zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học 2013 - Tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

128
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu ôn thi Đại học về tính đơn điệu của hàm số do các bạn và các thầy VMF biên soạn và đã sữa chữa. Bài viết rất dễ hiểu, lí thuyết cụ thể bao gồm nhiều bài tập từ các đề thi Đại học giúp cho các e học sinh dễ dàng đạt được điểm cao trong kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học 2013 - Tính đơn điệu của hàm số

Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 V n 1: Tính ơn i u c a hàm s Trong thi các em g p v n này các bài toán ch ng h n như: 1 Bài toán: Cho hàm s : y = x 3 + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3 ) x − 5 . Tìm m hàm s ng bi n trên trên ( 2,3) . 3 làm ư c bài toán này c n hi u ư c: - ng bi n là gì? - làm bài toán này c n th c hi n công vi c gì? A – Lý thuy t - nh nghĩa: Kí hi u: K là m t kho ng ho c m t o n, ho c n a kho ng và hàm s (C): y = f ( x ) xác nh trên K. Hàm s y = f ( x ) ư c g i là ng bi n trên K n u x tăng thì y tăng mà x gi m thì y gi m, t c là: ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Ngư c l i, (C) ư c g i là ngh ch bi n trên K n u x tăng thì y gi m mà x gi m thì y tăng, t c là: ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . (C) ng bi n ho c ngh ch bi n trên K thì ta nói chung là (C) ơn i u trên K. Chú ý: K là m t kho ng ho c m t o n, ho c n a kho ng. - nh lý: (Cách xét tính ơn i u c a hàm s ): Cho hàm s (C): y = f ( x ) có o hàm trên K: - (C) ng bi n trên K ⇔ f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K và ch b ng 0 t i h u h n i m thu c K. - (C) ngh ch bi n trên K ⇔ f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K và ch b ng 0 t i h u h n i m thu c K. Nh n xét: 1. Vi c xét tính ơn i u c a hàm s ư c quy v vi c xét d u bi u th c o hàm c a nó! 2. V i 3 lo i hàm ta xét, có th b i u ki n “b ng 0 t i h u h n i m thu c K” 3. Trong ba lo i hàm: Hàm a th c b c 3: y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y ' = 3ax 2 + 2bx + c ( a ≠ 0 ) Hàm a th c b c 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c ⇒ y ' = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) ( a ≠ 0 ) Hàm a th c b c nh t trên b c nh t: ax + b ad − bc y= ⇒ y' = 2 (d u không ph thu c vào bi n x) cx + d ( cx + d ) Thì vi c xét d u bi u th c o hàm y’ ho c là r t ơn gi n ho c là quy v bài toán tam th c b c 2 Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 B – M t s ví d : B t u v i m t ví d ơn gi n và các em c n chú ý cách trình bày Ví d 1: Xét tính ơn i u c a hàm s sau: 1 1 y = x 3 − x 2 − 2 x + 2. 3 2 LG: TX : D = »  x = −1 Ta có: y ' = x 2 − x − 2 , y ' = 0 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔  x = 2 B ng xét d u y’: x −∞ -1 2 +∞ y’ + 0 - 0 + K t lu n: - Hàm s ngh ch bi n trên ( −1; 2 ) - Hàm s ng bi n trên ( −∞; −1) và ( 2; +∞ ) Chú ý: Khi k t lu n tính ơn i u các em không ư c vi t ch ng h n: “Hàm s ngh ch bi n trên ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) ”, ho c “hàm s ng bi n ∀x ≠ a ”, ho c “ ng bi n trên t p xác nh” Vi t như th là sai v b n ch t, n u y ' > 0, ∀x ≠ a thì ta k t lu n: hàm s ng bi n trên ( −∞; a ) và ( a; +∞ ) mx + 4 Ví d 2: Cho hàm s : y = x+m Tìm m hàm s ngh ch bi n trên ( −1;1) . Phân tích: - Nh n d ng, thu c d ng xét tính ơn i u, như v y c n tính y’ và xét d u y’ - ây là hàm phân th c b c nh t trên b c nh t, o hàm c a nó có d u không ph thu c vào x, t c là y ' > 0, ∀x ∈ D ho c y ' < 0, ∀x ∈ D , như v y v i i u ki n u tiên “hàm ngh ch bi n” ta c n: m2 − 4 y'= 2 < 0 ⇔ m2 − 4 < 0 ( x + m) - Khi ó ta có hàm s ngh ch bi n trên ( −∞; − m ) và ( − m; +∞ ) - V y làm th nào có hàm ngh ch bi n trên ( −1;1) ? T t nh t các em th c hi n vi c xét v trí tương i c a ba i m 1, −1, − m trên tr c s các em s nh n ra ư c th a mãn i u ki n này thì − m ph i n m ngoài 2 i m −1 và 1, t c là − m ∉ ( −1;1) ⇔ m ∉ ( −1;1) . Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 T ó các em có l i gi i: TX : D = » \ {− m} m2 − 4 y'= 2 ( x + m) m 2 − 4 < 0  hàm s ngh ch bi n trên ( −1;1) thì y ' < 0, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔  ⇔ m ∈ ( −2; −1] ∪ [1; 2 ) − m ∉ ( −1;1)  V y v i m ∈ ( −2; −1] ∪ [1; 2 ) thì th a mãn i u ki n bài Ví d 3: Cho hàm s : 1 y = x 3 + ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3 ) x − 5 3 Tìm m hàm s ng bi n trên trên ( 2;3) . Phân tích: V i vi c phân tích tương t như trên ta nh n th y r ng bài toán trên th c ch t là bài toán sau: Tìm m y ' = x 2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) V i bài toán này thì các em có th có các cách làm khác nhau. LG: TX : D = » y ' = x 2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 3 hàm s ng bi n trên ( 2;3) thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1, 2 ) ⇔ x 2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) 2 2 Cách 1: ∆ ' = ( m − 1) − 2m + 3 = m2 − 4m + 4 = ( m − 2 ) Do ó: 2 N u m = 2 thì y ' = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) (t/m) N u m ≠ 2 thì y ' = 0 có hai nghi m phân bi t x1 < x2 , x1 , x2 ∈ {−1; −2m + 3} Khi ó: y ' ≥ 0 ⇔ x ∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞ ) x1 x2 y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) thì 3 < x1 ho c x2 < 2 (*)   3 < −1  1 TH1: x1 = −1; x2 = −2m + 3 ⇒ −1 < −2m + 3 ⇔ m < 2 thì (*) ⇔   −2m + 3 < 2 ⇔ < m < 2 m < 2 2   3 < −2m + 3  TH2: x1 = −2m + 3; x2 = −1 ⇒ −2m + 3 < −1 ⇔ m > 2 thì (*) ⇔   −1 < 2 ⇔m>2 m > 2  Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 1 V yv i m> thì th a mãn i u ki n bài. 2 Cách 2: x 2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;3) ⇔ x 2 + 2 ( m − 1) x + 2m − 3 ≥ 0, ∀x ∈ [ 2;3] (vì y ' liên t c t i x = 2 và x = 3 ) −x2 + 2x + 3 ⇔ g ( x) = ≤ m, ∀x ∈ [ 2;3] 2 ( x + 1) ⇔ max g ( x ) ≤ m x∈[ 2;3] − x2 + 2 x + 3 − x2 − 2 x − 1 Xét: g ( x ) = , g '( x) = 2 < 0, ∀x ∈ [ 2;3] 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 1 ⇒ g ( x ) ngh ch bi n trên ( 2;3) ⇒ max g ( x ) = g ( 2 ) = x∈[ 2;3] 2 1 V yv i m> thì th a mãn i u ki n bài. 2 Nh n xét: - Cách th 2 có th có m t s em chưa quen, ó là i u d hi u khi các em m i làm quen v i phương pháp hàm s , nhưng ch c ch n các em s thích và th y nó khá d dàng khi ti p xúc v i nhi u l p bài toán s d ng phương pháp này hơn! - cách th nh t, trong nhi u trư ng h p i v i bài toán d ng này các em s không tính ư c x1 , x2 " p" như bài toán trên, khi ó các em c n s d ng nh lí v d u c a tam th c b c hai gi i quy t, ví d dư i ây là m t minh h a: 1 1 Ví d 4: Cho hàm s : y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x − 5m + 2 3 2 Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( 0;1) LG: TX : D = » y ' = x 2 − ( 2m + 1) x + 3m + 2 hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( 0;1) thì y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ f ( x ) = x 2 − ( 2m + 1) x + 3m + 2 ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ phương trình f ( x ) = 0 có hai nghi m phân bi t x1 , x2 sao cho x1 ≤ 0 < 1 ≤ x2  x ≤ 0 < x2  x1 x2 ≤ 0  Viet 3m + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ⇔ ⇔  m + 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ −2  x1 < 1 ≤ x2 ( x1 − 1)( x2 − 1) ≤ 0   Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 Nh n xét: - f ( x ) có h s a = 1 > 0 nên trư ng h p f ( x ) = 0 vô nghi m ( ∆ < 0 ) ho c nghi m kép ( ∆ = 0 ) không th a mãn bài toán (các em chú ý l i nh lí d u tam th c b c 2)  x1 ≤ 0 < x2 -H i u ki n  ã bao hàm i u ki n phương trình có hai nghi m phân bi t. (Chú ý i u ki n  x1 < 1 ≤ x2 phương trình có hai nghi m trái d u) Ví d 5: ( H QGHN – 2000) Cho hàm s y = x3 + 3 x 2 + mx + m Tìm t t c các giá tr c a tham s m hàm s ch ngh ch bi n trên m t o n có dài b ng 1. Phân tích: Bài toán tương ương v i: Tìm m g ( x ) = 3x 2 + 6 x + m ch mang d u âm trên m t o n có dài b ng 1. V n c n phân tích là âm trên m t o n có dài b ng 1, n u chưa t ng g p thì các em s có c m giác khá l l m v i ki u câu h i như th này. Cùng suy nghĩ m t chút nhé, khi xét d u tam th c b c hai có nh ng kh năng nào? - N u ∆ ≤ 0 thì g ( x ) mang d u âm trên nh ng kho ng nào, và kho ng y có dài như th nào? - Tương t n u ∆ > 0 thì sao? Khi tr l i 2 câu h i này các em s phát hi n ra r ng ch khi ∆ ≥ 0 thì m i xu t hi n m t o n “Trong kho ng hai nghi m” có dài h u h n và dài c a o n này là x1 − x2 (v i x1 , x2 là nghi m c a g ( x ) ) ∆ ' = 9 − 3m > 0  T ó ta có i u ki n tương ương c a bài toán là:  Và n ây m t ph n x t nhiên là ta s  x1 − x2 = 1  nghĩ n nh lí Viet! Bài toán ư c gi i quy t. LG: TX : D = » y ' = g ( x ) = 3x 2 + 6 x + m, ∆ ' = 9 − 3m th a mãn yêu c u bài thì y ' ≤ 0 trên m t o n có dài b ng 1 N u ∆ ' ≤ 0 thì g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ » = ( −∞; +∞ ) (không th a mãn) N u ∆ ' > 0 ⇔ m < 3 , g ( x ) có hai nghi m x1 < x2 và g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ x1 ; x2 ] Khi ó, y ' ≤ 0 trên m t o n có dài b ng 1 thì 2 2 2 m 9 x1 − x2 = 1 ⇔ ( x1 − x2 ) = 1 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 1 ⇔ ( −2 ) − 4. = 1 ⇔ m = (th a mãn) 3 4 Bài toán: Cho hàm s y = ax3 + bx 2 + cx + d . Tìm i u ki n hàm s ng bi n trong m t kho ng có dài ≥ k Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 Cách gi i: i u ki n c a bài toán ư c th a mãn khi y ' ≥ 0 trên m t kho ng có dài ≥ k , i u ó x y ra khi và ch khi a < 0 và phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t ( ∆ > 0 ) th a mãn 2 2 x1 − x2 ≥ k ⇔ ( x1 − x2 ) ≥ k 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≥ k 2 S d ng nh lí Viet và suy ra k t qu . Sau ây s là m t ví d v hàm phân th c b c hai trên b c nh t. (Lo i hàm này s không g p trong câu I.2, nhưng v n có th g p trong ph n riêng trong chương trình nâng cao) x 2 − ( 3m + 1) x + 5m − 1 Ví d 6: Cho hàm s : y = x−m Tìm m hàm s ng bi n trong kho ng ( 0;1) . LG: TX : D = » \ {m} Hàm s xác nh trên kho ng ( 0;1) n u m ∉ ( 0;1) ⇔ m ∈ ( −∞;0] ∪ [1; +∞ ) . Khi ó: x 2 − 2mx + 3m 2 − 4m + 1 y'= 2 ( x − m) hàm s ng bi n trong kho ng ( 0;1) thì y ' ≥ 0 , ∀x ∈ ( 0;1) ⇔ x 2 − 2mx + 3m 2 − 4m + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ ( 0,1) (*) Xét tam th c f ( x ) = x 2 − 2mx + 3m2 − 4m + 1 , ∆ ' = −2m 2 + 4m − 1  2− 2  2+ 2  - N u: ∆ ≤ 0 ⇔ −2m 2 + 4m − 1 ≤ 0 ⇔ m ∈  −∞;  ∪ ; +∞    2   2  2+ 2  Thì f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ » , khi ó k t h p v i i u ki n ban u thì (*) ⇔ m ∈ ( −∞;0 ] ∪  ; +∞    2   2− 2 2+ 2  - N u: ∆ > 0 ⇔ m ∈   2 ; 2  (1)    Thì f ( x ) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞ ) Do ó f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;1) thì ( 0;1) ⊂ ( −∞; x1 ] ∪ [ x2 ; +∞ ) t c là: 1 ≤ x1 < x2 ho c x1 < x2 ≤ 0  x1 + x2 < 0  2m < 0 TH1: x1 < x2 ≤ 0 ⇔  ⇔  2 ⇔ m < 0 (Không t/m)  x1 x2 ≥ 0 3m − 4m + 1 ≥ 0 TH2: 1 ≤ x1 < x2 ⇔ 0 ≤ x1 − 1 < x2 − 1 (**) t t = x − 1 ⇔ x = t + 1 , th vào f ( x ) ta ư c: 2 g ( t ) = ( t + 1) − 2m ( t + 1) + 3m 2 − 4m + 1 = t 2 + ( 2 − 2m ) t + 3m 2 − 6m + 2 Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 (**) ⇔ 0 ≤ t1 < t2 v i t1 , t2 là nghi m c a g ( t ) t + t > 0 2m − 2 > 0 3+ 3 ⇔1 2 ⇔ ⇔ m≥ t1t2 ≥ 0 3m − 6m + 2 ≥ 0 3 3 + 3 2 + 2  K t h p v i i u ki n (1) ⇒ m ∈  ;   3 2  3+ 3  K t lu n: V y v i m ∈ ( −∞; 0] ∪  ; +∞  thì th a mãn i u ki n  bài!  3  Chú ý: Nhi u tài li u trình bày l i gi i bài toán trên r t ng n g i d a vào nh lí o d u tam th c b c hai, nh lí này hi n không ư c gi i thi u trong SGK chương trình THPT, vì v y các em c n chú ý. _______________ Xu hư ng ra hi n nay thư ng không quá khó mà ánh vào tâm lí lư i suy nghĩ c a h c sinh, bài thư ng dùng ngôn ng khác n i n i dung c a câu h i, vì v y các em c n rèn luy n m t tâm lí bình tĩnh v ng vàng và không ư c lư i bi ng! V i m t s ví d như trên ch c ch n chưa th giúp các em n m ch c ư c các bài toán v tính ơn i u vì v y các em c n t mình rèn luy n b ng cách làm các bài t p. m t l i khuyên chân thành ó là dù bài t p d hay khó các em nên ít nh t m t l n làm nó th t c n th n trình bày rõ ràng và làm ra n k t k t qu cu i cùng! Bài t p t luy n: 1 Bài 1: Cho hàm s : y = ( m − 1) x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x . Tìm m hàm s ng bi n trên » . 3 mx + 5m − 6 Bài 2: Cho hàm s : y = . x+m a. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên t ng kho ng xác nh b. Tìm m hàm s ngh ch bi n trên kho ng ( −2; −1) c. Tìm m hàm s ng bi n trên hai kho ng ( −∞; −4 ) và (1; +∞ ) Bài 3: Cho hàm s : y = −1 x 3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4 . Tìm m hàm s ng bi n trên (0, 3) 3 Bài 4: Cho hàm s : y = x3 − 2(m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m hàm s ng bi n trên (−∞; −1] và [2; +∞) . Bài 5: Cho hàm s y = 1 ( m + 1) x 3 + ( 2m − 1) x 2 − ( 3m + 2 ) x + m . 3 Tìm m kho ng ngh ch bi n c a hàm s có dài b ng 4 1 1 Bài 6: Cho hàm s : y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 + ( 3m + 2 ) x − 5m + 2 3 2 Tìm m hàm s ngh ch bi n trên m t kho ng có dài l n hơn 1. Bài 7: Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 1 . Tìm m hàm s ng bi n trên kho ng (1; 2 ) Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp
Http://diendantoanhoc.net/ Chu n b cho kì thi TS HC - 2013 Bài 8: Tìm m hàm s y = mx + sin x + 1 sin 2 x + 1 sin 3 x tăng v i m i x ∈ » 4 9 2 ( ) Bài 9: Cho hàm s : y = 2 x + 1 − m x + 1 + m . Tìm m hàm s ng bi n trên (1, +∞ ) x−m Tài li u tham kh o: [1] Tr n Sĩ Tùng: 200 bài toán kh o sát hàm s - 2012 [2] Tr n Phương: Bài gi ng luy n thi ih c [3] Nguy n Anh Dũng: Chu n b trư c kì thi - T p chí TH & TT [5] Các bài th o lu n trên VMF. Tính ơn i u c a hàm s (Câu I.2) leminhansp

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.