mọi

phần tử lũy đẳng của R radR có thể được nâng lên từ R.

+

+

1.23.2. Định lí

e

= 1 e 1

2

+ , với e n

Vành R là vành nửa hoàn thiện khi và chỉ khi

{ }i e

= i 1,n

là tập các phần tử lũy đẳng địa phương trực giao.

1.23.3. Bổ đề

=

là A – môđun xạ ảnh không

)

≅

l rad R e , và do đó

là môđun đơn. Khi đó môđun đối ngẫu U* phân tích được và Cho R là vành nửa hoàn thiện, lấy P eA= ( U P P.r adR

)

)A ( U* soc A e

. đẳng cấu với (

16

1.23.4. Định nghĩa tập con T – lũy linh

Tập con A của vành R được gọi là T – lũy linh trái (phải) nếu với mọi dãy

} A⊆

+∈  sao cho

a ,a ,a , 1 2 3

a a 1 2

0= a n

, luôn tồn tại n phần tử {

a

(

)

0= a a 2 1

n

.

Nhận xét: Tập lũy linh là tập T – lũy linh trái (phải), tập T – lũy linh trái

(phải) là tập nil.

1.23.5. Định nghĩa vành hoàn thiện

Vành R được gọi là vành hoàn thiện phải (trái) nếu R radR là vành nửa

đơn và radR là T – lũy linh phải (trái).

Nếu R là vành hoàn thiện hai phía, ta nói R là hoàn thiện.

1.23.6. Định lí (H.Bass). Cho R là vành. Khi đó các điều kiện sau là tương

đương:

(i) R là vành hoàn thiện phải.

(ii) Mọi R – môđun dẹt phải đều là môđun xạ ảnh.

(iii) R thỏa điều kiện dây chuyền giảm của các iđêan trái chính quy.

1.23.7. Định lí. Các điều kiện sau đây là tương đương:

(i) R là vành hoàn thiện phải.

(ii) R là vành nửa địa phương và socular trái.

1.23.8. Hệ quả

Nếu R là vành Noether phải và hoàn thiện phải thì R là vành Artin phải.

17

Chương 2. MÔĐUN NỘI XẠ, CÁC VÀNH TỰ NỘI XẠ

VÀ ĐẠI SỐ FROBENIUS

2.1. MÔĐUN NỘI XẠ

2.1.1. Định nghĩa 1

J→

Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu χ → , mỗi : A B

f= χ

Bχ→

A

f

f

J

đồng cấu f : A J→ , tồn tại đồng cấu f : B sao cho f

Vì χ là đơn cấu nên ta có thể xem như A B⊂ , và do vậy f có thể xem như

là sự mở rộng của f trên B. Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là

J→ f : B

môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A J→ thành đồng cấu

, trên mỗi môđun A B⊂ .

2.1.2. Định nghĩa 2

( Hom ,J−

)

là hàm tử khớp. Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử

)

( Hom ,J−

Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử chuyển mỗi

χ

σ

0

→ → → → 0 B

A

C

dãy khớp ngắn:

→

σ * →

χ * →

0

→ 0

( Hom C,J

)

( Hom B,J

)

( Hom A,J

)

thành dãy khớp các nhóm aben :

( Hom ,J−

)

là khớp trái nên tính khớp của dãy sau cùng tương Vì hàm tử

χ

→

*: Hom B,J

(

)

( Hom A,J

)

đương với đòi hỏi đồng cấu :

18

∈

∈ f Hom B,J

 = χ = f

f

f Hom A,J

là toàn cấu nếu χ là đơn cấu. Điều này có nghĩa với mọi đồng cấu

(

)

(

)

( )  χ* f

, tồn tại đồng cấu sao cho

Nếu chỉ dựa vào định nghĩa 1 và định nghĩa 2 mà để xây dựng môđun nội

xạ thì rất khó khăn do đó ta cần tìm tiêu chí khác để giảm thiểu các điều kiện

trong định nghĩa môđun nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer sau đây

2.1.3. Định lí (Tiêu chuẩn Baer)

R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi

J→ sao cho h.i

f= , trong đó i là

đồng cấu f : U J→ đều tồn tại đồng cấu h : R

phép nhúng U vào R.

Chứng minh:

Hiển nhiên các điều kiện đã nêu là điều kiện cần cho tính nội xạ của

môđun. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ.

0

Bα

→ → A ϕ

J

Bước 1 : Xét biểu đồ sau

ϕ = γ α . Ta sẽ chứng

trong đó α là đơn cấu. Giả thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự C của B

Cα ⊂ và tồn tại đồng cấu

.

sao cho Im γ → sao cho J : C

1C của B, thực sự chứa C và tồn tại đồng cấu

γ

→ sao cho

= γ ).

J

γ 1

: C 1

1.

∈

∉ và đặt

minh rằng khi đó tồn tại môđun

ϕ = γ α (và do đó 1 C = + 1C C bR

= thì γ có thể mở rộng trên

∩ Nếu C bR 0

1C một cách tầm thường.

≠ thì ta gọi

∈ . Rõ ràng U là iđêan phải trong R

∩ Nếu C bR 0

} U u R | bu C

{ = ∈

. Thật vậy, lấy b B, b C

ζ → : U C → bu

u

và ánh xạ:

19

ξ =

là một R – đồng cấu. Đặt ξ = γζ → . Theo giả thiết tìm được đồng cấu : U J

p : R

J→ sao cho

p.i

γ

ζ

U

→ → C

J

p

i

R

→ bởi quy tắc:

J

γ Bây giờ ta định nghĩa 1

: C 1

+ →

J

+ → γ

+

γ 1 : C bR c br

( ) c

( ) p r

nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

′

′

∈ ∈ br c,c C ; r,r R

′ = + c

+ c br

tương ứng 1γ là một ánh xạ. Thật vậy, nếu có: ′

′

− ∈ ∩

c

′ − = c

C bR

r

( b r

)

thì:

−

−

r

r

(

)

′

′

′

⇒ γ

−

=

−

′ c

r

r

r

r

(

)

( p r

)

)

′

⇒ γ

+

+

′ c

r ′ ⇒ γζ ( − c ( ) c

′ − ∈ r U ) ( ′ = p r r ( ( ) = γ b r ( ( ) = γ p r

− )

) = γζ ( ) p r

Từ đó:

= γ

γ 1 C

Do γ và p là những R – đồng cấu nên 1γ cũng là R – đồng cấu và rõ ràng

α và

Im=

0C

0α là đẳng cấu của A lên

0C cảm sinh bởi α. Đặt

ϕ = γ α . Bây giờ ta có thể kéo dài 0γ lên B nhờ bổ đề Zorn. Cụ

0.

⊂ ⊂ và C B

− 1 γ = ϕα ta có 0 0 thể giả sử W là tập tất cả các cặp (

)C, γ trong đó

0C

γ → γ J ,

: C

= γ 0

C

0

Wγ ∈ . Đưa vào W quan hệ thứ tự:

Bước 2 : Giả sử

)

0C , 0

Tập W ≠ ∅ vì (

20

C,

(

) γ ≤

(

C , 1

(2)

⊂ C C (1) 1 ) γ ⇔  1 = γ γ  1 C

Qγ ∈

)C,

C=  với (

⊂ ⊂ . Hơn nữa, giả sử

Bây giờ giả sử Q là một dây chuyền trong W và D

d

D B

( ) d→ γ

Qγ ∈ . Do (2) δ là đồng cấu mở rộng của

0C d C∈ trong đó (

)C,

0γ . Điều này

δ → đặt tương ứng với Rõ ràng : D Q

)D,δ là cận trên của Q trong W. Bởi vậy theo bổ đề Zorn, trong W

chứng tỏ (

)B,ψ

tồn tại phần tử tối đại, và do bước một phần tử tối đại này phải bằng (

trong đó ϕ = ψα

* Tiêu chuẩn Baer còn được phát biểu dưới dạng

R – môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan phải U của R và mỗi

Uλ ∈ ta có

f

(

) λ = λ q

đồng cấu f : U J→ , luôn luôn tồn tại phần tử q J∈ sao cho với mọi

Một trong những ứng dụng của tiêu chuẩn Baer vào việc phân tích tính nội

xạ là định lí 2.1.4

J

J

2.1.4. Định lí

= ∏ là nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun

k

∈ k K

Tích trực tiếp họ môđun

thành phần kJ là nội xạ.

Chứng minh:

J

J

= ∏ là môđun nội xạ, ta cần chứng tỏ mọi thành phần

k

∈ k K

kJ đều là nội xạ, theo tiêu chuẩn Baer.

Trước hết, nếu

f : I

J→ là đồng cấu từ iđêan phải I R vào kJ . Nối kết f với phép

k

: J

J

→ ∏ ta được đồng cấu:

Giả sử

k

k

∈ k K

J→

kj f : I

nhúng k j

21

λ ∈

=

∈ , ta có:

x

x

p

x

J

(

) λ = λ . Khi đó với phần tử

(

)

I : j f k

k

k

k

λ =

λ

Bởi J là môđun nội xạ nên tồn tại phần tử x J∈ mà với mọi

Iλ ∈

f

p

p

x

p

x

x

(

) λ =

(

) λ =

(

) λ =

(

)

k

j f k

k

k

k

 

) (  

với mỗi

f : I

J

J

→ = ∏ là đồng cấu k

Vậy kJ thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức kJ là môđun nội xạ.

∈ k K

=

J

Bây giờ nếu mọi thành phần kJ là nội xạ và

p f : I k

→ , do k

x

J∈ sao cho với mỗi

kJ là môđun nội xạ nên tồn tại phần tử

k

k

λ ∈

=

I : f

x

J

J

λ . Chọn phần tử

từ iđêan phải I R vào J. khi đó với mọi k K∈ , đồng cấu k f

x

x

(

) λ =

(

k

k

= ∏ , ta có : k

∈

)k k K

∈ k K

λ

f

f

x

)

(

(

(

) λ =

) ) λ =

k

k

=

x

( p f k (

) ( ) ( λ = ) λ = λ ∀λ ∈ x , I

k

của

Vậy J thỏa mãn tiêu chuẩn Baer, tức J là môđun nội xạ.

2.1.5. Bổ đề

ϕ → là chẻ ra với mọi môđun A thì J là nội xạ. Nếu mỗi đơn cấu : J A

g

Chứng minh:

0

B

→ → A f

J

Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau đây, trong đó

( )

(

J B

⊕=

các cặp có dạng g là đơn cấu. Gọi K là môđun con của J B⊕ gồm tất cả ) ( ) f a ,g a , a A∀ ∈ .

α → và : B N

N

K

ta có các đồng cấu β → sao cho hình Đặt : J N

gA

B→ α

f

→

J

Nβ

α

=

j,0

vuông sau giao hoán:

( ) b

(

) 0,b ,

( ) β= j

(

)

trong đó

22

Do g đơn cấu nên β cũng đơn cấu. Khi đó theo giải thiết, β chẻ ra, tức là

γ ⋅ β = . Đặt h J1

= γβ = γα =

tồn tại một đồng cấu γ → sao cho = γα → , ta có : N J : B J

f

g

f

hg

. Vậy J là nội xạ.

2.1.6. Mệnh đề

Một môđun J là nội xạ nếu và chỉ nếu J là một hạng tử trực tiếp của mọi

môđun chứa nó.

Chứng minh:

Nếu J là nội xạ thì J là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó. Thật vậy,

= ⊕

nếu J là nội xạ và J A⊆ , một ánh xạ đồng nhất trên J mở rộng thành đồng cấu

f : A J→ . Khi đó A J Kerf

. Tức J là hạng tử trực tiếp của môđun A bất kì

i A→

J

1J

f

J

= ⊕

chứa J.

X

J A⊆ và tồn tại một đồng cấu f : A J→ là mở rộng của phép đồng nhất J1 .

. Khi đó Ngược lại, giả sử ta có các môđun J và A sao cho A J Kerf

Vậy J là môđun nội xạ.

2.1.7. Mệnh đề

Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R là nội xạ.

Chứng minh:

Giả sử ra có môđun X là tổng trực tiếp của 2 môđun U và V trên R, X nội

xạ. Để chứng minh mệnh đề, ta sẽ chứng minh rằng môđun U cũng là môđun

gA B→ hk

f

k

U

j h

X

nội xạ.

23

Cho đơn cấu g : A B→ và một đồng cấu f : A U→ . Gọi j: U X→ là phép

nhúng tự nhiên và h : X U→ là phép chiếu tự nhiên. Khi đó vì X là nội xạ nên

j.f=

=

= . Vậy U là nội xạ.

h.k : B U→ , ta có h.k.g

h.j.f

f

. Xét đồng cấu hợp thành tồn tại một đồng cấu k : B X→ sao cho k.g

2.1.8. Định nghĩa

λ ∈

Cho R là miền nguyên, môđun X trên R gọi là môđun chia được nếu với

y= λ

{ } R \ 0

luôn luôn tồn tại phần tử y X∈ sao cho x mọi x X∈ và mọi

Ví dụ:

a= trên  luôn có

a)  là  – môđun chia được vì phương trình x.n

n

{ } \ 0

∈ 

∈ ∀ ∈ ∈ . nghiệm x , x , a    và

b)  là  – môđun không chia được vì không phải mọi phương trình

n

x.n

{ } \ 0

∈ 

a= đều có nghiệm x trên  với mọi a ∈  và mọi

(chẳng hạn

phương trình x.3 2= không có nghiệm trên  ).

2.1.9. Định lí

Nếu R là vành chính thì mọi R – môđun chia được X đều nội xạ.

Chứng minh:

Cho X là môđun chia được, I R và f : I X→ là đồng cấu. Để chỉ ra X là

Iλ ∈ thì ( f

) λ = λ q

nội xạ, ta cần chứng tỏ có phần tử q X∈ mà với mỗi

qa=

Bởi R là vành chính, tức mỗi iđêan của R là iđêan chính, nói riêng tồn tại

a R∈ mà I

aR=

( ) f a

, do X là môđun . Khi đó chọn q X∈ là phần tử mà

=

=

f

= λ q

(

) λ =

( f ar

)

( ) f a r

(

) qa r

chia được, thì với mỗi ta có: λ ∈ λ = I, ar

Vậy theo tiêu chuẩn Baer, X là môđun nội xạ.

2.1.10. Định lí

Nếu R là miền nguyên thì mọi R – môđun nội xạ X đều chia được.

Chứng minh:

24

λ ∈

y= λ .

{ } R \ 0

R= λ sinh bởi phần tử λ. Bởi R là miền nguyên nên I là môđun tự

ϕ λ → mà

X

:

, tồn tại y X∈ mà x Ta chỉ cần chỉ ra với mọi x X∈ , mọi

{ }

(

) x ϕ λ = có

Xét iđêan I do với cơ sở chính là tập một phần tử { }λ . Ánh xạ

ϕ

=

yr

thể mở rộng tới đồng cấu ϕ → . Vì X nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn : I X

I∈ thì

( )r

x

y

) = ϕ λ = λ

(

. Nói riêng khi r = λ thì : tại phần tử y X∈ sao cho với mọi r

Vậy X là môđun chia được.

2.1.11. Mệnh đề

Một  – môđun D chia được khi và chỉ khi D là nội xạ.

Chứng minh:

Trước hết, nếu  – môđun D chia được thì D là môđun nội xạ : cho

ϕ → là một đơn cấu của hai nhóm Aben, trong đó D là nhóm chia được. : D B

Ta sẽ chứng minh rằng ϕ chẻ ra và do đó D là môđun nội xạ. Thật vậy, do ϕ đơn

cấu nên D đẳng cấu với ảnh Imϕ. Bởi vậy, không mất tính tổng quát ta có thể

∩ = .

xem D là nhóm con của B và ϕ là đơn cấu chính tắc. Gọi U là tập tất cả các

= ∈ . Áp dụng bổ đề Zorn ta thấy trong U có phần tử

nhóm con A của B sao cho D A 0

+

= ⊕ .

Tập U ≠ ∅ , do A 0 U

= ⊕ Bây giờ ta chứng tỏ B D V

I

tối đại (theo quan hệ bao hàm), chẳng hạn V. Khi đó D V D V

{ = ∈ x

} ∈ + \ bx D V



Đối với phần tử tùy ý b B∈ ta xét iđêan . Do  là

vành chính nên I m=  . Hơn nữa I 0≠ vì nếu I = 0 thì nhóm con H sinh bởi b

H

H V

+ ∩ = , trái với D 0

( ∩ +

) D V 0

= , từ đó suy ra (

)

thỏa mãn điều kiện :

+

tính tối đại của V.

d m d=

= bm d

v

0

0

=

−

. Giả sử . Do D chia được nên tồn tại 1d D∈ sao cho 1

v

(

0 )

0

b d m 1

. Khi đó

25

−

D

0

)

( ∩ +

) =

( V b d 1

−

−

Ta khẳng định .

d

= + v

(

)

( ∈ ∩ +

)  . Khi đó

) b d x D 1

( V b d 1

= − +

∈ + ⇒ ∈ .

bx

d v d x D V x I

1

−

= +

Thật vậy, nếu giả sử

d

= + v

(

)1 b d .m.x 1

v v x 0 1

= x m.x 1

và do đó Bởi vậy

b d−

∩ = nên d = 0. Từ tính tối đại của V suy ra (

 là môđun

)1

Mà D V 0

⇒ − ∈ ⇒ ∈ + . Như vậy B D V = ⊕

b d V b D V

1

∈

≠ ∈  . Xét

con của V

Ngược lại, giả sử  – môđun D là nội xạ và giả sử d D, 0 m

i



m → f

h∃

D

biểu đồ các đồng cấu:

h.i=

( f m d= . Do tính nội xạ của D nên tồn tại đồng cấu h :

D→

=

=

=

. sao cho f trong đó i là phép nhúng chính tắc, còn f được xác định bởi công thức )

( )

)

) = d f m h m h 1.m h 1 .m

(

)

(

(

Ta có . Điều này chứng tỏ rằng D là nhóm

chia được.

2.1.12. Mệnh đề

)

( Hom R,D 

là một R – Nếu một  – môđun D là chia được (nội xạ) thì

môđun phải nội xạ.

→

g : A Hom R,D

Chứng minh:

(

)



là một R – Giả sử f : A B→ là một R – đơn cấu và

đồng cấu tùy ý.

g →

h →

A

D

)

( Hom R,D 

α

f

β

B

Xét biểu đồ:

26

h

( ) 1

( ) γ = γ

β → để : B D

trong đó h là đồng cấu nhóm cho bởi

h.g

.f= β

α →

: B Hom R,D

Do D là một  – môđun nội xạ nên tồn tại  – đồng cấu

)

(



α

= β

∈ ∈ br ,b B,r R

( )( ) b r

(

)

α

∈

cho bởi công thức: Bây giờ ta xác định

( ) b Hom R,D

(

)



α

= β

= α

⇒ α

= α

)

(

)

(

)

(

)( ) r

( = α

)( ) r

br 1

br r 1

( )( b r r 1

( ) b r 1

br 1

( ) b r 1

= β

α

= β

=

f

( hg ar

)

( = α

( ) f a

Khi đó, rõ ràng đối với phần tử cố định b B∈ ta có

=

=

)( ) ( r

( ) f ar ( )( ) r g a

( ( ) f a r )( ) ( ) g a r 1

)( )( ) r a ( )( ) ( g ar 1 ⇒α = f g

Do đó α là R – đồng cấu. Hơn nữa ta có: ) =

2.1.13. Định lí

Mỗi môđun X đều có thể nhúng vào một môđun nội xạ N(X) nào đó, xem

như là môđun con của N(X).

Chứng minh: Xem [3], Theorem 5.2.8.

2.1.14. Định lí. Đối với bất kì môđun J, các phát biểu sau là tương đương:

χ

σ

→ → → → là chẻ ra.

(i) J là môđun nội xạ.

B

C

0

J

(ii) Mọi dãy khớp 0

(iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó.

Chứng minh:

χ

σ

→ → → →

0

C

B

0

J

(i) ⇒ (ii) : Cho J là môđun nội xạ và dãy

J→ có thể mở rộng tới đồng cấu

J1 : J

ϕχ = . Vậy đồng cấu χ có nghịch đảo trái, tức dãy là chẻ ra.

là khớp. Khi đó, đồng cấu đồng nhất

J1

ϕ → , tức là J : B

27

j: J

j

p →

0

→ → J

J

→ 0

( ) N J

( ) N J

nào đó. Khi đó, ánh xạ nhúng sinh ra dãy khớp ngắn: (ii) ⇒ (iii) Theo định lí 2.1.13, môđun J có thể nhúng vào môđun nội xạ N(J) ( ) N J→

≅ ⊕ J

Im p

( )N J

Mà theo (ii), dãy này chẻ ra. Vậy ta có đẳng cấu , tức là J

đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ N(J).

(iii) ⇒ (i) Nếu J là hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó, thì theo định lý

2.1.7 hiển nhiên J là môđun nội xạ.

2.1.15. Định lí

Vành R là Noether phải khi và chỉ khi tổng trực tiếp các R – môđun phải

nội xạ là nội xạ.

Chứng minh:

= ⊕ , trong đó các

E

E

iE là nội xạ với mọi

i

∈ i I

i

I∈ . Ta sẽ chứng minh rằng E nội xạ. Theo tiêu chuẩn Bear, ta chỉ cần chứng

Giả sử R là Noether phải và

minh rằng E là RR – nội xạ.

E→ là R – đồng cấu

RR và f : J

Xét biểu đồ sau trong đó J là iđêan của

J

R

f

h∃

E

=

môđun phải:

J

(

)  , x n

⊆ ⊕ ⊕

=

(hữu hạn sinh). Vì Do

E∈

E

E′

RR – Noether nên ) ) ) ( f x ,f x ,

( ,f x

(

x , x , 2 1 ( ) f J





E 1

k

1

2

n

nên tồn tại k để . Do k hữu

h : R

E′→ là mở rộng của f.

R

hạn nên E’ nội xạ, từ đó suy ra tồn tại đồng cấu

Vậy E nội xạ.

I⊂ ⊂  là dãy tăng bất kì các iđêan phải

Ngược lại, nếu mọi tổng trực tiếp các môđun nội xạ là nội xạ, ta phải chứng

2

minh rằng RR là Noether. Giả sử 1 I

của R.

28

∞

E

I

I

( E R / I

)

n

=  và gọi i

n = ⊕ = i 1

= i 1

Đặt

= +

Theo giả thiết, E là nội xạ và dễ thấy I là iđêan của RR .

x I

f : I

( f x

)

( E R / I

(

)

n

)n

n

∞ → ∏ = n 1

x I∈ với một k nào đó. Từ đó suy ra rằng

+ x I

= 0

, trong đó Xác định

k

n

E→ (tức là ảnh của f chỉ ở trong E

Với mỗi x I∈ ta có

k≥ . Vậy thực chất đồng cấu f : I

với mọi n

E

( E R / I

)

n

n = ⊕ = i 1

với ).

= α ∀ ∈ . .x x I

Eα ∈ để

( f x

)

Do E nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại

α = 0

k

=

= α

∀ ∈ ta có

Khi đó

+ x I

.x

.x

= ⇒ ∈ hay x I

0

x I

( f x

)

( = α

)

(

)

k

k

k

k

k

I

I=

Bây giờ

k

. Tức là dãy các iđêan ở trên là dừng. Vậy RR là Noether.

2.2. VÀNH TỰ NỘI XẠ

2.2.1. Định nghĩa

Vành R được gọi là vành tự nội xạ phải nếu RR là một R – môđun nội xạ.

Chú ý : Mọi vành R đều là tự xạ ảnh vì RR là một R – môđun tự do nhưng

chưa chắc mọi vành đều là tự nội xạ.

Ví dụ:

a) Vành các số nguyên  không phải là vành tự nội xạ vì : xét iđêan 2 của 

→

f : 2

∀ ∈

 2n

 n n





và đồng cấu:

2n 2

λ = ∈  thì ta có:

Nếu  là  – môđun nội xạ thì tồn tại phần tử q ∈  sao cho với mọi

29

q

f

⇔

=

q2n

( ) λ = λ ( ) f 2n ⇔ = q2n n

q

⇔ = (điều này không thể xảy ra vì q ∈  )

1 2

Vậy vành các số nguyên  không phải là vành tự nội xạ.

0 a

b) Xét R là vành các ma trận tam giác trên cấp n (n ≥ 2) trên vành K. Khi đó R

I

0 0

 =  

  

=

không là vành tự nội xạ. Ta xét trường hợp n = 2, xét iđêan và đồng

f

R→ xác định bởi

0 a 0 0

0 0 0 a

  

  

  

  

  

  

0 a

λ =

∈

=

∈

. Nếu R là R – môđun nội xạ thì cấu f : I

∈ I, a K

q

R

x 0

y z

0 0

  

  

  

  

f

(

) λ = λ q

⇔

=

=

f

0 a 0 0

x 0

y 0 a 0 0 z

0 xa 0 0

  

  

  

     

  

  

  

  

  

0 0

0 xa

⇔

=

0 a

0

0

  

  

  

  

0⇔ = (mâu thuẫn vì a tùy ý thuộc K)

a

tồn tại phần tử sao cho với mọi thì ta có:

Vậy R không là vành tự nội xạ.

= =

c) Cho S là miền các iđêan phải chính và b ≠ 0 là phần tử của S sao cho bS = Sb.

=

tự nội xạ phải. Khi đó vành thương R S S bS

f : X R→

của R và đồng cấu: Xét iđêan phải X aS bS

∈

=

a

s→ trong đó s S∈ { } b ac, c S \ 0

ta có : Với

30

=

=

=

=

= ⇒ ∈ .

s.c

sc Sb

sc

( ) = 0 f 0

( f ac

)

( f a.c

)

( f b

)

=

=

sc

tb

tac

= = s

t .a

Với điều kiện bS = Sb ta có thể viết:

ta⇒ = s

, vì vậy với t S∈ ( ) f a

f : R

R→

Khi đó đồng cấu:

t→

1

là mở rộng của f lên R.

Vậy R là vành tự nội xạ.

n  là vành tự nội xạ vì xét iđêan d

n  của

n  và đồng cấu:

f : d

n

n→ 

 

+ → +

d)

a n





λ = +

= +

a n

d

a n

n

∈

  n

∈   sao cho với mọi

= +

Khi đó có phần tử q 1 n

f

a n

+ a n

= λ q

(

) λ =

( + f a n

)

( = + 1 n

)(

)









. ta có

n  là vành tự nội xạ.

Vậy

2.2.2. Mệnh đề

∩

=

+

Nếu vành A là tự nội xạ phải thì:

H

)

)

( l H

)

l H 1

( l H 1

2

2

H , H ta có ( 2

1

. a) Với bất kì iđêan phải

H= .

)

( ( l r H

)

b) Với bất kì iđêan trái hữu hạn sinh H thì

+

⊂

∩

Chứng minh:

H

)

)

( l H

)

( l H 1

( l H 1

2

2

∩

⊂

+

∩

. Ta chứng minh a) Rõ ràng ta có

H

H

)

)

( l H

)

)

( l H 1

( l H 1

2

2

( ∈ x l H 1

2

ϕ

H

: H 1

∩ → A 2

∈

. Lấy . Xét ánh xạ:

+ → với xb

a H , b H 1

∈ 2

a b

31

=

=

∈

a b

xb

Ta có ϕ là đồng cấu vành. Vì AA nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có y A∈

∈ . Đặc biệt

( ϕ +

)

( + y a b

)

a H , b H 1

2

= ϕ

=

với mọi sao cho

0

)

( ) a

∀ ∈ ⇒ ∈ ya a H 1

( y l H 1

b H∈ 2

ϕ

=

= ⇒ −

= ⇒ = − ∈

. Với mọi ta có

yb

xb

x y l H

z

( ) b

) x y b 0

(

(

+

∩

=

+

Vì thế .

x

= + ∈ y z

H

( l H

)

)

)

)

( l H

)

( l H 1

2

l H 1

2

2

)2 ( l H 1

. . Do đó (

h ,h , 2

,h n

=

+

+

b) Cho H là iđêan trái hữu hạn sinh của A. Khi đó có các phần tử 1

Ah

+

H Ah Ah 1

2

n

=

=

Ah

( ) r H r

( r Ah

)

i

i

n  = i 1

n  ∑  = i 1

  

. Ta có: sao cho

)

)

( ( l r H

)

( ( l r Ah

)

i

n = ∑ = i 1

Áp dụng câu a ta có:

Ax=

)

( ( l r Ax

)

⊂

∈

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi x A∈ . Rõ ràng

Ax

( r x

)

( r y⊂

)

)

(

)

( ( l r Ax

)

( y l r Ax

)

ψ

→ cho bởi

ya

: xA A

( ψ=

)xa

. Lấy , khi đó do vậy ánh xạ

ψ

=

zxa

là đồng cấu vành A. Vì AA là nội xạ nên theo

(

)xa

= ⇒ ∈ ⇒

⊂

tiêu chuẩn Baer có phần . Vì vậy tử z A∈ sao cho

zx

y Ax

y

Ax

Ax=

)

)

( ( l r Ax

)

( ( l r Ax

)

. Vậy .

2.2.3. Bổ đề

Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ không phân tích được là vành

địa phương.

ϕ∈

Chứng minh:

ϕ ∩

∈

ϕ ∩

ϕ

− ϕ = . Thật vậy lấy

− ϕ , khi đó

Lấy Q là A – môđun nội xạ phải không phân tích được và . Khi

Ker

0

a Ker

= 0

AEnd Q ( )a

( Ker 1

)

( Ker 1

)

− ϕ

đó

a

0

− ϕ ≠ . Xét 0

= do đó a = 0. Giả sử Ker

) E Kerϕ

(

( ) a

( Ker 1

)

và 0ϕ ≠ và

32

Ker 1 − ϕ . Khi đó ta có

(

)

)

(

( E Ker 1 − ϕ lần lượt là bao nội xạ của Kerϕ và

)

và

0

→ ϕ ⊕ Ker

− ϕ → Q

)

( Ker 1

ϕ ⊕

− ϕ

dãy khớp:

Q

( Ker 1

)



)

Q Q 1

= ⊕ trong đó 2

( 1Q E Ker

Vì Q là nội xạ nên theo

Q Q 1

ϕ ⊕

− ϕ

− ϕ

. Do đó mệnh đề ở phần 1.21.2. Vì Q không phân tích được

( E Ker

) ϕ ≠ và 0

( Ker 1

)

( E Ker

) ϕ ⊕

)





( Q E Ker

)

( ( E Ker 1

)

. Vì

− ϕ ≠ nên 0

)

( ( E Ker 1

)

0

ta có điều mâu thuẫn. Do đó Ker 0ϕ = hay

− ϕ = . Chúng ta có thể giả sử Ker

( Ker 1

)

thì 0ϕ = . Xét Im ϕ , nếu Im Qϕ ≠

Q

)



( 1Q E Im ϕ ⇒

Q Q 1

= ⊕ trong đó 2

theo mệnh đề ở phần 1.21.2 Q phân tích

( Ker 1

) − ϕ = 0

được (mâu thuẫn). Vì vậy Im Qϕ = và do đó ϕ là đẳng cấu. Nếu

thì chứng minh tương tự ta cũng có 1 − ϕ là đẳng cấu. Vì ϕ hoặc 1− ϕ khả

AEnd Q là vành địa phương.

nghịch nên

2.2.4. Định lí

Nếu A là vành mà phần tử đơn vị có sự phân tích thành tổng hữu hạn của

các phần tử lũy đẳng nguyên thủy đôi một trực giao (vành FDI) và A là tự nội xạ

phải thì A nửa hoàn thiện.

Chứng minh:

Lấy e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy của A. Khi đó môđun phải xạ ảnh



AEnd eA eAe

là vành địa phương eA không phân tích được và nội xạ. Vì vậy

A EndA



A

nửa hoàn thiện theo định lí ở phần theo bổ đề ở phần 2.2.3 và

1.23.2.

2.2.5. Hệ quả

(

)A soc A 0≠ .

Nếu A là vành Noether phải và tự nội xạ phải thì

Chứng minh:

33

=

0= thì

)

)

( )A soc A

A= . Nhưng theo tính chất 2 của mệnh đề ở phần 2.2.2 thì

R= .

)

)

( ( l r R

( r R ( ( l r R

)

)

. Nếu của A. Theo mệnh đề ở phần 1.22.4 Theo định lí ở phần 2.2.4 A là nửa hoàn thiện. Lấy R là radical Jacobson ( r R

(

)A soc A 0≠ .

Do đó

2.2.6. Mệnh đề

∈

Giả sử vành A thỏa mãn các tính chất (1) và (2) của mệnh đề ở phần 2.2.2.

f Hom I,A

(

)

A

ax=

Khi đó với bất kì iđêan phải hữu hạn sinh I của A và với mỗi có

)

( f x

với mọi x I∈ . phần tử a A∈ sao cho

Chứng minh:

Ta chứng minh phát biểu trên quy nạp theo n là số phần tử sinh của iđêan

hữu hạn sinh I của A.

xA=

ϕ

⊂

xa

= = ϕ 0

. Lấy đồng cấu ϕ → . Nếu xa Giả sử n 1= : khi đó I : I A

x

r Ax

(

) x a

)

(

)

)

(

)

)

)

( ⊂ ϕ r

( ( ϕ r A x

0= thì )

=

ϕ

⊂

=

. Khi do đó ta có ( r x . Do đó (

Ax

( ϕ A x

)

)

)

)

( ( l r Ax

)

( ( ( l r A x

)

ϕ

= ⇒ ϕ

= ϕ

=

. Do đó có phần tử đó theo 2.2.2 ta có

x

bx

xa

bxa

b A∈ sao cho

(

) x a

)

(

)

(

.

Giả sử phát biểu trên đúng với các iđêan phải hữu hạn sinh gồm n phần tử

I

x A i

+ n 1 = ∑ = i 1

b , b A∈ sao cho

. Lấy đồng cấu sinh. Xét iđêan phải I gồm n 1+ phần tử sinh,

2

ϕ

=

ϕ

=

x

b x

: I A ϕ → . Theo giả thiết quy nạp có các phần tử 1

(

)

+

x a i

i

b 1

x a i

i

a + n 1 n 1

a + + 2 n 1 n 1

n ∑ = i 1

n ∑ = i 1

  

  

và .

=

+

l

∩ x A x A

l

( x A l x A

)

b 1

− ∈ b 2

+ n 1

i

+ n 1

i

n ∑ = i 1

n ∑ = i 1

  

  

  

  

Áp dụng 2.2.2 ta có :

34

∈

z

)

x A i

( l x A+ n 1

n  ∈ ∑ y l  = i 1

  

−

b

= − . y z

b 1

2

− =

− . Khi đó :

Do đó có các phần tử và sao cho

y b

z

= b b 1

2

ϕ

= ϕ

+ ϕ

=

x

(

)

+

x a i

i

x a i

i

a + n 1 n 1

+ n 1 ∑ = i 1

n ∑ = i 1

  

  

  

=

−

+

−

=

y

b

b

(

) z x

(

)

+

b 1

x a i

i

2

a + n 1 n 1

x a i

i

   n ∑ = i 1

+ n 1 ∑ = i 1

Đặt

2.2.7. Định lí

Cho A là vành Noether phải. Khi đó A là vành tự nội xạ khi và chỉ khi nó

thỏa các tính chất (1) và (2) của mệnh đề ở phần 2.2.2.

Chứng minh:

Nếu A là vành tự nội xạ thì A thỏa mãn các tính chất (1) và (2) của mệnh

∈

đề phần 2.2.2. Ngược lại nếu A thỏa mãn các tính chất (1) và (2) của mệnh đề

f Hom I,A

(

A

ax=

Xét I là iđêan của A và . Khi đó theo mệnh đề phần 2.2.6 có phần 2.2.2; vì A là vành Noether phải nên mỗi iđêan phải là iđêan hữu hạn sinh. )

( f x

)

với mọi x I∈ . Theo tiêu chuẩn Baer, A là A – phần tử a A∈ sao cho

môđun nội xạ do đó A là vành tự nội xạ.

2.2.8. Bổ đề. Nếu A là vành Noether phải và tự nội xạ phải thì A là vành Artin

hai phía.

Chứng minh:

L= với mọi iđêan trái hữu hạn sinh L

)

( ( l r L

)

Vì A là vành tự nội xạ phải,

của A theo mệnh đề phần 2.2.2. Điều này ngụ ý rằng nếu ta có dãy giảm vô hạn

⊃

⊃

L

L

⊃ ⊃ 



L 1

2

n

các iđêan trái hữu hạn sinh:

⊂

⊂

)

( r L

)

( r L

)

⊂ ⊂ 



( r L 1

2

n

thì ta cũng có dãy tăng vô hạn các iđêan phải:

35

Vì A là vành Noether phải nên dãy sau cùng ổn định và A thoả điều kiện

dây chuyền giảm với mọi iđêan trái hữu hạn sinh, đặc biệt là với các iđêan chính

=

bên trái. Theo định lí ở phần 1.23.6 thì A là vành hoàn thiện phải. Do đó A R là

là T – lũy linh phải. Theo hệ quả phần 1.23.8 và vành nửa đơn và R radA

định lí phần 1.13.2, A là vành Artin phải và R lũy linh. Bây giờ ta chứng minh A

cũng là vành Noether trái. Ở trên ta đã chỉ ra A thoả điều kiện dây chuyền giảm

với mọi iđêan trái hữu hạn sinh. Giả sử L là iđêan trái không hữu hạn sinh của

1H sao

⊂ . Khi đó bằng quy nạp chúng ta có thể xây dựng dây chuyền

A. Khi đó với mỗi iđêan trái hữu hạn sinh H L⊂ có iđêan hữu hạn sinh

L

⊂ H H 1

cho

tăng nghiêm ngặt các iđêan hữu hạn sinh của A (mâu thuẫn). Điều mâu thuẫn

này chỉ ra rằng A là vành Noether trái. Vì A R là vành nửa đơn và R lũy linh

nên A là vành Artin trái theo hệ quả phần 1.14.9. Vậy A là vành Artin hai phía.

2.2.9. Bổ đề

Nếu A là vành Noether phải và thỏa các điều kiện (1) và (2) của mệnh đề

phần 2.2.2 thì A là vành Artin hai phía và tự nội xạ phải.

Chứng minh:

Vì A là vành Noether phải nên iđêan phải của nó là iđêan hữu hạn sinh. Khi

đó theo định lí ở phần 2.2.7 thì A là vành tự nội xạ phải. Và theo bổ đề phần

2.2.8 thì A là vành Artin hai phía.

2.2.10. Bổ đề

Cho A là vành Noether phải và tự nội xạ phải. Khi đó bất kì A – môđun

phải không phân tích được có thể nhúng vào môđun phải chính quy AA .

Chứng minh:

Theo bổ đề 2.2.8 A là vành Artin hai phía. Do đó bất kì A – môđun M chứa

0≠ và

soc A 0≠ . Theo bổ đề 1.23.3 thì

một A – môđun đơn. Giả sử M chứa A – môđun đơn U. Theo định lí 1.23.7 A là

( soc A

(

)A

)A

vành socular. Cụ thể hơn

36

*U 0≠ , vì vậy theo bổ đề 1.8.4 A có iđêan phải đẳng cấu với U nghĩa là ta cũng

ϕ → . Điều này có nghĩa chúng ta có sơ đồ sau:

: U A

A

0

Mψ

→ → U ϕ

AA

có đơn cấu

h : M A→ sao cho A

Trong đó dòng là khớp. Vì A là tự nội xạ nên tồn tại

0

Mψ

→ → U ϕ

h

AA

biểu đồ sau giao hoán:

Vì M không phân tích được nên h là đơn cấu.

2.2.11. Định lí. Với bất kì vành A thì các điều kiện sau là tương đương:

(i) A là vành Noether phải và tự nội xạ phải.

(ii) A là vành Artin hai phía và thỏa các điều kiện sau:

H= với H là iđêan phải bất kì.

)

(a)

L= với L là iđêan trái bất kì.

)

( ( r l H ( ( l r L

) )

(b)

Chứng minh:

(ii) ⇒ (i) Vì A là vành Artin hai phía nên A cũng là vành Noether hai phía theo

H , H là các iđêan phải của A. Theo điều kiện (a) ta có:

+

=

∩

H

)

)

)

1 ( l H

2 )

)

)

( ( r l H

)

( ( r l H 1

( ( r l H 1

2

= ∩ 2

H 1

2

định lí 1.5.3 . Lấy

+

=

∩

H

)

2

( l H 1

2

⇔

+

=

∩

H

( )

) ( l H

( l H )

)

( ( l r l H 1 ( l H 1

2

) ) ) ( l H 1

2

Khi đó theo điều kiện (2b) ta có:

Theo định lí 2.2.7 A là vành tự nội xạ.

(i) ⇒ (ii) Giả sử A là vành Noether phải và tự nội xạ phải. Khi đó các iđêan phải

L= với L là iđêan trái

)

( ( l r L

)

của nó đều hữu hạn sinh, theo mệnh đề 2.2.2 thì

37

H= với H là iđêan phải bất kì của A.

)

( ( r l H

)

=

bất kì của A. Ta cần chỉ ra rằng

H≠ , đặt

H⊆ . Giả sử

)

)

)

( ( r l H

)

( ( M r l H H

)

( ( r l H

)

∈

Rõ ràng là A – môđun

(

)

f Hom M,A A

A

)

( ( r l H

)

A→ triệt tiêu trên H. Vì AA là nội xạ nên theo tiêu chuẩn Baer có

A

∈

. Ta có thể xem f giống như đồng cấu phải và lấy

y A∈ sao cho với mọi

yx=

( f x

)

(

)

( x r l H

)

∈

0= . Ta sẽ chỉ

yx

0= với mọi

thì . Nhưng yH 0= dẫn đến

0= . Do đó

)

(

)

( x r l H

)

( Hom M,A A

A

, vì thế f

ra rằng trong trường hợp này thì M 0= .

n

Theo bổ đề 2.2.8 A là vành Artin hai phía. Giả sử M là A – môđun phân

M

)

)

M= ⊕ , khi đó i

( Hom M,A A

A

( Hom M ,A A

i

A

i

n = ⊕ i

tích được và theo mệnh

đề 1.2.3. Do đó ta có thể giả sử rằng M là môđun không phân tích được. Nhưng

0= ta có M 0= . Vì

)

( Hom M,A A

A

trong trường hợp này, theo bổ đề 2.2.10 từ

H= với bất kì iđêan phải H.

)

( ( r l H

)

vậy

Vì điều kiện (ii) trong định lí 2.2.11 là đối xứng trái – phải nên điều kiện (i)

cũng như vậy. Do đó ta có thể viết lại định lí này dưới dạng đối xứng như sau

2.2.12. Định lí. Với bất kì vành A thì các điều kiện sau là tương đương:

(i) A là vành Noether phải và tự nội xạ phải.

(ii) A là vành Noether trái và tự nội xạ trái.

(iii) A là vành Artin và thỏa các điều kiện sau:

H= với H là iđêan phải bất kì.

)

( ( r l H

)

(a)

L= với L là iđêan trái bất kì.

)

( ( l r L

)

(b)

38

2.3. ĐẠI SỐ FROBENIUS

Đại số Frobenius và tựa Frobenius đã được nghiên cứu nhiều và có nhiều

kết quả sâu sắc nhưng mục đích của luận văn này chỉ xây dựng những khái niệm

cơ bản về đại số Frobenius và qua đó cho ta hình ảnh cụ thể về một lớp các

=

A* Hom A,F

vành tự nội xạ.

(

)

F

Trong suốt phần này, ta đặt trong đó A là đại số hữu hạn

chiều trên trường F.

× → là dạng

2.3.1. Bổ đề

Cho V là không gian hữu hạn chiều trên trường F và f : V V F

f x,V 0= kéo theo x

0= .

song tuyến tính. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

)

f V, x

0= kéo theo x

0= .

i) (

)

ii) (

=

Chứng minh:

b

,e là cơ sở của V và

e , e , 2

n

j

ij

( f e ,e i

)

=

0, 1 i n

. Từ tính song tuyến tính Cho 1

≤ ≤ . Ta viết x dưới dạng

( f x,V 0= khi và chỉ khi

)

( f x,e

)i

=

λ ∈ . Khi đó:

x

j F

λ∑ với e j j

=

λ

=

λ

b

( f x,e

)

∑

∑

i

i

i

ji

( f e ,e j j

)

ta có

,

)

f x,V 0= khi và chỉ khi ( (

)

λ là nghiệm của hệ phương ,

λ λ , 1

2

n

Vì vậy

λ +

λ +

+

λ =

≤ ≤

b

b

( ) 0, 1 i n 1



b 1i 1

2i 2

ni n

,

trình tuyến tính thuần nhất.

( f V, x

)

0= khi và chỉ khi (

)

λ là nghiệm của hệ ,

λ λ , 1

2

n

Tương tự

λ +

+

λ =

≤ ≤

b

b

b

( ) 0, 1 i n 2



λ + i1 1

i2 2

in n

phương trình tuyến tính thuần nhất.

39

0≠ , bổ đề được chứng minh.

( det b

× → được gọi là không suy biến khi và chỉ

Hệ phương trình (1) và (2) có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi )ij

Dạng song tuyến tính f : V V F

× → là dạng song tuyến tính. Khi đó f được gọi là kết hợp nếu

=

khi nó thỏa các điều kiện tương đương của bổ đề 2.3.1

( f xy,z

( f x, yz

)

=

với mọi x, y, z A∈ . Cho f : A A F )

( f x, y

( f y, x

)

với mọi x, y A∈ . f được gọi là đối xứng nếu: )

= ψ

ψ ∈

2.3.2. Hệ quả

× → cho bởi công thức

xy

A *

( f x, y

)

(

)

Cho . Khi đó f và f : A A F

ψ

xy

yx

là dạng song tuyến tính kết hợp trên A, f đối xứng khi và chỉ khi

( ψ=

)

(

)

với mọi x, y A∈ . Hơn nữa, các điều kiện sau là tương đương :

(i) Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A.

(ii) Kerψ không chứa iđêan trái khác 0 của A.

(iii) f không suy biến.

Chứng minh:

ψ

=

( f xy,z

)

) xy z

( f x, yz

)

( x yz

)

( ( = ψ=

)

(

)

=

Rõ ràng f là dạng song tuyến tính trên A. Lấy x, y, z A∈ ta có :

( f x, y

)

( f y, x

)

ψ

ψ

do đó f đối xứng. Theo định nghĩa thì khi và chỉ khi

xy

yx

xy

yx

( ψ=

)

(

)

( ψ=

)

(

)

x, y A∈ .

ψ

= và

. Vì vậy f đối xứng khi và chỉ khi với mọi

0= khi và chỉ

( f x,A 0= khi và chỉ khi

)

(

)xA 0

( f A, x

)

ψ

0

= . Các điều kiện tương đương bên dưới là các điều kiện tương

Lưu ý rằng

(

)Ax

khi

đương của bổ đề 2.3.1.

40

2.3.3. Bổ đề

ψ ∈

Các điều kiện sau là tương đương:

A *

(i) Tồn tại sao cho Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A.

× → có tính kết hợp và không

ψ ∈ (ii) Tồn tại sao cho Kerψ không chứa iđêan trái khác 0 của A. A *

(iii) Tồn tại dạng song tuyến tính f : A A F

suy biến.

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2.

ψ

=

(ii) ⇒ (iii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2.

x

(

)

) ( f x,1

ψ

= . Khi đó

ψ ∈ ψ → cho bởi công thức . Rõ ràng . (iii) ⇒ (i) : Lấy : A F A *

0= với mọi b A∈ . Nhưng

)aA 0

(

) ( f ab,1

=

Lấy a A∈ sao cho

0= .

( f a,b

)

) ( f ab,1

(

)A,ψ (hay viết tắt là A) được gọi là đại số Frobenius nếu ψ thỏa các điều

, từ tính không suy biến của f ta có a

kiện tương đương của bổ đề 2.3.3.

ψ ∈

2.3.4. Bổ đề. Các điều kiện sau là tương đương:

A *

ψ

xy

yx

(i) Tồn tại sao cho Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A và

( ψ=

)

(

)

ψ ∈

với mọi x, y A∈ .

A *

ψ

xy

yx

(i) Tồn tại sao cho Kerψ không chứa iđêan trái khác 0 của A và

( ψ=

)

(

)

× → có tính kết hợp, đối xứng

với mọi x, y A∈ .

(iii) Tồn tại dạng song tuyến tính f : A A F

và không suy biến.

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2.

(ii) ⇒ (iii) : Áp dụng hệ quả 2.3.2.

41

ψ

=

x

(

)

( ) f x,1

ψ ∈

(iii) ⇒ (i) : Lấy ψ → cho bởi công thức . Khi đó theo bổ đề : A F

A *

2.3.3, và Kerψ không chứa iđêan phải khác 0 của A. Hơn nữa, vì f đối

ψ

xy

yx

)

(

)

) ( = f yx,1

( = f y, x

( = f x, y

)

( ψ=

)

) ( = f xy,1

(

)A,ψ (hay viết tắt là A) được gọi là đại số đối xứng nếu ψ thỏa các điều

xứng nên ta có:

kiện tương đương của bổ đề 2.3.4.

)A,A – song môđun qua phép toán :

=

x

af

=

( (

)( )( fa x

) )

( ) f xa ) ( f ax

Trong phần tiếp theo ta xem A* như (

. với mọi x, a A∈ và f A *∈

2.3.5. Bổ đề

)A,ψ là đại số Frobenius. Khi đó ánh xạ f : A A *→ cho bởi

= ψ

(i) Giả sử (

xa

( )( f a x

)

(

)

công thức với mọi x, a A∈ là đẳng cấu của các A – môđun

)A,ψ là đại số đối xứng thì f là đẳng cấu của các (

)A,A –

trái. Hơn nữa nếu (

=

ψ

song môđun.

( )( ) f 1 a

( ) a

(ii) Giả sử f : A A *→ là đẳng cấu của các A – môđun trái và đặt )A,ψ là đại số Frobenius. Hơn nữa nếu với mọi a A∈ . Khi đó (

)A,A – song môđun thì (

)A,ψ là đại số đối xứng.

f là đẳng cấu của các (

+

=

+

Chứng minh:

y

( ) f a A *∈

( f x

)

( f x

)

( f y

)

x, y A∈ . Lấy r, x A∈ ta có :

= ψ

=

=

xra

x

)( ( f ra x

)

(

)

( )( f a xr

)

( ) rf a

)

(

)(

và với mọi (i) Rõ ràng với mọi a A∈ ,

42

= dim A dim A*

F

F

do đó f là đồng cấu A – môđun trái. Theo định nghĩa của ψ, f là đơn ánh, và vì )A,ψ là đại số đối xứng thì với mọi nên f là song ánh. Nếu (

= ψ

= ψ

=

=

xar

rxa

rx

)( ( f ar x

)

(

)

(

)

( )( f a

)

)

(

)( ( ) f a r x

r, x A∈ ta có:

)A,A – song môđun.

ψ

do đó f là đẳng cấu của các (

= . Khi đó với mọi x A∈ :

(

)aA 0

=

=

)( ) ( f x a

)

( )( 0 f 1 ax

ψ ∈ (ii) Rõ ràng . Giả sử A *

0= . Do đó (

)A,ψ là đại số Frobenius. Giả sử f là đẳng cấu của các

(

)A,A – song môđun. Khi đó với mọi x, y A∈ ta có:

ψ

xy

yx

( ψ=

)

( )( = f 1 xy

)

)( ( = f x y

)

( )( = f 1 yx

)

(

)

Vì vậy a

)A,ψ là đại số đối xứng.

Do đó (

2.3.6. Hệ quả. Các điều kiện sau đây là tương đương:

≅

(i) A là đại số Frobenius ( tương ứng, đại số đối xứng).

≅ (ii) A A * )A,A – song môđun).

(

như là các như là các A – môđun trái (tương ứng, A A *

2.3.7. Bổ đề

A

,A là các F – đại số. Khi đó

A ,A , 2

1

n

i

n ∏ là đại số Frobenius = i 1

Cho

iA là đại số Frobenius (tương

(tương ứng, đại số đối xứng) khi và chỉ khi mỗi

ứng, đại số đối xứng).

ψ ∈

≤ ≤ . Đặt

Chứng minh:

)

iA ,ψ là đại số Frobenius, 1 i n

i

i A *

n

= ∏ và xác định

Giả sử sao cho (

A

A

i

= i 1

ψ

+ ψ

+

+ ψ

,a

a

a

(

)

(

)

(

)

(

)





a ,a , 1 2

n

= ψ 1

a 1

2

2

n

n

ψ → cho bởi: : A F

43

=

ψ

a

,a

= . 0

(

)

(

)Aa

 và giả sử rằng

a ,a , 1 2

n

=

ψ ∈ Khi đó rõ ràng . Đặt A *

x

A

j

i≠ . Khi đó

0= với mọi

(

)

x , x , 2 1

∈ , x n

jx

ψ

= ψ

xa

0

= với mọi

x A∈ . Vì mỗi

0= do đó a

(

)

(

)

0= nên (

)A,ψ là

x a i

i

i

i i đại số Frobenius. Ngược lại nếu (

ia )A,ψ là đại số Frobenius, đặt

ψ = ψ λ

i

i

λ

sao cho Lấy

: A

A

→ là phép nhúng chính tắc. Khi đó rõ ràng (

)

iA ,ψ là đại số

i

i

i

trong đó

=

a

Frobenius.

)

(

i

a ,a , 1 2

)  , ,a n

=

,b

b

(

iA ,ψ là đại số đối xứng, khi đó với )  ta có:

n

b ,b , 1 2

ψ

+

+ ψ

+

+ ψ

= ψ

ab

ba

Nếu mỗi (

(

)

(

)

(

)

)

)

(

(

)

(





= ψ 1

a b 1 1

a b n n

= ψ 1

b a 1 1

n

b a n n

.

n )A,ψ là đại số đối xứng. Ngược lại nếu (

)A,ψ là đại số đối xứng,

Chứng tỏ (

a , b A∈ ta có: i

i

ψ

λ

b

(

)

)

)

(

(

i

a b i

i

i

i

i

i

) λ

b

a

(

)

i (

( = ψ λ )

a ( = ψ λ

) ) ) )

i

i

i

i

b a i

i

= ψ

( = ψ λ ( = ψ λ (

( a b i i ( ) i )

i

i

b a i

khi đó với

)

iA ,ψ là đại số đối xứng.

i

Do đó mỗi (

2.3.8. Bổ đề

Nếu A là đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng), khi đó với mọi số

(

)

nM A là đại số Frobenius (tương ứng, đại số đối xứng).

nguyên dương n,

Chứng minh:

)A,ψ là đại số Frobenius. Định nghĩa ánh xạ

λ

λ

F

a

a

→ cho bởi công thức

ψ ∈ Lấy A * sao cho (

(

)

( : M A n

ij

ii

) ∈ , a A ij

(

)

 

n   ∑ = ψ = i 1

λ ∈

∈

.

a

)

) ( nM A *

ij

( M A n

)

λ

= . 0

(

)

a M A ij

n

(

)

Khi đó rõ ràng sao cho . Giả sử rằng (

(

)

44

0= . Lấy cố định

i, j

{ 1,

} ∈  và kí hiệu ,n

ije là

)ija

i, j là 1 và 0 ở các vị trí khác. Khi đó với mọi a A∈ :

)

Ta cần chứng tỏ rằng (

λ

= ψ

=

ma trận mà vị trí (

a

ae

0

ij

ij

a a ji

(

)

(

)

 

 

0= và do đó

.

)A,ψ là đại số Frobenius, ta suy ra

jia

0= . Vì vậy (

)ija

(

)

nM A là đại số Frobenius.

Vì (

)A,ψ là đại số đối xứng, khi đó:

λ

=

ψ

=

ψ

=

a

b

a b

(

)

(

)

ij

ij

a b ik ki

ik ki

b a ki

ik

(

)(

)

 

 

n n ∑ ∑ = = i 1 k 1

n n ∑ ∑ = = i 1 k 1

n n  ∑ ∑ = ψ   = = i 1 k 1

  

=

ψ

= λ

b a

b

a

(

)

ik ki

ij

ij

(

)(

)

 

 

n n ∑ ∑ = = i 1 k 1

Nếu (

(

)

nM A là đại số đối xứng.

chứng tỏ rằng

)A,ψ là đại số Frobenius và X là tập con của A. Ta định nghĩa các

⊥

=

⊥

=

X

( (

Giả sử (

} ) aX 0 } ) 0

tập con X⊥ và X⊥ của A xác định bởi: { = ∈ ψ X a A | { = ∈ ψ a A | Xa

và X⊥ là các không gian con của A. Rõ ràng X⊥

)A,ψ là đại số Frobenius và X là không gian con của A:

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

=

=

=

=

−

2.3.9. Định lí Cho (

X

X

X

dim X dim A dim X

dim X F

F

F

F

và (i) (

)

(

)

r X X⊥= )

l X

X⊥=

(tương (ii) Nếu X là iđêan trái (tương ứng, iđêan phải) của A thì (

)

). Đặc biệt, với e là phần tử lũy đẳng của A thì: ứng (

Ae

(

⊥ = − ( ) 1 e A

)

.

45

⊥ ≅

eA

)

( A Ae

như là A – môđun phải.

= dim eA dim Ae

F

F

.

+

=

(iii) Nếu X là iđêan trái của A thì:

X=

)

(

)

( ( l r X

)

dim X dim r X dim A F

F

F

và

+

=

Nếu X là iđêan phải của A thì:

X=

)

)

( ( r l X

)

( dim X dim l X dim A F

F

F

và

) r X l X=

(

)

)A,ψ là đại số đối xứng thì (

với X là iđêan hai phía iv) Nếu (

bất kì của A.

}

}

,a

,a là cơ sở của A sao cho {

a , 1

m

a , 1

n

m n≤

là cơ sở của X Chứng minh: (i) Lấy {

(

)

ψ

ψ

a

,

→ × × (

× F (

(

)





A F F (

)

 ) ψ a a , 1

(n lần) ) a a , 2

a a n

,

. Ánh xạ:

)

λ trong đó ,

λ 1

n

⊥ =

= λ =

là song ánh và ảnh của X⊥ gồm tất cả các bộ (

− dim A dim X



λ = 1

m 0

dim X F

F

F

−

⊥ =

. Vì thế , chứng minh tương tự ta

dim X dim A dim X

F

F

F

⊥

⊥

=

dim

X

F

dim X F

có . Ta kết luận:

(

)

⊥

⊥

⊥

X

X

X

X

nên ta có . Tương tự ta cũng có Vì

( ⊥=

)

(

)X ⊥ = X

( ⊥⊆

)

ψ

= hay

X⊥∈

(

)aX 0

ψ

khi và chỉ khi (ii) Giả sử X là iđêan phải của A. Khi đó a

= . Vì điều kiện thứ hai tương đương với aX 0= , ta có

(

) aXA 0

X⊥=

khi và chỉ khi

( l X

)

r X X⊥= )

⊥

∈

⇔ ψ

với X là iđêan trái của A. . Chứng minh tương tự ta có (

Aex

= ⇔ = ⇔ ∈ − 0

ex

0

x

( x Ae

)

(

)

( ) 1 e A

, vì thế Cho x A∈ , ta có

46

⊥ ≅

eA

Ae

= dim eA dim Ae

)

( A Ae

(

⊥ = − ( ) 1 e A

)

F

F

và . Cuối cùng bằng

cách áp dụng (i).

⊥

(iii) là kết quả từ (i) đến (ii).

⊥= )A,ψ là đại số đối xứng. Khi đó X X

với mọi tập con X của A. iv) Giả sử (

Từ đó ta có kết quả thu được do áp dụng (ii).

2.3.10. Đại số tựa Frobenius

Một đại số hữu hạn chiều A trên trường k được gọi là tựa Frobenius nếu

môđun phải chính quy AA là môđun nội xạ.

AA là môđun nội xạ khi và chỉ khi A A là môđun nội xạ do đó định

Vì

nghĩa của đại số tựa Frobenius có tính đối xứng trái phải.

2.3.11. Định lí

A

)*

( A A

A

là môđun nội xạ. Mọi đại số Frobenius đều tựa Frobenius vì

Vì vậy mọi đại số Frobenius nếu xem là vành thì nó là vành tự nội xạ, do

đó ta có thể coi đại số Frobenius như là lớp con của lớp các vành tự nội xạ.

47

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, tác giả trình bày những vấn đề chủ yếu sau:

• Môđun nội xạ, các tính chất của môđun nội xạ; mối liên hệ giữa môđun

nội xạ và môđun chia được; vành Noether và môđun nội xạ.

• Vành tự nội xạ, tính chất của vành tự nội xạ; mối liên hệ giữa vành Artin,

vành Noether, vành địa phương, vành nửa hoàn thiện và vành tự nội xạ.

• Khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Frobenius xem như là lớp con

của lớp các vành tự nội xạ.

Vì thời gian và khả năng hạn chế nên luận văn vẫn không tránh khỏi những sai

sót. Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp góp ý và chỉ dẫn thêm.

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số Đồng Điều, NXB Đại Học

Quốc Gia TP Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

2. Karpilovsky G (1990), Induced modules over group algebras, Elsevier

Science Publishers.

3. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko (2004), Algebras, Rings and

Modules, Springer.

4. Tsit Yuen Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer.